Modélisation et commande en pleine onde d’une MRV très grande vitesse

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-2:19902
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Résumé

Modélisation et commande en pleine onde d’une MRV très grande vitesse

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	    <date dateType="Created">Sat 23 Sep 2017</date>
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Modélisation et commande en pleine onde d’une MRV très grande vitesse Codrut Visa1 , Fadila Himri1 , Jean François Antoine2 , François Léonard2 , GabrielAbba2 Laboratoire de Génie Industriel et de Production Mécanique 1 Université Paul Verlaine de Metz, Île du Saulcy, 57045 Metz Cedex, France 2 ENIM, Île du Saulcy, 57045 Metz Cedex, France codrut.visa@univ-metz.fr, f.himri@enim.fr, jf.antoine@enim.fr, leonard@enim.fr, abba@enim.fr Résumé— Cet article présente la modélisation et la com- mande d’une machine à réluctance variable (MRV) utili- sée pour entraîner une électrobroche pour l’usinage à très grande vitesse. La commande en pleine onde de l’action- neur (MRV) nécessite la connaissance d’un modèle précis et simple du couple électromagnétique en fonction de l’angle de commande. Dans cet article nous proposons et analysons quatre mo- dèles numériques permettant de caractériser le couple élec- tromagnétique de l’actionneur. Les performances des modèles sont évaluées à travers une commande en boucle fermée. L’asservissement de vitesse pour une MRV fonctionnant à très grande vitesse est étudié pour chaque modèle proposé. La commande proposée utilise un correcteur PI anti-windup. Mots-clés— modélisation, commande en pleine onde de ten- sion, machine à réluctance variable (MRV), usinage à grande vitesse (UGV). I. Introduction L’usinage à grande vitesse (UGV) est constamment confronté à des nouveaux besoins. L’UGV est une tech- nique d’obtention des pièces par enlèvement de copeaux, caractérisée par des conditions de coupe particulières. Cette technique consiste à augmenter notablement les vitesses de coupe (de 5 à 10 fois supérieures à celles de l’usinage dit "conventionnel") et de rotation de l’outil (de 10000 à 100000 tr/min) de manière à privilégier l’enlèvement de matière avec des profondeurs de coupe plus faibles. L’équipe CEMA du LGIPM a développé deux prototypes de MRV. Ces MRV sont de type 6/2 alimentées avec un convertisseur asymétrique classique. Les travaux présentés dans [1] et [2] ont permis d’obtenir les caractéristiques de fonctionnement jusqu’à une vitesse de rotation d’environ 150000 tr/min. L’implantation des commandes proposées dans [2] néces- site le développement d’un nouveau convertisseur. Ainsi, avec un convertisseur asymétrique nous proposons d’utili- ser une commande en pleine onde de tension afin de réaliser l’asservissement de vitesse de la MRV. Le caractère fortement non linéaire de la MRV a suscité de nombreux travaux de chercheurs. La commande pleine onde de tension ou de courant, la technique de linéarisation par retour d’état et le mode glissant sont les stratégies de commande les plus souvent proposées pour contrôler une MRV. La commande pleine onde (créneaux de courant ou cré- neaux de tension) est habituellement utilisée pour une MRV fonctionnent à grande vitesse [3]. Dans [4], les auteurs proposent ce type de commande pour une MRV en utilisant un modèle électromagnétique linéaire par morceaux per- mettant d’aboutir à une expression analytique du couple moteur. La même stratégie de commande couplée avec une commande adaptative a été étudiée dans [5]. La minimisation des ondulations du couple introduites par la commande en pleine onde a été abordée dans [6]. Des solutions à basse et à grande vitesse sont proposées. Le démarrage d’une MRV en utilisant une commande en pleine onde a été analysé dans [7]. La commande par linéairisation par retour d’état a été étudiée dans [8] pour un problème de poursuite de trajec- toire en robotique. Cette stratégie de commande a égale- ment été étudiée dans [9] afin de minimiser les ondulations du couple. La commande par mode glissant est proposée dans [10] et [11]. Dans [11], afin d’obtenir un asservissement de vi- tesse les auteurs proposent une structure de contrôleur en cascade (vitesse-couple). La commande proposée dans [10] est classique, mais son intérêt réside dans la façon de mi- nimiser les ondulations du couple. Cette étude permet de voir les différentes stratégies de commande d’une MRV. Le caractère fortement non linéaire d’une MRV la rend difficile à contrôler. Pour un fonctionne- ment à grande vitesse la commande en pleine onde semble mieux adaptée. La commande par retour d’état linéairisant permet de bénéficier de tous les avantages des systèmes li- néaires. En présence des incertitudes de modélisation la com- mande par mode glissant s’impose par sa robustesse vis- à-vis des erreurs de modélisation. Cet article est organisé comme suit. La MRV est présen- tée dans le paragraphe II et le principe de la commande en pleine onde est expliqué dans le paragraphe III. La modéli- sation du couple électromagnétique en vue de la commande à partir de mesures réelles sur le moteur est ensuite détaillée dans le paragraphe IV. Un correcteur PI anti-windup est synthétisé dans le paragraphe V. Les simulations à très grande vitesse sont analysées dans le paragraphe VI. En- fin, les conclusions et les perspectives de cette étude sont e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 26-31 exposées dans le dernier paragraphe. II. Présentation de la MRV La MRV est un moteur électrique composée d’un stator et d’un rotor. Le stator de la MRV étudiée dans cet article comporte six dents et le rotor deux dents (figure 1). Autour de chaque dent statorique est enroulé un bobinage. Le rotor ne possède aucun enroulement (rotor froid). Le principe de fonctionnement d’une MRV est celui d’un électro-aimant. Lorsqu’une phase est alimentée, le rotor tourne pour se mettre dans la position où le flux créé par le stator est maximum [3]. Cette position est appelée position de conjonction. La position opposé où le flux est minimum est appelée position d’opposition. Fig. 1 Vue schématique d’une MRV 6/2 L’expression du couple produit par une MRV est obtenue en utilisant une modélisation énergétique [3]. En négligeant les pertes Joules dans l’enroulement d’excitation, le bilan énergétique de la MRV permet d’obtenir l’expression du couple électromagnétique. Le couple électromagnétique est donné par : Cem = ∂Wcem ∂θ (1) où Wcem et θ représentent respectivement la coénergie élec- tromagnétique stockée dans le circuit magnétique et la po- sition du rotor. Lorsque le circuit magnétique est non saturé, le couple électromagnétique est donné par : Cem = 1 2 dL dθ i2 (2) où i représente le courant d’alimentation d’une phase. On remarque que le signe du couple ne dépend pas du sens du courant. Pour obtenir un couple moteur il faut ali- menter la phase lorsque l’inductance est croissante et pour obtenir un couple frein il faut alimenter la phase lorsque l’inductance décroît. III. Principe de la commande en pleine onde de tension L’électrobroche est conçue pour fonctionner à une vi- tesse de rotation de 200000 tr/min. A cette vitesse, la dis- tance entre deux pôles statoriques est parcourue en 50 µs. Du point de vue implémentation, le système de commande doit fonctionner avec une période d’échantillonnage de mi- nimum 10 µs. Pendant chaque période d’échantillonnage, le système de commande doit acquérir les données de dif- férents capteurs, calculer la commande et les renvoyer au convertisseur de puissance. Pour un système de commande en temps réel le temps dé- dié aux opérations d’E/S est constant, alors, seul le temps de calcul de la commande devient non négligeable lorsqu’on utilise des modèles complexes. Pour tout système électrotechnique, des limites sont fixées par la tension d’alimentation, par le courant maxi- mal acceptable et par l’élévation de température. Dans de nombreux articles, il a été démontré que le mode d’alimen- tation en créneaux de courant n’était viable du point de vue énergétique qu’en basse vitesse. A grande vitesse, le mode d’alimentation utilisé est le créneau de tension (pleine onde de tension). La figure (2) montre le principe d’alimentation en pleine onde de tension. La vitesse du moteur est contrôlée en ali- mentant chaque phase entre l’angle d’allumage (ou d’ou- verture) (θa) et l’angle de fermeture (ou d’extenction)(θf ). θa correspond à la position du rotor où l’alimentation de la phase commence et θf correspond à l’angle où la ten- sion −U est appliquée à la phase afin de démagnétiser la phase. L’intervalle angulaire θf − θa est appelé angle de commande. θa θf 2θf−θa θ +U −U tension courant Fig. 2 Principe de la commande en pleine onde de tension La commande en pleine onde que nous développons uti- lise θa comme variable de contrôle. θf est fixé à -20 degrés afin d’améliorer la démagnétisation des phases et de ré- duire les ondulations du couple [2]. θa sera calculé à partir du modèle du couple électromagnétique. Plusieurs modèles du couple seront proposés et analysés par la suite. IV. Modélisation du couple moteur Dans la littérature, la modélisation du couple électro- magnétique est classifiée selon deux grandes familles : les modèles basés sur des cartographies réalisées à l’aide de me- sures sur le banc d’essais moteur (modèles statiques), et les modèles basés sur des lois physiques (modèles dynamiques) permettant d’accéder aux phénomènes transitoires du mo- teur. Dans le cadre de ce travail, nous ne considérerons que les modèles dynamiques permettant d’appréhender les dynamiques mises en jeu dans le moteur. A. Modélisation en vue de la commande La modélisation du couple électromagnétique est obtenue en utilisant les hypothèses suivantes : e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 26-31 H1. Le terme Ri est négligeable devant la tension U. Pour une MRV alimenté en pleine onde de tension, l’équation électrique d’une phase est : ± U = Ri + dΦ dt (3) où R et Φ représentent respectivement la résistance d’une phase et le flux magnétique. Sous cette hypothèse, l’équa- tion (3) devient : dΦ dt = U pour θa ≤ θ < θf −U pour θf ≤ θ ≤ 2θf − θa (4) H2. La vitesse (Ω) ne varie pas durant la période d’alimen- tation d’une phase. Après l’intégration de l’équation (4) on obtient : Φ =    U Ω (θ − θa) pour θa ≤ θ < θf U Ω (2θf − θa − θ) pour θf ≤ θ ≤ 2θf − θa (5) H3. En grande vitesse, les pertes ferromagnétiques obligent de limiter le flux maximum. Le fonctionnement magnétique peut alors être considéré linéaire et l’inductance ne dépend que de la position. Φ = L(θ)i (6) Sous l’hypothèse H3, la coénergie magnétique peut s’écrire : Wcem = 2θf −θa θa Φdi = 2θf −θa θa Φ dΦ L(θ) (7) En utilisant les équations (4-7), la coénergie est : Wcem= U Ω 2 θf θa (θ−θa) L(θ) dθ+ 2θf−θa θf (2θf −θa −θ) L(θ) dθ Fcem (8) Le couple électromagnétique moyen pour une phase est : Cem−m = Wcem π 3 (9) B. Méthodes de calcul du couple D’après les équations (8) et (9) le couple ne dépend pas seulement de la vitesse de rotation, de la tension d’alimen- tation et de l’angle d’allumage mais aussi de l’inductance de la phase. La complexité de cette dernière fonction empêche toute solution analytique du problème. L’intégrale de la coénergie n’est pas calculable analytiquement du fait de la complexité de la formulation de L(θ). Plusieurs solutions sont alors possible pour obtenir un modèle du couple en fonction de l’angle d’ouverture, de la tension et de la vitesse : – Approximer l’inductance ou la fonction 1/L par une fonction continue ou définie par morceaux. – Approximer l’énergie magnétique par une fonction de θf et de l’angle de commande. – Calcul numérique de Fcem (approximer 1/L par une fonction linéaire par morceaux) puis approximation du résultat par un modèle analytique. C. Approximation par morceaux de L par polynômes qua- dratique de la forme aθ4 + bθ2 + c Dans ce cas, nous avons choisi d’utiliser trois polynômes quadratiques afin de modéliser l’inductance. Les coeffi- cients des polynômes ont été calculés en utilisant la fonction basic fitting de Matlab. Les résultats obtenus présentent des fortes discontinuités dans la modélisation de la fonc- tion couple. En augmentant le nombre des polynômes, les résultats peuvent être améliorés mais le temps de calcul de la commande devient également important. Pour ces raisons nous avons choisi d’utiliser la fonction 1/L plutôt que L. D. Approximation continue de 1/L par un polynôme en cos(2θ) Ce modèle utilise l’approximation de 1/L par un poly- nôme de la forme a cos 2θ2 + b cos 2θ + c afin de faciliter le calcul analytique de la fonction Fcem. Le modèle appro- ché de 1/L est le résultat d’une optimisation en utilisant la fonction lsqcurvefit de Matlab. Les coefficients de ce mo- dèle sont : a = −74.43, b = −130.22 et c = 363.23. Les courbes de la figure 3 représentent la fonction 1/L donnée dans [12] et le modèle approché. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 150 200 250 300 350 400 450 θ [deg] 1/L[H −1 ] Modèle Réel Fig. 3 Modèle polynomial en cos(2θ) de 1/L La figure (4(a)) représente la fonction du couple calculée par ce modèle. L’erreur entre le modèle numérique et ce modèle est donnée par la figure (4(b)). −100 −80 −60 −40 −20 0 0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 θf [deg]l [deg] Fcem [rad2 H−1 ] (a) Fonction du couple −100 −80 −60 −40 −20 0 0 10 20 30 40 50 60 −4 −2 0 2 4 θ f [deg]l [deg] Erreur[%] (b) Erreur fonction du couple Fig. 4 Fcem par approximation de 1/L par a cos 2θ2 + b cos 2θ + c Dans ce cas, l’erreur maximum est d’environ 3% sur l’en- semble des valeurs. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 26-31 E. Modèle approché de la fonction de Wcem Ce modèle est proche du modèle précédent, il consiste à approximer la coénergie magnétique en fonction de θf et de l’angle de commande (l = θf −θa) en ajustant une fonction approchée sur les résultats exacts. Ce modèle s’exprime de la façon suivante : Wcem= U Ω 2 [a lc sin(2θf ) + b lc sin(4θf )] (10) où a = −70.34, b = −24.85 et c = 2.65. −100 −80 −60 −40 −20 0 0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 θf [deg]l [deg] Fcem [rad2 H−1 ] (a) Modèle approché de Fcem −100 −80 −60 −40 −20 0 0 10 20 30 40 50 60 −5 0 5 10 θf [deg]l [deg] Erreur[%] (b) Erreur du modèle approché Fig. 5 Fcem par approximation de Wcem Les courbes de la figure (5(a)) représentent la coénergie magnétique obtenue en utilisant ce modèle. L’erreur entre le modèle approché et le modèle numérique est représentée sur la figure (5(b)) et elle est d’environ 6% . F. Approximation de la fonction 1/L par une fonction li- néaire par morceaux Ce modèle est basé sur l’approximation de la fonction 1/L par une fonction linéaire par morceaux afin de faciliter le calcul numérique de la fonction couple (Fcem) par la méthode des trapèzes. Le modèle approché de la fonction 1/L a été obtenu suite à une optimisation en utilisant la fonction lsqcurvefit de Matlab. Les courbes de la figure (6) représentent la fonction 1/L donnée dans [12] et le modèle linéaire par morceaux. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 150 200 250 300 350 400 450 θ [deg] 1/L[H−1 ] Modèle Réel Fig. 6 Modèle linéaire de la fonction 1/L La fonction couple obtenue en utilisant le modèle donnée sur la figure (6) est représentée sur la figure (7(a)). L’er- reur entre le modèle approché et le modèle numérique est représentée sur la figure (7(b)) et elle est d’environ 6% . −100 −50 0 0 10 20 30 40 50 60 −50 0 50 100 θf [deg]l [deg] Fcem [rad2 H−1 ] (a) Modèle approché de Fcem −100 −50 0 0 10 20 30 40 50 60 −2 0 2 4 6 θf [deg]l [deg] Erreur[%] (b) Erreur du modèle approché Fig. 7 Fcem par approximation de 1/L par une fonction linéaire par morceaux Pour contrôler l’électrobroche nous ne pouvons pas com- mander le couple mais on peut commander l’angle d’ou- verture et l’angle de fermeture, c’est à dire les positions entre lesquelles la phase doit être alimentée. Ainsi, il est nécessaire de disposer d’un modèle de l’angle d’ouverture en fonction du couple. Pour en déduire ce modèle, nous avons fixé l’angle de fermeture à −20 degrés afin de mini- miser les ondulations du couple [2]. Le modèle choisi est une fonction polynomiale du 3`eme degré : θon = a F3 cem + b F2 cem + c Fcem + d (11) Les coefficients de ce modèle sont obtenus par la mé- thode des moindres carrés : a = −1.25e−7, b = 6.33e−5, c = −1.54e−2 et d = −5.64e−1. Les courbes de la figure (8) représentent le modèle approché de Fcem et le modèle donné par l’équation (11). 0 50 100 150 200 250 300 350 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 F cem [rad 2 H −1 ] θ on [deg] Modèle numérique Approximation Fig. 8 Angle d’ouverture en fonction de Fcem pour θoff = −20o Pour choisir le modèle du couple le mieux adapté à notre problème nous devons prendre en compte les performances de l’électrobroche ainsi que celles du système de commande en temps réel. Il est préférable que le modèle soit simple et qu’il reproduise au mieux le comportement de la MRV. Vue la période d’échantillonnage utilisée dans notre cas, il est évident que le modèle choisi doit être le moins coûteux en terme de temps de calcul. Les trois premiers modèles pré- sentés dans ce paragraphe offrent une très bonne précision mais ils aboutissent à des calculs lourds pour une utilisa- tion en temps réel. Le dernier modèle, malgré son erreur de modélisation présente un temps de calcul faible et une bonne précision. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 26-31 V. Asservissement de vitesse d’une MRV 6/2 L’asservissement de vitesse d’une MRV 6/2 très grande vitesse est réalisé en utilisant une commande en pleine onde de tension. Le schéma de l’asservissement de vitesse est re- présenté sur la figure (9). Il comporte trois parties prin- cipales : la partie informatique, la partie puissance et le procédé avec les différents capteurs associés. Fig. 9 Schéma d’asservissement d’une MRV 6/2 – La partie informatique est principalement composée d’un ordinateur doté de deux processeurs INTEL XEON avec une fréquence d’horloge de 2.4 GHz. Le système informatique utilise Linux Temps réel (RTAI) comme système d’exploitation et deux cartes d’acqui- sitions afin de réaliser l’interface entre la partie puis- sance et le procédé. Notre commande est implantée dans ce système et elle se décompose en trois blocs : le correcteur, le modèle du couple et un commutateur permettant de choisir la phase qui sera alimentée. – La partie puissance est constituée d’un convertisseur en demi-pont asymétrique commandé en MLI à trois niveaux de tension. – La MRV est équipée avec un capteur analogique de position et un capteur de tension par phase. Le modèle du couple que nous utilisons permet de linéa- risé la dynamique mécanique de la MRV. Dans ce cas, la dynamique mécanique de la MRV est : J dΩ dt = Cem − fvΩ − Cr (12) où J, Ω, fv et Cr représentent respectivement l’inertie du rotor, la vitesse de rotation, le coefficient de frottement visqueux et le couple résistant (couple d’usinage). Pour ce système, le couple d’usinage se comporte comme une per- turbation. La fonction du transfert en boucle ouverte est du 1er ordre : HBO(s) = 1 fv + Js (13) L’asservissement de vitesse sera donc réalisé par l’inter- médiaire d’un correcteur PI à action proportionnelle sur la vitesse Ω. Le correcteur fournit un couple moteur (noté Cem sur la figure (9)) calculé à partir de l’erreur entre la vitesse de consigne et la vitesse réel de la MRV. En pra- tique le couple moteur d’une MRV est saturé (pour notre MRV le couple maximal est de 0.06 Nm [2]). Lorsque le contrôleur utilisé dans la boucle fermée possède une action intégrale, la saturation nécessite d’introduire un correcteur anti-windup permettant de remettre à zéro (reset) l’inté- grateur lorsque la saturation est active. Si on appelle κ le gain de correcteur et τ sa constante d’intégration, a fonction de transfert du système en boucle fermée est : HBF (s) = 1 Jτ κ s2 + (fv+κ) κ τs + 1 (14) On remarque que le système se comporte comme un sys- tème de deuxième ordre de pulsation propre : ωn = κ Jτ (15) et de facteur d’amortissement : ζ = (fv + κ) 2 τ Jκ (16) VI. Résultats des simulations Afin d’analyser les performances des différents modèles de couple, l’asservissement de vitesse a été simulé pour chaque modèle proposé. L’asservissement de vitesse pour une consigne en éche- lon de vitesse ne présente pas d’intérêt car la simulation implique une saturation totale de la commande. Ainsi nous avons simulé l’asservissement pour une consigne en rampe de vitesse. Pour une vitesse de réfé- rence de 150000 tr/min, nous avons choisi un temps d’ac- célération de 2 s et une tension d’alimentation de 150 V. Les réponses en vitesse du système linéaire équivalent et du système non linéaire sont représentées sur la figure 10. Pour la même simulation les formes des tensions et des courants sont représentées sur la figure (11). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x 10 4 Temps [s] Vitesse[tr/min] Consigne Système linéaire Système non linéaire (a) Courbes de vitesses 1.99 2 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 1.4995 1.4996 1.4997 1.4998 1.4999 1.5 1.5001 1.5002 1.5003 1.5004 1.5005 x 10 5 Temps [s] Vitesse[tr/min] Consigne Système linéaire Modèle Eq. 6 1/L=f(cos(2θ)) Modèle Eq. 9 Modèle Eq. 10 (b) Détail des courbes Fig. 10 Réponse en vitesse pour une consigne en rampe (Ωref = 150000 tr/min, tacc = 2 s) Durant cette simulation on remarque trois zones dis- tinctes. La première zone correspond à la phase de démar- rage du moteur. La réponse en vitesse est typique pour un système de deuxième ordre de facteur d’amortissement in- férieur à 1. On remarque, d’ailleurs que pendant la phase d’accélération en absence de couple d’usinage chaque phase de la MRV est alimentée pendant approximativement 40 degrés (figure 11(a)). On remarque que pour cette vitesse la chaque phase doit être commandée lorsque le rotor se trouve à −60 degrés par rapport à la position de conjonc- tion, donc en face du précédent pôle statorique. Pour ce mode de fonctionnement le couple moteur demandé par le correcteur doit être égal au couple de frottement. La deuxième zone dure 0.02 s et elle est prévue afin d’analyser le comportement du système lors d’un impact de e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 26-31 charge. Pendant cet intervalle de temps une perturbation (un couple résistant) est appliquée au moteur. La baisse de vitesse suite à l’application du couple d’usinage est in- terprétée par le correcteur qui demande à ce que la MRV produit plus de couple moteur. Or, dans notre stratégie de commande, la seule possibilité d’augmenter le couple mo- teur est d’élargir l’angle de commande (figure 11(b)). Mais, dans ce cas, on trouve parfois deux phases alimentées en même temps. Du point vue énergétique le chevauchement des phase n’est pas souhaité. Cet inconvénient peut être diminué en augmentant la tension d’alimentation afin de faciliter la démagnétisation des phases. 50 100 150 200 250 300 −150 −100 −50 0 50 100 150 Position [deg] 10*Courant[A],Tension[V] Phase 1 Phase 2 Phase 3 (a) Cr = 0 Nm 0 50 100 150 200 250 300 350 −150 −100 −50 0 50 100 150 Position [deg] 10*Courent[A],Tension[V] Phase 1 Phase 2 Phase 3 (b) Cr = 0.01 Nm Fig. 11 Courants et tensions pendant l’asservissement (Ωref = 20000 tr/min, tacc = 0.2 s) La troisième zone dure 0.02 s et elle est équivalente à la phase de fin d’usinage. Pendant cette zone, la perturbation est enlevée et la MRV retrouve le fonctionnement de la fin de la première zone. Les réponses en vitesse pendant la deuxième et la troisième zone sont symétriques, ainsi un bon rejet de perturbation est assuré par le contrôleur. Les performances des trois modèles utilisés lors des ces simulations peuvent être jugées similaires en comparant les régimes transitoires lors d’un impact de charge. Le premier dépassement varie entre 0.7% et 2% en fonc- tion du modèle choisi. Il apparaît d’après les courbes de la figure 10(b) que le premier modèle du couple offre le plus petit dépassement (0.7%) mais le temps de calcul de la commande est extrêmement important pour la mise en pratique de la commande dans un environnement temps réel. Le deuxième modèle du couple proposé introduit le plus fort dépassement. Malgré sa simplicité ce modèle allonge le temps de calcul imparti à la commande car, dans un environnement temps réel les fonctions trigonométriques prennent beaucoup de temps de calcul. Le dépassement introduit par le dernier modèle est si- milaire aux dépassements obtenus par l’asservissement du système linéaire équivalent et le temps de calcul de la com- mande est faible. Ainsi, ce modèle offre le meilleur compro- mis performance - temps de calcul en vue de l’implémen- tation de la commande. VII. Conclusion Plusieurs modèles du couple électromagnétique d’une MRV en vue d’une commande en plein onde de tension ont été proposés. L’approche proposée part du principe de l’existence d’un modèle d’inductance. Les modèles du couple électromagnétique proposés ont été obtenus sous des hypothèse largement vérifiées lors de l’utilisation d’une MRV en grande vitesse et par différents approximations pour réduire le degré de complexité. Pour une implémenta- tion en temps réel de la commande nous avons cherché à ob- tenir une expression analytique pour chacun des modèles. Les mesures réelles sur le moteur ont permis d’identifier les valeurs numériques des constantes de chaque modèle. L’asservissement de vitesse par une commande en pleine onde de tension d’une MRV fonctionnant à très grande vi- tesse est analysé en utilisant chacun des modèles du couple proposés. L’utilisation de ces modèles permet de synthéti- ser un correcteur PI anti-windup afin de contrôler la MRV. L’analyse des résultats de simulation valide l’approche de commande. Le comportement de la MRV asservie en vitesse est similaire pour tous les modèles étudiés dans cet article, néanmoins, pour une implémentation temps réel de la commande le dernier modèle s’impose par sa simplicité et son faible temps de calcul. Références [1] J.F. Antoine. Conception et modélisation d’une électrobroche grande vitesse : Résolution des problèmes couplés. PhD thesis, Université de Metz, juillet 2004. [2] C. Visa. Commande non linéaire et observateurs : application à la MRV en grande vitesse. 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