Réglage du PID numérique par réduction de la complexité du régulateur

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19907
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Réglage du PID numérique par réduction de la complexité du régulateur

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Réglage du PID numérique par réduction de la complexité du régulateur Zito Gianluca*, Landau Ioan-Doré, Bouziani Fethi, Voda-Besançon Alina Laboratoire d'Automatique de Grenoble ENSIEG, BP 46 38402 Saint Martin d'Heres, France ∗gianluca.zito@tiscali.it {landau, bouziani, voda}@lag.ensieg.inpg.fr Résumé Une procédure de synthèse des régulateurs PID numériques pour les systèmes d'ordre élevé est présentée. Cette procédure est basée sur la réduction directe de la complexité d'un régulateur robuste calculé sur la base du modèle du système. L'estimation des paramètres du PID est faite par un algorithme du type identication en boucle fermée. La méthodologie est illustrée et comparée à d'autres techniques de réglage du PID à travers deux applications. La première application est une transmission souple, carac- térisée par deux modes vibratoires faiblement amortis et un retard, et l'autre est un système amorti avec un retard pur important. Mots-clésréglage du PID, modèles complexes, réduction de la complexité du régulateur, applications industrielles. I. Introduction La synthèse des commandes avancées à base d'un modèle a connu un grand développement dans les dernières décen- nies. De nouveaux résultats sur la théorie de commande ont été appliqués avec succès à de nombreuses applications dans le monde réel pour améliorer les performances et la robustesse des systèmes. Néanmoins, quelques faits doivent être mentionnés : 1. les techniques de commande avancées mènent à des ré- gulateurs avec une complexité importante (en terme de nombre de paramètres), dont l'ordre est au moins celui du modèle utilisé pour la synthèse (en raison des contraintes de robustesse et de l'introduction des modèles de pertur- bation) ; 2. les limitations des ressources du calcul numérique dans la production de masse imposent l'utilisation de régulateurs très simples ; 3. dans beaucoup d'applications industrielles les spécica- tions peuvent être satisfaites par une bonne synthèse d'un régulateur PID ; 4. les fournisseurs de systèmes de commande orent essen- tiellement des modules de commande PID. La conséquence directe des considérations ci-dessus est que la commande PID reste encore prédominante dans les boucles d'asservissement industrielles. Des règles souples pour trouver une conguration optimale des paramètres du PID sont exigées an de trouver une solution rapide. Ces conditions deviennent plus dures dans le cas des pro- cessus d'ordre élevé qui ne se prêtent pas à l'application des méthodes de réglage standard du PID. *travaille actuellement dans l'industrie automobile. Une littérature très riche est disponible sur la synthèse des régulateurs PID. Voir par exemple [1], [2] [3], [4]. Dans la plupart des cas une manipulation d'un modèle d'ordre élevé pour obtenir un autre modèle plus simple est exigée an d'appliquer une technique de réglage du PID. Cepen- dant, cette approche ne garantit pas le respect des perfor- mances spéciées pour le modèle d'ordre élevé ([5]). Du point de vue de la synthèse, il n'y a aucune méthode simple et largement acceptée pour synthétiser des régula- teurs de complexité restreinte (comme un PID) susceptibles à être employés sur des systèmes caractérisés par des mo- dèles d'ordre élevé (voir [6] pour un article récent au sujet de la synthèse des régulateurs de complexité restreinte). Dans ce travail nous proposons une solution pour le ré- glage du PID lorsque le modèle du système est d'ordre élevé. En particulier nous nous focalisons sur :  les systèmes avec plusieurs modes de vibration et re- tard ;  les systèmes avec retard pur important. Une réponse possible au problème de commande pour cette classe de systèmes est donnée en combinant les tech- niques avancées de commande robuste et les algorithmes de réduction de la complexité du régulateur an d'établir une procédure de réglage du PID. L'approche utilisée dans cet article appartient aux tech- niques de réduction directe de la complexité des régula- teurs. L'objectif est de trouver un régulateur PID par la réduction directe du régulateur nominal (calculé sur la base du modèle du procédé) qui préservera les performances de la boucle fermée obtenues avec le régulateur nominal. Le paragraphe II présente la procédure de synthèse du régulateur PID numérique. Le paragraphe III présente des algorithmes ecaces pour l'estimation des paramètres du PID et des techniques de validation du PID dérivées des techniques d'identication en boucle fermée. Dans les pa- ragraphes IV et V, nous décrivons l'application de la pro- cédure à deux cas d'étude (une transmission souple avec deux modes vibratoires faiblement amortis et un retard, et un système de 3me -ordre amorti avec un retard pur impor- tant). Les résultats obtenus dans les deux cas sont compa- rés à ceux obtenus avec d'autres techniques de réglage. II. Procédure de réglage du PID numérique L'idée principale de la procédure est décrite ci-dessous : Considérons qu'un régulateur robuste (régulateur nominal) réalisant les performances de poursuite et de régulation a été conçu sur la base d'un modèle disponible du système. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 1-6 Nous recherchons un régulateur PID numérique qui pré- serve autant que possible les propriétés de la boucle fermée obtenues avec le régulateur nominal. Le régulateur PID peut être obtenu en appliquant les techniques de réduction de la complexité des régulateurs qui préservent les propriétés de boucle fermée. Parmi ces techniques, celles basées sur l'identication en boucle fer- mée d'un régulateur d'ordre réduit sont très ecaces ([7]). La procédure de réglage du PID peut être résumée comme suit : 1. identication du modèle du système (s'il n'est pas dis- ponible) ; 2. synthèse d'un régulateur numérique basé sur le modèle, réalisant les performances de régulation et de poursuite, et satisfaisant les contraintes de robustesse ; 3. utilisation d'un algorithme approprié pour la réduction de la complexité du régulateur ; 4. validation du PID numérique résultant en terme de :  proximité des fonctions de sensibilité et des marges de robustesse du PID avec celles obtenues avec le régulateur nominal ;  performances temporelles (poursuite et régulation). Si les spécications ne sont pas satisfaites, il faut retourner à l'étape 2 et modier les spécications de performance, autrement la procédure est terminée. Les principaux avantages résultants de l'application de cette procédure sont :  aucune approximation du modèle (réduction) n'est exi- gée pour appliquer cette technique de réglage du PID ;  des spécications de poursuite et de robustesse stan- dard peuvent être imposées comme pour un problème général de commande (aucune limitation n'est néces- saire à ce stade) ;  si les spécications sont réalisables, un régulateur PID numérique est obtenu. Si ce n'est pas le cas, le résultat négatif est un indicateur que les performances impo- sées ne peuvent pas être satisfaites par un PID. La loi de commande du PID numérique a la structure suivante : S(q−1 )u(t) = T(q−1 )r(t) − R(q−1 )y(t) R(q−1 ) = r0 + r1q−1 + r2q−2 S(q−1 ) = (1 − q−1 ) (1 + s1q−1 ) (1) où u(t) est le signal de commande, r(t) est la référence et y(t) est la sortie du système. Nous remarquons que la pro- cédure de réduction implique seulement les polynômes R et S. Deux choix sont possibles pour le réglage du polynôme T :  T = R, pour que le PID correspond à la discrétisation d'un PID continu avec les actions proportionnelle, in- tégrale et dérivée ltrée se trouvant après le compara- teur de la boucle (comparateur entre la référence et la sortie du système) ;  T = R(1), pour lequel le PID correspond à la discréti- sation d'un PID continu avec l'action intégrale après le comparateur et avec les actions proportionnelle et dé- rivée ltrée sur le retour de la sortie du système (pour plus de détails voir [8]). Fig. 1. Identication d'un régulateur d'ordre réduit III. Algorithmes pour la synthèse et la validation du PID Le but de la méthodologie de réduction du régulateur est de préserver le plus possible les propriétés de la boucle fermée. Une réduction directe de la fonction de transfert du régulateur par des techniques traditionnelles (comme la simplication pôles-zéros dans un certain rayon ou tronca- ture pondérée du régulateur) sans prendre en compte les propriétés de la boucle fermée mène en général à des résul- tats non satisfaisants. Dans ce paragraphe nous rappellerons les principaux as- pects de la méthodologie de réduction de la complexité des régulateurs basée sur les algorithmes d'identication en boucle fermée (voir [9] pour une description détaillé) La conguration pour l'identication du régulateur d'ordre réduit basée sur la poursuite de la sortie en boucle fermée (CLOM : Closed Loop Output Matching) est mon- trée dans la Figure 1. La partie supérieure représente la simulation du système nominal en boucle fermée. Il est constitué par le régulateur nominal K (calculé sur la base des performances désirées) et par le meilleur modèle identié ˆG. De ce fait, cela nous fournit la meilleure approximation du véritable système en boucle fermée. La partie inférieure est constituée par le régulateur es- timé d'ordre réduit ˆK qui est en boucle fermée avec le même modèle de la partie supérieure. Un algorithme d'estimation paramétrique cherchera le meilleur régulateur d'un certain ordre donné qui minimise l'erreur de sortie en boucle fermée et par conséquent l'écart entre les deux boucles fermées. L'algorithme CLOM donne la priorité à la minimisation de la diérence entre la fonction de sensibilité de sortie nomi- nale Syp et réduite ˆSyp (pour la dénition voir (10)). L'opération d'identication d'un régulateur d'ordre ré- duit en boucle fermée a l'avantage de donner directement le régulateur d'une complexité spéciée qui approche les caractéristiques désirées en boucle fermée (selon un critère choisi). Nous mentionnons que les approches basées sur la réduction de l'ordre du modèle ne garantissent pas un ré- gulateur d'ordre réduit puisque les spécications (en par- ticulier ceux dans le domaine fréquentiel) peuvent tout à fait conduire à un régulateur complexe. L'algorithme d'adaptation paramétrique utilisé dans cet article pour estimer les paramètres du régulateur réduit e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 1-6 appartient à l'ensemble des algorithmes d'identication en boucle fermée décrits dans [10]. Dénissons : K = R S (régulateur nominal) ˆKP ID = ˆRP ID ˆSP ID (régulateur PID numérique) ˆG = q−d B A (modèle du système) Il en résulte l'expression du régulateur PID : ˆKP ID = ˆRP ID HˆSP ID (1 + ˆs1q−1) (2) Les conditions sur les parties xes et les ordres des poly- nômes du PID sont : 1. HˆSP ID = 1 − q−1 (un intégrateur) ; 2. n ˆRP ID = 2, nˆSP ID = 2 (complexité du PID). Le signal de commande généré (a priori) par le régula- teur estimé qui résulte de la Figure 1 est donné par : ˆu0 (t + 1) = − ˆS∗ P ID(t, q−1 )ˆu(t) + ˆRP ID(t, q−1 )ˆx (t + 1) = ˆθT (t)φ(t) (3) où : ˆS∗ P ID(q−1 ) = ˆs1q−1 ˆθT (t) = [ˆs1(t), ˆr0(t), ˆr1(t), ˆr2(t)] φT (t) = [−ˆu(t), ˆx(t + 1), ˆx(t), ˆx(t − 1)] ˆx (t) = ˆx(t) HˆSP ID = ˆG(q−1 )[r(t) − ˆu(t)] HˆSP ID et le signal de commande prédit (a posteriori) est calculé comme suit : ˆu(t + 1) = ˆθT (t + 1)φ(t) (4) L'erreur (a posteriori) en boucle fermée est donnée par : εCL(t + 1) = u(t + 1) − ˆu(t + 1) (5) et l'algorithme d'adaptation paramétrique sera donné par : ˆθ(t + 1) = ˆθ(t) + F(t)φ(t)εCL(t + 1) (6) F−1 (t + 1) = λ1(t)F−1 (t) + λ2(t)φ(t)φ(t)T (7) 0 < λ1(t) ≤ 1; 0 ≤ λ2(t) < 2 Comme pour l'identication des systèmes en boucle fer- mée, l'erreur dans le domaine fréquentiel entre les deux régulateurs va être faible dans les régions fréquentielles cri- tiques pour la commande. Une séquence binaire pseudo aléatoire est utilisée pour l'excitation du système. Le régulateur estimé doit être validé en terme des perfor- mances obtenues en boucle fermée. La distance de Vinni- combe (ν−gap) entre les principales fonctions de sensibilité Fig. 2. Vue de la transmission souple du système nominal et du système réduit est une mesure de la proximité entre la boucle fermée réduite et la boucle fermée nominale. La distance ν − gap entre les fonctions de sensibilité nominale et d'ordre réduit, notée δ(Syp, ˆSyp), est donnée par ([8]) : δ(Syp, ˆSyp) = (Syp − ˆSyp) (1 + S∗ ypSyp)−1/2(1 + ˆS∗ yp ˆSyp)−1/2 ∞ < 1 Un autre moyen pour évaluer la qualité du système en boucle fermée résultant de la réduction du régulateur est la marge de stabilité généralisée. La marge de stabilité géné- ralisée b(K) pour un régulateur donné K est dénie comme suit ([8]) : b(K, G) = { T(K, G) −1 ∞ si(K, G) est stable 0 sinon (8) où T(K, G) = −Syb Syν −Sup Syp (9) avec les fonctions de sensibilité : Syp = A(q−1 )S(q−1 ) P (q−1) Sup = −A(q−1 )R(q−1 ) P (q−1) Syb = −B(q−1 )R(q−1 ) P (q−1) Syν = B(q−1 )S(q−1 ) P (q−1) (10) La marge de stabilité généralisée obtenue avec le régula- teur d'ordre réduit doit être proche de celle obtenue avec le régulateur nominal. IV. Application en temps réel : Transmission souple A. Description du système Le système de transmission souple (au Laboratoire d'Au- tomatique de Grenoble) est constitué de trois poulies hori- zontales reliées par deux ressorts (Figure 2). Le schema de commande est détaillé dans la Figure 3. La première poulie est solidaire avec l'axe d'un moteur à courant continu dont la position est commandée par une boucle locale. L'objec- tif est de commander la position de la troisième poulie, qui peut être chargée avec des petits disques. L'entrée du sys- tème est la consigne de position de la première poulie. Le système est commandé par PC via une interface E/S. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 1-6 Φm motor axis DC motor Position sensor Controller axis position + - Φref PC D A C A D C load Fig. 3. Schéma de la transmission souple Un modèle échantillonné du système (avec une fréquence d'échantillonnage fe = 20 Hz) a été identié en utilisant un algorithme d'identication en boucle fermée (avec un régu- lateur calculé sur la base d'un modèle identié en boucle ouverte). La structure du modèle est : G(q−1 ) = q−d B(q−1 ) A(q−1) (11) et les paramètres identiés sont : A(q−1 ) = 1 − 1.4343q−1 + 1.6825q−2 −1.3823q−3 + 0.9497q−4 B(q−1 ) = 0.4374q−1 + 0.3953q−2 d = 2 (12) Le modèle est caractérisé par deux modes vibratoires très peu amortis aux fréquences ω1 = 12.6308 (rad/sec) et ω2 = 33.1143 (rad/s) (avec des coecients d'amortisse- ments ζ1 = 0.013 et ζ2 = 0.011 respectivement) et par un retard de deux pas d'échantillonnage. B. Synthèse du régulateur nominal Un régulateur nominal RST pour ce système a été cal- culé par la méthode de placement des pôles avec cali- brage des fonctions de sensibilité (ref [8]). Des specica- tions de robustesse ont été requises : une marge de mo- dule ∆M ≥ −6 dB, une marge de retard ∆τ > Te, et |Sup|max < 6 dB. Quatre pôles complexes de la boucle fer- mée sont choisis, ils correspondent aux deux modes vibra- toires de la boucle ouverte mais avec augmentation des fac- teurs d'amortissement (ζ1 = 0.8 et ζ2 = 0.12). La valeur de ζ2 est faible pour éviter un eort excessif de l'action- neur en hautes fréquences, mais assez grande pour empê- cher des oscillations sur le temps de réponse. Des parties xes (HR et HS) sont imposées pour le régulateur (un in- tégrateur et une ouverture de la boucle à 0.5 fs). En plus, quatre pôles auxiliaires sont ajoutés dans le but d'obtenir la robustesse désirée. Le régulateur résultant a les ordres nR = 5 et nS = 5. Le Tableau I donne le résumé des pôles désirés en boucle fermée et des pré-spécications imposées au régulateur dans l'objectif d'atteindre les performances désirées. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 Flexible Transmission : Syp sensitivity functions comparison Magnitude(dB) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 frequency (f/f s ) Magnitude(dB) Flexible Transmission : Sup sensitivity functions comparison Full RST PID from RST Reduction Full RST PID from RST Reduction frequency (f/fs ) Fig. 4. Comparaison des fonctions de sensibilité pour la transmission souple C. Estimation d'un régulateur PID numérique Utilisant le régulateur nominal et le modèle disponible en temps discret, une bonne approximation du système en boucle fermée est disponible et un algorithme de réduction de complexité de régulateur (CLOM) peut être employé pour trouver les paramètres du régulateur PID numérique. Les résultats de la réduction du régulateur peuvent être évalués numériquement en vériant le ν − gap et la marge de stabilité généralisée. Les résultats obtenus sont résumés dans le Tableau II. On observe que le PID a des proprié- tés de robustesse très proches du régulateur nominal. De bonnes valeurs sont obtenues pour les deux régulateurs. La comparaison des fonctions de sensibilité entre le RST no- TABLE I Transmission souple : spécifications sur le régulateur nominal Pôles dom. (rad/s) Pôles aux. (rad/s) Parties xées ω1 = 12.6308 ω2 = 33.1143 HR = 1 + q−1 ζ1 = 0.8 ζ2 = 0.12 HS = 1 − q−1 (1 − 0.26q−1 )4 TABLE II Transmission souple : résultats de réduction du régulateur RST PID Marge de module 0.5 0.478 Marge de retard (s) 0.05 0.052 δv(Sup, ˆSup) - 0.6662 δv(Syp, ˆSyp) - 0.0940 b(K) 0.2651 0.2507 e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 1-6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Output(Volt) time (s) Flexible transmission : PID comparison 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 Controlsignal(Volt) time (s) Reference Full RST PID from RST Reduction Full RST PID from RST Reduction Fig. 5. Résultats de simulation de la réponse à un échelon et à une perturbation de charge pour la transmission souple minal et le PID montre aussi qu'une bonne robustesse de boucle fermée est réalisée avec le PID (Figure 4). Comme il été prévu, l'algorithme CLOM fournit une ˆSyp près de celle obtenue avec le régulateur nominal (voir la valeur correspondante de ν − gap). En raison de la restric- tion de complexité, les Sup ne peuvent pas être proches en hautes fréquences mais la valeur de Sup pour le régulateur réduit est acceptable. D. Simulation et résultats en temps réel La Figure 5 montre les résultats de simulation de la ré- ponse à une consigne en échelon et à une perturbation de charge pour le régulateur nominal et pour le régulateur PID obtenu dans le paragraphe IV-C. Pour les deux régulateurs T = R(1) a été choisi pour améliorer les performances de poursuite. Les deux régulateurs ont été testés en temps réel. La Figure 6 donne les résultats obtenus en temps réel par l'application d'un échelon sur la référence. Les résultats en temps réel sont très proches des simulations. Le temps de réponse et le dépassement obtenus avec le régulateur PID conrment qu'une légère détérioration a été causée par la réduction du régulateur. Notons aussi que la synthèse d'un régulateur PID pour ce système avec la méthode de Ziegler- Nichols en utilisant une approximation du modèle de 2me ordre donne de très mauvais résultats. V. Système avec un retard pur important Les modèles de n`eme -ordre avec un retard pur sont fré- quemment rencontrés dans les processus industriels et sou- vent utilisés pour évaluer les méthodes de réglage du PID. Il est donc intéressant, dans ce cas particulier, de comparer les performances du PID numérique obtenu par la réduc- tion du régulateur avec ceux des régulateurs obtenus en utilisant d'autres techniques classiques, comme la méthode de réglage de Ziegler-Nichols (ZN) et la méthode de com- mande par modèle interne (IMC, voir [3]). Considérons un processus avec la fonction de trans- 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Output(Volt) time (s) Flexible transmission : Real Time PID comparison 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Controlsignal(Volt) time (s) Reference Full RST PID from RST Reduction Full RST PID from RST Reduction Fig. 6. Résultats en temps réel d'une consigne en échelon pour l'ap- plication de la transmission souple fert ([1]) G(s) = e−5s (s + 1)3 (13) C'est un 3`eme -ordre avec un temps retard qui est important par rapport au temps de réponse. La discrétisation de (13) (fréquence d'échantillonnage fs = 1 Hz) conduit au modèle discret suivant : G(q−1 ) = q−d B(q−1 ) A(q−1) (14) où : A(q−1 ) = 1 − 1.104q−1 + 0.406q−2 − 0.04979q−3 B(q−1 ) = 0.06315q−1 + 0.1263q−2 + 0.06315q−3 d = 5 (15) A. Synthèse du régulateur nominal L'amélioration du temps de réponse n'est pas un objec- tif prioritaire pour la synthèse d'un bon régulateur quand le retard est dominant. Un bon choix est d'imposer les pôles de la boucle ouverte comme pôles de la boucle fermée ou d'accélérer légèrement le temps de réponse. L'objectif principal est de garantir une bonne robustesse en boucle fermée. Deux pôles complexes dominants sont imposés à la fréquence ω0 = 1.5 (rad/s) (facteur d'amortissement ζ0 = 0.8). 10 pôles auxiliaires, un intégrateur et une ou- verture de la boucle à 0.5 fs ont été ajoutés pour satisfaire les performances et la robustesse désirée. Le régulateur ré- sultant a les ordres polynômiaux nR = 4 et nS = 9 (voir le Tableau III pour un résumé des spécications). B. Estimation d'un régulateur PID numérique Les résultats de l'estimation d'un régulateur PID numé- rique sont résumés dans le Tableau IV. Le PID identié avec CLOM préserve les bonnes marges de robustesse, tan- dis que ZN PID et IMC PID (voir le prochain paragraphe pour les détails concernant le réglage IMC PID) ne peuvent e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 1-6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 −15 −10 −5 0 5 frequency (f/fS ) Magnitude(dB) System with a long time delay : Syp sensitivity functions comparison 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 −30 −20 −10 0 10 frequency (f/fS ) Magnitude(dB) System with a long time delay : Sup sensitivity functions comparison Full RST PID from RST Reduction Full RST PID from RST Reduction Fig. 7. comparaison des fonctions de sensibilité pour l'application du système avec un important temps de retard pas garantir le respect des deux marges. Notons à nouveau que pour l'algorithme CLOM le ν − gap pour Syp est plus petit que celui pour Sup. C. Résultats de simulation Une simulation a été eectuée pour analyser les perfor- mances du régulateur PID obtenu par la procédure de ré- duction. Une réponse à un échelon et à une perturbation de charge est montrée dans la Figure 8 où le PID réduit est comparé aux régulateurs PID obtenus avec ZN et IMC. Les paramètres pour le ZN PID ont été pris de [1] et une approximation du modèle avec trois paramètres (gain K, constante de temps τ et temps de retard θ) pour le système (13) a été utilisée pour implementer le régulateur IMC PID (avec le paramètre λ = 0.8 θ). Le régulateur PID identié TABLE III Système avec un retard pur important : spécification du régulateur nominal Pôl. dom. (rad/s) Pôl. aux. (rad/s) Part. x. ω0 = 1.5 (1 − 0.15q−1 )10 HR = 1 + q−1 ζ0 = 0.8 HS = 1 − q−1 TABLE IV Système avec un retard pur important : résultats de la réduction du régulateur RST CLOM ZN IMC Mar. de mod. 0.507 0.534 0.307 0.481 Mar. de ret. (s) 1.7 7.89 11.69 8.95 δv(Sup, ˆSup) - 0.8746 - - δv(Syp, ˆSyp) - 0.3980 - - b(K) 0.3367 0.3595 0.1791 0.3080 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.5 1 1.5 2 Output(Volt) time (s) System with a long time delay : PID comparison 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Controlsignal(Volt) time (s) RST PID ZN with T=R PID CLOM with T=R(1) PID CLOM with T=R PID IMC with T=R(1) PID IMC with T=R Fig. 8. Résultats de simulation de la réponse à un échelon et à une perturbation de charge pour l'application du système avec un important temps de retard (PID CLOM) a clairement des meilleurs performances que le ZN PID. Le IMC PID a été synthétisé an d'obtenir un certain dépassement (au tour de 12%) comme pour le PID CLOM, et ceci a conduit à un temps de montée plus lent pour la réponse à un échelon et un rejet plus lent de perturbation comparés au PID obtenu par réduction de ré- gulateur. VI. Conclusion Dans cet article une procedure de synthèse des régula- teurs PID numériques pour les systèmes d'ordre élevé a été présentée. La procédure est basée sur la réduction des ré- gulateurs calculés à partir du modèle du procédé. Les résul- tats expérimentaux et en simulation montrent clairement l'ecacité de la procedure. Références [1] K. Åström and T. Hägglund, PID Controllers : Theory, Design, and Tuning. Research Triangle Park, NC : Instrument Society of America, 1995. [2] C. C. Yu, Autotuning of PID Controllers. Berlin : Springer- Verlag, 1999. [3] M. Morari and E. Zariou, Robust process Control. Englewood Clis, NJ : Prentice Hall, 1989. [4] K. K. Tan, Q. G. Wang, and T. Hägglund, Advances in PID Control. London : Springer-Verlag, 1999. [5] B. D. O. Anderson and Y. Liu, Controller reduction : concepts and aspects, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34, no. 8, pp. 802812, 1989. [6] I. D. Landau, A. Karimi, and H. 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