Mise au point d’un observateur-contrôleur non linéaire pour un modèle réduit de grue

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19909
DOI :

Résumé

Mise au point d’un observateur-contrôleur non linéaire pour un modèle réduit de grue

Métriques

25
4
556.22 Ko
 application/pdf
bitcache://33cf1e1fbddca3cd309f1c73b3d9b29a96408e75

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2007-1/19909</identifier><creators><creator><creatorName>Thomas Devos</creatorName></creator><creator><creatorName>Jean Lévine</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Mise au point d’un observateur-contrôleur non linéaire pour un modèle réduit de grue</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2017</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sat 23 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 23 Sep 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Fri 20 Apr 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">33cf1e1fbddca3cd309f1c73b3d9b29a96408e75</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>33834</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Mise au point d’un observateur-contrˆoleur non lin´eaire pour un mod`ele r´eduit de grue Thomas Devos1 , Jean L´evine1 1 Centre Automatique et Syst`emes 35 Rue Saint Honor´e, 77300 Fontainebleau, France thomas.devos@ensmp.fr, jean.levine@ensmp.fr R´esum´e— Nous ´etudions dans cet article la mise au point d’un observateur de l’´etat d’un mod`ele r´eduit de grue en vue de son utilisation pour le suivi de trajectoire et le re- jet de perturbations. Le mod`ele r´eduit de grue consid´er´e est celui ´etudi´e dans la th`ese [2] (voir aussi [4], [3], [5]). Il est command´e par quatre moteurs `a courant continu. Les observations disponibles sont d’une part les positions des quatre moteurs et d’autre part les coordonn´ees de la charge obtenues `a partir d’images de deux cam´eras temps r´eel. Ces observations servent `a synth´etiser les observateurs propos´es dans cet article. Nous ´etudions principalement deux obser- vateurs, le premier ´etant un filtre de Kalman ´etendu, le se- cond con¸cu `a partir des moindres carr´es sur une fenˆetre glissante. Deux lois de bouclage sont consid´er´ees : un retour d’´etat complet robuste LQR sur le mod`ele lin´eaire tangent et un bouclage dynamique endog`ene lin´earisant stabilisant l’´ecart `a la trajectoire d´esir´ee. Des comparaisons en simula- tions sont pr´esent´ees. Mots-cl´es— commande non lin´eaire de grue, platitude diff´erentielle, suivi de trajectoire, observateur-contrˆoleur. I. Introduction moteur 1 moteur 2 moteur 3 moteur 4 Fig. 1. Mod`ele r´eduit de la grue de la marine am´ericaine Les grues sont g´en´eralement utilis´ees dans les entreprises de construction et dans les ports de marchandises pour d´eplacer les charges d’une position initiale vers une posi- tion finale en ´evitant des obstacles. Grˆace `a l’assistance au pilotage du grutier par des lois de commande, on peut esp´erer am´eliorer la productivit´e notamment au plan du temps de transport des charges et de la s´ecurit´e du tra- vail par conditions ext´erieures difficiles. On peut voir dans [3], [2] que les grues, et plus g´en´eralement toute une classe d’engins de levage, sont des syst`emes plats dont une sortie plate remarquable comprend les trois composantes de la position de la charge. ´Etant donn´ee une trajectoire d´esir´ee pour la sortie plate, on peut en d´eduire directement les commandes en boucle ouverte `a envoyer aux diff´erents mo- teurs pour g´en´erer cette trajectoire. Les oscillations autour de la position finale, que l’on observe g´en´eralement lors de d´eplacements de charges et qui peuvent ˆetre amplifi´ees par des perturbations ext´erieures comme les rafales de vent, peuvent donc ˆetre att´enu´ees `a la fois par le choix de tra- jectoires de r´ef´erence arrivant au repos et du correcteur. Lorsque seules les positions des moteurs sont mesur´ees, comme dans [2], [5], et sans recours `a un observateur, on n’a pas acc`es aux vitesses et le plus commode est de consid´erer que la vitesse est nulle `a l’origine, d’o`u l’utilisation de tra- jectoires arrˆet-arrˆet. Le but de ce papier est de commander la grue en boucle ferm´ee sur l’´etat complet estim´e afin d’ˆetre capable de suivre les trajectoires d´esir´ees tout en annulant les per- turbations ext`erieures, `a partir de n’importe quelle condi- tion initiale erron´ee. On regardera tout d’abord comment ´eliminer les perturbations en ayant uniquement des infor- mations sur la longueur des diff´erents cˆables, puis dans un deuxi`eme temps, on prendra en compte la position de la charge. D’autres approches de la commande de grue ont ´et´e d´evelopp´ees dans [9], [8], [1], [7]. Dans la section III, on pr´esente un mod`ele dynamique simplifi´e de la grue. On utilisera en fait deux mod`eles diff´erents de la grue, bien qu’´equivalents, mais permettant un calcul de la commande plus efficace suivant la nature des mesures effectu´ees sur le syst`eme. Dans la section IV, dans les deux cas, on commence par cr´eer un observateur qui servira, dans la section V, `a nourrir la loi de commande en boucle ferm´ee. On pr´esentera des r´esultats de simulations pour le mod`ele r´eduit de grue de la marine am´ericaine dans la section V. II. Description du mod`ele r´eduit de grue Le mod`ele r´eduit consid´er´e, mis au point au CAS, est la reproduction `a l’´echelle 1/80e d’une grue de la marine am´ericaine (figures 1 et 2). Il a ´et´e r´ealis´e par un designer 1 en 1998 dans une structure en laiton. Il est command´e par 1Walter Rumsey : Artenciel, 24, rue le Regrattier, 75004 Paris, FRANCE. Tel : 01 43 25 73 40, Fax : 01 43 25 73 40 e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 13-18 quatre moteurs `a courant continu dont on peut r´epartir les tˆaches comme suit : – Un moteur pour permettre la rotation de la plate- forme supportant la fl`eche (moteur 4). – Un autre moteur reli´e directement `a la charge pour assurer ses mouvements verticaux (moteur 2). – Un moteur reli´e `a une poulie mobile qui en assure aussi les mouvements verticaux (moteur 3). – Et enfin, un quatri`eme moteur qui agit sur les d´eplacements horizontaux de la charge par l’in- term´ediaire de la poulie mobile (moteur 1). L 2 T 1 ,m 1 T 2 ,m 2 L 1 ( x A C B P O 0 ,y 0 , z 0 ) ( x ,y , z) C4 ,M L 3 ( ( x x 1 2 , , y y 1 2 , , z z1 2 ) ) m r Fig. 2. Grue de l’US Navy en trois dimensions Les moteurs poss`edent des capteurs incr´ementaux qui permettent ainsi `a tout instant de connaˆıtre leur vitesse de rotation ainsi que leur position angulaire et donc les longueurs des diff´erents cˆables (`a condition d’avoir r´ealis´e une initialisation correcte). Nous utiliserons dans la suite les coordonn´ees des points importants de la grue comme la position des poulies fixes (c’est `a dire les poulies en A et P de coordonn´ees respectives (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2), la position de la charge de coordonn´ees (x, y, z) (point C) et la position de la poulie mobile (x0, y0, z0) (point B). Par ailleurs, les trois poulies fixes ´etant align´ees, on a −→ OA = α1 −−→ OP. III. Mod`ele de la grue Pour repr´esenter la grue, nous utiliserons deux mod`eles ´equivalents mais pr´esentant des caract´eristiques diff´erentes pour les simulations et l’analyse de structure. Le premier mod`ele est mis au point `a partir du principe fondamental de la dynamique alors que le deuxi`eme r´esulte de la m´ethode lagrangienne. Dans cette partie, nous allons mod´eliser la grue en n´egligeant la masse de la poulie mobile, tr`es faible devant les autres masses mobiles. Cette hypoth`ese revient `a supposer que la charge, la poulie mobile ainsi que les cables qui les relient aux poulies fixes sont dans le mˆeme plan repr´esent´e dans la figure 3(b). On peut alors d´ecrire la grue en rep´erant ce dernier plan par l’angle ξ, l’angle de rotation de la fl`eche de la grue (voir la figure 3(a)) et l’angle ϕ entre le plan vertical passant par l’axe OA et le plan form´e par les points 0, A, B, C, P, puis les positions des cˆables et de la charge, dans le plan consid´er´e, par les angles γ et β et la longueur L3 (voir la figure 3(b)). Voici les ´equations de base permettant de trouver le mod`ele explicite de la grue ([2]). On d´efinit trois rep`eres diff´erents. Soit Kb le rep`ere principal, Kg le rep`ere corres- pondant `a une rotation d’angle ξ autour de l’axe zb et enfin, le rep`ere K choisi pour que les points A, B, C et P appar- tiennent `a son plan (x, z)(voir figure 3(a)). On passe d’un rep`ere `a un autre par deux matrices de rotation ΩKbKg (ξ) et ΩKgK(ϕ)(voir VII). On peut donc d´efinir les coordonn´ees de la position du point C dans le rep`ere K en fonction des angles γ et β, et de la longueur L3. En notant xK, yK et zK les coordonn´ees de la charge dans le rep`ere K, et α l’angle fixe entre la fl`eche de la grue et la verticale, nous avons les ´equations suivantes : xK = k sin α + L1 sin(γ + (α − β)) + L3 sin(2γ + (α − β)) (1) yK = 0 (2) zK = k cos α + L1 cos(γ + (α − β)) + L3 cos(2γ + (α − β))(3) avec L1 et L2 d´ependant de β et γ. En effet, on a : L1 = l sin β sin γ (4) L2 = l sin(γ − β) sin γ (5) En notant xKb , yKb et zKb les coordonn´ees du point C dans le rep`ere Kb , le principe fondamental de la dynamique appliqu´e `a la charge nous donne la formule suivante : m ¾ ¨xKb ¨yKb ¨zKb + g ¿ = ΩKbKg · ΩKgK ¾ −T3 sin θ 0 T3 cos θ ¿ , (6) o`u θ est l’angle situ´e entre −−→ BC et l’axe z du rep`ere K et T3 la valeur de la tension du cˆable au point C. Enfin, nous avons les trois ´equations suppl´ementaires correspon- dant aux dynamiques des moteurs commandant les cˆables et la plateforme : J1 ρ1 ¨L1 = T1ρ1 − u1 J2 ρ2 (¨L2 + ¨L3) = T2ρ2 − u2 Jpf ¨ξ = projzb T2 −−→ OP × −−→ P B −−→ P B + T1 −→ OA × −−→ AB −−→ AB +u4 (7) avec T1 et T2 la valeur des tensions des cˆables aux points A et P, u1 et u2 les couples d´elivr´es par les moteurs associ´es aux poulies en A et P respectivement et u4 le couple de rotation de la plateforme. En combinant ces diff´erentes ´equations et les change- ments de rep`ere, on peut ´ecrire la dynamique de la grue sous la forme A(x, u) ˙x = b(x, u), ce qui nous permettra ensuite en inversant la matrice A(x, u) d’avoir la forme ex- plicite ˙x = f(x, u). Les quantit´es mesur´ees sont le vecteur y = (ξ, L1, L) o`u L = L2 + L3. Le vecteur d’´etat x de di- mension 10 est donc compos´e des angles ξ, ϕ, γ et β, de la longueur L3 ainsi que leurs d´eriv´ees premi`eres. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 13-18 Une autre m´ethode pour mod´eliser la dynamique de la grue de fa¸con ´equivalente, est d’utiliser le Lagrangien. (voir [3]). Si on n´eglige m0 (masse de la poulie mobile), cette derni`ere n’a plus de dynamique propre, sa position est enti`erement connue `a partir des autres ´equations (dyna- mique sur la position de la charge, sur les longueurs ...). D’apr`es [3] consid´erons le Lagrangien L = 1 2 m( ˙x2 + ˙y2 + ˙z2) + M( ˙x2 2 + ˙y2 2) + m1 ˙L2 1+ m2( ˙L2 + ˙L3)2 − mgz ainsi que les 4 contraintes : 1 2 ((x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 − L2 3) = 0 (8) 1 2 ((x0 − α1x2)2 + (y0 − α1y2)2 + (z0 − α1z2)2 − L2 1) = 0 (9) 1 2 ((x0 − x2)2 + (y0 − y2)2 + (z0 − z2)2 − L2 2) = 0 (10) 1 2 (x2 2 + y2 2 − r2 ) = 0 (11) et introduisons les multiplicateurs (λ1, . . . , λ4) associ´es `a ces contraintes. On obtient : m¨x = λ1(x − x0) (12) m¨y = λ1(y − y0) (13) m¨z = λ1(z − z0) − mg (14) 0 = −λ1(x − x0) + λ2(x0 − α1x2) +λ3(x0 − x2) (15) 0 = −λ1(y − y0) + λ2(y0 − α1y2) +λ3(y0 − y2) (16) 0 = −λ1(z − z0) + λ2(z0 − α1z2) +λ3(z0 − z2) (17) 0 = λ1L3 − λ3L2 (18) m1 ¨L1 = −λ2L1 − u1 ρ1 (19) m3 ¨L3 = −λ1L3 − u2 ρ2 (20) M ¨x2 = −λ2α1(x0 − α1x2) −λ3(x0 − x2) + λ4x2 − u4 r y2 r (21) M ¨y2 = −λ2α1(y0 − α1y2) −λ3(y0 − y2) + λ4y2 + u4 r x2 r (22) avec m la masse de la charge, m1, m2 et M les masses ´equivalentes respectives des moteurs 1, 2 et de la plateforme (c’est `a dire mi = Ji ρ2 i avec ρi le rayon des poulies et M = Jpf r2 ), u1 et u2 les couples d´elivr´es par les moteurs associ´es aux poulies en A et P respectivement et u4 le couple de rotation de la plateforme. IV. Observateurs Nous allons ´etudier dans la suite deux cas diff´erents. Dans le premier cas, on consid`ere que les seules mesures disponibles sont les positions incr´ementales des moteurs, ou ce qui revient au mˆeme y = (ξ, L1, L) (voir equations 4 et 5). Il nous faut donc cr´eer un observateur permettant de reconstruire le vecteur d’´etat pour pouvoir ensuite effectuer une commande par retour d’´etat, par imitation du principe de s´eparation du lin´eaire. Pour ce faire, on a fait le choix le plus courant d’un observateur de Kalman ´etendu. Dans un deuxi`eme cas, on rajoute deux cam´eras qui nous permettent d’obtenir les coordonn´ees x, y et z de la charge. zg,zb Kb yb x z y xg Kg yg (xb,yb,zb)K 00 0 ξ C B A O P D d l-d k (a) Grue en trois dimensions BA P C θ γ β γ θ α−β l d L1 L3 L2 D π−(γ+θ+α) (b) G´eom´etrie de la grue en deux dimen- sions Fig. 3. G´eom´etrie de la grue On utilisera dans ce cas un observateur des d´eriv´ees de ces signaux pour obtenir les d´eriv´ees des coordonn´ees de la charge jusqu’`a l’ordre trois. Ceci nous permet en utilisant la platitude de la grue d’effectuer un bouclage dynamique endog`ene lin´earisant. A. Kalman ´etendu On consid`ere le syst`eme suivant : ˙x = f(x, u) y = h(x) (23) avec le vecteur d’´etat x = (ξ, ϕ, γ, α−β, L3, ˙ξ, ˙ϕ, ˙γ, − ˙β, ˙L3) et la mesure y = (ξ, L1, L). On commence par calculer le lin´earis´e tangent du syst`eme le long de la trajectoire. On obtient ainsi les ma- trices Alin, Blin et Clin permettant de calculer la matrice K du filtre de Kalman. Par souci de simplicit´e, nous omettons ces calculs. L’´equation de l’observateur est de la forme : ˙ˆX = Alin( ˆX − Xref ) + Blin(u − uref ) + K(Y − ˆY ) ˆY = h( ˆX) or on peut ´ecrire Y sous la forme Y ≈ Ceq +Clin(X−Xref ) ≈ h(Xref )+ ∂h ∂X Xref (X−Xref ) avec Xref correspondant `a la trajectoire de r´ef´erence. On utilise les matrices repr´esentant les propri´et´es statistiques du bruit comme matrice de pond´eration pour effectuer un compromis entre les convergences des diff´erentes variables du vecteur d’´etat. Lors de la convergence, ces matrices per- mettent ´egalement de g´erer le d´epassement des diff´erents signaux qui ne doivent pas ˆetre trop importants sous peine de saturer les actionneurs en boucle ferm´ee. B. Obtention des d´eriv´ees successives des coordonn´ees de la charge Maintenant, on consid`ere qu’on connait la position de la charge grˆace aux deux cam´eras. On a besoin des d´eriv´ees successives des diff´erentes coordonn´ees pour effectuer le bouclage. Comme les signaux sont bruit´es, on ne peut pas les d´eriver. On utilise les moindres carr´es pour d´eterminer e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 13-18 les coefficient d’une approximation polynˆomiale du signal. On consid`ere que notre signal peut s’´ecrire localement sous la forme xN (t) = N ν x(ν) (0)tν ν! grˆace `a son d´eveloppement de Taylor. La m´ethode utilis´ee dans la suite nous permet de calculer les diff´erents coefficients du polynˆome et donc d’obtenir les d´eriv´ees des coordonn´ees de la charge. On consid`ere le vecteur : Θ = (xN (0), ˙xN (0), ¨xN (0), x (3) N (0), x (4) N (0))T comprenant les coefficients du polynˆome. On utilise une fenˆetre glis- sante comprenant n points (d´ependant de la p´eriode d’´echantillonnage), ce qui donne l’´equation suivante : ¼  y0 y1 ... yn ½ = ¼  1 0 . . . 0 1 T . . . T4 1 2T . . . (2T)4 ... ... ... 1 nT . . . (nT)4 ½¼  xN (0) ˙xN (0) ¨xN (0) x (3) N (0) x (4) N (0) ½ + ǫ ∆ = MΘ + ǫ ⇒ Θ = (MT M)−1MT Y (24) On reconstitue les d´eriv´ees successives du signal de d´epart en reportant les composantes du vecteur Θ dans le polynˆome consid´er´e. C. R´esultats des simulations Voici les r´esultats obtenus en simulation avec sur chaque figure la d´eriv´ee th´eorique et la d´eriv´ee obtenue par la m´ethode de la section IV-B. Les simulations de la fi- gure 4 repr´esentent la coordonn´ee x de la position de la charge ainsi que ses trois premi`eres d´eriv´ees. Chaque figure contient deux courbes : le signal th´eorique, le signal estim´e par moindres carr´es. Les deux courbes sont tr`es proches pour les premi`eres d´eriv´ees. Pour la d´eriv´ee troisi`eme de x, on s´epare les deux signaux sur des figures diff´erentes. Le pas d’´echantillonnage est 0.0005s pour une fenˆetre glis- sante de 0.4s. L’amplitude du bruit de sortie ajout´e `a x est compris dans l’intervalle [−1e−3 , 1e−3 ]. V. Observateur-contrˆoleur Maintenant, `a partir des variables obtenues par les diff´erents observateurs vus pr´ec´edemment, nous allons choi- sir et r´egler le correcteur permettant d’avoir un bon suivi de trajectoire et de rejeter les perturbations efficacement. `A partir du vecteur d’´etat obtenu par le filtre de Kalman, on choisit une commande robuste LQ pour boucler le syst`eme. Dans une deuxi`eme partie, nous verrons le choix des gains du bouclage dynamique endog`ene lin´earisant obtenu `a par- tir des coordonn´ees de la charge et de leurs d´eriv´ees suc- cessives. A. Bouclage LQR Comme dans la partie IV-A, on utilise le lin´earis´e tan- gent du syst`eme pour choisir les gains de la matrice de retour d’´etat. De la mˆeme facon, on utilise des matrices des propri´et´es statistiques du bruit comme pond´eration pour effectuer un compromis entre les temps de r´eponse des diff´erentes variables ainsi que la puissance des commandes. En effet, dans la pratique, il faut ´eviter de saturer les ac- tionneurs. La figure 5 nous montre les r´esultats obtenus en simulation `a partir de cette m´ethode. 0 2 4 6 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 (a) x 0 2 4 6 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 (b) x 0 2 4 6 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 (c) ˙x 0 2 4 6 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 (d) ¨x 0 2 4 6 −10 −5 0 5 10 (e) x (3) th 0 2 4 6 −10 −5 0 5 10 (f) x (3) mc Fig. 4. Simulations : estimation des d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre 3 pour un bruit blanc de variance 1e-6 ; (a) : Coordonn´ee x r´eelle ; (b) : Coordonn´ees x th´eorique et estim´ee ; (c) : d´eriv´ees de x th´eorique et estim´ee ; (d) : d´eriv´ees secondes de x th´eorique et estim´ee ; (e) : d´eriv´ee troisi`eme de x th´eorique ; (f) : d´eriv´ee de x estim´ee par moindres carr´es ; B. Bouclage dynamique endog`ene lin´earisant La grue est un syst`eme plat de sortie plate x, y et z, les coordonn´ees de la position de la charge. Nous avons vu pr´ec´edemment deux m´ethodes pour obtenir les d´eriv´ees successives de cette position. Mais lors de la fermeture de la boucle, il faut au besoin red´efinir certains param`etres (taille de la fenˆetre, ordre du polynome ...) et bien d´efinir les gains de la boucle ferm´ee `a cause des changements de dynamiques des diff´erents signaux boucl´es. Comme les d´eriv´ees de x, y et z jusqu’`a l’ordre quatre sont utilis´ees, nous pouvons r´e´ecrire le syst`eme sous la forme :    x(4) = v1 y(4) = v2 z(4) = v3 avec v1, v2 et v3 les nouvelles commandes stabilisant la grue autour de la trajectoire de r´ef´erence. On peut ´ecrire le vecteur de commande v = (v1, v2, v3) sous la forme : v = (x (4) ref , y (4) ref , z (4) ref ) −γ4((˜x(3) , ˜y(3) , ˜z(3) ) − (x (3) ref , y (3) ref , z (3) ref )) −γ3((¨˜x, ¨˜y, ¨˜z) − (¨xref , ¨yref , ¨zref )) −γ2(( ˙˜x, ˙˜y, ˙˜z) − ( ˙xref , ˙yref , ˙zref )) −γ1((˜x, ˜y, ˜z) − (xref , yref , zref )) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 13-18 0 1 2 3 4 5 6 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 (a) x 0 1 2 3 4 5 6 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 (b) y 0 1 2 3 4 5 6 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 (c) z 0 1 2 3 4 5 6 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 (d) u1 0 1 2 3 4 5 6 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 (e) u2 0 1 2 3 4 5 6 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 (f) u4 Fig. 5. Simulations : Bouclage LQR ; (a) Coordonn´ee x r´eelle et r´ef´erence ; (b) Coordonn´ee y r´eelle et r´ef´erence ; (c) Coordonn´ee z r´eelle et r´ef´erence ; (d) Commande u1 r´eelle et r´ef´erence ; (e) Commande u2 r´eelle et r´ef´erence ; (f) Commande u4 r´eelle et r´ef´erence. o`u ˜x, ˜y et ˜z sont les estim´ees de x, y et z respective- ment, pr´ec´edemment calcul´ees. Le choix des valeurs de γ1, γ2, γ3 et γ4 nous permet de r´egler les dynamiques du syst`eme en boucle ferm´ee. Les simulations de la figure 6 sont obtenues avec les valeurs : γ1 = 625, γ2 = 250, γ3 = 150 et γ4 = 20. VI. Conclusion Deux m´ethodes permettant de contrˆoler une grue en boucle ferm´ee ainsi que les r´esultats de simulations ont ´et´e pr´esent´es dans ce papier. Une fois la trajectoire arrˆet- arrˆet d´etermin´ee, les observateurs-contrˆoleurs mis en place permettent d’att´enuer les oscillations de la charge et de rejoindre la trajectoire de r´ef´erence. Le fait d’observer la sortie plate, qui implique d’ajouter deux cam´eras, permet de meilleurs r´esultats. VII. Annexes Les matrices de rotation pour les changements de rep`eres sont les suivantes : ΩKbKg = ¼  cos ξ − sin ξ 0 sin ξ cos ξ 0 0 0 1 ½ (25) ΩKg K = ¼  σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 σ7 σ8 σ9 ½ (26) 0 1 2 3 4 5 6 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 (a) x 0 1 2 3 4 5 6 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 (b) y 0 1 2 3 4 5 6 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 (c) z 0 1 2 3 4 5 6 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 (d) u1 0 1 2 3 4 5 6 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 (e) u2 0 1 2 3 4 5 6 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 (f) u4 Fig. 6. Simulations : Bouclage dynamique endog`ene lin´earisant ; (a) Coordonn´ee x r´eelle et r´ef´erence ; (b) Coordonn´ee y r´eelle et r´ef´erence ; (c) Coordonn´ee z r´eelle et r´ef´erence ; (d) Commande u1 r´eelle et r´ef´erence ; (e) Commande u2 r´eelle et r´ef´erence ; (f) Commande u4 r´eelle et r´ef´erence. avec σ1 = sin2 α(1 − cos ϕ) + cos ϕ σ2 = − cosα sin ϕ σ3 = sin α cos α(1 − cos ϕ) σ4 = cosα sin ϕ σ5 = cosϕ σ6 = − sin α sin ϕ σ7 = sin α cos α(1 − cos ϕ) σ8 = sin α sin ϕ σ9 = cos2 α(1 − cos ϕ) + cos ϕ R´ef´erences [1] K. S. Hong, J. H. Kim, et K.I.Lee, « Control of a container crane : fast traversing, and residual sway control from the perspective of controlling an underactuated system ». In Proceedings of the American Control Conference, pp 1294-1298, Philadelphia, PA, June 1998. [2] B. Kiss, Planification de trajectoires et commande d’une classe de syst`emes m´ecaniques plats et liouvilliens. Th`ese, ´Ecole Na- tionale Sup´erieure des Mines de Paris, 2001. [3] B. Kiss, J. L´evine et Ph. Mullhaupt, « Modelling and motion planning for a class of weight handling equipment ». System Science Journal, Vol. 26., No. 4, 2000. [4] B. Kiss, J. L´evine et Ph. Mullhaupt, « Modelling, flatness and simulation of a class of cranes ». Periodica Polytechnica, 43(3) :215-225, 1999. [5] B. Kiss, J. L´evine et Ph. Mullhaupt, « A simple output feedback PD controller for non linear cranes ». In Proceedings of the 39th e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 13-18 Conference on Decision and Control, Sydney, Australia, 12-15 December 2000. [6] B. Kiss, J. L´evine et Ph. Mullhaupt, « Control of a reduced size model of US Navy crane using only motor position sensors ». A. Isodori, F. Lamnabhi-Lagarrigue, et W. Respondek (eds.), Nonlinear Control in the Year 2000, Vol. 2, Springer, 2000, 1- 12. [7] Z. N. Masoud, A.H. Neyfeh et A. Al-Mousa, « Delayed position feedback controller for the reduction of payload pendulations of rotary cranes ». Journal of Vibration and Control, vol. 9, No. 1-2, pp. 257-277, January 2003. [8] R. H. Overton, « Anti-sway control system for cantilever cranes ». United States Patent, June 1996. Patent No. 5,526,946. [9] G. G. Parker, B. Petterson, C. Dohrman, et R. D. Robinett, « Command shaping for residual vibration free crane maneuers ». In Proceedings of the Americin Control Conference, vol. 1, pp 934-938, Seattle, WA, June 21-23, 1995. [10] E.T. Whittaker, A treatise on the Analytical Dynamics of Par- ticles and Rigid Bodies. Cambridge University Press, 1993. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 13-18