PREVENTION DU WINDUP SOUS CONTRAINTES D’AMPLITUDES ET VITESSES

23/09/2017
Auteurs : Peter Hippe
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19908
DOI :

Résumé

PREVENTION DU WINDUP SOUS CONTRAINTES D’AMPLITUDES ET  VITESSES

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PREVENTION DU WINDUP SOUS CONTRAINTES D’AMPLITUDES ET VITESSES PETER HIPPE Lehrstuhl für Regelungstechnik Universität Erlangen-Nürnberg, Cauerstr. 7, D-91058 Erlangen, Allemagne Peter.Hippe@rt.eei.uni-erlangen.de http://www.rt.e-technik.uni-erlangen.de/ Résumé— Les méthodes pour tenir compte des limitations d’amplitude du signal de commande sont bien connues. Mais aussi des limitations de vitesse peuvent causer des effets divers dans le système en boucle fermée. Les méthodes existantes pour éviter les phénomènes de windup en présence des contraintes d’amplitudes et vitesses sont beaucoup plus compliquées que les méthodes classiques anti windup , développée pour des contraintes d’amplitude seulement. Ceci est dû au fait qu’il existe un deuxième élément non linéaire pour la vitesse, qui complique le test de stabilité. Dans cet article, nous présentons une solution pour le problème considéré qui est très simple parce que le modèle utilisé pour une limitation conjointe d’amplitude et de vitesse ne contient qu’un seul élément non linéaire. Mots clés— Systèmes non linéaires, windup, contrôle multivari- able, contraintes de vitesse. I. INTRODUCTION Les systèmes et les régulateurs considérés sont linéaires, avec les limitations du signal de commande en vue d’amplitude et vitesse comme seuls éléments non linéaires dans la boucle de régulation. Si on ne tient pas compte de ces deux contraintes, cela peut causer des effets divers, voire un comportement instable de la boucle fermée. La littérature existante offre un grand spectre d’approches pour résoudre les problèmes causés par l’amplitude limitée du signal de commande. On peut distinguer deux phénomènes différentes, le windup du régulateur et le windup du système. Le plus connu, le windup du régulateur, est causé par la dynamique du régulateur (par exemple de composante intégrale). On peut éviter le windup du régulateur par une stabilisation du régulateur pendant la période de saturation du signal de commande. Les approches les plus connues sont « Conditioning Technique » [7], « Generalized Anti Windup Control » [1] et « Observer Technique » [8]. En [15] une approche est présentée qui généralise les diverses méthodes existantes. Même sans éléments dynamiques dans le régulateur, comme par exemple dans le cas d’un régulateur d’état, les limitations d’amplitude peuvent provoquer un mauvais amortissement des phénomènes transitoires, voire même produire des cycles limites : on parle dans ce cas du phénomène de windup du système. L’intensité de ce windup du système dépend de la dynamique du système contrôlé [8], [13]. Pour éviter le windup du système, la partie linéaire du système en boucle fermée doit être modifiée d’une manière appropriée. Ceci est possible par la méthode du « Filtered Set Point » [16] ou par un élément dynamique additionnel (EDA) [8]. Ainsi on peut utiliser une méthode « deux stages ». On commence par la prévention du windup du régulateur par des méthodes structurelles (sans dynamique additionnelle) et si la partie linéaire du système en boucle fermée indique le danger d’un windup du système, on utilise un EDA ou le « filtered set point ». Une approche qui résout les deux problèmes par un schéma universel est présentée en [17]. Les méthodes discutées ci-dessus s’appliquent seulement pour les systèmes stables, car, en présence d’un système instable, la partie linéaire de la boucle ne peut pas être modifiée pour satisfaire, par exemple, le critère du cercle. Une méthode pour la prévention du windup en systèmes instables est présentée en [9]. Cette méthode consiste d’un filtre non linéaire des signaux de consigne qui utilise un modèle du système et un contrôle en cascades contenant des éléments saturants. Ce filtre produit un signal de commande qui ne dépasse pas les limites existantes, et qui, si on le désire, reste dans une sous-région prédéfinie des entrées limitées. Ainsi, les saturations à l’entrée du système sont toujours inopérantes pour toutes les consignes, et par conséquent, les propriétés du réglage linéaire sont toujours conservées. En réservant une partie du signal de commande pour la suppression des perturbations et en n’utilisant que la partie restante pour appliquer la consigne, on arrive à une boucle fermée non linéaire avec stabilité garantie. Aussi le cas d’une commande avec amplitude et vitesse limitées à trouvé beaucoup d’intérêt (voir par exemple les citations en [5], [3] ou [2] et les discussions des approches existantes dans ces références). Cependant les méthodes existantes utilisent des modèles des actionneurs qui contiennent deux éléments non linéaires (pour la saturation d’amplitude et de vitesse). Par conséquent les investigations de stabilité deviennent beaucoup plus compliquées en comparaison des résultats obtenus en cas de limites d’amplitudes seulement. Cet article démontre qu’on peut utiliser presque toutes les résultats anti-windup connus aussi en présence d’une limitation conjointe d’amplitude et de vitesse, lorsqu’on utilise un modèle « ersatz » pour un tel organe de la commande qui ne contient qu’un seul élément non linéaire. Ce modèle consiste d’une seule saturation et d’un système de premier ordre dont la constante de temps est telle que la commande ne dépasse jamais les limites de la vitesse. Ajoutant le système de premier ordre au système à régler, le problème d’une limitation conjointe d’amplitude et de vitesse se réduit au problème windup bien connue pour le système augmenté. Deux exemples, un système stable et un système instable, illustrent l’approche proposée. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 7-12 II. GENERALITES Considérons un système multivariable, strictement propre, invariant dans le temps et complètement commandable et observable )t(dD)t(xC)t(y )t(dD)t(Cx)t(y )t(dB)t(Bu)t(Ax)t(x mdmm d ds += += ++=& (1) où x ∈ ℜn est l’état, us ∈ ℜm la commande, d ∈ ℜq la perturbation, y ∈ ℜm le vecteur à contrôler et ym ∈ ℜp sont les mesures, avec p ≥ m. En vue de la poursuite de signaux de référence constants, la matrice de transfert )s(D)s(NB)AsI(C)s(G 11 −− =−= (2) du système est tel que )s(Ndet n’a pas de zéros à s = 0. La sortie u(t) du régulateur est limitée par un élément non linéaire ))t(u(sat)t(u 0us = , dont les composants sont défini par m,,2,1i0u uusiu uuusiu uusiu )u(sat i0 i0ii0 i0ii0i i0ii0 iu i0 L=∀> ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −<− ≤≤− > = (3) Supposons que les sorties à régler sont restreintes à évoluer dans les régions symétriques m,,2,1i,y)t(yy i0ii0 K=≤≤− (4) dont les amplitudes y0i dépendent des limites u0i. Dans la plupart des cas, on n’utilise qu’une partie de ces régions pour l’opération du système. Cette partie est définie par m,,2,1i,r)t(yr i0ii0 K=≤≤− (5) où les r0i sont les amplitudes maximales désirées et m,...,2,1i,yr i0i0 =< (6) Une discussion détaillée de ces régions d’amplitudes se trouve en [10]. Pour les systèmes stables, les amplitudes i0y sont les limites d’opération. Pour les systèmes instables, ces amplitudes sont les limites à éviter, car un comportement instable de la boucle fermée pourrait se produire lorsqu’une sortie )t(yi atteint l’amplitude i0y . Par conséquent on doit assurer que (5) et (6) sont satisfait. Maintenant supposons que le signal )t(usi diffère de )t(ui , m,...,2,1i = non seulement par 0u)t(u i0i >≥ (saturation d’amplitude) mais aussi par 0u)t(u Vii >≥& (saturation de vitesse), c’est-à-dire on a un actionneur avec saturation d’amplitude et vitesse définie par { }[ ] m,...,2,1i,)t(u)t(usatsgnu)t(u siiuVisi i0 =−=& (7) où }{sat i0u ⋅ est la saturation définie en (3) et )sgn(⋅ est la fonction standard de signe [2]. En simulations numériques ce modèle provoque des problèmes lorsque l’entrée à la fonction )sgn(⋅ disparaît et lorsque Vii u)t(u <& . Un modèle plus approprié pour un élément non linéaire [ ])t(usat)t(u i u usi Vi i0 = avec saturation d’amplitude et vitesse est montré en Fig. 1. Fig. 1. Représentation schématique d’un élément avec saturation d’amplitude et de vitesse Le coefficient m,...,2,1i,Ri = est tel que la constante de temps qui résulte n’a pas d’influence perceptible au comportement de la boucle fermée. Les éléments non linéaires en Fig. 1 sont de type saturation == )u(satu iusi i0 )u(sign i { }ii0 u,umin 0u i0 > et { }iViiiusi w,umin)w(sign)w(satw Vi == 0uVi > , m,,2,1i K= . S’il existe une limite d’amplitude seulement, un modèle ))t(u(sat)t(u 0us = à la sortie du régulateur assure, que la saturation à l’entrée du système n’est jamais activé. Par conséquent seulement ce modèle entre dans les discussions concernant le windup. Si on a une saturation de vitesse en plus, on peut utiliser m modèles « ersatz » aux m sorties )t(ui du régulateur comme montré en Fig. 2. Fig. 2. Modèle ersatz d’une saturation d’amplitude et de vitesse A cause de l’élément ))t(u(sat)t(u iusi i0 = , l’amplitude du signal )t(usi ne dépasse jamais la limite i0u . Et si on choisit la constante de temps ViT comme Vi i0 Vi u u2 T = , m,,2,1i K= (8) la restriction Visi u)t(u ≤& est satisfaite aussi. Il est évident que la vitesse maximale se produit quand le signal )t(usi change subitement d’une limite à l’autre, et avec ViT définie par (8) cette vitesse maximale est Viu . Lorsqu’on insert ces modèles ersatz aux sorties du régulateur, ni la saturation d’amplitude ni la saturation de vitesse à l’entrée du système devient actif et par conséquent, ces éléments non linéaires n’ont plus d’influence au comportement de la boucle fermée. 1sT 1 Vi + siuui usi i0usat i0usat Viusat Ri s 1 usiui wi wsisiu e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 7-12 Si on ajoute les m systèmes de premier ordre )t(x)t(u )t(uB)t(xA)t(x Vs sVVVV = +=& (9) avec [ ]mn1n T V x,,xx ++= L , [ ]sm1s T s u,,uu L= , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = Vm1V T V T 1 ,, T 1 t L , ( )VV tdiagA −= , ( )VV tdiagB = au système à régler, on obtient la description du système augmenté )t(dD)t(xC)t(y )t(dD)t(xC)t(y )t(dB)t(uB)t(xA)t(x mdmm d ds += += ++=& (10) avec ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = Vx x x , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = s m m u y y (parce que le vecteur Vs xu = peut être mesuré) et les paramètres ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = VA0 BA A , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = VB 0 B , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 B B d d , [ ]0CC = , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = I0 0C C m m , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 00 0D D md md A l’entrée de ce système augmenté il y a des éléments de saturation ))t(u(sat)t(u iusi i0 = , m,...,2,1i = . Pour cette raison la solution du problème d’un système avec saturation d’amplitude et vitesse est aussi simple que la solution pour un système avec saturation d’amplitude seulement, pourvu qu’on utilise les modèles de Fig. 2 et conçoit le régulateur pour le système augmenté. Remarque 1. Les discussions ci-dessous sont également valable en cas de saturation d’amplitude seulement et en cas de limitation conjointe d’amplitude et vitesse. Si seulement l’amplitude est limitée, les équations d’état (1), et si en plus la vitesse est aussi limitée, les équations d’état (10) constituent la description du système à régler. Pour obtenir une nomenclature simple, dans ce qui suit nous supposons qu’il existe seulement une saturation d’amplitude, parce qu’il est évident maintenant, comment une saturation supplémentaire de vitesse peut être traitée. III. PREVENTION DU WINDUP DU REGULATEUR Les techniques présentées par la suite s’appliquent aussi aux régulateurs PI ou PID, parce qu’on peut interpréter chaque régulateur linéaire comme régulateur d’état qui contient un observateur [8], [13]. Si le régulateur contient des observateurs d’état et de perturbations comme introduit par Johnson [14], le windup du régulateur est évité lorsqu’on introduit le signal de commande limité dans l’observateur (ce qui s’appelle « Observer Technique »). La partie linéaire de la boucle est alors caractérisée par le retour d’état statique )t(Lr)t(Kx)t(u +−= (11) seulement [8], où r ∈ ℜm est le vecteur des signaux de référence. Dans la boucle ouverte le comportement de transfert entre su et u est donné par )s(u)s(G)s(u sL−= où B)AsI(K)s(G 1 L − −= (12) Si le régulateur contient des modèles de signaux comme introduit par Davison [6], le même )s(GL est obtenu en utilisant les résultats présentés en [12]. La matrice [ ] 11 B)BKA(CL −− +−= (13) assure une erreur entre r(t) et y(t) nulle en régime permanent. Après une application de la technique « Observer Technique » le problème du windup du régulateur n’existe plus et les phénomènes windup dépendent seulement de la matrice K, c’est-à-dire du retour d’état choisi. Nous appelons ces problèmes le « windup du système » IV. PREVENTION DU WINDUP DU SYSTEME (SYSTEMES STABLES) La boucle en Fig. 3 est asymptotiquement stable si la matrice de transfert (12) satisfait l’un des critères de stabilité pour des boucles fermées comportant des non linéarités de secteur, par exemple, le critère du cercle [18]. Fig. 3. Représentation schématique du comportement de référence du système réglé après avoir appliqué la technique « Observer Technique » Si la matrice (12) viole le critère du cercle le danger de « windup du système » existe dans la boucle fermée en Fig. 3. On peut éviter ce windup du système par un élément dynamique additionnel (EDA), c’est-à-dire on remplace )t(Lr)t(u)t(u C +−= dans le schéma dans Fig. 3 par )t(η)t(Lr)t(u)t(u C −+−= (14) où [ ] )t(ξ)KK()t(η )t(u)t(uB)t(ξ)BKA()t(ξ S sS −= −+−=& (15) Le windup du système est évité, quand la matrice SK en (15) est telle que =)s(GLS B)AsI(K 1 S − − satisfait le critère du cercle [12]. GL(s) r L u us uC G(s) y e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 7-12 V. PREVENTION DU WINDUP DU SYSTEME (SYSTEMES INSTABLES) En utilisant le schéma qui a été introduit pour les systèmes monovariables dans [9], on peut réaliser une boucle fermée avec une dynamique adaptée au rejet des perturbations et, en même temps, avoir un comportement vis-à-vis de la consigne qui ne soit pas détérioré par les limitations. Cette approche peut être appliquée aussi bien sur les systèmes stables qu’instables. Fig. 4 montre la version qui utilise un régulateur retour d’état pour la stabilisation du système et le rejet des perturbations. Mais il est démontré dans [13] comment on peut traiter des régulateurs qui contiennent des observateurs et des modèles de signaux de la même manière (c’est-à-dire prévention du windup du régulateur par la « Observer Technique »). Fig. 4. Schéma anti-windup utilisable pour systèmes stables et instables Pour la synthèse du filtre, on utilise un modèle )t(x)t(C)t(y )t(uB)t(xA)t(x MMM aMMMM = +=& (16) du système (1) ayant les limitations (3) et il est supposé que ce modèle est exact, c’est-à-dire )C,B,A()C,B,A( MMM = . Fig. 5 montre une représentation schématique de ce filtre, qui était aussi discuté dans [11]. Fig. 5. Représentation schématique du filtre non linéaire pour les grandeurs de consigne La cascade intérieure est construite telle que, malgré des consignes arbitraires, les signaux )t(uai ne dépassent jamais les limites existantes i0u m,...,2,1i = . Pour assurer cela, on peut utiliser la norme L1. Cette norme est définie dans la manière suivante. Soient un système monovariable de fonction de transfert G(s) et une fonction correspondante h(t). Un signal d’entrée u(t), d’une amplitude maximale ulim, produit une amplitude maximale ylim de la sortie y(t) limitée par 1lim 0 limlim )s(Guτd)τ(huy =≤ ∫ ∞ (17) La quantité 1 )s(G de l’expression (17) est la norme L1 de G(s) [4]. VI. DEUX EXEMPLES Exemple 1. Le système stable est défini par ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−−= 100 121 010 A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 B , 0Bd = , [ ]112C −−= , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− = 001 112 Cm et 0Dd ≡ , 0Dmd ≡ . La saturation a l’amplitude 1u0 = et la sortie )t(y à régler est donc restreinte à 1)t(y1 ≤≤− . Nous supposons que seulement la région 00 r)t(yr ≤≤− avec 9.0r0 = est utilisée. Un régulateur d’état (11) avec observateur est construit tel que le polynôme caractéristique est 3 )8s()BKAsIdet( +=+− et la valeur propre de l’observateur est à s = -10, ce qui nécessite [ ]511490833K −−= et 512L = . L’observateur d’état )t(TBu)t(Dy)t(Fz)t(z sm ++=& (18) (par le signal d’entrée )t(us le windup du régulateur est évité) produit une valeur estimée )t(zΘ)t(yΨ)t(xˆ m += (19) qui est correct en régime permanent si mDCFTTA =− (20) est satisfait. Avec 10F −= et [ ]1458D −= on obtient [ ]1116T −= , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 95.0 75.0 10 Ψ et ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 5.0 5.0 0 Θ Comme la fonction de transfert B)AsI(K 1− − viole le critère du cercle il existe le problème du windup du système. Utilisant un élément dynamique additionnel (EDA) (voir Section IV) avec [ ]262028KS −−= la fonction de transfert B)AsI(K 1 S − − satisfait le critère du cercle et le problème du windup du système n’existe plus. Le comportement da la boucle fermée est stable pour toutes consignes satisfaisant 9.0)t(r9.0 ≤≤− . 0usat Système linéaire d y x us Filtre non linéaire yM uCr r xM uCd u K MMM aMMMM xCy uBxAx = +=& yM La KaKb Lb xM r uaubsub 0rsat e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 7-12 Lorsqu’on introduit une saturation de vitesse avec 3uV = , et applique une consigne )20t(1r)10t(1r2)t(1r)t(r SSS −+−−= avec 25.0rS = un cycle de limite évolue. La constante de temps (8) est 3/2TV = et le système augmenté (10) est donc caractérisé par ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −−− = 5.1000 1100 1121 0010 A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 5.1 0 0 0 B , [ ]0112C −−= et ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = 1000 0001 0112 Cm Le polynôme caractéristique =+− )KBAsIdet( 3 )8s( + )15s( + est assuré par [ ]23509648023/24010K −−= et cela donne 5120L = . L’observateur (18) et (19) pour les états du système augmenté (10) a les paramètres 10F −= , [ ]5.101458D −= , [ ]11116T −= , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− = 100 5.095.0 5.075.0 010 Ψ et ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 5.0 5.0 0 Θ Aussi la fonction de transfert B)AsI(K 1 − viole tout critère de stabilité pour des boucles fermées consistant d’une partie linéaire et d’un seul élément non linéaire de type secteur. Lorsqu’on utilise un EDA qui est paramétré par le vecteur [ ]3/6.200774.1179174.873468.123KS −−= le com- portement de la boucle fermé est stable pour toute consigne bien que B)AsI(K 1 S − − ne satisfait pas le critère du cercle (mais le « critère du phase » [8]). Fig. 6 montre le comportement transitoire de la boucle fermée avec limitations d’amplitude et de vitesse qui est stable maintenant. 0 5 10 15 20 25 30 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps Sortiey(t) Phenomenes transitoires Fig. 6. Comportement transitoire avec le régulateur conçu pour le système augmenté et avec le EDA Exemple 2. Le système à contrôler est aussi discuté dans [9]. C’est le pendule inversé sur un chariot avec une amplitude de saturation 10u0 = . Les équations d’état (1) sont définies par ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 8528.6000 0000 0100 1008528.6 A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2059.7 5037.1 0 0 B , 0Bd ≡ , [ ]0010963.0C −= , 4m IC = et 0DD mdd == La sortie y(t) est la position du chariot. Supposons qu’on utilise un régulateur d’état [ ])t(x)t(xK)t(u MCd −−= pour la stabilisation du système instable tel que les zéros du polynôme caractéristique )BKAsIdet( +− sont placés à 6.5s1 −= , 15s2 −= , et à j96.5s 4/3 ±−= , ce qui correspond à un vecteur [ ]033.14101.4666.1334905.2K −−−= . Avec le filtre de consigne utilisé dans [9] (mais avec _ 0 21.1r = ) le comportement du pendule devient instable lorsqu’on introduit une limitation de vitesse 18uV = et lorsqu’on applique des signaux de référence )t(1r)t(r S= avec 5.3rS ≥ . Pour tenir compte de cette limitation, la construction du régulateur doit être fondée sur la représentation augmenté (10) du système. L’équation (8) mène à 1.1TV = et avec cette constante de temps la représentation (10) et complètement définie. Si on place les valeurs propres du système augmenté à 6.5s1 −= , j96.5s 3/2 ±−= et 15s 5/4 −= , le vecteur K du réglage stabilisant [ ])t(x)t(xK)t(u MCd −−= est donné par [ ]5197.33786.9166.2227545.22K −−−= Le filtre de consigne a la structure montrée dans Fig. 5. Si on place les valeurs propres par )t(uL)t(xK)t(u bsaMaa +−= à 8528.6s1 −= , 9.0s 4/3/2 −= et 0s5 = et choisit 1La = , on peut atteindre des amplitudes y(t) sans limites malgré la limitation à l’entrée du système. Le aK correspondant est [ ]6142.9485.10078606.000Ka −−= . Pour assurer que même des signaux de consigne arbitraires ne produisent pas des signaux )t(ua qui dépassent la limite 10u0 = on doit utiliser la norme 1L de la fonction de transfert [ ] a 1 M 1 Ma bs a LB)AsI(K1 )s(U )s(U −− −+= . Cette norme est 68.9αlim = et par conséquent, 033.1 68.9 10 α u r lim 0 0 === assure des signaux 0a u)t(u ≤ pour toutes signaux de consignes. Vue de l’entrée )t(ub , la boucle interne est un système linéaire et stable avec une saturation ))t(u(sat)t(u brbs 0 = à l’entrée. Si on ajoute une cascade extérieure )t(rL)t(xK)t(u bMbb +−= tel que la fonction de transfert (en vue de 1La = ) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 7-12 M 1 aMMb bs b B)KBAsI(K )s(U )s(U − +−= − satisfait le critère du cercle, le filtre de consigne est asymptotiquement stable. Le critère du cercle est satisfait si on choisit [ ]94136.03670.256307.018271.02002.4Kb −−−= et cela implique 18271.0Lb −= . Le vecteur bK place les zéros de )]KK(BAsIdet[ baMM ++− à 2.1s 4/3/2/1 −= et à 6.5s5 −= et. 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 50 Temps Sortiey(t) Phenomenes transitoires Fig. 7. Comportement transitoire du pendule inversé avec limitations d’amplitude et de vitesse Le comportement transitoire de la Figure 7 montre, que ni la contrainte d’amplitude à 10u0 = ni la contrainte de vitesse à 18uV = ont une influence déstabilisante maintenant. VII. CONCLUSION Les limitations au niveau de l’organe de commande peuvent causer des problèmes de windup sous forme de dépassements élevés, voire de cycles limites lors de grands phénomènes transitoires. On peut distinguer deux sortes de windup: le windup du régulateur (controller windup) et le windup du système (plant windup). Le premier peut être évité par des mesures structurelles, et le deuxième par un élément dynamique additionnel. La plupart des résultats anti-windup est relié aux saturations d’amplitude seulement. Mais aussi les limitations de vitesse peuvent causer des problèmes de windup. Cet article présente une solution simple pour traiter des contraintes d’amplitudes et vitesses. On ajoute un modèle « ersatz » qui consiste d’un élément de saturation et d’un système de premier ordre avec une constante de temps adaptée tel que la sortie de cet élément satisfait les contraintes d’amplitudes et vitesses pour signaux arbitraires à l’entrée du modèle. Comme cela, on peut utiliser presque toutes les résultats connus pour la prévention du windup en présence d’une limitation conjointe d’amplitude et de vitesse. Deux exemples démontrent la qualité de cette solution. VIII. REMERCIEMENTS Je remercie sincèrement Joachim Rudolph pour l'aide qu'il m'a apportée dans la rédaction en français de cet article. IX. REFERENCES [1] Aström, K. J., & Wittenmark, B. Computer Controlled Systems: Theory and Design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1984. [2] Barbu, C., Reginatto, R., Teel, A. 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