Sur le contrôle frontière d’une flûte à coulisse par fonction de Lyapunov

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19911
DOI :

Résumé

Sur le contrôle frontière d’une flûte à coulisse par fonction de Lyapunov

Métriques

22
8
213.94 Ko
 application/pdf
bitcache://dd946640541c3e46b5bf0de08887862e0ab1e496

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2007-1/19911</identifier><creators><creator><creatorName>Brigitte d'Andréa-Novel</creatorName></creator><creator><creatorName>Jean-Michel Coron</creatorName></creator><creator><creatorName>Georges Bastin</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Sur le contrôle frontière d’une flûte à coulisse par fonction de Lyapunov</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2017</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sat 23 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 23 Sep 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Fri 10 Aug 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">dd946640541c3e46b5bf0de08887862e0ab1e496</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>33836</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Sur le contrˆole fronti`ere d’une flˆute `a coulisse par fonction de Lyapunov Brigitte d’Andr´ea-Novel1 , Jean-Michel Coron2 , Georges Bastin 3 1 Centre de Robotique ´Ecole des Mines de Paris, 60, bld Saint Michel, 75272 Paris Cedex 06, France 2 D´epartement de Math´ematiques Universit´e de Paris-Sud, Bˆatiment 425, 91405 Orsay, France 3 CESAME Universit´e Catholique de Louvain, 4 avenue G. Lemaˆıtre, 1348 Louvain-La-Neuve, Belgique R´esum´e— L’objet de ce papier concerne le contrˆole `a la fronti`ere d’une flˆute munie d’un dispositif de coulisse per- mettant d’obtenir des notes de consigne en faisant varier la longueur du tuyau. Apr`es une mod´elisation du syst`eme par des ´Equations aux D´eriv´ees Partielles hyperboliques met- tant en oeuvre les variables de surpression acoustique et de d´ebit d’air dans le tuyau, le contrˆole fronti`ere de la coulisse est ´elabor´e `a partir d’une fonction de Lyapunov ad´equate exprim´ee `a partir des invariants de Riemann du syst`eme. I. Introduction Nous avons par le pass´e, ´etudi´e le contrˆole fronti`ere de syst`emes hyperboliques de lois de conservation par inva- riants de Riemann et/ou fonctions de Lyapunov : notam- ment les syst`emes de type pont-roulant avec cˆable pesant flexible de longueur fixe [1], [2] ou variable [3], et plus r´ecemment les syst`emes de contrˆole de canaux d’irrigation mod´elis´es par les ´equations de Saint-Venant (voir e.g. [5], [9], [7], [6]). Dans le cadre d’un projet ANR intitul´e “CONSONNES” (CONtrˆole de SONs Naturels Et Synth´etiques), nous nous int´eressons au probl`eme de la synth`ese de sons musicaux par mod`eles physiques et aussi `a la robotisation d’instru- ments `a vent. Le projet du contrˆole automatique d’un tube acoustique cylindrique de longueur variable, repr´esentant une flˆute `a coulisse, dite aussi flˆute `a piston, s’inscrit dans ces deux probl´ematiques. Dans la Figure 1, nous voyons le dispo- sitif exp´erimental, install´e pour des tests de dimensionne- ment sur une “bouche artificielle”, en cours de robotisation, d´evelopp´ee `a l’IRCAM. Ce projet de flˆute `a coulisse est dans sa phase ini- tiale de d´eveloppement et le mod`ele utilis´e dans ce pa- pier est volontairement tr`es simple. Le “robot musicien” peut ˆetre mod´elis´e dans un premier temps, en n´egligeant les ph´enom`enes de pertes visco-thermiques et de frotte- ment, par les ´equations de d’Alembert en la variable p(x, t) d´esignant la surpression acoustique au temps t en un point d’abscisse x le long du tuyau, sur le domaine [0; L(t)]. Il s’agit d’un domaine variable, la longueur L(t) du tuyau 1Ce travail est r´ealis´e dans le cadre du projet CONSONNES sou- tenu par l’ANR Fig. 1. La flˆute `a coulisse mont´ee sur une bouche artificielle de l’IR- CAM ´evoluant grˆace `a l’action de la coulisse qui constitue la va- riable de commande du syst`eme, permettant de fixer la longueur du tube. Sous l’hypoth`ese id´eale d’un tube ferm´e aux deux bouts, la hauteur ou fr´equence f de la note associ´ee est donn´ee par (voir e.g. [15], [8], [11]) : f = c 2L , (1) c d´esignant la vitesse du son dans l’air. Notons que, contrairement au cas du cˆable pesant ou du canal o`u l’on cherchait `a stabiliser un point d’´equilibre, on cherche ici `a stabiliser une fonction p´eriodique de la pression de la forme : ¯p(x, t) = cos( 2πf0x c ) cos(2πf0t) (2) o`u f0 est la fr´equence de la note souhait´ee. L’´equation (1) peut ˆetre consid´er´ee comme un premier mod`ele, mais elle r´esulte ´evidemment de conditions aux bords id´eales, assez ´eloign´ees du comportement d’une em- bouchure r´eelle d’instrument `a vent. C’est pourquoi dans le e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 27-32 but d’une compr´ehension plus fine des ph´enom`enes acous- tiques, nous consid`ererons la mod´elisation du tube acous- tique (le r´esonateur), comme un syst`eme distribu´e en di- mension infinie en interaction avec un excitateur (l’em- bouchure) le plus souvent du type oscillateur non lin´eaire que nous mod´eliserons dans une ´etude ult´erieure. L’obten- tion de mod`eles r´ealistes d’embouchures de flˆutes est en- core largement ouvert (voir par exemple [12], [10], [18]). Le ph´enom`ene d’auto-oscillation r´esulte de l’interaction entre le tuyau et le jet d’air qui cr´ee une diff´erence de pression au niveau du biseau `a l’entr´ee du r´esonateur. D’autre part, en jouant sur la pression de son souffle, l’instrumentiste peut exciter un r´egime diff´erent du mode fondamental de r´esonance du tube (cf. [12, Chap. 16]). Pour l’instant nous ne prenons pas en compte le comportement de l’excitateur. Dans la section 2, nous donnons le mod`ele simplifi´e que nous avons consid´er´e et nous explicitons le probl`eme de contrˆole fronti`ere que nous cherchons `a r´esoudre. Dans la section 3 nous d´eveloppons notre strat´egie de com- mande automatique de la coulisse `a partir d’une fonction de Lyapunov. `A la section 4, nous donnons des premiers r´esultats de simulation et enfin nous concluons `a la sec- tion 5 et pr´esentons nos perspectives d’impl´ementation en temps r´eel sur un dispositif exp´erimental de flˆute `a piston en cours de r´ealisation `a l’´Ecole des Mines de Paris. II. Mod`ele de la flˆute `a coulisse et position du probl`eme de contrˆole A. Le mod`ele physique Si ρ0 d´esigne la masse volumique de l’air au repos, S la section suppos´ee constante du tuyau, u(x, t) le d´ebit d’air au temps t `a travers la section du tube en x, p(x, t) la sur- pression du fluide par rapport `a la pression atmosph´erique au point x et au temps t, en supposant que le d´ebit et la pression sont uniformes sur la section, l’´equation d’Eu- ler qui rend compte des propri´et´es dynamiques du fluide s’´ecrit : ∂u ∂t = − S ρ0 ∂p ∂x . (3) L’´equation de conservation a la forme suivante : ∂ρ ∂t = − ρ0 S ∂u ∂x (4) o`u ρ d´esigne la masse volumique du fluide. Enfin, en supposant la transformation adiabatique, on obtient l’´equation d’´etat, o`u c d´esigne la vitesse du son dans l’air : p = c2 ρ (5) qui permet de relier la surpression acoustique aux pertur- bations acoustiques de la masse volumique du fluide dans lequel se d´eveloppe l’onde acoustique. Ainsi, en rempla¸cant ρ `a partir de p dans l’´equation (4), on obtient la seconde ´equation d’´etat qui compl`ete (3), `a savoir : ∂p ∂t = − ρ0c2 S ∂u ∂x . (6) En d´erivant (6) par rapport `a t, (3) par rapport `a x et en rassemblant les 2 ´equations ainsi obtenues, on obtient l’´equation ´etablie par d’Alembert en 1747 sur la variable de pression p(x, t) : ∂2 p ∂t2 − c2 ∂2 p ∂x2 = 0. (7) Remarque 1: On v´erifie que (2) est bien solution de (7). Le d´ebit correspondant, solution de (3) est alors de la forme : ¯u(x, t) = S ρ0c sin( 2πf0x c ) sin(2πf0t). (8) Remarque 2: En d´erivant (3) par rapport `a t et (6) par rapport `a x, on note ais´ement que la variable de d´ebit u ob´eit, de mˆeme que p, `a l’´equation de d’Alembert, i.e. : ∂2 u ∂t2 − c2 ∂2 u ∂x2 = 0. (9) Dans la suite de l’article, on pr´ef`erera utiliser les ´equations (3) et (6) qui permettent d’´ecrire le syst`eme sous la forme matricielle suivante o`u Y = u p et c1 = S ρ0 : ∂Y ∂t + A ∂Y ∂x = 0 , avec A = 0 c1 c2 /c1 0 . (10) Ce syst`eme peut ˆetre diagonalis´e : ∂tξ + Λ∂xξ = 0 , avec Λ = c 0 0 −c (11) o`u les changements de coordonn´ees sont donn´es par : ξ = α β =    u + c1 c p u − c1 c p    (12) et inversement : Y = u p =     α + β 2 c(α − β) 2c1     . (13) Les valeurs propres c > 0 et −c < 0 ´etant les vitesses res- pectives de l’onde aller α(x, t) et de l’onde retour β(x, t) qui ob´eissent aux ´equations des ondes monodimensionnelles : ∂α ∂t + c ∂α ∂x = 0 et (14) ∂β ∂t − c ∂β ∂x = 0. (15) Les quantit´es ∂α ∂t + c ∂α ∂x et ∂β ∂t − c ∂β ∂x peuvent ˆetre vues respectivement comme les d´eriv´ees totales par rapport au temps dα dt et dβ dt de α et β en (x, t) le long des solutions de : dx dt = c et dx dt = −c, (16) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 27-32 dites “caract´eristiques”. Comme α(x, t) et β(x, t) sont constants le long des caract´eristiques, α et β sont appel´es les invariants de Riemann (voir e.g. [17, Tome II, Chap. 12]). B. Les conditions aux bords D´efinissons `a pr´esent les conditions aux bords associ´ees `a notre probl`eme. Puisque nous avons consid´er´e un mod`ele sans perte et sans frottement, avec des conditions initiales ad´equates, il n’est pas n´ecessaire d’introduire un d´ebit d’air suppl´ementaire au niveau de l’embouchure pour compenser les pertes, ainsi on peut ´ecrire au bord en x = 0 : u(0, t) = 0. (17) De mˆeme, u(L, t) = 0, signifie qu’il n’y a pas de perte `a l’extr´emit´e libre du tuyau, extr´emit´e que l’on peut assimiler `a une paroi rigide (voir par exemple [8]). Par contre, si on installe un dispositif `a coulisse avec un piston que l’on peut d´eplacer, la condition au bord x = L devient : p(L, t) + F = m¨L (18) o`u F est la force exerc´ee sur le piston et m sa masse, voir la Figure 2. Fig. 2. Sch´ema de la flˆute `a coulisse Remarque 3: `A l’extr´emit´e x = 0, on aurait pu consid´erer une autre condition au bord correspondant `a une “paroi molle”, pour laquelle ce n’est pas le d´ebit qui s’annule mais la pression (voir e.g. [19, Chap. 16]) : p(0, t) = c 2c1 (α(0, t) − β(0, t)) = 0. (19) Ceci est encore une condition au bord x = 0 id´eale et ne saurait remplacer un mod`ele d’embouchure comme cela a d´ej`a ´et´e dit dans l’Introduction du papier. La condition (19) conduirait ´evidemment `a une solution de r´egime diff´erente de (2) et (8) mais ne changerait rien `a l’analyse de stabilit´e d´evelopp´ee ci-dessous. Dans un premier temps, on peut consid´erer que la va- riable de commande est la vitesse de d´eplacement du pis- ton ˙L, reli´ee `a la commande physique F homog`ene `a ¨L par un syst`eme int´egrateur, ou de type cascade donn´e par (18). On peut alors, par des techniques de type “backstepping”, calculer la commande physique F `a appliquer au syst`eme, si l’on connaˆıt la commande ˙L (voir e.g. [2]). On peut donc sans perte de g´en´eralit´e, consid´erer la condition au bord x = L suivante : u(L, t) = S ˙L. (20) D’apr`es (13) et (17)-(20), les conditions aux bords se r´e´ecrivent dans les variables α et β : α(0, t) + β(0, t) = 0 α(L, t) + β(L, t) = 2S ˙L (21) C. Le mod`ele de contrˆole Ainsi que nous l’avions fait dans [3] dans le cas du pont roulant avec cˆable de longueur variable, il est int´eressant d’appliquer le changement de variable : x = Lσ (22) pour se ramener `a un probl`eme de contrˆole sur un domaine fixe σ ∈ [0; 1]. Avec ce changement de variable, si l’on note : ˜α(σ, t) = α(x, t) = α(L(t)σ, t) ˜β(σ, t) = β(x, t) = β(L(t)σ, t) (23) les ´equations (14) et (15) se r´e´ecrivent :    ∂ ˜α ∂t (σ, t) + c − ˙Lσ L ∂ ˜α ∂σ (σ, t) = 0 ∂ ˜β ∂t (σ, t) − c + ˙Lσ L ∂ ˜β ∂σ (σ, t) = 0. (24) Quant aux conditions aux bords (21), elles prennent la forme suivante dans les nouvelles variables : ˜α(0, t) + ˜β(0, t) = 0 ˜α(1, t) + ˜β(1, t) = 2S ˙L (25) Remarque 4: Notons que les ´equations d´ecrivant l’´evolution de ˜α(σ, t) et ˜β(σ, t) sont des ´equations des ondes monodimensionnelles avec, `a pr´esent, des vitesses de pro- pagation fonctions du temps par le biais de la variable ˙L. Le mod`ele de contrˆole consid´er´e est donc donn´e par (24) et les conditions aux bords associ´ees (25). D. Position du probl`eme de contrˆole Nous cherchons `a faire converger asymptotiquement la solution (˜α(σ, t), ˜β(σ, t)) vers la solution de r´egime (¯α(σ, t), ¯β(σ, t)) donn´ee par (2) et (8), qui s’´ecrit d’apr`es (12) :    ¯α(σ, t) = S ρ0c cos(2πf0(t − L0σ c )) ¯β(σ, t) = − S ρ0c cos(2πf0(t + L0σ c )) (26) f0 ´etant la fr´equence de la note souhait´ee, reli´ee `a la lon- gueur consigne du tuyau L0 par (1). III. ´Elaboration du contrˆole fronti`ere Comme dans [5], [9], [6] ou [1], [2], [3], nous allons consid´erer une fonction de Lyapunov pour ´elaborer le contrˆole stabilisant. Soit V cette fonction candidate donn´ee par : V = A 1 0 (˜α(σ, t) − ¯α(σ, t))2 dσ +A 1 0 (˜β(σ, t) − ¯β(σ, t))2 dσ + 1 2 (L − L0)2 (27) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 27-32 o`u A est une constante strictement positive arbitraire. Si l’on note pour simplifier l’´ecriture : ˜α0 = ˜α(0, t), ¯α0 = ¯α(0, t), ˜α1 = ˜α(1, t), ¯α1 = ¯α(1, t) ˜β0 = ˜β(0, t), ¯β0 = ¯β(0, t), ˜β1 = ˜β(1, t), ¯β1 = ¯β(1, t) (28) en d´erivant V par rapport au temps et en utilisant (24)- (25), on obtient tous calculs faits : ˙V = − ˙L L V + ˙L(L − L0)+ Ac L (˜α0 − ¯α0)2 − (˜α1 − ¯α1)2 + (˜β1 − ¯β1)2 − (˜β0 − ¯β0)2 + A ˙L L (˜α1 − ¯α1)2 + (˜β1 − ¯β1)2 (29) Or, d’apr`es (25) on a : ˜α(0, t) + ˜β(0, t) = 0 de mˆeme, d’apr`es (26) on peut ´ecrire aussi : ¯α(0, t) + ¯β(0, t) = 0, d’o`u : (˜β0 − ¯β0)2 = (˜α0 − ¯α0)2 et le terme (˜α0 − ¯α0)2 − (˜β0 − ¯β0)2 disparaˆıt donc dans l’expression (29) de ˙V . Reste `a ´etudier le terme : Z = (˜β1 − ¯β1)2 − (˜α1 − ¯α1)2 . (30) Sachant d’apr`es (25), (26) et (1) que : ˜α(1, t) + ˜β(1, t) = 2S ˙L et ¯α1 + ¯β1 = S ρ0c (cos(2πf0t − π) − cos(2πf0t + π)) = 0 et en notant δ = ˜α1 − ¯α1 (31) Z se r´e´ecrit : Z = 4S2 ˙L2 − 4S ˙Lδ, (32) ce qui donne finalement :    ˙V = A ˙L2 + ˙L B + A(2δ2 + Z) L avec A = 4AcS2 L et B = L − L0 − V L − 4AcSδ L (33) Cette expression de ˙V comme un polynˆome d’ordre 2 en ˙L nous donne naturellement la forme de la commande fronti`ere ˙L `a appliquer au syst`eme pour rendre asymptoti- quement stable, au moins localement, la solution de r´egime (26), `a savoir : ˙L = − 1 2A B + A(2δ2 + Z) L . (34) Compte tenu de l’expression (30) de Z, (34) est une ´equation du second degr´e en ˙L de la forme : a(L) ˙L2 + b(L, δ) ˙L + c(L, V, δ) = 0, a(L) > 0. (35) Au voisinage de la solution de r´egime, le discriminant ∆ de (35) est proche de (8AcS2 )2 donc ∆ est positif, et la solution ˙L satisfaisante correspond `a la racine : r1 = −b(L, δ) + √ ∆ 2a(L) . (36) Nous ´enon¸cons `a pr´esent dans le th´eor`eme suivant, le r´esultat principal de la section. Th´eor`eme 1: Pour toute constante ǫ > 0, il existe une constante ν > 0 telle que toute solution du syst`eme (24) avec les conditions aux bords (25) en boucle ferm´ee avec la loi de commande donn´ee par (34) et telle que : | L(0) − L0 | + | ˜α(., 0) − ¯α(., 0) |L2(0,1) + | ˜β(., 0) − ¯β(., 0) |L2(0,1)< ν (37) est d´efinie pour tout temps t ≥ 0 et satisfait : | L(t) − L0 | + | ˜α(., t) − ¯α(., t) |L2(0,1) + | ˜β(., t) − ¯β(., t) |L2(0,1)< ǫ. (38) De plus, il existe une constante η > 0 telle que si : | L(0) − L0 | + | ˜α(., 0) − ¯α(., 0) |L2(0,1) + | ˜β(., 0) − ¯β(., 0) |L2(0,1)< η (39) alors on a pour t tendant vers +∞ : | L(t) − L0 | + | ˜α(., t) − ¯α(., t) |L2(0,1) + | ˜β(., t) − ¯β(., t) |L2(0,1) −→ 0. (40) Preuve : Pour parvenir au r´esultat de stabilisation, il faut tout d’abord noter d’apr`es (33) et (34) que la d´eriv´ee de la fonc- tion de Lyapunov s’´ecrit pour le syst`eme en boucle ferm´ee : ˙V = − B + A(2δ2 + Z) L 2 4A ≤ 0. (41) La fonction de Lyapunov est donc bien d´ecroissante. Reste `a ´etudier la convergence des solutions ou plus pr´ecis´ement `a appliquer un principe d’invariance de type LaSalle, dans le cadre de la dimension infinie. ´Etudions donc les solutions invariantes qui satisfont la condition ˙V = 0, ce qui ´equivaut d’apr`es (41) et (34) `a la condition ˙L = 0. Dans ce cas V et L sont constants, Z est nul et d’apr`es (35) c(L, V, δ) = 0, ce qui entraˆıne que δ donn´e par (31) est aussi constant. D’autre part si ˙L = 0, compte tenu de (24), ˜α(σ, t) est de la forme : ˜α(σ, t) = φ(t − Lσ c ). (42) Ainsi en utilisant (26), on peut ´ecrire : φ(t) = δ + S ρ0c cos(2πf0(t + L − L0 c )). (43) De mˆeme, toujours d’apr`es (24), ˜β(σ, t) est de la forme : ˜β(σ, t) = ψ(t + Lσ c ). (44) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 27-32 Or, d’apr`es la condition au bord en σ = 0 de (25), on d´eduit : ψ(t) = −φ(t) = −δ − S ρ0c cos(2πf0(t + L − L0 c )). (45) En utilisant `a pr´esent la condition au bord σ = 1 de (25) avec (45) et la relation ˙L = 0, on obtient : φ(t − L c ) = φ(t + L c ). (46) En rempla¸cant φ par son expression (43), on d´eduit de (46) la relation : cos(2πf0(t − L0 c )) = cos(2πf0(t + 2L − L0 c )). (47) Cette derni`ere ´equation, conduit d’apr`es (1) `a : 2L c = k f0 = k2L0 c (48) o`u k est un entier relatif, ce qui donne localement pour L proche de L0, donc avec k = 1, la solution : L = L0. (49) Compte tenu de la relation (49), de l’expression (26) de (¯α(σ, t), ¯β(σ, t)) ainsi que des ´equations (42), (44) et (45), l’expression de V donn´ee par (27) devient : V = 2Aδ2 . (50) D’autre part, la condition ˙L = 0, implique d’apr`es (32) que Z = 0 et d’apr`es (34) que B + 2Aδ2 L = 0, ce qui donne d’apr`es (33) et (49) l’expression suivante de V : V = −4AcSδ + 2Aδ2 . (51) Ainsi, V ´etant donn´ee `a la fois par (50) et (51), la seule solution possible est : δ = 0. (52) Pour r´esumer, l’application du principe de LaSalle conduit `a une solution satisfaisant : L = L0 δ = V = 0 (53) ce qui implique, compte tenu de l’expression (27) de V , que la solution (˜α(σ, t), ˜β(σ, t)) converge asymptotique- ment vers la solution de r´egime (¯α(σ, t), ¯β(σ, t)) donn´ee par (26). D’un point de vue math´ematique, il suffit ensuite de v´erifier la pr´e-compacit´e des trajectoires pour pouvoir conclure dans le cadre de la dimension infinie. Pour cela on peut proc´eder comme dans [3, Sec. 4]. ♦ IV. R´esultats de simulation Nous avons appliqu´e une version simplifi´ee de la loi de commande (34) en supposant δ et Z n´egligeables, la lon- gueur initiale ´etant ´egale `a 40 cm et la longueur consigne L0 ´egale `a 36 cm. Le comportement transitoire dˆu au mou- vement de la coulisse est illustr´e dans les Figures 3 et 4. `A la Figure 3, nous avons trac´e le spectre de la pression au niveau de l’embouchure de la flˆute dans le cas parfait o`u la longueur initiale est ´egale `a la longueur consigne, ce spectre pur est `a comparer avec le spectre plus bruit´e de la pression donn´e `a la Figure 4 pour une longueur initiale ´egale `a 40 cm. -200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Fig. 3. Spectre de la pression `a l’extr´emit´e gauche avec la condition initiale ´egale `a la longueur consigne Lcons=0.36 m -200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Fig. 4. Spectre de la pression `a l’extr´emit´e gauche avec la condi- tion initiale ´egale `a 0.40 m, la longueur consigne valant toujours Lcons=0.36 m Dans la Figure 5, on a trac´e l’´evolution de la longueur L du tuyau qui tend bien vers la consigne en un temps de l’ordre de la seconde (la fr´equence d’´echantillonnage est de 22050 Hz) et la vitesse de d´eplacement de la coulisse ne d´epasse pas les 20 cm/s ce qui est raisonnable. Le syst`eme a ´et´e simul´e grˆace au logiciel de calcul scientifique Scilab (voir par exemple [4]) `a partir des ´equations (14) et (15) donnant l’´evolution des invariants de Riemann, puis des ´equations (13) permettant de remonter aux variables physiques de pression et de d´ebit. Cette approche est justifi´ee par le fait que la vitesse de d´eplacement de la coulisse est n´egligeable devant la vitesse de d´eplacement du son dans l’air, et par e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 27-32 cons´equent le syst`eme peut ˆetre consid´er´e comme quasi- statique lors des changements de notes de consigne. La fonction playsnd de Scilab (voir [4]) permet d’“´ecouter” l’effet sonore du contrˆole, et le r´esultat obtenu est assez r´ealiste, puisque l’on entend bien l’effet transitoire de raccourcissement du tuyau. 0 5000 10000 15000 20000 25000 0.360 0.365 0.370 0.375 0.380 0.385 0.390 0.395 0.400 0 5000 10000 15000 20000 25000 -0.22 -0.20 -0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 Fig. 5. ´Evolution de la longueur du tuyau et de la vitesse de d´eplacement de la coulisse V. Conclusion et perspectives `A pr´esent que le probl`eme de stabilisation d’une note de r´ef´erence est r´esolu, au moins sur le plan m´ethodologique, et valid´e en simulation, nous allons tester la robustesse des commandes fronti`eres propos´ees lorsqu’on tient compte du comportement non lin´eaire de l’embouchure, mais aussi de ph´enom`enes de pertes visco-thermiques et de frottements dans le tuyau. Le mod`ele physique se complexifie puisqu’il fait alors apparaˆıtre un terme en d´eriv´ee fractionnaire par rapport au temps de la variable de pression ou de d´ebit (voir par exemple [16], [13], [14]) : (∂2 t + ǫ∂ 3 2 t )p − c2 ∂2 xp = 0, (54) o`u ǫ > 0 est une petite constante positive de l’ordre de 10−3 , caract´eristique des effets visco-thermiques et inver- sement proportionnelle au rayon du tube acoustique, sous l’hypoth`ese de tubes “larges” (i.e. de rayon sup´erieur `a 4mm). D’autre part, si on ne n´eglige plus les pertes, il faut envi- sager un contrˆole du d´ebit d’air au niveau de l’embouchure pour compenser ces pertes visco-thermiques. Enfin, pour valider exp´erimentalement notre approche, nous d´eveloppons le prototype r´eel de flˆute `a coulisse de la Figure 1, dans le cadre des projets m´ecatroniques des ´el`eves ing´enieurs de l’´Ecole des Mines de Paris, qui sera ´equip´e au niveau de l’embouchure d’un syst`eme permet- tant de d´elivrer une pression d’alimentation, et `a l’autre extr´emit´e x = L, d’un moteur permettant d’asservir la cou- lisse. R´ef´erences [1] B. d’ANDR´EA-NOVEL, F. BOUSTANY, F. CONRAD, B.P. RAO, “Feedback Stabilization of an hybrid PDE-ODE System : Application to an Overhead Crane”, MCSS Journal, Vol. 7, pp. 1-22, (1994). [2] B. d’ANDR´EA-NOVEL, J.-M. CORON “Exponential stabiliza- tion of an overhead crane with flexible cable via a back-stepping approach”, Automatica, 36, pp. 587-593, (2000). [3] B. d’ANDR´EA-NOVEL, J.-M. CORON, “Stabilization of an overhead crane with a variable length flexible cable”, Compu- tational and Applied Mathematics, Vol. 21, No. 1, pp. 101-134, (2002). [4] B. d’ANDR´EA-NOVEL, J.-P. CHANCELIER, “Scilab comme outil p´edagogique d’enseignement en “Acoustique-Informatique- Automatique pour la Musique””, proceedings CIFA2006, Bor- deaux, (2006). [5] J.-M. CORON, B. d’ANDR´EA-NOVEL, G. BASTIN, “A Lya- punov approach to control irrigation canals modeled by the Saint-Venant equations”, Proceedings CD-ROM of the European Control Conference, Paper F1008-5, Karlsruhe, Germany, Sep- tember (1999). [6] J.-M. CORON, B. d’ANDR´EA-NOVEL, G. BASTIN, “A strict Lyapunov function for boundary control of hyperbolic systems of conservation laws”, accepted for publication in the IEEE Tran- sactions on Automatic Control, (2006). [7] J.-M. CORON, J. de HALLEUX, G. BASTIN, B. d’ANDR´EA- NOVEL, “On boundary control design for quasi-linear hyperbo- lic systems with entropies as Lyapunov functions”, 41-th IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, USA, pp. 3010- 3014, December (2002). [8] P. DEPALLE, “Traitement de la parole, fragments d’acoustique physique”, Polycopi´e de cours de l’´Ecole Sup´erieure d’´Electricit´e, 10614/.a1994, (1994). [9] J. de HALLEUX, C. PRIEUR, J.-M. CORON, B. d’ANDR´EA- NOVEL, G. BASTIN, “Boundary feedback control in networks of open channels”, Automatica, 39, pp. 1365-1376, (2003). [10] B. FABRE, A. HIRSCHBERG, “Physical Modeling of Flue Ins- truments : A Review of Lumped Models”, Acustica, 86, pp. 599- 610, (2000). [11] R.D. FINCH, “Introduction to Acoustics”, Pearson, Prentice Hall, (2005). [12] N.H. FLETCHER, T.D. ROSSING, “The physics of musical ins- truments”, Springer, 2nd Edition, (1998). [13] D. MATIGNON, “Repr´esentations en variables d’´etat de mod`eles de guides d’ondes avec d´erivation fractionnaire”, m´emoire de th`ese de l’Universit´e de Paris-Sud, Orsay, (1994). [14] D. MATIGNON, B. d’ANDR´EA-NOVEL, P. DEPALLE, A. OUSTALOUP, “Viscothermal losses in wind instruments : a non integer model”, U. Helmke, R. Mennicken and J. Sauer Editors, Systems and Networks : mathematical theory ans applications, Vol. II, 79, pp. 789-790, Akademie Verlag, (1994). [15] J. PIERCE, “Le son musical, musique, acoustique et informati- que”, Ed. Belin, Pour la Science, (1984). [16] J.-D. POLACK, “Time domain solution of Kirchhoff’s equation for sound propagation in viscothermal gases : a diffusion pro- cess”, J. Acoustique, 4, pp. 47-67, (1991). [17] D. SERRE, “Syst`emes de lois de conservation”, Diderot Editeur, Arts et Science, Paris, (1996). [18] M.P. VERGE, R. CAUSS´E, B. FABRE, A. HIRSCHBERG, A.P.J. WIJNANDS, A. Van STEENBERGGEN, “Jet oscilla- tions and jet drive in recorder-like instruments”, Acta Acoustica, 2, pp. 403-419, (1994). [19] H. YOUNG, R. FREEDMAN, “University Physics”, Sears and Zemansky’s, 11th Edition, Addison Wesley, (2004). e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 27-32