Une méthodologie pour la synthèse de systèmes de commande tolérants aux défauts

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19910
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Une méthodologie pour la synthèse de systèmes de commande tolérants aux défauts

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	    <date dateType="Created">Sat 23 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 23 Sep 2017</date>
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INTRODUCTION La commande tolérante aux défauts (FTC pour Fault Tolerant Control) est devenue un domaine de recherche très actif ces dernières années. En FTC, on cherche à maintenir des marges de stabilité suffisantes et les meilleures performances possibles en dépit de l’existence d’un défaut. Les approches de commande tolérante aux défauts peuvent être classifiées en deux catégories : - L’approche SDVVLYH consiste à concevoir des contrôleurs robustes vis-à-vis d’une certaine classe de défauts prédéfinis. Les approches proposées sont basées sur le scénario correspondant aux défauts de plus grand degré de sévérité (voir [15,16] pour un aperçu). Par conséquent, en fonctionnement normal, il en résulte souvent une dégradation des performances du système commandé. - L’approche DFWLYH (AFTC pour Active Fault Tolerant Control) réagit activement en reconfigurant la loi de commande après l’apparition d’un défaut. Avec cette approche, pour un fonctionnement nominal (sans défaut), le système commandé garde un haut niveau de performance puisque la partie FTC n’agira seulement que lorsque le défaut est détecté par un module de diagnostic au sens large (redondance matérielle ou redondance analytique). Dans ce papier, nous nous posons dans un contexte d’approches actives de FTC qui utilisent un critère de performance de type +q . De nombreuses études ont contribué au développement dans ce domaine [15]. Des stratégies à base de modèles de référence ont été proposées dans [10,14]. L’idée est de déterminer un correcteur tolérant tel que le transfert de la boucle fermée approxime au mieux, au sens de la norme +q , un modèle de référence. La difficulté de cette approche réside dans le choix de ce modèle de référence. D’autres approches utilisent le concept de correcteurs linéaires à paramètres variants dans le temps (LPV). Dans [9], l’idée consiste à utiliser le vecteur de résidus pour paramétrer le correcteur FTC. Le problème de synthèse de la loi de commande FTC est alors reformulé dans un contexte classique de synthèse de loi de commande LPV. La méthode de résolution est basée sur la minimisation d’un critère de performance de type +q quadratique. Dans [2,17], la méthode utilise la synthèse +q standard pour concevoir un correcteur nominal, et la paramétrisation de Youla pour reparamétrer le correcteur obtenu de façon à le rendre robuste vis-à-vis des défauts. L’architecture proposée dans [11] utilise la paramétrisation duale de Youla afin de quantifier l’ensemble des procédés défaillants, stabilisables par le correcteur calculé. Cependant, afin d’éviter la dégradation des performances due aux imperfections du module de diagnostic, les auteurs proposent de rendre actif en permanence la loi de commande. Par conséquent, l’approche proposée devient équivalente à une méthode de FTC passive. Un autre problème important rencontré en FTC lorsque l’on commute la loi de commande FTC, est le problème des régimes transitoires des signaux de commande et de sortie du système. Conceptuellement, ce problème est lié à la discontinuité pouvant exister entre l’état de la loi de commande pilotant le système et celui du correcteur qui commute. Afin de limiter ces effets, différentes solutions ont été proposées. Dans [13], les auteurs proposent une stratégie qui consiste en la reparamétrisation des correcteurs afin d’introduire un état partagé par tous les régulateurs. Cependant, la méthode n’est développée que dans un contexte monovariable. Dans [12], le cas multivariable est considéré. L’approche consiste à contrôler l’état du correcteur hors ligne via une matrice de gain. Cette dernière est synthétisée telle que les phénomènes transitoires sur les entrées/sorties du système soient minimisés au sens d’un critère quadratique. EL JÉRÔME CIESLAK, DAVID HENRY, ALI ZOLGHADRI LAPS, UMR 5131 CNRS – Université Bordeaux 1 351 cours de la libération, 33405 Talence Cedex , France http://www.laps.u-bordeaux1.fr/aria jerome.cieslak@laps.u-bordeaux1.fr; david.henry@laps.u-bordeaux1.fr; ali.zolghadri@laps.u-bordeaux1.fr Une méthodologie pour la synthèse de systèmes de commande tolérants aux défauts e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 19-26 Dans ce papier, nous proposons une méthodologie qui prend en compte les problèmes mentionnés précédemment en FTC. La stratégie AFTC proposée fonctionne telle que lorsque aucun défaut n’ est présent sur le système, la boucle tolérante n’ agit pas. Le système est donc commandé par une loi de commande standard que l’ on appellera par la suite loi de commande nominale. En revanche, lorsqu’ une défaillance est détectée par le module de diagnostic, la boucle tolérante est activée et agit sur le signal de commande du système pour compenser l’ effet du défaut. Cette idée a été initialement proposée dans [17]. Le papier est organisé de la façon suivante. Tout d’ abord, nous présentons les notations qui seront utilisées tout au long de ce papier. Le paragraphe III est consacré à la formulation du problème FTC. Le paragraphe IV présente l’ approche proposée pour résoudre le problème de la commande tolérante aux défauts. Le paragraphe V présente la solution au problème lié à la commutation et finalement, dans le paragraphe VI, des résultats issus des simulations d’ un benchmark aéronautique sont présentés. II. NOTATIONS La norme  des signaux, par exemple Z W ou Z, est notée 2/1 2 2 )(     = ∫ ∞ ∞− GWWZZ . Les modèles linéaires, par exemple 3(V) ou simplement 3, sont supposés appartenir à ∞5+ soit ∞<=∞ ))((sup ωσω M33 , où )( $σ représente la plus grande valeur singulière de $. Tout au long de ce papier, il est supposé que DSSDUWLHQt à une structure ∆ . On a : { }&&, ,,,GLDJEORFN rstsusrvr wtv wtwuv wu xyzxzx yzyzy ∈∆∈ℜ∈∆∆ =∆ + + ,,),,...,, ,...,,,...,( 1 11 11 δδδ δδδ où {|}~ ,δ , L «P , €‚ƒ„… , + δ , M «P† et ‡ˆ∆ , O «P† sont respectivement connus sous la terminologie « blocs réels répétés », « blocs complexes répétés » et « blocs complexes pleins ». Nous assurons que nombre d’ incertitudes et erreurs de modélisation peuvent être considérées grâce à ce formalisme (e.g. incertitudes paramétriques de dépendance polynomiale rationnelle, dynamiques négligées voir [5] par exemple). )‰ et )Š sont utilisés pour représenter respectivement la représentation linéaire fractionnaire haute et basse : Soit       = 2221 1211 33 33 3 tel que       =      X 3 \ ηε , alors : 21 1 221211 )(),( 3.3,.33.3)‹ − −+= 12 1 112122 )(),( 33,333)Œ − ∆−∆+=∆ )(0∆µ dénote la valeur singulière structurée de la matrice 0 par rapport à la structure ∆ . )(0∆µ est défini de la façon suivante : { }0)det(:)(min 1 )( =∆−∆ =∆ 0, 0 σ µ 0)( =∆ 0µ si aucun signal rends ,-0 VLQJXOLère. III. POSITIONNEMENT DU PROBLEME Considérons le schéma standard représenté par la Fig. 1 (pas de défauts) où . est un correcteur quelconque. )Ž (3 représente la famille de modèles du système considéré telle que 1: ≤∆∆∈∆ ∞ . Le bloc représente les incertitudes de modélisation (incertitudes structurées et non structurées). X correspond au signal de commande appliqué au système et \ représente les sorties mesurées du système. Les perturbations exogènes sont notées G, et H représente les signaux à contrôler. Les signaux et ε sont internes au modèle. Par la suite, nous nous focalisons sur les défauts actionneurs pour la clarté de la présentation. Cependant, les techniques proposées peuvent être généralisées aux cas des défauts capteurs et composants. Figure 1. Configuration standard d’ une commande par retour de sortie Le système en fonctionnement défaillant peut alors être modélisé par le modèle LTI (linéaire temporellement invariant) :            Ψ−+      += Ψ−+      +=      Ψ−+      += X,' G '[&\ X,' G '[& H X,% G %$[[ 3 )( )( )( : 22122 12111 21 η ηε η (1) où le terme est introduit pour modéliser les défaillances de S actionneurs. Une défaillance du L  ‘D’ actionneur est décrit par : ( )“”””GLDJ 0,...,0,,0,...,0 111 +−=Ψ ψ 0=•ψ correspond à une situation non défaillante, tandis que 1=–ψ indique la perte totale du L —˜ ™¨š actionneur. Le problème de commande tolérante aux défauts peut alors être formulé comme suit : 3UREOqPH  Supposons que le système décrit par l’ équation (1) est stabilisable Ψ∀ ; on parle alors de compensabilité des effets des défauts. Soulignons que ce problème reste actuellement ouvert et très peu traité dans la littérature. Quelques pistes sont néanmoins données dans [3] ainsi que dans ce papier sur un exemple aéronautique. En utilisant l’ algèbre des représentations linéaires fractionnaires (LFT), (1) peut s’ écrire comme la LFT haute )› (3œ  œ ) où 1≤∆ ∞  représente toute normalisation faite, un bloc d’ incertitudes traduisant les défauts actionneurs. Le but est alors de concevoir un correcteur . ~ qui vérifie les relations (voir Fig. 2) :       = += \ X )U U.XX ž ž ~ (2) .Ÿ 3 X \ ε HG e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 19-26 Figure 2.a. Figure 2.b Figure 2. Problème de synthèse de la boucle tolérante aux défauts où X  est le signal de sortie du correcteur .  , U représente le signal indicateur de défaut, et ) correspond au filtre de diagnostic, tel que : - la stabilité du système bouclé représenté par les schémas blocs de la Fig. 2 soit garantie pour toutes les erreurs de modèle et les défauts considérés, soit : ( ) { }),(ˆ,1))( ~ (sup 1;1:, 1),(, ~ 11ˆ 11 ¡ ¡¡ ¡¢ GLDJM3 GLDJ3) ∆∆=∆<⇔ ≤∆≤∆∆∆∀ <∆∆ ∆ ∞∞ ∞ ωµ ω (3) - les objectifs de performances de commande que l’ on souhaite atteindre en présence des défaillances considérées et des incertitudes de modèle, soient vérifiés : ( ) { })’,,( ~ ,1))( ~ (sup 1;1:,1 ~ , ~ ~ ∆∆∆=∆<⇔ ≤∆≤∆∆∆∀<∆ ∆ ∞∞∞ £ ££¤ GLDJM3 3) ωµ ω (4) où         = 2221 1211 ~~ ~~ ~ 33 33 3 et           ∆ ∆ ∆ =∆ ’ ~ ¥ sont déduits de (1), (2), )(V) et )( ~ V. . ’∆ est un bloc d’ incertitude de performance fictif utilisé pour fermer la boucle entre les signaux ] et G (voir Fig. 2). 5HPDUTXH  On suppose que les blocs d’ incertitudes sont normalisés, les pondérations relatives aux défauts et aux objectifs de performance à satisfaire ayant été inclus dans 3¦ (et par conséquent §~ ). Notons que le correcteur . ~ doit permettre de garantir les performances FTC souhaitées pour tout défaut appartenant à l’ intervalle borné L¨¨© ∀<<< ,1:0 ψψ δδψ . Bien sûr, plus cette borne ªψδ est élevée, moins bonne sont les performances FTC ce qui peut conduire, d’ un point de vue pratique, à synthétiser un banc de correcteurs . ~ pour différent degré de sévérité du défaut. Idéalement, lorsque aucun défaut n’ apparaît, le résidu U est identiquement nul. Alors X=X« et le système est contrôlé seulement par le correcteur .« . En d’ autres termes, le correcteur ¬~ est seulement actif quand 0≠U  c'est-à-dire quand un défaut est détecté par l’ algorithme de diagnostic. Cependant, en pratique, U n’ est pas identiquement nul. Il en résulte d’ après (2) que ­XX ≠ même en fonctionnement normal. Par conséquent pour un fonctionnement non défaillant, les performances du système contrôlé peuvent être dégradées. Figure 3. Architecture FTC associée à une logique de commutation Afin de s’ affranchir de ce problème, une logique de commutation pilotée par le test de décision du module de diagnostic, est implantée conformément au schéma de la Fig. 3. La boucle FTC est ainsi activée seulement quand un défaut a été détecté par le module de diagnostic. Il est important de mentionner qu’ avec l’ architecture de la figure 3, le système en boucle fermée n’ est plus linéaire temporellement invariant. La logique de commutation utilisée peut apporter un comportement dynamique indésirable de la boucle fermée. La stabilité de cette dernière peut même être affectée. Une solution, permettant de minimiser d’ un point de vue pratique ces problèmes, sera proposée dans le paragraphe V. IV. SYNTHESE DU CONTROLEUR . ~ Considérons le schéma présenté en Fig. 2. Nous supposons disposer du filtre de diagnostic ) et de l’ algorithme de prise de décision. Par définition, ] représente les signaux à contrôler et peut être partitionné comme suit ®¯¯¯¯ )( 321= . 1 °±² → est utilisé pour se référer à la fonction de sensibilité 6, 2 ³´µ → pour la fonction de sensibilité de la commande 5, et 3 °±² → pour la fonction de sensibilité complémentaire 7. Ces dernières sont définies telles que : a ¶¸· + ¹~ º~ » ¼—½¾ ½ ¾ ¿ À Á η~ ‰ÃhÄ3Å ¿ à ¿‚Æ3Ç"ÈÄ ÈÉ ¦Ê Ë ε~ Ì É ¾ Ç3Í Ã‡»—‚Πa ¶ · + Ï~ Ð~ » ¼ ½¾ ½ ¾ ¿ À Á a ¿ Á Ñ ∆ ~ Ë         = 2221 1211 ~~ ~~ ~ ÒÒ ÒÒÒ e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 19-26 1 )( )()( ~ )()( )()(1 − →                       +−= = , V. V)V.V.V*, V6V7 Ó Ó ÔÕ (5) )( )( )()( ~ )( )()(2 V6 , V. V)V.V. V5V7 Ö Ö ×Ø               += =→ (6) )()()()(3 V5V*V7V7 ÙÚ ==→ (7) où )),(),(()( ÛÛÜ GLDJV3)V* ∆∆= . En utilisant l’ algèbre des LFT, le système représenté sur la Fig. 2.a peut se ramener au schéma de la Fig. 4 où le modèle augmenté Ý3 ~ est déduit de 3Þ , .ß et ). Le problème de conception du correcteur tolérant aux défauts . ~ se pose alors en terme de problème de synthèse de loi de commande standard qui peut être résolu en utilisant n’ importe quelle méthode de conception de loi de commande robuste. Figure 4. Problème de commande à résoudre Ici, nous proposons d’ utiliser l’ approche sensibilité mixte qui utilise un critère de performance de type +à . Ainsi, il existe une solution au problème de synthèse de . ~ si et seulement si : ( ) 1)( ~ sup ~ <∆ ωµ ω M3 (8) De nombreux auteurs ont développé des méthodes de synthèse permettant de résoudre ce problème. Aussi, nous ne présenterons pas ici la méthode de synthèse du correcteur . ~ . Il est en effet possible d’ utiliser directement une procédure de -synthèse ou bien encore une procédure de synthèse +à , suivie d’ une procédure de -analyse. Nous invitons donc le lecteur intéressé à se référer à la liste non exhaustive des travaux présentés dans [6, 7, 8]. Il est important de mentionner que dans beaucoup d’ applications industrielles, le correcteur nominal .ß est déjà en place et ne peut pas être remplacé. Or, la méthode proposée permet de concevoir la boucle FTC indépendamment de .ß . Cela constitue un grand avantage d’ un point de vue pratique. V. SOLUTION AU PROBLEME LIE A LA COMMUTATION L’ autre problème important que l’ on rencontre lors de l’ activation de la loi de commande FTC est le problème des régimes transitoires des signaux de commande et de sortie du système. Ce problème est lié à la discontinuité pouvant exister entre l’ état de la loi de commande commandant le système et celui de la loi de commande FTC qui commute. La figure 5 illustre la solution retenue pour s’ affranchir de ce problème. L’ idée consiste à asservir à l’ aide d’ une matrice de gain )á , le signal X~ à zéro et le signal à la valeur de U tel que :            = = U [ ) .X â ~ ~~ α α (9) où [~ et représentent respectivement l’ état du correcteur . ~ et son signal de commande avant la commutation. )á désigne la matrice de gain à synthétiser. On peut imaginer différentes approches pour synthétiser )á . Ici, nous reprenons l’ idée proposée par [12] qui consiste à déterminer )á minimisant le critère quadratique suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )∫ ∞ += ã ä å æ å GWWUW:WUWWX:WX   X- ααα ~~,~ (10) :ç et :è sont des pondérations constantes définies positives de dimensions appropriées. :ç et :è permettent de fixer les objectifs à atteindre : - Si :ç est choisi grand, alors on cherche à minimiser l’ énergie du signal X~ . On cherche donc à limiter la discontinuité du signal de commande X. En effet, soit Wá l’ instant où un défaut est détecté par le test de décision. Alors, Wá est aussi le temps où . ~ commute. Il vient alors que si ( ) 0~ éWX , on a ( ) ( )êëê WXWX  . Il n’ existe donc pas de phénomène de discontinuité sur la commande X du procédé. - Si au contraire, :è est grand, on cherche alors à minimiser l’ énergie du terme -U. Le même raisonnement mené précédemment peut être reproduit sur le signal -U. Ainsi, on a ( ) ( )ìì WUW α ; il n’ existe donc pas de discontinuité au moment de la commutation entre les signaux et U. Ceci veut donc dire que d’ un point de vue pratique, nous aurons un compromis à gérer quant au choix de :ç et :è . Figure 5. Architecture FTC globale La solution au problème de synthèse de )á s’ énonce alors comme une solution particulière du problème abordé dans [12]. Nous nous contenterons ici d’ énoncer les résultats a íwî + ï~ ð~ ñ ò—óô ó ô õ ö ÷ ø‚ùhúhû õ ù õ‚ü ý"þú þÿ ¡  ¢ [~ £¥¤ η~ ε~ a õ ε~η~ ¦ ~ §3 ~ ¢ ÷ ¨~ © ÿ ô ý ù‡ñ—ø e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 19-26 principaux. Pour de plus amples détails, nous invitons le lecteur intéressé à se référer à [12]. La solution recherchée est donnée par : ( ) ( )( )          :1%:1':&0%: &:'% 1)         Π++ +Π = ~~~~ ~~~ (11) où les matrices 0 et 1 sont données par : 1 )( − Π+=   ! (12) ( )1~~ − +−= "# $ :':'1 (13) et où la matrice Π est la solution stationnaire définie positive de l’ équation algébrique de Riccati : 0=+ΠΠ+Π+Π &%$$ % (14) Les matrices ,, %$ et & sont données par : &:'1%$$ & ' ~~~~ += (15) ( %1%% ~~ = (16) &:'1',:&& ) 0 ) 0 ~ ) ~~ ( ~ += (17) où &%$ ~ , ~ , ~ et ' ~ sont les matrices d’ états du régulateur . ~ 5HPDUTXH   La stratégie proposée est une solution unidirectionnelle puisqu’ elle permet de limiter les sauts de commande lors de la commutation du « mode normal » vers le « mode défaillant ». En effet, soit 2 1W l’ instant où la commutation du « mode défaillant » vers le « mode normal » est effectuée. Alors, au temps précédent la commutation − 2 2W , les signaux de la boucle tolérante vérifient les équations suivantes :            = = U [ ) U.X 3 ~ ~~ α (18) Le signal de commande appliqué au système à − 2 4W est donné par ( ) ( ) ( )−−− += 222 ~ 0 555 WXWXWX . Une fois la commutation effectuée à l’ instant + 2 4W , les signaux de la boucle tolérante vérifient de nouveau l’ équation (9). Il vient alors que ( ) ( )++ = 22 0 66 WXWX . Il apparaît donc clairement que pour ne pas avoir de discontinuité, une condition nécessaire et suffisante est que ( ) 0~ 2 − 7WX . Or, même si ( ) 02 − 8WU (le défaut n’ est plus présent sur le système et l’ algorithme de diagnostic est en régime permanent), le signal de commande X~ délivré par le correcteur tolérant . ~ peut lui être en régime transitoire d’ où ( ) τ− 2 ~ 9 WX . Cette propriété traduit tout simplement qu’ à l’ instant − 2 @W , la stratégie FTC est toujours opérante et que par conséquent aucune modification quant à l’ état du correcteur . ~ n’ est permise sous peine de modifier les performances FTC. En d’ autres termes, la discontinuité liée à la commutation « mode défaillant » vers le « mode normal » est donc liée à la dynamique propre de la boucle FTC, toujours opérante au moment où l’ on va commuter. VI. EXEMPLE DE SIMULATION Dans ce paragraphe, nous présentons quelques résultats de simulation, obtenus sur le benchmark aéronautique +L0$7 [1]. Ce benchmark modélise les dynamiques longitudinales d’ un avion de chasse testé dans les années 1970. Cet avion possède la particularité de ne pas avoir d’ empennage arrière et d’ avoir deux ailerons en plus de façon à améliorer sa manœuvrabilité. Le modèle dispose de deux entrées de commande : les élevons et les canards. On notera respectivement A et B les angles que font ces gouvernes par rapport à l’ horizontal. Ces angles seront exprimés an radians. L’ avion est équipé de deux capteurs qui mesurent l’ angle d’ attaque et l’ assiette , exprimés en radians. Le modèle d’ état du système est donné par les relations suivantes :               −− − −−−− = − − − 0100 063.217.123.1 083.99.10 21.389.166.326.2 12 1 1112 HH H HHHH $ (19)               − − = − 00 24.278.7 014.4 00 11 1 HH H % (20)         = 1 1 73.5000 0073.50 H H & (21)       = 00 00 ' (22) L’ objectif de commande est de réaliser une translation verticale en vol. L’ assiette est gardée constante alors que l’ angle d’ incidence varie. La figure 6 illustre ce scénario. Le défaut considéré est une variation anormale de gain de 20% dans les élevons. Figure 6. Objectif de commande pour +L0$7 Les gains principaux du correcteur nominal .C en place sur le système sont donnés sur la figure 7. Ce correcteur permet de satisfaire aux objectifs de performance de l’ avion en vol longitudinal (faible dépassement des signaux de commande [δD δE ]T et de sortie [α θ]T ). Cette loi de commande a été calculée afin de maintenir l’ avion dans son enveloppe de vol. Valeurs singulières de Ko Fréquence (rad/sec) Valeurssingulières(dB) 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 Figure 7. Gains principaux du correcteur .C élevons canards Translation verticale en vol e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 19-26 $ $QDO\VH GX PRGH GpIDLOODQW Si l’ on revient au modèle du système défaillant donné par (1), il apparaît que pour certaines amplitudes de défauts Fψδ , le système commandé par .C peut devenir instable. C’ est ce que nous nous proposons d’ analyser et de quantifier ici sur le cas +L0$7. Sachant que tout régulateur peut être exprimé sous la forme d’ un retour d’ état estimé, la stabilité de la boucle de commande nominale est liée aux valeurs propres de la matrice suivante : ( ) ( )       − Ψ−Ψ−− = /&$ ,%,%$ $GIH 0 KK (23) où $, %, & et ' sont les matrices de représentation d’ état du modèle +L0$7 données par (19), (20), (21) et (22). K et / sont respectivement les gains de retour d’ état et de l’ observateur associé à .C . Rappelons que le terme est introduit pour modéliser les défaillances de S actionneurs et qu’ une défaillance du L P Q RTS actionneur est décrit par : ( )UVVVGLDJ 0,...,0,,0,...,0 111 +−=Ψ ψ Par conséquent, toute variation anormale de gain dans les élevons est modélisable par :       =Ψ 00 01ψ (24) Le système commandé par .C est donc stable en fonctionnement défaillant pour le défaut actionneur considéré si et seulement si : { }{ } ( ){ }{ } { }{ }   <−ℜ <Ψ−−ℜ ⇔<ℜ 0 0 ,0 /&$HHW ,%$H $H WIX λ λ λ K (25) où le terme {$E Y } fait référence aux valeurs propres de la matrice $EIY . On peut alors montrer que la condition définie par (25) est vérifiée tant que [ ]1.0;01 ∈ψ . C'est-à-dire que la boucle nominale stabilise le système pour un défaut sur les élevons tant que la variation de gain reste inférieur à 10%. % &RQGLWLRQ GH FRPSHQVDELOLWp Comme nous l’ avons déjà dit, la méthodologie FTC proposée est basée sur l’ hypothèse de défaut compensable. Dans notre cas, cette condition est strictement équivalente à un problème de commandabilité 1ψ∀ (voir équation (24)). La matrice de commandabilité est définie de la façon suivante : ( ) ( )[ ]Ψ−Ψ−= − ,%$,%& ` ` 1  (26) où Q correspond aux nombres d’ états du modèle +L0$7 (soit Q=4). $ et % sont donnés SDU  HW  HW HVW GRQQé par (24). En effectuant un changement de base, on peut projeter la réalisation ( ) ( )( )Ψ−Ψ− ,'&,%$ ,,, dans l’ espace commandable à l’ aide d’ une décomposition en valeurs singulières de &a , soit : b c dd &698 = (27) Le changement de base cherché est alors donné par la matrice de projection 8e : les Qe premières colonnes de la base génèrent l’ espace directement commandable et les Q-Qe , l’ espace non directement commandable. On obtient ainsi la réalisation d’ état dans l’ espace commandable ( ) ( )( )ΨΨ ffff '&%$ ,,, par simple transformation d’ état par la matrice 8e , soit : ggg $88$ 1− = (28) ( ) ( )Ψ−=Ψ − ,%8% hh 1 (29) ii &8& = (30) ( ) ( )Ψ−=Ψ ,''p (31) Les résultats obtenus montrent que ( ) 0=Ψq' (ce qui se justifie aisément puisque '=0, voir (22)), et que ( )Ψr% ne contient pas de lignes de zéros 1ψ∀ . Tout l’ état est donc entièrement commandable 1ψ∀ . En d’ autres termes, l’ état du système défaillant peut être directement déplacé par la commande FTC XXX s ~+= . Les défauts actionneurs considérés sont donc compensables. & 6\QWKqVH GH OD ERXFOH )7& La boucle FTC est implantée dans le simulateur +L0$7 comme présentée sur la Fig. 8. Notons, encore une fois, que le correcteur nominal .t , supposé certifié, n’ est pas altéré. Figure 8. Implantation de la boucle FTC sur le simulateur +L0$7  6\QWKqVH GH O¶DOJRULWKPH GH GLDJQRVWLF Le filtre de diagnostic ) que nous avons retenu pour cette application est un observateur de Luenberger dont nous avons fixé arbitrairement les pôles à [-10, -13, -15, -16]. Le choix des pôles conditionne bien évidemment les performances globales du système tolérant aux défauts. Ce point n’ est pas discuté dans ce papier, mais le lecteur intéressé peut se référer à [4,16] où des lignes directrices sont données. Soulignons tout de même qu’ il s’ agit d’ un problème délicat qui devra faire l’ objet d’ une analyse plus approfondie. L’ algorithme de décision choisi est un simple seuillage des résidus à une valeur judicieusement choisie.  6\QWKqVH GH . ~ Les défauts considérés étant compensables (voir paragraphe B), le correcteur tolérant . ~ peut être calculé suivant la procédure explicitée dans le paragraphe IV. Pour cela, la méthode de synthèse est basée sur l’ approche +u sensibilité mixte. Les pondérations :v et :w respectivement sur la fonction de sensibilité 6 et la fonction de sensibilité de la commande 5 (voir (5) et (6)), sont déterminées telles que lorsqu’ une défaillance sur les élevons apparaît, le système revient aussi vite que possible vers son point de fonctionnement avec un dépassement sur la commande [δx δy ]T et sur la sortie [α θ]T le plus petit possible, soit :       + + + + ≈ 110.2.5 15.0 8000, 1200 114.1 145)( 31 € € € € ƒ‚ „†…€‡ (32) ˆ‰ ‘“’ ”–•˜— ™d egf ’ h h fikj         l mn l mn θ α       θ α   oqpgrs h tvuw—yx e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 19-26 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -5 0 5 10 Sorties mesurées avec un défaut élevons de 20% Angledincidence(deg) sans FTC FTC sans Fs FTC avec Fs 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -5 0 5 10 15 Temps (s) Assiette(deg) sans FTC FTC sans Fs FTC avec Fs 222 14000/ 1400/ 5.0)( × + + ≈ , V V V: (33) Notons qu’ à travers notre choix de :z , nous avons réduit la bande passante du système bouclé par rapport à la boucle nominale. D’ un point de vue pratique, cela représente une moindre sollicitation des élevons, ceux-ci n’ étant plus fonctionnels qu’ à 80% (i.e. défaut à 20%). Valeurs singulières du correcteur tolérant aux défauts Fréquence (rad/sec) Valeurssingulières(dB) 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 Figure 9. Gains principaux du correcteur . ~ Les caractéristiques du correcteur tolérant aux défauts . ~ sont présentées sur la figure 9 à travers le tracé de ses gains principaux. Afin de vérifier que les objectifs de performance souhaités soient bien atteints, les gains principaux des fonctions de sensibilité 6 et 5 sont tracés versus les pondérations :z et :{ . La figure 10 illustre les résultats obtenus. Clairement, on constate que :       < )( 1))(( 1 ω σωσ M: M6 (34)       < )( 1))(( 2 ω σωσ M: M5 (35) ce qui illustre bien que les objectifs de performance sont atteints. Valeurssingulières(dB) 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -100 -50 0 Fréquence (rd/s) Valeurssingulières(dB) 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 -80 -60 -40 -20 0 Fréquence (rd/s) σ(S(jω)) σ(S(jω)) σ(1/W1 (jω)) σ(1/W1 (jω)) σ(1/W2 (jω)) σ(R(jω)) σ(R(jω)) Figure 10. Post analyse du système bouclé  6\QWKqVH GH )| Ensuite, la stratégie pour réduire les transitoires indésirables lors de la commutation est appliquée. Les pondérations :} et :~ du critère (10) sont choisies telles que : 22*5.10 ×= ,: (36) 22×= ,:€ (37) Ce choix résulte d’ un compromis entre « minimiser le saut du signal de commande X » et « minimiser le saut du signal d’ entrée de . ~ ».  5pVXOWDWV GH VLPXODWLRQ Finalement, la stratégie FTC complète est implantée dans le simulateur +L0$7. Les figures 11 illustrent les résultats de simulation. Les références ont été fixées à ၠ‚ƒ =5° et θ ‚ƒ =5°. A W=60s, l’ angle d’ attaque ၠ‚ƒ passe à zéro. La défaillance sur les élevons apparaît quant à elle à W=15s et reste persistante. Afin d’ illustrer le potentiel de la méthode proposée, la même simulation est effectuée lorsque le système est seulement contrôlé par le correcteur nominal .„ (pas de FTC), et lorsque la stratégie FTC est présente sans la stratégie de réduction des transitoires. Comme on peut le voir sur les Fig. 11, lorsque l’ architecture FTC n’ est pas en place, l’ avion devient instable. Ce résultat est tout à fait conforme à celui obtenu dans le paragraphe A. En revanche, lorsque la boucle FTC fonctionne, le système bouclé reste stable. De plus, on peut constater que la présence de la stratégie de réduction des transitoires permet de limiter les sauts de commande sur les élevons et les canards, et par conséquent, les sauts sur l’ assiette et l’ angle d’ incidence. Ceci traduit d’ un point de vue confort de vol, un nombre de J encaissé par le pilote très faible (quasiment nul étant donné les résultats obtenus). Figure 11.a. Comportement de (en haut) et (en bas) VII CONCLUSION ET PERSPECTIVES Dans ce papier, une méthode pour la synthèse de loi de commande tolérante aux défauts active a été présentée. La stratégie est applicable aux systèmes pouvant être modélisés par des modèles LTI, multivariables et incertains. La méthodologie proposée est développée dans un contexte +…  . L’ un des avantages majeurs de l’ approche proposée est que le fonctionnement nominal n’ est pas altéré lorsque aucun défaut n’ est détecté par le module de diagnostic. Plusieurs directions de recherche peuvent faire l’ objet de travaux ultérieurs. En premier lieu, il s’ agit de clarifier davantage les liens entre le filtre de diagnostic et les performances de la loi de commande tolérante. En d’ autres e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 19-26 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -2 -1 0 1 2 signaux de commande de HiMAT Elevons(deg) sans FTC FTC sans Fs FTC avec Fs 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -4 -2 0 2 4 Temps (s) Canards(deg) sans FTC FTC sans Fs FTC avec Fs termes, comment intégrer de façons directes les performances du filtre de diagnostic dans la synthèse du correcteur FTC ? Une autre perspective intéressante correspond à la gestion de plusieurs modes défaillants qui pourraient se produire lors d’ un cycle de fonctionnement. Figure 11.b. Comportement de † (en haut) et ‡ (en bas) VIII REFERENCES [1] Balas G.J. Doyle J, Glover K., Packard A. and Smith R. (1991), µ-analysis and synthesis toolbox, W1DWLFN 0$ 086<1 ,QF DQG WKH PDWK ZRUNV ,QF [2] Campos-Delagado D.U. and Zhou K. (2003), Reconfigurable fault tolerant control using GIMC structure, ,((( 7UDQVDFWLRQV RQ $XWRPDWLF &RQWURO, Vol. 48, No. 5, pp. 832-838, Mayo 2003. [3] Chen W. and Jiang J. 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