Une approche predictive pour la commande d’un convertisseur multicellulaire

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-3:19897
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Une approche predictive pour la commande d’un convertisseur multicellulaire

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1 Une approche predictive pour la commande d’un convertisseur multicellulaire Diego PATINO, Pierre RIEDINGER, Claude IUNG 1 Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN) ENSEM, 2, Avenue de la forêt de Haye 54516 Vandoeuvre-les-Nancy Cedex, France patino.diego@ensem.inpl-nancy.fr, pierre.riedinger@ensem.inpl-nancy.fr http://www.cran.uhp-nancy.fr/ Abstract— Les lois de commande classiques pour les convertis- seur de puissance à base de modèle moyen permettent de régler le régime transitoire, mais se heurtent souvent à un comporte- ment en régime permanent mal maîtrisé (forme d’onde, sous- harmonique, etc.). Cet article présente une nouvelle approche prédictive qui permet d’atteindre un cycle optimal périodique, à partir de la référence moyenne sur le courant et sur les tensions. Ce cycle est utilisé comme référence pour une commande prédictive. L’implantation en temps réel est alors assurée par un réseau de neurones. Nous validons la loi de commande à l’aide de simulations sur un hacheur à trois cellules. Index Terms— Convertisseur multicellulaires, cycle limite, systèmes hybrides, commande optimale, programmation non- linéaire. I. INTRODUCTION Les applications industrielles avec des puissances de quelques mégawatts emploient généralement des tensions de plusieurs kilovolts. Les études et le développement effectués sur les convertisseurs multicellulaires au cours des dix der- nières années ont montré d’excellentes caractéristiques [1], [2], [3], [10]. Le convertisseur multicellulaire permet de diviser la tension en la distribuant sur plusieurs cellules en série. Ce sont des systèmes particulièrement intéressants pour des applications de forte puissance avec des hautes tensions car ils permettent d’améliorer la qualité spectrale de la tension découpée et les performances dynamiques. La figure 1 montre le schéma du convertisseur. Sa fonction est d’alimenter une charge passive (R-L). Dans ce travail, nous nous intéressons à la commande de ce système dont les entrées peuvent être décrites comme des valeurs binaires. L’étude est suffisamment complexe pour être générique. Traditionnellement, lorsque l’obtention d’un modèle moyen est possible, la commande des convertisseurs est calculée à partir de considérations linéaires [4], [5]. Par conséquent le caractère hybride n’est pas pris en compte, ainsi que l’aspect haute fréquence du signal. Dans cet article, nous proposons une nouvelle approche prédictive pour commander un système avec des entrées bi- naires. Cette approche établi d’abord un cycle de référence optimal. Une commande prédictive est alors élaborée pour Fig. 1. Hacheur à 3 cellules imbriquées suivre ce cycle de référence. L’avantage de cette méthode est de prendre en compte la forme d’onde dès la phase de conception de la commande. L’implantation de la commande en ligne se fait à partir d’un apprentissage hors ligne d’un réseau de neurones en tenant compte des variations de la charge et de l’entrée. La table résultante permet alors de satisfaire les contraintes de temps réels de l’ordre du kHz entre deux instants d’échantillonnage. Les simulations montrent que cette loi de commande maintient l’état d’équilibre même en présence de perturbations ou de variations de paramètres. Dans la section 2, nous présentons le problème général. La section 3 est consacrée à l’analyse en boucle ouverte et à la recherche du cycle limite optimal. La section 4 montre la stratégie de commande en boucle fermée par commande prédictive. La section 5 montre les résultats de simulation sur un convertisseur à trois cellules. Dans la section 6, nous donnons quelques conclusions. II. FORMULATION DU PROBLÈME La classe de systèmes peut être décrite par les équations différentielles : ˙x = f (x) + g (x) u y = h(x) (1) où x ∈ Rn représente l’état, y ∈ Rp est la sortie et u est un vecteur booléen. f(x) ∈ Rn , g(x) = [g1(x), . . . , gm(x)] ∈ Rn×m , gi ∈ Rn , i ∈ −→m {1, . . . , m} et h(x) ∈ Rr sont fonctions de x [6]. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 50-55 2 Le problème de commande est de trouver la loi de com- mutation telle que le système en boucle fermée soit stable et que la sortie y soit régulée autour de sa valeur moyenne de référence yd. Nous supposons que tous les états du système (1) sont mesurés, donc la fonction est simplement h(x) = x et r = m. Définition 1: Une séquence de commutation est un en- semble fini, représenté par des couples (T, I)s = {(t1, i1), (t2, i2), . . . , (ts, is)} (2) où – T = {t1, t2, . . . , ts}, I = {i1, i2, . . . , is}. – t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ts ≤ ∞. – Chaque mode ij ∈ {1, . . . , m} pour j = 1, . . . , s, s ≤ ∞. Pour ce type de système, le point de fonctionnement yd n’est pas un point d’équilibre. On ne maintient le système qu’en valeur moyenne autour de ce point. Il existe plusieurs cycles limites permettant d’obtenir ce résultat. Notre approche consiste donc à sélectionner l’un d’entre eux comme régime permanent de référence. Cette sélection s’opère au moyen d’une fonction objectif (minimisation de l’erreur, choix de la forme d’ondes, harmoniques, etc). Une fois le cycle de référence établi, la commande prédic- tive est obtenue de deux manières : – Dans le voisinage du cycle optimal (T ∗ , I∗ )s∗ seuls les temps de commutation sont recherchés par le modèle prédictif. I et s∗ sont fixés à leur valeurs de référence I∗ et s∗ . – Loin du voisinage : T et I sont optimisés et l’horizon de prédiction est fixé à s∗ . III. DETERMINATION DU RÉGIME PERMANENT Dans cette partie, nous cherchons à déterminer le cycle limite de référence. Le but est d’obtenir la meilleure séquence (T, I)s (1 < s < smax) qui nous donne une forme d’onde spécifique. Afin de minimiser les oscillations autour du point de fonctionnement désiré, nous avons choisi le critère quadra- tique autour de la valeur moyenne de référence : J((T∗ , I∗ )s∗ ) = min s,I,T s j=1 xj − xref 2 Q (3) où · 2 représente la norme 2, Q est une matrice de poids qui est caractérisée par Q = QT ≥ 0. s est le nombre de modes dans la séquence, xj est la valeur moyenne de l’état dans le mode ij qui est numériquement calculée et xref est une référence constante pour chaque variable d’état de (1) (figure 2). La solution du problème (3) est déterminée de la manière suivante : 1) Pour s et I fixés, nous optimisons les durées τj = tj+1− tj, j = 1, . . . , s sous les contraintes : x(t1) = x(tf ) (4) s j=1 τj < Tp (5) Fig. 2. Le critère de cycle limite δk(tj) ≥ tmin|uk(tj) − uk(tj+1)| ∀j = 1, . . . , s ˙δk(tj) = 1 ∀k = 1, . . . , N δk(tj+1) = 0 si |uk(tj) − uk(tj+1)| = 0 (6) 2) On reprend le point 1 avec un nouveau couple I et s jusqu’à épuisement. L’équation (4) est une contrainte de périodicité sur l’état du cycle limite [7]. L’équation (5) est une contrainte sur la période où Tp est une borne supérieure pour la durée du cycle. L’équation (6) est une condition sur la durée minimum d’activation du mode ij où tmin est une constante. tmin représente le temps minimum entre deux instants d’activation du même interrupteur. δk est le temps accumulé à partir de la dernière activation de l’interrupteur. Cet ensemble de contraintes représentent un intégrateur avec une condition de remise à zero pour chaque interrupteur. Au lieu d’employer la valeur constante du modèle moyen de référence, le choix du cycle nous permet de spécifier un régime permanent périodique. La solution de (3)-(4)-(5)-(6) définit donc une référence Rref (t) pour la boucle fermée. Remarque 2: La méthode peut être numériquement très lourde car nous devons résoudre le problème (3) smax s=1 ms fois. Cette optimisation est faite hors ligne. IV. CONSTRUCTION DE LA BOUCLE FERMÉE Dans cette section, nous présentons l’élaboration de la commande en boucle fermée. Le but de cette méthode est de trouver une loi de commande prédictive minimisant la fonction de coût suivante : min (T,I) s∗ j=1 τj − τ∗ j 2 Q + x(tj) − Rref (tj) 2 Q (7) où les durées τ∗ j , la longueur s∗ , et Rref (tj) sont déterminés à partir du cycle optimal (T∗ , I∗ )s∗ e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 50-55 3 Comme le processus à contrôler est rapide, nous proposons un contrôleur à base de réseau de neurones qui ne nécessite que la lecture des valeurs dans une table aux instants de commutations. L’horizon de prédiction est fixé à s∗ . Fig. 3. Système de régulation neuronal. Le principe d’un réseau de neurones est le suivant : 1) Soit le vecteur ε l’entrée du réseau et sa dérivée dε dt avec : ε(tj) = R(tj) − x(tj) τj − τ∗ j (8) La deuxième composante de ε est l’erreur d’estimation de temps de séjour. On résout (7) pour un nombre fini de valeurs de l’erreur. 2) On interpole ces solutions pour obtenir une relation entrée-sortie donnée par : oj = f   2s∗ k=1  wjkf   2(n+s∗ ) h=1 vkhεh       j = 1, . . . , m (9) où wjk, vkh sont les poids du réseau. L’équation (9) décrit la relation entrée-sortie du réseau après la phase d’apprentissage qui fixe les poids wjk, vkh. Elle a pour entrée l’erreur et la dérivée de l’erreur et pour sortie le vecteur de commande booléen u(t) et sa durée d’utilisation. f est la fonction d’activation de chaque neurone. Pour plus d’information sur les réseaux de neurones et les algorithmes d’apprentissage voir [8]. Au final, la relation (9) nous fournit d’une partition de l’espace (ε, ε ). On associe à chaque partie un mode optimal et une durée fonction de ε [9]. Dans la figure 4, nous observons la structure du réseau. L’apprentissage du réseau est obtenue de deux manières : Fig. 4. Structure d’un réseau de neurones – Loin du voisinage du cycle limite R(t), nous sommes en régime transitoire. L’optimisation de (7) se fait par rapport au couple (T, I) pour s∗ fixé. Le premier mode et sa durée font partie de l’apprentissage du réseau. – Dans un voisinage du R(t) : Nous arrivons au régime permanent et les modes I∗ sont connus. L’optimisation se fait uniquement sur l’instant de commutation. Le problème d’apprentissage est alors plus facilement résolu (Voir la figure 5). Remarque 3: Il est important de noter que cet apprentis- sage est également obtenu en faisant varier l’entrée et la charge du système. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 LIMIT CYCLE ZONE TRANSITORY ZONE Xref X[0] X[1] Fig. 5. Du régime transitoire au regime permanent (cycle limite) V. RÉSULTATS DE SIMULATION Pour le convertisseur à trois cellules de la Figure 1 , Vc1, Vc2 représentent les tensions dans chaque condensateur C1 et C2, iL le courant dans l’inductance L. L’état est composé par x = [Vc1, Vc2, iL]T , les fonctions g(x) et f(x) de (1) sont données par : g(x) =   − iL C1 iL C1 0 0 − iL C2 iL C2 VC1 L VC2−VC1 L E−VC2 L   f(x) = 0 0 −R L iL T u = u1 u2 u3 T (10) Si uj = 1, j = 1, . . . 3, l’interrupteur Tj1 est fermé et Tj0 est ouvert. Si uj = 0, j = 1, . . . 3, l’interrupteur Tj1 est ouvert et Tj0 est fermé. R est la valeur de résistance et E représente la source d’entrée. La table I donne la correspondance entre la commande et les modes de fonctionnement. La première étape est de résoudre le programme mathéma- tique (3) avec les contraintes (2)-(4)-(5)-(6) pour trouver le cycle limite optimal. Nous imposons Tp = 3ms et tmin = 1/16e3. La séquence (T, I)s pour smax = 7, avec Q =   1 0 0 0 1 0 0 0 100   e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 50-55 4 ij u1 u2 u3 1 0 0 0 2 0 0 1 3 0 1 1 4 0 1 0 5 1 1 0 6 1 1 1 7 1 0 1 8 1 0 0 TABLE I TABLEAU DES MODES est obtenue à partir de la solution du problème (3). La solution optimale est une séquence de longueur 2 et s’écrit : (T, I)2 = {(0.0625ms, 1), (0.18739ms, 6)} (11) De cette relation, on déduit la référence R(t) pour la boucle fermée. On notera que la solution à l’optimum active la contrainte de temps minimum entre deux commutations puisque t1 = tmin. Au démarrage l’état initial est donné par x(0) = [0, 0, 0]T , et la tension d’entrée E = 1.5kV. Le but est d’avoir un régime permanent de x(t) = [2E 3 , E 3 , 100]T . La figure 6 montre la tension dans les condensateurs et la figure 7 montre le courant de l’inductance. 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 0 200 400 600 800 1000 1200 time [s] Voltageofthecapacitors[V] Vc 1 Vc 2 Fig. 6. Réponse de la tension des condensateurs lorsqu’on applique sur l’entrée un échelon, en boucle fermée à partir de l’état initial zéro La figure 8 montre la séquence des modes I qui est obtenue par le réseau de neurones. Dans la figure 9 nous pouvons voir la dynamique des modes uk, k = 1, . . . , 3. Nous observons que l’état d’équilibre est atteint en t = 1.5 ms sans dépassement sur le courant et avec un très faible dépassement sur les tensions des condensateurs VC1, VC2. Si on teste la robustesse du convertisseur vis à vis des perturbations sur l’entrée, on obtient le résultat suivant : Le convertisseur est initialement au point d’équilibre quand un échelon de tension d’entrée de E = 1.5 kV à E = 1.2 kV est appliqué à l’instant t = 0.01 s. Les figures 10, 11 et 12 récapitulent cet essai. On observe un très bref transitoire qui dure 0.8ms avant de retourner vers 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 0 20 40 60 80 100 120 time [s] Currentoftheinductor[A] Fig. 7. Réponse du courant de l’inductance lorsqu’on applique sur l’entrée un échelon, en boucle fermée à partir de l’état initial zéro 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 time [s] Controlsequence Fig. 8. Séquence de modes à partir de l’état initial zéro les même modes, mais avec des durées différentes. La figure 12 montre le changement de séquence. Nous examinons finalement la robustesse de la commande. Les figures 13 et ?? montrent la réponse du convertisseur à un échelon de charge de 10Ω, 10mH à 30Ω, 5mH. Sur la figure 14, nous pouvons observer que l’adaptation du système se traduit par un changement de cycle et un transitoire de 7ms. VI. CONCLUSIONS Dans ce travail nous avons proposé une solution pour commander un système hybride avec des entrées binaires. Le schéma proposé se décompose en trois parties : i) Le cal- cul d’un cycle limite optimal en boucle ouverte par program- mation non-linéaire avec un critère de moindre oscillations et en respectant les contraintes de temps sur les commutations. ii) La poursuite de la trajectoire par une commande prédictive. iii) L’implementation de la commande au moyen d’un réseau de neurones afin de satisfaire les contraintes de temps réel. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 50-55 5 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 −1 0 1 2 time [s] U 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 −1 0 1 2 time [s] U 2 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 −1 0 1 2 time [s] U 3 Fig. 9. Séquence de commande pour chaque switch à partir de l’état initial zéro Fig. 10. Réponse de la tension des condensateurs pour un échelon sur l’entrée de E = 1.5kV à E = 1.2kV La commande est alors obtenue par la sortie du réseau de neurones. L’efficacité de cette approche a été démontrée sur la simu- lation d’un convertisseur DC/DC à trois cellules. Notre approche permet de réduire le temps de calcul et facilite la mise en oeuvre en temps réel sur des systèmes rapides comme les convertisseur de puissance. Pour obtenir un fonctionnement satisfaisant, il est nécessaire de garantir l’équilibre des tensions appliquées aux différentes cellules. Les résultats sur le convertisseur à trois cellules montrent que les tensions sont équilibrées et qu’elles convergent vers le cycle limite de référence, même en présence d’un échelon de charge ou d’un échelon de tension d’entrée. Comme perspectives, la robustesse et la faisabilité doivent être vérifiées avec des résultats expérimentaux. 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 time [s] Currentoftheinductor[A] Fig. 11. Réponse du courant de l’inductance pour un échelon sur l’entrée de E = 1.5kV à E = 1.2kV 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0 1 2 3 4 5 6 7 time [s] Controlsequence Fig. 12. Séquence des modes pour un échelon sur l’entrée de E = 1.5kV à E = 1.2kV REMERCIEMENTS Ce travail a été fait dans le cadre du réseau HYCON (HYbrid CONtrol : Taming Heterogeneity and complexity of networked embedded systems). REFERENCES [1] Gateau G., Fades M., et., Multicell converters : Active control and observation of flying capacitor voltages, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 49, No. 5, 2002. [2] Chiasson J.N., et., Control of a Multilevel Converter Using Resultant Theory, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 11, No. 3, 2003. [3] Bornard G., New Control Law for capacitor voltage balance in multilevel inverter with switching rate control, IEEE Annual Meeting and World Conference on Industrial Applications of Electrical Energy, Rome (Italy), 2000. 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