APPROCHE D’ORDRE NON ENTIER POUR LA COMMANDE ROBUSTE DU FLUX DE TRAFIC

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-2:19898
DOI :

Résumé

APPROCHE D’ORDRE NON ENTIER POUR LA  COMMANDE ROBUSTE DU FLUX DE TRAFIC

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	    <date dateType="Created">Sat 23 Sep 2017</date>
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Résumé — Nous proposons dans le présent article une approche d’ordre non entier dans le cadre de l’élaboration d’une commande robuste d’un flux de véhicules se déplaçant sur un segment d’autoroute. Nous avons retenu un modèle du procédé basé sur l’analogie hydrodynamique du flux de trafic, celui de Lighthill-Whitham-Richards (LWR). Celui-ci a été validé par de nombreux travaux de recherche et d’études pratiques. Le modèle LWR est défini en termes d’équations aux dérivées partielles, il décrit l’évolution d’un procédé à paramètres distribués qui possède un temps mort considérable. À l’aide de la fonction de Green, qui est essentiellement un outil de transformation mathématique, nous obtenons une représentation par fonction de transfert du flux autoroutier. L’étude de la fonction de transfert a été réalisée dans les domaines temporel et fréquentiel. La synthèse d’un intégro-dérivateur d’ordre non entier, qui est introduit en tant que régulateur dans la configuration à modèle interne du prédicteur de Smith pour la commande des procédés à temps mort, a été réalisée à l’aide d’une méthode récursive d’approximation. Deux cas de segments autoroutiers ont été étudiés pour estimer l’applicabilité et l’efficacité de l’approche de régulation proposée. Les réponses indicielles et les caractéristiques fréquentielles ont été obtenues par simulation. L’analyse des résultats graphiques montre l’intérêt de l’approche proposée. Enfin, de futurs travaux de recherche sont proposés à l’intersection des domaines CRONE et transport. Mots clés — CRONE, méthode rationnelle récursive, régulateur PIλ Dµ , système à paramètres distribués, fonction de Green, flux de véhicules. I. INTRODUCTION Durant les deux siècles de son existence, le calcul d’ordre non entier a marqué un progrès sérieux dans différents domaines de la science. La dérivation et l’intégration fractionnelles ont trouvé plusieurs applications en modélisation [9,23] et en régulation [4,14]. La Commande Robuste d’Ordre Non Entier (CRONE), formulée par A. Oustaloup [3,4], a engendré de nombreuses recherches dont les résultats, regroupés durant les dernières décennies, spécifient une nouvelle classe au sein des systèmes de commande robuste. Cette classe se caractérise par la fractalité dans les équations des régulateurs utilisés. D’un point de vue pratique, les fonctions d’ordre non entier qui représentent des irrationalités, ne sont pas réalisables par des éléments physiques. Cela impose le développement de méthodes d’approximation, parmi lesquelles les plus utilisées substituent à l’opérateur fractal des expressions rationnelles polynomiales [13], en séries de puissance, par fractions continues (CFE) [11,15,22], diffusives [6,12], récursives [1,4]. Les régulateurs, conçus suivant une de ces approches sont appelés « réjecteurs » suite au fait qu’ils rejettent les effets perturbateurs, agissant sur le système, dans le cas où ces derniers appartiennent à un domaine d’incertitude, connu ou déterminé. L’incertitude dans le modèle d’un procédé réel est définie par l’ensemble des perturbations, propres au processus considéré. Pour être efficace en conditions d’incertitude, le système de commande doit être robuste – c’est-à-dire que ses performances doivent être invariantes par rapport aux actions perturbatrices présentes, si elles restent dans l’ensemble préalablement déterminé. De même que tous les systèmes robustes, ceux de la classe CRONE, pour une plage de fréquences prédéfinie, résistent aux perturbations, prévues par la synthèse, en garantissant la stabilité et les performances imposées par le critère utilisé. Cette propriété de robustesse est traduite par les profils spécifiques des caractéristiques fréquentielles que l’analyse par simulation fournit. Le gabarit vertical du lieu de Black-Nichols et le colimaçon du lieu de Nyquist sont les manifestations graphiques qu’A. Oustaloup désigne comme représentatives pour la CRONE. Elles reflètent les principaux avantages des régulateurs réjecteurs, qui sont l’invariance en termes de marges de stabilité et la sensibilité réduite aux actions perturbatrices. Les différentes lois de commande typiques à action proportionnelle, intégrale et dérivée, aussi bien que leurs combinaisons qui composent les régulateurs PI, PD, PID, etc., peuvent être obtenues également en forme d’ordre non entier. Cela se fait à partir d’un algorithme fractal qui réalise l’approximation des deux éléments principaux – l’intégrateur et le dérivateur. Ceci dit, on peut considérer le régulateur connu et largement utilisé – PID, comme le cas particulier d’un intégro-dérivateur d’ordre arbitraire, en l’occurrence – non entier [14]. Une approximation récursive est ici utilisée, dont le résultat pour un intervalle de fréquences prédéterminé, représente une combinaison d’éléments de base faciles à réaliser. Le flux de trafic autoroutier est un procédé caractérisé par l’incertitude dans les conditions réelles de fonctionnement en présence de différentes actions perturbatrices, ce qui impose la synthèse d’un système robuste pour sa régulation. L’approche que nous proposons pour commander le flux de véhicules avec un PIλ Dµ fractal tend à prouver l’applicabilité et l’efficacité de la CRONE dans ce domaine de processus. II. MODELE DU FLUX DE TRAFIC Pour vérifier l’applicabilité de l’approche proposée, il fallait choisir à partir des nombreux modèles du flux de trafic connus, celui qui correspondrait le mieux à la méthode de commande désirée. Nous avons préféré aborder cette problématique selon le point de vue macroscopique de modélisation du flux de trafic routier dans le but d’étudier la régulation du flux sur des BELA BENOVA1,2 , DANIEL JOLLY1 , EMIL NIKOLOV2 1 Laboratoire de Génie Informatique et d’Automatique, Faculté des Sciences Appliquées Université d’Artois, Technoparc Futura, 62400 Béthune, France 2 Département « Automatisation de la Production Continue », Faculté d’Automatique Université Technique – Sofia, 8 av. Kliment Ohridski, bat. 9, 1000 Sofia, Bulgarie oxytank@yahoo.com, daniel.jolly@fsa.univ-artois.fr nicoloff@tu-sofia.bg APPROCHE D’ORDRE NON ENTIER POUR LA COMMANDE ROBUSTE DU FLUX DE TRAFIC e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 1-7 segments et des réseaux autoroutiers, sans prendre en considération les véhicules individuels. Parmi les modèles, basés sur l’analogie hydrodynamique, nous avons finalement sélectionné celui de Lighthill – Whitham [16] et Richards (LWR) [20]. Bien que simplifié par rapport à la nature des phénomènes physiques propres au flux routier qu’il est censé reproduire, ce modèle a prouvé durant plusieurs décennies sa validité dans des travaux de recherche et des applications pratiques. La théorie macroscopique du trafic assimile un flot de véhicules à un phénomène continu. Les dimensions des véhicules sont négligées, le débit, la densité et la vitesse moyenne sont des fonctions continues qui caractérisent l’état du flot. La relation entre la densité et la vitesse moyenne (1) indique que la vitesse des véhicules en un point donné est fonction de la densité des véhicules en ce point et au même instant. Le flux q est donné par la relation (2), il dépend de la densité et de la vitesse moyenne au point x à l’instant t. Le modèle LWR repose sur l’équation de conservation (3) qui indique que le nombre total de véhicules est invariant en tout point d’un segment d’autoroute considéré. Si dans la relation entre le flux q et la densité ρ (2) on prend en considération le fait que la vitesse est une fonction de la densité (1), on obtient l’expression (4) qui correspond au diagramme fondamental (Fig.1.). Différentes équations mathématiques sont proposées par plusieurs auteurs pour décrire le diagramme fondamental. L’équation (5) est celle proposée par Greenshields [5]. Elle dépend de la vitesse libre vf et de la densité maximale ρmax. En dérivant la relation fondamentale (2) et en la combinant à l’expression du diagramme fondamental, on obtient l’équation de conservation (27), qui est utilisée ensuite pour en déduire une représentation sous forme de fonction de transfert pour le modèle LWR du flux de trafic. (1) ( ) ( )( )txvtxv e ,, ρ= (2) ( ) ( ) ( )txvtxtxq ,,, ρ= (3) ( ) ( ) 0 ,, = ∂ ∂ + ∂ ∂ t tx x txq ρ (4) ( ) ( ) ( )( )txvtxtxq e ,,, ρρ= (5) ( ) ( ), 1, max         −= ρ ρ tx vtxv f (6) ( ) ( ) ( ) 0 ,, 21 , max = ∂ ∂       −+ ∂ ∂ x txtx v t tx f ρ ρ ρρ q ρ cρ m axρ m a xq ré g im e flu id e ré g im e co n g e stio n n é Iv q ρ cρ m axρ m a xq ré g im e flu id e ré g im e co n g e stio n n é Iv Figure 1. Diagramme fondamental du flux de trafic. Cette description mathématique du procédé de commande repose sur des équations aux dérivées partielles. Cela signifie qu’il faut lui appliquer une transformation pour obtenir une expression sous forme de fonction de transfert. L’étude dans le domaine temporel et fréquentiel de ce modèle en sera ainsi facilitée. Parmi les nombreuses méthodes existant pour la résolution de ce problème, on a choisi d’utiliser la fonction de Green [10,18]. Il s’agit d’un outil mathématique qui est employé pour la modélisation des systèmes à paramètres distribués. Le système de flux de véhicules fait partie des systèmes de ce type du fait du temps mort, introduit dans le modèle par la longueur L du segment d’autoroute considéré. Pour commencer il faut formuler le problème généralisé et appliquer ces principes fondamentaux dans le cas particulier du modèle LWR. Un bloc (Fig.2) est dit distribué lorsque la grandeur d’entrée est mesurée dans un point de l’espace, alors que la grandeur de sortie est mesurée en un autre. ( )τξ ,,t,xG ( )txw ,1 ( )txQ ,2 ( )τξ ,,t,xG ( )txw ,1 ( )txQ ,2 Figure 2. Bloc avec des signaux d’entrée et de sortie distribués. La description d’un bloc distribué (7) se fait à l’aide d’un opérateur intégral qui fait correspondre à chaque signal d’entrée ( )txw ,1 , ( )011 , ttDx ≥∈ un signal de sortie ( )txQ ,2 , ( )022 , ttDx ≥∈ . Il est facile de voir qu’un bloc distribué est décrit de manière univoque par le noyau de l’opérateur intégral, qui porte des appellations différentes en fonction du domaine d’application – fonction de Green, fonction de réponse impulsionnelle, fonction de source ou d’influence. La fonction ( )τξ ,t,,xG possède deux arguments temporels – ( )00 , ttt ≥≥τ et deux arguments spatiaux –( )12 , DDx ∈∈ ζ . La fonction de Green donne la réaction du bloc distribué dans le point 22 Dx ∈ dans un moment du temps 0tt ≥ à une impulsion unitaire appliquée à l’entrée dans le point ξ=1x et dans l’instant τ=t . La fonction de transfert ( )p,,xW ξ dans le cas généralisé est donnée par l’intégrale (8). (7) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⋅= t t D ddWtxGtxQ 0 2 ,,,,, 22 τξτξτξ (8) ( ) ( ) ( )ωσξξ jptdtxGepxW tp +== ∫ ∞ − ,,,,, 0 La caractéristique fréquentielle ( )ωξ j,,xW , correspondante à la fonction de transfert ainsi définie, est en effet la transformée de Fourier, suivant le temps, de la fonction de Green. Il est possible de déduire, à partir d’équations aux dérivées partielles typiques, la fonction de Green qui correspond le mieux à la représentation mathématique du procédé étudié. Suite à certaines transformations mathématiques, la description du flux de trafic (6) est ramenée à la forme (9), qui représente un cas particulier pour lequel on obtient les fonctions de Green, de standardisation et de transfert sous la forme (10) [2]. L’expression (11) décrit un procédé distribué, dont les paramètres dépendent de l’opérateur de Laplace p, aussi bien que des variables d’espace ξ et x. En termes appropriés des grandeurs du flux, la fonction de transfert pour le modèle LWR devient (12). (9) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,0,0 ,, ,, ≠≠≥≥ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ batx txftxuc x txu b t txu a (10) ( ) ( ) ( ) ( )      −−−= −− ξδξξ ξ x b a te b 1 xtxG x b c 1,, (11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   >− ≤− =− −= − + − 0,1 0,0 ,, ξ ξ ξ ξξ ξ x x xavec e b 1 xpxW x b cpa 1 1 (12) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ])21.( )21.( )21.( ,, jf jf v x p jf v x e v e xpxW ρρ ζρρ ζ ρ ρρ ζζ − − −− − − − −=1 Pour une longueur fixe L du segment d’autoroute considéré, on s’intéresse à la e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 1-7 réponse à une excitation (valeur concrète de la densité), appliquée à l’entrée. On choisit comme références le point initial (ξ=0) et le point final (x=L), ce qui veut dire que l’on a x-ξ=x-0=L. Dans l’expression (12) on peut introduire successivement les valeurs données (ρξ) pour la densité dans le point ξ=0, dans le but d’avoir des nombres fixes pour le gain k et le retard pur τ. De cette manière on obtient une famille de fonctions de transfert (13), dépendantes de L. (13) ( ) [ ] [ ] [ ] )(. )21.( )21.( .)(. )21.( , Lp v L p jf v L eLk e v e pLW jf jf ρ ξ ξ τ ρ ρρ ξ ρρ ρ ρρ − − −− − = = − = Cette forme pour la fonction de transfert démontre que la réponse à un échelon (densité ou flux) au point x considéré final ou de sortie, est en effet un signal qui atteint sa valeur établie k après un temps mort τ depuis l’apparition dans le point initial ou d’entrée de la valeur ρξ. Ce retard s’explique par le fait que le procédé est réparti sur une distance considérable, il s’en suit que ses paramètres sont de caractère distribué. Dans le but de simuler des conditions proches de la réalité, on a tiré de l’expérience pratique les valeurs numériques qui ont été attribuées aux paramètres dans le modèle du flux autoroutier. Les données utilisées représentent des mesures considérées comme typiques pour les autoroutes Allemandes [6] (Tab.1). ρmax = 160 veh/km vf = 110 km/h ρcr = 0.5ρmax = 80 veh/km L = 1.5 km ρramp = 0.10ρmax =16 veh/km ρξ =1,1ρcr=88 veh/km Tableau 1. Valeurs des paramètres dans le modèle. La longueur du segment traité et la densité ρξ sont fixées à des valeurs convenables, pour rendre la représentation mathématique susceptible d’être traitée avec des schémas blocs sous Matlab-Simulink. Avec ces valeurs des paramètres du modèle LWR, introduites dans la fonction de transfert (13), on peut accéder à l’étape la plus importante du travail – la synthèse d’une commande pour le procédé analysé. III. SYNTHESE DE REGULATEUR FRACTAL PIΛ DΜ Le régulateur PIλ Dµ d’ordre arbitraire [14] est défini par l’équation différentielle (14) et la fonction de transfert (15). En sachant que la réalisation technologique des fonctions fractales est impossible, on utilise une approximation pour représenter l’intégro-dérivateur sous une forme susceptible d’être implémentée dans un système de commande réel. La méthode utilisée ici est celle de l’approche récursive polynomiale, proposée par A.Oustaloup [4,8]. Cette méthode consiste en la synthèse d’algorithmes de commande dont les caractéristiques fréquentielles approximent celles du régulateur d’ordre non entier pour un intervalle de fréquence prédéfini. La fonction de transfert irréalisable du régulateur fractal est remplacée par une série d’éléments avance/retard de phase du premier ordre. L’équation différentielle et la fonction de transfert pour un tel élément sont données par (16) et (17), respectivement. La dérivation ou l’avance de phase est obtenue pour T1>T2 et l’intégration ou le retard de phase – pour T1++== − µλ ε µλ pTpTK p pu pG dipc (16)       +=+ x td xd Tky td yd T 202 (17) ( ) ( ) ( ) pT pT k pX pY pG 2 1 0 1 1 + + == Dans le cadre de ce travail, nous avons appliqué la méthode récursive pour la synthèse d’un régulateur PIλ Dµ d’ordre non entier. Cette méthode exige la connaissance préalable du modèle nominal du procédé étudié G*, de la limite supérieure G[] dans l’ensemble de ses fluctuations Π∈[G*,G[] ], de la fréquence de coupure du modèle nominal ωc nom , des intervalles de variation pour les variables d’entrée (consigne et perturbations), de la marge de phase désirée Φm et d’un critère de performance, exprimé par le processus transitoire (18). L’idée principale de l’approximation consiste en une distribution des fréquences de coupure (Fig.3) dans la série d’éléments qui composent le dérivateur et l’intégrateur dans la structure du régulateur. апроксимация на интегро-диференциране от непълен ред фиг.8.8 cω 0ω 2Iω1Iω NIω′2Iω′1Iω′ NIω 0 ω 2Dω1Dω NDω′2Dω′1Dω′ NDω AIω BIω ADω BDω bIω ≡hIω hDωuω bDω≡ апроксимация на интегро-диференциране от непълен ред фиг.8.8 cω 0ω 2Iω1Iω NIω′2Iω′1Iω′ NIω2Iω1Iω NIω′2Iω′1Iω′ NIω 0 ω0 ω 2Dω1Dω NDω′2Dω′1Dω′ NDω2Dω1Dω NDω′2Dω′1Dω′ NDω AIω BIω ADω BDωAIω BIω ADω BDω bIω ≡hIω hDωuω bDω≡bIω ≡hIω hDωuω bDω≡ апроксимация на интегро-диференциране от непълен ред фиг.8.8 cω 0ω 2Iω1Iω NIω′2Iω′1Iω′ NIω 0 ω 2Dω1Dω NDω′2Dω′1Dω′ NDω AIω BIω ADω BDω bIω ≡hIω hDωuω bDω≡ апроксимация на интегро-диференциране от непълен ред фиг.8.8 cω 0ω 2Iω1Iω NIω′2Iω′1Iω′ NIω2Iω1Iω NIω′2Iω′1Iω′ NIω 0 ω0 ω 2Dω1Dω NDω′2Dω′1Dω′ NDω2Dω1Dω NDω′2Dω′1Dω′ NDω AIω BIω ADω BDωAIω BIω ADω BDω bIω ≡hIω hDωuω bDω≡bIω ≡hIω hDωuω bDω≡ Figure 3. Distribution récursive des fréquences. La fonction de transfert obtenue pour le PIλ Dµ d’ordre non entier dans sa forme générale est donnée par (19). L’algorithme récursif de synthèse, conformément aux relations (20) et aux exigences supplémentaires (Tab.2), délivre les valeurs numériques pour les paramètres des parties « dérivation » et « intégration » de la loi de commande d’ordre non entier. (18) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) [ ] ) constcnjb sesese jGjG jG jGjG G a BAmauu m mmm am =∈∀′−=                   ∀<+<= ∀<<= ≤−≤ − ∆ =Π ∞ − ∞ σωωω π ωβ ωη ωηωηη ωωωω ω ωω ω ω ;,,, 2 arg ,1;1sup ,;1sup ;*; * * : 1 ll l lll ll (19)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )                       + ′+ + + ′+       + × ×               + + ×                         +         + = ∏∏ = − − = − − − − ′ ′ ∗ N i iD iD N i Ii Ii m h b m bI u hD u u app j j j j j j j j jG DI e 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 2 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 ωω ωω ωω ωω ωω ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ω (20) ( ) ( ) ( )ηα α αη ω ω ω ω η ω ω α ω ω ωωωωωωωωωωωωω gol gol nnm i i i i i i i i uBuAcb =′−=′>== ′ ′ >= ′ >= ′ ><≥>><<= +++ ;1;0;0 ;;;;; 111 BhAbu 21 hb Àlgorithme de synthèse ( )appID Exigences 1 N ≥ 5 ωu > ωC 2 ωu >250 ωC ωu >250 ωC 3 ωA >0.1ωu; ωIA >0.1ωu; ωDA >0.1ωu ωb > ωC 4 ωB >10ωu; ωIB >0.9ωu; ωDB >10ωu ωb < ωA 5 ωb =0.2ωA ; ω0 >0.85ωIb ωA > ωC 6 ωh =1.2ωB ωh > ωB 7 n’ = 2(1 – Фm nom /π) ωB >> ωC 8 m' = n – n’ =n – (2/π)arcsin(1/Mm) (αη)opt = 3.98 e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 1-7 9 α = (ωhωb -1 )(0.1+ m’) 0.5(ωA–ωB) ≤ ωu–ωC 10 η = (ωhωb -1 )((0.9 – m’) / N) (ωh /ωb)opt=250÷600 11 ω'i+1 = (αη)i .η1/2 .ωb -1 ; ωi+1 = (αη)i .α.η1/2 .ωb Tableau 2. Algorithme et exigences pour la synthèse. Pour le cas considéré on a choisi une approximation de quatre éléments pour réaliser le dérivateur et l’intégrateur dans la structure désirée d’un PI-0.5 D0.5 . La forme finale pour le modèle du flux autoroutier sur un segment de longueur L donnée est l’expression (21), obtenue à partir de la représentation (13) avec les valeurs pour les paramètres du Tab.1. Dans cette fonction de transfert, kpr est le gain, τpr (en secondes) est le retard pur (temps-mort) et Ti est la constante de temps dans le terme 1/(1+pTi). Ce terme doit être pris en considération, tant qu’il reflète l’inertie, propre aux capteurs et actuateurs, utilisés dans un système de commande réel. Le procédé analysé étant à paramètres distribués [21], sa régulation est possible à travers une structure particulière de commande – le prédicteur de Smith [19], qui réalise le concept de commande à modèle interne [17]. Pour le cas pratique une configuration spécifique est préférée, où le retard dans le modèle nominal du procédé est séparé. Ce choix tend à faciliter le traitement des systèmes dans lesquels les fluctuations du modèle s’expriment essentiellement par des variations du temps mort. On a donc conçu un système avec un PIλ Dµ d’ordre non entier comme régulateur dans la configuration du prédicteur de Smith pour réaliser la commande robuste d’un procédé à grand retard, caractérisé par l’incertitude. Le schéma bloc du système de commande synthétisé est donné à la Fig.4. (21) ( ) pp i pr pr e p e pT k pW pr 106 )001.01( 019.0 )1( −− + = + = τ prédicteur fractal modèle du procédé procédé réel perturbé − ( )px,ε ( )pIDNE ( )p,xu b ( )pxG a ,, ξ ( )p,xr ( pxa ,ρ ( )pxG b ,,* ξ + ( )pxb ,*ρ ( )pxT aa e ξ,− ( )pxT bb e ξ,− − ( ) ( )pxT a aa epxG ξ ξ , ,, − ⊗ ( ) ( )pxT b bb epxG ξ ξ , ,,* − ⊗Prédicteur fractal modèle duprocédé procédé réel perturbé −( )pxa ,0 ρ ( )px,ε PI-0.5D0.5 (p) ( )p,xu b ( )pxG a ,, ξ ( )p,xr ( pxa ,ρ ( )pxG b ,,* ξ + ( )pxb ,*ρ ( )pxT aa e ξ,− ( )pxT bb e ξ,− − prédicteur fractal modèle du procédé procédé réel perturbé − ( )px,ε ( )px,ε ( )pIDNE ( )pIDNE ( )p,xu b( )p,xu b ( )pxG a ,, ξ( )pxG a ,, ξ ( )p,xr ( )p,xr ( pxa ,ρ ( pxa ,ρ ( )pxG b ,,* ξ( )pxG b ,,* ξ + ( )pxb ,*ρ ( )pxb ,*ρ ( )pxT aa e ξ,− ( )pxT aa e ξ,− ( )pxT bb e ξ,− ( )pxT bb e ξ,− − ( ) ( )pxT a aa epxG ξ ξ , ,, − ⊗( ) ( )pxT a aa epxG ξ ξ , ,, − ⊗ ( ) ( )pxT b bb epxG ξ ξ , ,,* − ⊗( ) ( )pxT b bb epxG ξ ξ , ,,* − ⊗Prédicteur fractal modèle duprocédé procédé réel perturbé −( )pxa ,0 ρ ( )pxa ,0 ρ ( )px,ε ( )px,ε PI-0.5D0.5 (p) ( )p,xu b( )p,xu b ( )pxG a ,, ξ( )pxG a ,, ξ ( )p,xr ( )p,xr ( pxa ,ρ ( pxa ,ρ ( )pxG b ,,* ξ( )pxG b ,,* ξ + ( )pxb ,*ρ ( )pxb ,*ρ ( )pxT aa e ξ,− ( )pxT aa e ξ,− ( )pxT bb e ξ,− ( )pxT bb e ξ,− − Figure 4. Schéma bloc du système de commande. IV. RESULTATS DES SIMULATIONS, ANALYSE L’objectif de la commande étudiée, est de maintenir le flux de trafic proche de sa valeur maximale, en évitant d’atteindre la densité d’embouteillage, pour garantir l’utilisation efficace de la structure autoroutière, minimiser la congestion et les possibilités d’occurrence d’accidents. C’est la raison pour laquelle on a mis en place une régulation de la densité, avec comme consigne sa valeur critique, à laquelle correspond le flux maximal et à partir de laquelle est défini le régime congestionné (Fig.1). Le but est de faire en sorte que la sortie du système suive cette consigne. Le régulateur proposé doit donc réaliser cette tâche avec une précision et une rapidité suffisante avec le moins de dépassement possible. Pour vérifier la réalisation de cet objectif, on considère deux sections d’autoroute différentes, la première représente une succession de trois segments uniformes, chacun de longueur L (Fig.5a), la seconde une interconnexion d’une rampe d’entrée et d’une rampe de sortie (Fig.5b). Les deux sections de route, modélisées de manière équivalentes sont soumises aux mêmes conditions de flux de véhicules en entrée. Pour les deux cas étudiés, différentes combinaisons d’effets perturbateurs, propres à des situations autoroutières réelles, sont simulées et analysées pour estimer la stabilité et les performances du régulateur synthétisé. Les perturbations sont exprimées par des variations séparées ou simultanées des paramètres du modèle – le gain, la constante de temps et le retard. Lx 3∈ Lx 3∈ Lx ∈ Lx ∈ Lx ∈Lx ∈ Lx ∈ Lx ∈ Figure 5. Sections autoroutières considérées: élément de longueur triple (a) et structure avec deux rampes (b). couleur ligne: noir bleu cyan vert rouge magent noir2 consigneentrée = ρr >ρr >2ρr >ρr >2ρr >ρr >2ρr consignesortie = ρr <ρr <ρr >ρr ρr >>ρr >2ρr c o u le u r lig n e : n o ir b le u c y a n v e rt ro u g e m a g e n ta n o ir2 k p r a u g m e n té T i a u g m en té τp r a u g m e n té Tableau 3. Différents cas de perturbations pour la première section (a) et la seconde (b) section autoroutière. Le critère pour le processus transitoire exige soit une réponse indicielle de forme apériodique critique, soit un dépassement en régime oscillatoire, inférieur au double de la consigne, pour garantir l’appartenance de la valeur de sortie à un intervalle autour de la densité critique. La simulation consiste en l’évaluation du comportement des deux sections routières en présence de différentes actions perturbatrices – fluctuations des paramètres du modèle, variations du flux dans les rampes d’entrée et de sortie. La schématisation de ces combinaisons d’effets perturbateurs, est donnée pour les deux configurations des routes dans le Tableau 3. L’analyse du comportement du système synthétisé, pour les deux cas considérés, est effectuée à partir des résultats graphiques, obtenus par simulation. Ce sont les réponses indicielles, avec consigne – la densité ρξ, et les caractéristiques fréquentielles, pour l’intervalle de fréquences, déterminés lors de la conception du régulateur. À partir de la caractéristique temporelle (Fig.6.a,b), on peut estimer la stabilité, la rapidité et le type de processus transitoire pour les deux sections de routes. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 1-7 Figure 6. Réponses indicielles pour la section de longueur triple (a) et la section avec rampes (b). On constate pour la première structure que la stabilité est atteinte deux fois plus rapidement en régime apériodique, tandis que pour la deuxième la réponse est oscillatoire, avec un dépassement important pour certains modèles perturbés. Dans le cas pratique, avec le diagramme fondamental considéré, ces valeurs de la densité restent inférieures à la valeur maximale, ce qui reflète un régime congestionné, mais évitant l’embouteillage et l’arrêt des véhicules. Cependant, il faut prendre en compte le fait que pour différentes conditions, ces valeurs pourront traduire un problème en régulation, caractérisé par des congestions importantes, vitesses réduites, risque d’accident et pollution de l’air augmentés. En termes de rapidité, il faut noter le conservatisme, propre aux systèmes d’ordre non entier. C’est l’atténuation lente du processus transitoire, qui, ajoutée au temps mort important, engendre les temps considérables, nécessaires à l’amortissement de la grandeur de sortie. Figure 7. Caractéristiques de Black-Nichols pour la section de longueur triple (a) et la section avec rampes (b). Il est bien connu que l’amélioration de la rapidité nuit à la robustesse, et inversement, ce qui impose pour chaque cas traité de chercher un compromis entre ces deux propriétés. Ici, en dépit des temps de régulation, on peut mettre l’accent sur des marges de stabilité suffisantes. La synthèse du régulateur PIλ Dµ est menée de manière à garantir l’invariance du système, en termes de marges, sous l’effet de différentes perturbations. Cette propriété caractéristique pour la CRONE est visible à travers le « gabarit vertical » dans la caractéristique amplitude- phase (Fig.7.a,b). C’est ce que l’on peut remarquer pour le premier cas de simulations et ce qui s’explique par les conditions plus difficiles en termes de perturbations dans le deuxième cas dû aux flux supplémentaires issus des rampes. On peut, à partir des caractéristiques logarithmiques (Fig.8.a,b), déduire et comparer les marges de gain et de phase pour différents modèles perturbés du flux de véhicules. Il faut cependant noter que le régulateur ne peut pas traiter d’une manière efficace n’importe quelle action perturbatrice, qui dépasse la limite supérieure, prévue lors de la synthèse. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°2 pp 1-7 Figure 8. Caractéristiques de Bode pour la section de longueur triple (a) et la section avec rampes (b). Figure 9. Caractéristiques de Nyquist pour la section de longueur triple (a) et la section avec rampes (b). Ceci se remarque sur les caractéristiques complexes (Fig.9.a,b.), qui pour certains modèles perturbés de la seconde structure routière comprennent le point critique (0,-1) et reflètent la perte de stabilité. Ces cas correspondent vraiment aux situations autoroutières les plus difficiles et démontrent les limitations de l’approche de commande proposée. V. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES Dans le présent article on a proposé une approche pour la régulation en densité du flux de véhicules sur des autoroutes. Elle consiste en l’application d’un algorithme de commande d’ordre non entier au procédé réel, caractérisé par l’incertitude sous l’action de différentes perturbations. Le modèle choisi du flux de trafic est celui de Lighthill-Whitham-Richards qui, par sa simplicité, facilite le début des études menées pour vérifier l’utilité d’une telle approche. La représentation LWR en termes d’équations aux dérivées partielles est transformée, en utilisant l’approche par la fonction de Green en une fonction de transfert qui permet de proposer une synthèse fréquentielle. Cette fonction de transfert possède un temps mort important, ce qui implique l’introduction du régulateur d’ordre non entier dans le schéma pour la régulation de procédés à paramètres distribués – le prédicteur de Smith. La méthode, utilisée pour la synthèse du PIλ Dµ est l’approche récursive polynomiale d’A. Oustaloup, qui fournit une série d’éléments de type avance/retard de phase, dont les caractéristiques approximent celles d’un intégro-dérivateur d’ordre non entier. Deux segments autoroutiers typiques différents sont traités par simulation, en leur attribuant des valeurs numériques, caractéristiques pour certaines routes d’Allemagne. Les résultats graphiques obtenus relèvent les propriétés de la CRONE lors de son application sur un procédé appartenant au domaine du trafic routier. On constate les avantages en termes de robustesse et de performances, aussi bien que les limitations physiques du régulateur PIλ Dµ d’ordre non entier. Notre travail futur portera sur le développement et l’ajustement de ce régulateur pour des structures autoroutières plus larges et plus complexes. On appliquera ensuite la commande fractale à d’autres modèles plus élaborés de flux de véhicules pour se rapprocher de la réalité des phénomènes physiques observables et ainsi élargir le champ d’interconnexion de la CRONE et du transport. VI. RÉFÉRENCES [1] A. Charef, H. H. Sun, Y. Y. Tsao, and B. Onaral: Fractal system as represented by singularity function, IEEE Trans, on Automatic Control, vol. 37, no. 9, pp. 1465-1470, 1992. [2] A. G. Boutkovskii. 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