Contrôleur LPV dédié au freinage en virage avec braquage et carrossage actifs

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-2:19900
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Contrôleur LPV dédié au freinage en virage avec braquage et carrossage actifs

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Contrôleur LPV dédié au freinage en virage avec braquage et carrossage actifs Luca PALLADINO 1,2, Gilles DUC2, Richard POTHIN1 1 Direction de la Recherche, RENAULT SAS 1 avenue du Golf, 78288 Guyancourt, France. 2 Département d’Automatique, École Supérieure d’Électricité. Plateau du Moulon, 3 rue Joliot Curie, 91192 Gif sur Yvette, France luca.palladino@renault.com, gilles.duc@supelec.fr http://www.supelec.fr/ecole/sag/ Résumé—Dans cet article, un système de contrôle d’un véhicule routier est développé pour asservir la vitesse de lacet au cours d’un freinage en virage. Une assistance à la conduite est obtenue en utilisant les braquages avant et arrière et le carrossage actif avant et arrière. La loi de contrôle est réalisée en utilisant une extension de la synthèse H∞ loop-shaping au cas de modèles linéaires à paramètres variant. Il est ainsi possible d’obtenir un contrôleur qui dépend de façon dynamique de la vitesse longitudinale du véhicule. Les résultats sont évalués en implantant le contrôleur sur un logiciel de simula- tion numérique. Mots-clés—synthèse H∞, synthèse LPV, braquage actif, carrossage actif. I. INTRODUCTION Ces dernières années, les systèmes de sécurité active, agis- sant sur le freinage, ont pris une place de plus en plus impor- tante à bord des véhicules routiers, les plus connus étant sans doute l’ABS/ASR et l’ESP. Les systèmes agissant sur la di- rection (AFS) sont moins répandus, mais des solutions tech- niques sont proposées dans [13]. Dans cet article, un système de contrôle du moment de lacet d’un véhicule routier pendant un freinage en virage sur adhérence uniforme est développé. Le but est de garder la vitesse de lacet la plus proche possible d’une vitesse de référence de manière à limiter le sous-virage du véhi- cule pendant la manoeuvre. Le contrôle de la vitesse de lacet du véhicule est un thème qui a été largement développé dans la littérature. Par exemple, une commande prédictive a été développée en [11] pour contrôler le sur-virage et le sous-virage en utilisant le freinage. Toujours dans le même domaine, certains auteurs ont utilisé la commande LQG [12] ou la logique floue [4] : l’asservissement de la vitesse de lacet est obtenu en utilisant le braquage dans le premier cas, le freinage dans le deuxième. La dynamique du véhicule est bien représentée par un modèle linéaire invariant lorsque la vitesse longitudinale est fixe. Par contre, la vitesse modifie de façon significative la dynamique du véhicule. Il est important de souligner que la vitesse du véhicule peut être estimée en utilisant la vitesse de rotation des roues : il est donc intéressant de rechercher un contrôleur qui soit fonction de la vitesse en utilisant la théorie développée pour les systèmes à paramètres variants (systèmes LPV). Cette méthodologie a été souvent utilisée dans le domaine aérospatial [3], [5], [8], mais beaucoup moins pour le contrôle d’un véhicule [10]. L’article est organisé comme suit : le paragraphe II présente un bref rappel de la synthèse H∞ par "loop-shaping" pour les systèmes invariants et de son extension aux systèmes LPV po- lytopiques. La modélisation d’un véhicule routier en vue du contrôle de sa dynamique latérale est proposée au paragraphe III. La solution LPV proposée est développée au paragraphe IV et les résultats sont évalués en utilisant un simulateur numérique. Pour terminer certaines conclusions et perspectives sont propo- sées. II. OUTILS THEORIQUES A. Synthèse H∞ par loop shaping La synthèse H∞ par "loop-shaping" a été introduite par Mc- Farlane et Glover en [9]. Il est possible de dégager deux raisons principales qui rendent cette méthode intéressante : en premier lieu les paramètres de synthèse sont choisis selon les concepts de l’automatique classique et par ailleurs, la méthode conduit en général à des propriétés de robustesse intéressantes. La mise en oeuvre s’effectue en deux opérations : on commence par mo- deler le comportement fréquentiel du modèle nominal G(s) en utilisant des filtres sous la forme d’un pré-compensateur W1(s) et d’un post-compensateur W2(s), de façon à obtenir un com- portement en gain et en phase correct ; le modèle nominal est alors remplacé par le nouveau modèle Ga(s) =W2(s)G(s)W1(s) ; la deuxième étape consiste à résoudre pour le nouveau modèle Ga(s) le problème H∞ suivant : pour γ > 0 aussi petit que pos- sible, trouver un correcteur K(s) stabilisant tel que :  K (s) I   I +Ga (s)K (s) −1  Ga (s) I   ∞ < γ (1) La norme H∞ qui intervient dans (1) correspond au transfert de (w1 w2)T vers (e1 e2)T sur la Figure 1. Elle permet aussi d’as- surer la robustesse de la stabilité vis-à-vis d’incertitudes sur la factorisation première de Ga(s), de norme H∞ inférieure à γ−1. Le correcteur est finalement obtenu en associant en série W2(s), K(s) et W1(s). En pratique, toute la synthèse dépend du choix des filtres W1(s) et W2(s). Le pré-compensateur W1(s) est en général com- posé de filtres passe-bas, afin de filtrer les hautes fréquences pour à la fois atténuer les bruits de mesure et assurer une bonne robustesse aux dynamiques négligées. Il permet aussi de ne pas e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 14-19 Fig. 1. Schéma de synthèse H∞ par loop-shaping solliciter trop fortement les commandes dans les hautes fré- quences, et de diminuer ainsi la sollicitation des actionneurs. Le post-compensateur W2(s) est choisi en général de façon à obte- nir des gains élevés en basses fréquences (par exemple au moyen d’actions intégrales), et à garantir ainsi la précision de la correc- tion. Pour améliorer les marges de stabilité, il est aussi possible de placer des correcteurs à avance de phase, soit dans W1(s) soit dans W2(s). Enfin il est possible noter que la valeur de γ obtenue dans la synthèse H∞, qui suit ces choix, permet ou non de les valider : en effet cette valeur donne une idée de la robustesse du système corrigé. L’information sur la valeur de γ remplace l’informa- tion sur les marges de gain et de phase utilisées en Automatique classique, avec de plus l’avantage qu’elle reste pertinente pour un système multivariable. B. Synthèse LPV polytopique B.1 Introduction Les modèles LPV sont des systèmes dont les matrices de la représentation d’état dépendent d’un vecteur ρ de paramètres variant dans le temps : ˙x(t) = A(ρ(t))x(t)+B1(ρ(t))w(t)+B2(t)u(t) e(t) = C1(ρ(t))x(t)+D11(ρ(t))w(t)+D12u(t) (2) y(t) = C(ρ(t))x(t)+D21w(t) où w et u sont les perturbations et les entrées de commande, tandis que e et y sont les erreurs contrôlées et les mesures. Les résultats établis dans [2] sont appliqués en considérant un système où : (a) les matrices A(ρ), B1(ρ), C1(ρ), D11(ρ) dépendent de ρ de manière affine ; (b) le vecteur ρ(t) évolue dans un polytope P de sommets P1,..., PN : ρ(t) ∈ C0 {P1,...,PN} ≡ N ∑ i=1 αiPi,αi ≥ 0, N ∑ i=1 αi = 1 (3) Il est possible d’écrire le modèle sous la forme compacte sui- vante : S(ρ) =   A(ρ) B1(ρ) B2 C1(ρ) D11(ρ) D12 C2 D21 0  , ρ ∈ P (4) D’après (a) et (b), S(ρ) est le barycentre du polytope dont les sommets sont les images de P1,...,PN : {S(ρ),ρ ∈ P} = C0 {S1,S2,...,SN} (5) Si =   Ai B1i B2 C1i D11i D12 C2 D21 0   (6) Il est intéressant d’observer que les matrices B2, D12, C2, D21 sont supposées indépendantes du paramètre ρ, tandis que la ma- trice D22 est supposée nulle. B.2 Synthèse de la loi de commande La synthèse H∞ présentée au paragraphe II-A peut être éten- due aux modèles LPV. Le but est de trouver un contrôleur ca- pable de contrôler le modèle polytopique (5) et (6), pour que le système en boucle fermée soit stable avec un gain L2 inférieur à γ, c’est-à-dire tel que e(t) 2 < γ w(t) 2 soit valable pour toutes les trajectoires possibles de ρ(t) dans P. Le contrôleur est lui-même recherché sous forme polyto- pique, pour le sommet Si il est noté : Ωi =  AKi BKi CKi DKi   (7) Les sommets du système en boucle fermée sont donc repré- sentés par : Scli =  Acli Bcli Ccli Dcli   (8) où : Acli =  Ai +B2DKiC2 B2CKi BKiC2 AKi   (9) Bcli =  B1i +B2DKi D21 BKi D21   (10) Ccli =  C1i +D12DKiC2 D12CKi   (11) Dcli = D11i +D12DKi D21 (12) Ces matrices dépendent de façon affine des matrices qui défi- nissent le sommet Ωi. Il est alors possible d’obtenir un contrô- leur si et seulement si il existe une matrice X = XT définie posi- tive qui satisfait simultanément les N inégalités matricielles : Ψi(X,Ωi) =   AT cliX +XAcli XBcli CT cli BT cliX −γI DT cli Ccli Dcli −γI   < 0 i = 1,...,N (13) Ces inégalités sont bilinéaires par rapport aux variables X et Ωi. Des manipulations élémentaires permettent d’obtenir les in- égalités suivantes :  NR 0 0 I   T   AiR+RAT i RCT 1i B1i C1iR −γI D11i BT 1i DT 11i −γI    NR 0 0 I   < 0 i = 1,...,N (14)  NS 0 0 I   T   AT i S+SAT i SB1i CT 1i BT 1iS −γI DT 11i C1i D11i −γI    NS 0 0 I   < 0 i = 1,...,N (15) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 14-19  R I I S   ≥ 0 (16) où NR et NS représentent des bases des noyaux de BT 2 ,DT 12 et (C2,D21) respectivement. Ces dernières inégalités sont affines en les variables R, S et γ de sorte que minimiser γ sous les contraintes (14) à (16) est un problème convexe. B.3 Reconstruction du contrôleur A partir des matrices R et S, la matrice X qui intervient dans (13) peut être reconstruite en résolvant :   I 0 R M  X =  S N I 0   (17) où M et N sont obtenues en effectuant la factorisation : I −RS = MNT Une fois que X a été déterminée, toutes les inégalités de (13) sont affines par rapport à Ωi ; chacune d’elles définit de la sorte un ensemble convexe, il est donc facile d’obtenir des valeurs pour les Ωi. Le correcteur final est donc obtenu par la combinai- son linéaire suivante : K(ρ(t)) = N ∑ i=1 αi(t)Ωi (18) où les coefficients αi(t) sont calculés en temps réel à partir du vecteur ρ(t) comme dans (3). III. DÉFINITION DU PROBLÈME ET MODÈLE DU VÉHICULE A. Définition de la performance Cet article s’intéresse à la performance communément appe- lée freinage en virage. Elle a pour objectif de limiter le sous- virage du véhicule lorsque celui-ci se trouve dans une courbe et que le conducteur appuie sur la pédale de frein. Ici le test est réa- lisé sur un virage de rayon fixé et l’adhérence du pneumatique est supposée constante. L’angle du volant et la vitesse du véhi- cule sont définis pour parcourir le virage sous une accélération latérale donnée. Bien que l’action du conducteur sur la pédale du frein provoque un sous-virage du véhicule, l’angle volant est gardé constant. Le but du contrôleur est évidemment d’éliminer le pic de vitesse de lacet lié au sous-virage et de faire suivre au véhicule une vitesse de lacet de référence. Pour déterminer les performances du contrôleur, on définit comme critère la valeur maximale du rapport entre la vitesse de lacet effectivement obtenue et la vitesse de lacet de référence : J = max ˙ψ(t) ˙ψre f (t) (19) B. Modélisation du véhicule Dès lors que les spécifications concernent uniquement la dy- namique latérale, seule celle-ci est considérée dans la modé- lisation (Figure 2). Le contrôle du glissement et de la dyna- mique longitudinale est laissé à un bloc ABS spécialement dé- dié ; ce dernier système est supposé indépendant pour chacune des roues. La méthode de Lagrange avec une approximation aux petits angles conduit au modèle suivant [7] : Fig. 2. Définition des variables du véhicule TABLE I VARIABLES ET CONSTANTES PRINCIPALES Symboles Nom y Déplacement latéral v Vitesse latérale V Vitesse longitudinale φ Angle de roulis ψ Angle de lacet β Angle de dérive δk Angle de braquage de la roue k γk Angle de carrossage de la roue k Fye Force de perturbation latérale Fφe Force de perturbation en roulis Mze Moment de perturbation en lacet Fxk Force longitudinale de la roue k xk, yk Distances entre la roue k et le CDG suivant les axes x et y m(˙v−V ˙ψ) = JS ¨φ +Yβ β +Y˙ψ ˙ψ V +Yφ φ +∑4 k=1Yδk δk +∑4 k=1Yγk γk +∑4 k=1 Fxkδk +Fye (20) Jx ¨φ = (JXZS +mSch) ¨ψ +(˙v−V ˙ψ)JS +Lβ β +Lφ φ +L ˙φ ˙φ +∑4 k=1 Lδk δk +∑4 k=1 Lγk γk +L ˙ψ ˙ψ V +Fφe (21) Jz ¨ψ = Nβ β +N ˙ψ ˙ψ V +∑4 k=1 Nδk δk +∑4 k=1 Nγk γk −∑4 k=1 Fxkyk +∑4 k=1 xkFxkδk +Mze (22) ¨y = ˙v (23) ˙β = ˙v V − ˙ψ (24) Les variables dépendant du temps sont données dans le Ta- bleau I. La vitesse longitudinale V est mesurée et peut donc être considérée comme un paramètre variant. Cette hypothèse per- met de rendre le modèle linéaire. Sous forme d’état, les vec- teurs d’état et de commande sont donc X = [ ˙y φ ˙φ ˙ψ ]T et u = [δAV δAR γAV γAR ]T , où δAV et δAR sont les angles de braquage avant et arrière, γAV et γAR les angles de carros- sage avant et arrière (on a donc δ1 = δ2 = δAV , δ3 = δ4 = δAR, γ1 = γ2 = γAV et γ3 = γ4 = γAR dans les équations (20) à (24)). L’angle de carrossage est l’angle entre l’axe perpendiculaire au plan de la route et le plan de la roue. La sortie ˙ψ à controller est aussi mesurée. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 14-19 IV. SOLUTION PROPOSÉE A. Définition du polytope La vitesse longitudinale V influence de manière importante la dynamique du modèle. Un contrôleur à coefficients fixes par rapport au temps n’est donc pas suffisant pour obtenir les per- formances souhaitées car du fait du freinage, la vitesse change rapidement et de façon importante. Mais comme ce paramètre est mesuré, il est possible de réaliser un contrôleur dépendant de la vitesse. A partir des équations (20) à (24), il est facile de constater que les matrices de la représentation d’état dépendent de manière af- fine de V et 1/V. Il est donc possible de définir le vecteur de pa- ramètres ρ = (ρ1 ρ2)T = (V 1/V)T ; le domaine de variation pa- ramétrique est alors l’hyperbole ρ2 = 1/ρ1 avec ρ1 ∈ [Vmin;Vmax] (voir Figure 3), où [Vmin;Vmax] est l’intervalle de vitesses consi- déré pour calculer la loi de commande. Pour pouvoir réaliser le contrôleur, il est nécessaire de défi- nir une surface convexe qui contient le domaine de variation des paramètres ; une figure géométrique simple est le trapèze repré- senté sur la Figure 3 : ce domaine est délimité en premier lieu par le segment [(Vmin,1/Vmin),(Vmax,1/Vmax)], les deux autres bords sont obtenus à partir des tangentes aux sommets (Vmin,1/Vmin) et (Vmax,1/Vmax), le dernier segment est obtenu en considérant les intersections de la droite parallèle au premier segment avec les deux tangentes. La vitesse Vmin ne peut évidemment pas être choisie nulle, car dans ce cas le paramètre ρ2 n’est plus défini. Pour éviter cette singularité, sa valeur doit être choisie de façon à couvrir un intervalle de vitesses suffisamment large avec un trapèze de surface suffisamment faible. Pour toute vitesse inférieure à Vmin, on appliquera le correcteur LPV gelé correspondant à V = Vmin. Fig. 3. Structure du polytope B. Synthèse de la loi de commande Pour notre problème, la structure choisie pour le modèle aug- menté Ga(s) est celle de la figure 4, avec des filtres passe-bas sur chaque commande, et un intégrateur combiné avec un filtre à avance de phase sur la sortie mesurée. Les filtres ont ainsi la structure suivante :1 W δk 1 (s) = K δk 1 1+τ δk 1 s k = 1,...,4 (25) 1Pour des raisons de confidentialité, les valeurs numériques n’apparaissent pas dans l’article, ni dans les formules ni dans les graphiques. W γk 1 (s) = K γk 1 1+τ γk 1 s k = 1,...,4 (26) W ˙ψ 2 (s) = K2 1+τ2s s 1+τ′ 2s avec τ2 > τ′ 2 (27) Fig. 4. Structure du modèle pour la synthèse Le contrôleur est alors déterminé pour chaque sommet en ac- cord avec la méthode expliquée au paragraphe II-B.2. Pour obtenir le contrôleur LPV courant, il est nécessaire de faire une mise à jour de celui-ci en temps réel en fonction de la vitesse V : pour cela les coefficients αi qui le définissent (voir (18)) doivent être calculés de façon à exprimer le vecteur (ρ1,ρ2) = (V,1/V) comme un barycentre du trapèze de la fi- gure 3. Soient (xi,yi),i = 1,...,4 les coordonnées des sommets du trapèze. Les coefficients α1,...,α4 sont solutions du système linéaire suivant : 1/V = α1y1 +α2y2 +α3y3 +α4y4 V = α1x1 +α2x2 +α3x3 +α4x4 (28) 1 = α1 +α2 +α3 +α4 Le système (28) a une infinité de solutions ; il est donc néces- saire de concevoir un algorithme qui permette de calculer les αi tout en garantissant une certaine continuité en fonction du temps des valeurs obtenues. Une solution possible a été proposée dans [10]. Elle consiste à prendre la solution de (28) qui minimise la norme de la différence avec le vecteur des αi obtenu à la période d’échantillonnage précédente. Elle ne garantit pas rigoureuse- ment qu’une solution avec tous les αi non négatifs soit obtenue à chaque période, bien qu’aucun problème n’ait été rencontré en pratique. Une solution un peu différente est proposée ci-dessous. A chaque itération, on considère successivement les 4 triangles obtenus en sélectionnant 3 des 4 sommets du trapèze, et on ex- prime successivement le vecteur ρ comme barycentre de chaque triangle : ρ étant contenu dans au moins un des triangles, on est assuré de la sorte qu’au moins une solution corresponde à des αi non négatifs. Cet algorithme est mis en oeuvre à chaque période d’échantillonnage. Algorithme 1: 1. A partir de la vitesse mesurée V, résoudre le système d’équa- tions (28) quatre fois, en figeant à 0 alternativement chacun des αi. 2. Conserver seulement les solutions où tous les αi sont positifs ou nuls. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 14-19 3. Calculer la norme de la différence entre les solutions accep- tables et la solution du pas de calcul précédent et conserver celle pour laquelle la norme est la plus faible. Calculer le correcteur correspondant suivant (18). 4. Si V >Vmin, aller en 1. ; sinon garder le correcteur correspon- dant à V = Vmin. C. Résultats La structure du système en boucle fermée est reportée sur la Figure 5 : le conducteur agit sur l’angle de braquage avant et le contrôleur essaie de réduire l’erreur entre la vitesse de lacet et une valeur de référence ˙ψd, obtenue grâce à un bloc d’inter- prétation de la volonté du conducteur. L’idée directrice est de ne pas contrecarrer l’action du conducteur, mais d’ajouter une action de braquage à celle qu’il produit : l’angle de braquage avant calculé par le correcteur s’ajoute donc à celui du conduc- teur, tandis que les angles de braquage arrière et de carrossage agissent de manière indépendante. Fig. 5. Structure du système de contrôle Le réglage des filtres est effectué afin que les différentes com- mandes soient sollicitées de façon plus ou moins importante : sur le braquage avant, la commande est réglée pour être du même ordre de grandeur que la consigne volant du conducteur, par contre sur le braquage arrière et sur le carrossage les commandes sont plus faibles en raison des caractéristiques physiques des ac- tionneurs. Pour mettre en évidence l’apport de l’utilisation du carros- sage et du braquage actifs, les résultats obtenus avec ce type de configuration d’actionneurs seront confrontés avec les résultats obtenus avec un contrôleur LPV qui agit seulement sur les bra- quage avant et arrière. Dans les deux cas les filtres (25) et (27) sont identiques. Les contrôleurs obtenus assurent de bonnes marges de stabi- lité au sens de la synthèse H∞ par loop-shaping : les valeurs de γ sont de 2.50 dans le cas ou seul les braquages sont utilisés et 2.60 avec braquage et carrossage. Les contrôleurs sont obtenus en utilisant le solveur de MATLAB [6]. Les conditions de conduite pour lesquelles les corrections sont à présent testées sont les suivantes : la voiture est sur un virage de 150 m de rayon avec une adhérence égale à 1 et la vitesse du véhicule en début de freinage est de 110 km/h. Dans ces conditions la voiture a tendance à être sous-vireuse pendant le freinage. Le but de l’action de contrôle est d’éviter cette aug- mentation de la vitesse de lacet de sorte que le conducteur n’ait pas à contre-braquer pour corriger le comportement du véhicule. C’est pour cette raison que le test est fait à angle volant constant. Les résultats montrés ci-dessous sont obtenus avec un simu- lateur du comportement dynamique non linéaire du véhicule qui considère l’évolution dynamique des composants du véhicule. Sur les Figures 6 à 10, les courbes présentées sont les sui- vantes : la ligne continue correspond au comportement sans contrôleur, la pointillée correspond à un contrôleur qui n’utilise que le braquage, tandis que pour celle en trait mixte, le braquage et le carrossage sont utilisés pour effectuer la correction. 8.5 9 9.5 10 0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02 1.025 1.03 Vitesse de lacet normalisée Temps [s] Vitessedelacetnormalisée Sans Controleur Controleur avec braquage Controleur avec braquage et carrossage Fig. 6. Vitesse de lacet normalisée ˙ψ(t) ˙ψre f (t) (et critère J) 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 Angle de braquage avant Temps [s] Angledebraquageavant Sans Controleur Controleur avec braquage Controleur avec braquage et carrossage Fig. 7. Angle de braquage avant Sur la Figure 6 il est possible d’observer tout d’abord que la vitesse de lacet diverge en l’absence de correction, tandis qu’elle se maintient à des valeurs raisonnables pour le système corrigé. L’utilisation du carrossage permet de réduire la valeur du critère (le maximum de cette courbe) et conduit à des réponses mieux amorties ; de plus, elle amène une réduction des commandes dé- livrées par les autres actionneurs, comme on le voit sur les Fi- gures 7 et 8. L’évolution des angles de carrossage apparaît sur les Figures 9 et 10 : notons que le carrossage actif conserve à ces angles des valeurs raisonnables en regard de celles qui ap- paraissent naturellement lorsque cette commande n’est pas uti- lisée. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 14-19 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 Angle de braquage arrière Temps [s] Angledebraquagearrière Sans Controleur Controleur avec braquage Controleur avec braquage et carrossage Fig. 8. Angle de braquage arrière 8.5 9 9.5 10 Angle de carrossage du train avant Temps [s] Angledecarrossagedutrainavant Sans Controleur Controleur avec braquage Controleur avec braquage et carrossage Fig. 9. Angle de carrossage avant V. CONCLUSION Dans cet article un système de contrôle du mouvement de la- cet d’un véhicule a été développé par la synthèse LPV : une solution utilisant le braquage et le carrossage actifs a été propo- sée et comparée à une synthèse utilisant seulement le braquage. Logiquement l’utilisation de deux actions de commande donne des résultats plus intéressants que dans le cas où une seule est utilisée, même si le gain au niveau du critère et de l’amplitude des angles de braquages peut apparaître un peu limité. Ce dernier phénomène est lié au fait que la rigidité de carros- sage n’est pas aussi importante que celle de dérive (tableau II). Donc dans l’état actuel des pneumatiques, il n’est pas possible d’avoir les mêmes performances en utilisant le carrossage ou le braquage sans modifier l’emplacement occupé par les roues. Les caractéristiques des pneumatiques actuellement commer- cialisés unies à notre stratégie de commande ne permettent pas d’obtenir la performance présentée en utilisant seulement le car- rossage : vu la faible raideur de carrossage, le contrôleur serait obligé de donner un angle de carrossage qui n’est pas applicable au véhicule. Si par contre, il était possible d’utiliser des pneu- matiques avec une raideur de carrossage plus important, alors le contrôleur fournirait des angles de carrossage plus petits qui seraient alors applicables au véhicule. 8.5 9 9.5 10 Angle de carrossage du train arrière Temps [s] Angledecarrossagedutrainarrière Sans Controleur Controleur avec braquage Controleur avec braquage et carrossage Fig. 10. Angle de carrossage arrière TABLE II VALEURS NUMÉRIQUES Variable et Symbole Valeur Unité Physique Poids du véhicule - m 1700 kg Empattement - l 2,741 m Voie avant - t1 1525 mm Voie arrière - t2 1480 mm Inertie de l’axe z - Jz 3000 kg m2 Rigidité dérive avant - C1 C2 1250 N /deg Rigidité dérive arrière - C3 C4 1085 N /deg Rigidité dérive par carrossage avant - Cγ1 Cγ2 -91 N /deg Rigidité dérive par carrossage arrière - Cγ3 Cγ4 -55 N /deg RÉFÉRENCES [1] P. Apkarian et R. Adams, Advanced Gain-Scheduling Techniques for Un- certain Systems. IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 6, No. 1, 1998. [2] P. Apkarian et al., Self-scheduled H∞ control of linear parameter-varying systems : a design example. Automatica, No. 31, pp. 1251-1261, 1995. [3] J.M. Biannic et P. Apkarian, Missile Autopilot Design via a Modified LPV Synthesis Technique. Aerospace Science and Technology, No.3, pp. 153- 160, 1999. [4] K.R. 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