Commande Vectorielle de la Machine Asynchrone Sans Capteur Mécanique : Test Expérimental à basse vitesse

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-3:19896
DOI :

Résumé

Commande Vectorielle de la Machine Asynchrone Sans Capteur Mécanique : Test Expérimental à basse vitesse

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	    <date dateType="Created">Sat 23 Sep 2017</date>
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Commande Vectorielle de la Machine Asynchrone Sans Capteur Mécanique : Test Expérimental à basse vitesse Dramane TRAORE1 , Alain Glumineau1 , Luc LORON2 , 1 IRCCyN : Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes, UMR CNRS 6597, Ecole Centrale de Nantes, BP 92101,1 Rue de la Noe, 44312 Nantes Cedex 3 2 IREENA : Institut de Recherche en Electronique et Electrotechnique de Nantes Atlantique, CRTT Bd de l’université, BP 406, 44602 Saint-Nazaire Cedex. Dramane.Trore@irccyn.ec-nantes.fr, Alain.Glumineau@irccyn.ec-nantes.fr http//www.irccyn.ec-nantes.fr Luc.Loron@polytech.univ-nantes.fr http//www.polytech.univ-nantes.fr/ireena/ Résumé— Ce papier présente la commande par flux orienté d’une machine asynchrone (MAS) sans capteur mécanique (capteur de vitesse, capteur de couple de charge). La mé- thodologie peut être divisée en deux parties. Dans un premier temps nous présentons l’observateur in- terconnecté à grand gain utilisé pour estimer les grandeurs mécaniques et magnétiques à partir de la mesure des cou- rants statoriques. Ensuite nous utilisons la commande par backstepping pour assurer le suivi de vitesse et de flux. Ce type de commande est utilisé a cause de sa robustesse vis-à vis des variations paramétriques. La stabilité de l’ensemble "commande+observateur" est prouvée en utilisant la théorie de Lyapunov. Pour tester et valider notre loi de commande et l’observateur tout en considérant les problèmes de la commande sans capteur de la MAS à basse vitesse un Benchmark a été proposé. Les trajectoires de ce Benchmark ont été construites pour va- lider la commande et l’observateur sous trois conditions : 1) basse vitesse avec couple de charge nominal, 2) vitesse élevée avec couple de charge nominal, 3) très basse vitesse avec couple de charge nominal ( dans cette partie la MAS est inobservable). Des tests de robustesse sont définis pour vérifier la perfor- mance de l’ensemble "commande+observateur". Mots-clés—Machine asynchrone, système non linéaire, obser- vateur non linéaire à grand gain, commande sans capteur, stabilité au sens de Lyapunov, basses fréquences, Benchmark sans capteur, commande par backstepping. I. Introduction La MAS a de nombreux avantages par rapport aux autres types de machines électriques tournantes, parmi lesquels nous pouvons citer : robustesse, prix relativement bas, en- tretien moins fréquent. La MAS est aujourd’hui, la plus utilisée dans les applications industrielles où la variation de vitesse, une haute précision de régulation et hautes per- formances en couple sont requises. Cependant il faut noter que ces avantages ont longtemps été inhibés par la com- plexité de la commande due au couplage non linéaire exis- tant entre le flux magnétique et le couple moteur. L’utilisa- tion à grande échelle à l’heure actuelle est due à l’évolution technologique, notamment en matière de semi-conducteur. Pour les applications industrielles, la réduction du nombre de capteur est un problème très important. En effet, l’em- ploi d’un capteur mécanique (vitesse) impose un surcoût et augmente la complexité de l’installation. Ainsi, la com- mande sans capteur mécanique est devenue un centre d’in- térêt de la recherche [12], [13], [14] dans ces dernières an- nées. Pour ce nouveau type de commande il existe dans la littérature, de nombreux articles voir ([3], [5], [6], [7], [9], [11]). Dans [3],une application de la commande backs- tepping à la MAS est présentée. Cette stratégie de com- mande donne de bonnes performances en terme de suivi de consigne, mais elle reste sensible aux variations para- métriques. La bonne connaissance du système est donc nécessaire pour élaborer cette loi. Dans [6], un observa- teur non linéaire de type backstepping pour la commande sans capteur est proposé. La convergence ensemble "com- mande+observateur" est prouvée en tenant compte des incertitudes paramétriques. Des résultats expérimentaux sont aussi disponibles. Dans [1], une condition suffisante de perte d’observabilité est que la pulsation statorique soit nulle et la vitesse mé- canique de la machine soit constante. Les méthodes citées auparavant sont testées généralement en haute vitesse et basse vitesse. Mais, peu sont celles qui tiennent en compte ces problèmes d’inobservabilité dans leurs tests excepté [10]. De ce point de vue, le premier objectif de notre tra- vail est de proposer la commande vectorielle avec des lois de commande de type backstepping utilisant un observa- teur interconnecté à grand gain qui assure un bon suivi de vitesse/flux de la MAS sans capteur mécanique. La se- conde contribution est de tester et évaluer les performances de cette loi de commande sans capteur mécanique sur un benchmark spécifique appelé "Benchmark Commande sans capteur mécanique". Sur ce benchmark les tests sont effec- tués sous trois conditions : 1) basse vitesse avec couple de e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 44-49 charge nominal, 2) vitesse élevée avec couple de charge no- minal, 3) très basse vitesse avec couple de charge nominal. L’article est organisé comme suit. La section suivante pré- sente le modèle de la MAS et l’observateur interconnecté. La commande vectorielle est introduite dans la section III. La stabilité commande+observateur est présentée dans la section IV. Le benchmark commande sans capteur est pré- senté dans la section V. La section VI donne les résultats expérimentaux. II. Modèle de la machine asynchrone Les équations dynamiques de la MAS, utilisées dans cet ar- ticle, sont exprimées dans le repère tournant diphasé (d-q). Ces équations sont obtenues en utilisant les transforma- tions de Concordia et de Park [8]. Le modèle de la machine peut être décrit par :       ˙isd ˙isq ˙φrd ˙φrq ˙Ω       =       baφrd + bpΩφrq − γisd + ωsisq baφrq − bpΩφrd − γisq − ωsisd −aφrd + (ωs − pΩ)φrq + aMsrisd −aφrq − (ωs − pΩ)φrd + aMsrisq m(φrdisq − φrq isd ) − cΩ − 1 J Tl       +       m1 0 0 m1 0 0 0 0 0 0       usd usq (1) où isd, isq, φrd, φrq, usd, usq, Ω, Tl sont respectivement les courants statoriques, les flux rotoriques, les composantes de la tension statorique, la vitesse mécanique et le couple de charge. Les indices s et r désignent le stator et le rotor. Rs et Rr sont les résistances statorique et rotorique. Ls et Lr sont les inductances statorique et rotorique, Msr représente l’inductance mutuelle entre le stator et le rotor. p est le nombre de paire de pôles. J représente l’inertie du système (machine+charge) et fv est le coefficient des frottements visqueux. En outre, a = Rr/Lr, b = Msr/σLsLr, c = fv/J, γ = L2 rRs+M2 srRr σLsL2 r , σ = 1 − (M2 sr/LsLr), m = pMsr/JLr, m1 = 1/σLs. Les entrées de la commande sont les tensions statoriques. Seuls les courants statoriques sont mesurés. Dans [2], nous avons présenté et prouvé la convergence d’un observateur à grand gain interconnecté pour la MAS. Cet observateur est donné par l’équation (2). O :    ˙Z1 = A1(Z2)Z1 + g1(u, y, Z1, Z2) +(S−1 1 ΓCT 1 + B2(Z2))(y1 − ˆy1) +(B1(Z2) + KCT 2 )(y2 − ˆy2) ˙S1 = −θ1S1 − AT 1 (Z2)S1 − S1A1(Z2) + CT 1 C1 ˆy1 = C1Z1 ˙Z2 = A2(Z1)Z2 + g2(u, y, Z1, Z2) +S−1 2 CT 2 (y2 − ˆy2) ˙S2 = −θ2S2 − AT 2 (Z1)S2 − S2A2(Z1) + CT 2 C2 ˆy2 = C2Z2 (2) X1 = isd , Ω, Tl T , X2 = isq , φrd , φrq T sont les variables d’état, u = usd, usq T sont les entrées, y = isd, isq T sont les sorties de la MAS et Z1 = ˆisd, ˆΩ, ˆTl T , Z2 = ˆisq, ˆφrd, ˆφrq T sont les variables estimées. S−1 1 ΓCT 1 et S−1 2 CT 2 sont les gains des observateurs. A1(Z2) =   0 bpˆφrq 0 0 0 − 1 J 0 0 0  , A2(Z1) =   −γ −bpˆΩ ab 0 −a −pˆΩ 0 pˆΩ −a  , g1(u, y, Z1, Z2) =   −γˆisd + abˆφrd + m1usd + ωs ˆisq m(ˆφrd ˆisq − ˆφrq ˆisd) − cˆΩ 0  , g2(u, y, Z1, Z2) =   −ωs ˆisd + m1usq ωs ˆφrq + aMsr ˆisd −ωs ˆφrd + aMsr ˆisq  , B1(Z2) = kmΛ1 ˆφrd, B2(Z2) = kmΛ2 ˆφrq, Λ1 = 0, 0, 1 T , Λ2 = 0, 0, −1 T , K =   −kc1 0 0 −kc2 0 0 0 0 0  , Γ =   1 0 0 0 1 0 0 0 α  , où k, kc1, kc2 sont des constantes po- sitives et α > 0. Remarque 1: Le couple de charge Tl est inconnu et supposé constant. Ainsi, le choix des variables de chaque sous système a été fait dans le but de séparer les variables mécaniques (Ω, Tl) des variables magnétiques (φrd, φrq). D’autres choix sont encore possibles. Remarque 2: Pour construire l’observateur on suppose que ωs est connue. Mais pour la suite elle proviendra de la commande. Remarque 3: B1(Z2)(y2 − ˆy2) + B2(Z2)(y1 − ˆy1) ≡ k[m(ˆφrdisq − ˆφrqisd) − m(ˆφrd ˆisq − ˆφrq ˆisd)] ≡ k(Te − ˜Te). avec Te et ˜Te sont respectivement la "mesure"’ et "l’esti- mation" du couple électromagnétique. Pour prouver la stabilité de l’observateur, on définit ǫ1 = X1 − Z1 et ǫ2 = X2 − Z2. La dynamique des erreurs avec incertitudes paramétriques sont (voir plus de détail dans [2])    ˙ǫ1 = [A1(Z2) − S−1 1 ΓCT 1 C1 − B1C1]ǫ1 + g1(u, y, X1, X2) + ∆g1(u, y, X1, X2) − g1(u, y, Z1, Z2) + [A1(X2) + ∆A1(X2) − A1(Z2)]X1 − (B2C2 + KCT 2 C2)ǫ2 ˙ǫ2 = [A2(Z1) − S−1 2 CT 2 C2]ǫ2 + [A2(X1) + ∆A2(X2) − A2(Z1)]X2 + g2(u, y, X1, X2) + ∆g2(u, y, X1, X2) − g2(u, y, Z1, Z2) (3) où ∆A1(X2), ∆A2(X2), ∆g1(u, y, X1, X2) et ∆g2(u, y, X1, X2) sont les incertitudes sur A1(X2), A2(X2), g1(u, y, X1, X2), g2(u, y, X1, X2) respectivement. Soit, Vo = ǫT 1 S1ǫ1 + ǫT 2 S2ǫ2 une fonction de Lyapunov. On montre que [2] la dérivée de Vo vérifie l’inégalité suivante : ˙Vo ≤ −(1 − ς)δV, ∀ e ≥ µ ςδ (4) N.B.1 : la convergence de l’observateur est une fonction de l’excitation. Donc la convergence exponentielle est prou- e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 44-49 vée que si les entrées sont régulièrement persistantes (voir défition d’entrée persistante dans [4]). Dans le cas contraire les erreurs d’estimation restent bornées [2]. III. Commande vectorielle Le modèle de la MAS donné par l’équation (1) peut être réécrite sous la forme suivante :       ˙Ω ˙φrd ˙ρ ˙isd ˙isq       =       mφrdisq − cΩ −aφrd + aMsrisd pΩ + aMsr φrd isq −γisd + abφrd + pΩisq + aMsr φrd i2 sq −γisq − bpΩφrd − pΩisd − aMsr φrd isdisq       +       0 0 − 1 J 0 0 0 0 0 0 m1 0 0 0 m1 0         Vsd Vsq Tl   (5) où ( ˙ρ = ωs), est l’angle du flux. Dans (5), φrq = 0. Donc le couple électromagnétique est proportionnel au produit des deux variables φrd et isq : Te = Jmφrdisq (6) D’autres part, les équations dynamiques des courant isd et isq sont non linéaires selon la commande classique de type vectorielle, pour compenser les non linéarités, on réalise une boucle de courant au dynamiques rapides (régulateur PI) [8], qui aura pour but de forcer les courants isd et isq à leurs valeurs de références i∗ sd et i∗ sq . La commande en tension s’écrivant alors : Vsd = Kivd t 0 (i∗ sd − isd )dt + Kpvd (i∗ sd − isd ) (7) Vsq = Kivq t 0 (i∗ sq − isq )dt + Kpvq (i∗ sq − isq ) (8) les équations de la machines après ce premier bouclage sont : ˙Ω ˙φrd = mφrdi∗ sq − cΩ − Tl J −aφrd + aMsri∗ sd (9) Avant de présenter les régulateurs de vitesse et du flux de type backstepping, nous donnons ici une estimation de ωs. Pour la commande par orientation de flux φrq ≡ 0, donc on a ωs = pΩ + a Msr φrd isq. Pour obtenir notre objectif (φrq ≡ 0), nous définissons ˜ωs = pˆΩ + a Msr ˆφrd isq − (isq −ˆisq) β1 ˆφrd kωs (10) où ˜ωs est l’estimation de ωs, β1 = Msr σLsLr et kωs est une constante positive. Régulateur de vitesse de type backstepping [6] Soit z1 = Ω∗ − Ω, de (5) la dynamique de z1 est ˙z1 = ˙Ω∗ − mφrdisq + cΩ + Tl J . (11) Pour obtenir une dynamique ˙z1 = −kΩz1, où kΩ est une constante positive, de (11) ; i∗ sq est donné par i∗ sq (t) = 1 mφrd [ ˙Ω∗ + cΩ + Tl J + kΩz1]. (12) Régulateur de flux de type backstepping [6] Soit z2 = φ∗ − φrd, de (5) la dynamique de z2 est ˙z2 = ˙φ∗ + aφrd − aMsrisd . (13) Pour obtenir une dynamique ˙z2 = −kφz2, où kφ est une constante positive, de (13), i∗ sd est donné par i∗ sd (t) = 1 aMsr [ ˙φ∗ + aφrd + kφz2]. (14) IV. Analyse de la stabilité commande+observateur Notre but est de réaliser la commande sans capteur mé- canique. Alors la vitesse et le flux ne sont pas mesurés, donc nous remplaçons dans les régulateurs de vitesse et de flux définis par (12) et (14) la mesure de vitesse et le flux par leurs estimées données par l’observateur (2). Ainsi, on obtient : i∗ sq (t) = 1 mˆφrd [ ˙Ω∗ + cˆΩ + ˆTl J + kΩ(Ω∗ − ˆΩ)] (15) et i∗ sd (t) = 1 aMsr [ ˙φ∗ + aˆφrd + kφ(φ∗ − ˆφrd)]. (16) N.B.2 : l’équation (9) est réécrite sous la forme suivante    ˙Ω = mφrdi∗ sq(Ω, φrd) − cΩ − Tl J + mφrd[i∗ sq(ˆΩ, ˆφrd) − i∗ sq(Ω, φrd)] ˙φrd = −aφrd + aMsri∗ sd(φrd) + aMsr[i∗ sd(ˆφrd) − i∗ sd(φrd)]. (17) Remarque 4: Pour éviter les singularités dans la com- mande nous initialisons l’observateur de sorte que le flux initial soit différent de zéro, ainsi le régulateur de vitesse (15) est défini. En considérant les équations (15),(16) et (17), les nouvelles dynamiques de l’erreur de vitesse et du flux sont :    ˙z1 = −kΩz1 − (kΩ − c)ǫΩ − ǫφ ˆφrd [ ˙Ω∗ + cˆΩ + ˆTl J + kΩ(Ω∗ − ˆΩ)] ˙z2 = −kφz2 − (kφ − a)ǫφ (18) où ǫφ = φrd − ˆφrd et ǫΩ = Ω − ˆΩ. ou encore : ˙z1 = −kΩz1 − (kΩ − c)Bz1 ǫ1 + ǫT 2 BT z2 Γ(z1) ˙z2 = −kφz2 − (kφ − a)Bz2 ǫ2 (19) où Γ(z1) = 1 ˆφrd [ ˙Ω∗ + cˆΩ + ˆTl J + kΩ(Ω∗ − ˆΩ)], Bz1 = 0 1 0 , Bz2 = 0 −1 0 e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 44-49 la dynamique de l’erreur de poursuite du système global "Commande+Observateur" (19)+(2) devient :    ˙z1 = −kΩz1 − (kΩ − c)Bz1 ǫ1 + ǫT 2 BT z2 Γ(z1) ˙z2 = −kφz2 − (kφ − a)Bz2 ǫ2 ˙ǫ1 = [A1(Z2) − S−1 1 ΓCT 1 C1 − B1C1]ǫ1 + g1(u, y, X1, X2) + ∆g1(u, y, X1, X2) − g1(u, y, Z1, Z2) + [A1(X2) + ∆A1(X2) − A1(Z2)]X1 − (B2C2 + KCT 2 C2)ǫ2 ˙ǫ2 = [A2(Z1) − S−1 2 CT 2 C2]ǫ2 + [A2(X1) + ∆A2(X2) − A2(Z1)]X2 + g2(u, y, X1, X2) + ∆g2(u, y, X1, X2) − g2(u, y, Z1, Z2) (20) Lemme 1: Considérons l’observateur interconnecté (2) et que (15), (16) sont les lois de commande du système (9). Alors, en choisissant la vitesse et le flux donné par l’obser- vateur (2), la commande permet d’assurer que les erreurs de poursuite de vitesse et du flux tendent exponentiellement vers zéro. Preuve. Considérons la fonction candidate de de Lyapunov sui- vante : Voc = Vo + Vc = ǫT 1 S1ǫ1 + ǫT 2 S2ǫ2 + 1 2 z2 1 + 1 2 z2 2 (21) De (4) ˙Vo ≤ −δoVo (avec δo = (1 − ς)δ), donc la dérivée de Voc est donnée par : ˙Voc ≤ −δoVo − kΩz2 1 + (kΩ − c)z1Bz1 ǫ1 − z1ǫT 2 BT z2 Γ(z1) − kφz2 2 + (kφ − a)z2Bz2 ǫ2. En définissant les inégalités suivantes z1 ǫ1 Sθ1 ≤ ξ1 2 ǫ1 2 Sθ1 + 1 2ξ1 z1 2 z2 ǫ2 Sθ2 ≤ ξ2 2 ǫ2 2 Sθ2 + 1 2ξ2 z2 2 z1 ǫ2 Sθ2 ≤ ξ3 2 ǫ2 2 Sθ2 + 1 2ξ3 z1 2 et Γ(z1) ≤ l1, ∀ξ1, ξ2, ξ3 ∈]0, 1[, en regroupant les diffé- rents termes, nous avons : ˙Voc ≤ −(δo − (kΩ − c)ξ1 2λmin(S1) ) ǫ1 2 Sθ1 − (δo − (kφ − a)ξ2 2λmin(S2) − l1ξ3 2λmin(S2) ) ǫ2 2 Sθ2 − (kφ − (kφ − a) 2ξ2 ) z2 2 − (kΩ − (kΩ − c) 2ξ1 − l1 2ξ3 ) z1 2 Finalement en choisissant δo, kΩ et kφ tels que ϑ1 = (δo − (kΩ−c)ξ1 2λmin(S1) ) > 0, ϑ2 = (δo − (kφ−a)ξ2 2λmin(S2) − l1ξ3 2λmin(S2) ) > 0, ϑ3 = (kφ − (kφ−a) 2ξ2 ) > 0, ϑ4 = (kΩ − (kΩ−c) 2ξ1 − l1 2ξ3 ) > 0 et en prenant ϑ = min(ϑ1, ϑ2, ϑ3, ϑ4), on a ˙Voc ≤ −ϑVoc. Voc est bien une fonction de Lyapunov. La stabilité Observateur-Commande est donc prouvée. V. Benchmark commande sans capteur mécanique La motivation principale de cette expérimentation est d’analyser les performances de l’ensemble "Com- mande+Observateur" sur des trajectoires du benchmark présenté Fig. 1. Plus précisément, les valeurs initiales de la vitesse mécanique et du couple de charge sont main- tenues à zéro pour permettre au flux de s’établir dans la machine. A t = 0.75s la vitesse de la machine est portée à 20 rad/s et reste constante jusqu’à t = 3s. Puis, le couple de charge est appliqué entre 1.5s et 2.5s. Cette première phase permet de tester et d’évaluer les performances de loi de commande sans capteur en basse vitesse avec charge. On accélère, ensuite, la machine jusqu’à atteindre une vitesse haute (100 rad/s), puis, à t = 5s, on applique à nouveau le couple de charge. Cette deuxième phase a pour but de tester le comportement de la loi de commande sans cap- teur durant un grand transitoire de vitesse, ainsi que la robustesse en haute vitesse. Ensuite, tout en maintenant le couple de charge, on décélère rapidement la machine, pour atteindre à t = 7s, une vitesse faible négative qui reste constante jusqu’à t = 9s. Cette vitesse a été choisie pour obtenir une fréquence statorique nulle. Cette dernière phase permet de mettre en évidence le phénomène d’inob- servabilité de la machine à fréquence statorique nulle et à vitesse faible constante. Enfin, les trajectoires amènent la machine en dehors des conditions inobservables. Fig. 1. Trajectoires du benchmark commande : a- vitesse de réfé- rence : Ω∗ (rd/s), b- Couple de charge : T∗ l (N.m), c-Flux de référence : φ∗ (Wb) VI. Résultats expérimentaux La MAS utilisée pour les tests est une machine à cage. Ses caractéristiques sont les suivantes : Puissance nominale 1.5kW Vitesse nominale 1430 rpm Nombre de paires de pôles 2 Tesion simple 220 V Intensité nominale 6.1 A Les paramètres "nominaux" de la MAS utilisés sont : e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 44-49 Rs 1.47Ω Rr 0.79Ω Ls 0.105H Lr 0.094H Msr 0.094H J 0.0077Kg.m2 fv 0.0029Nm/rad/s Les paramètres : α = 0.82, k = 0.14, kc1 = 350, kc2 = 0.5, kΩ = 500, kφ = 1000, Kivd = 0.03, Kpvd = 15, Kivq = 0.03, Kpvq = 10, Kωs = 200, θ1 = 3000 and θ2 = 7000 sont choisis pour satisfaire les conditions de convergence. La période d’échantillonnage T est 200µs. Pour tester les conditions de robustesse a chaud, nous pre- nons pour notre expérience Rs nominale +30% pour l’ob- servateur. La figure Fig. 2 montre les résultats expérimentaux dans les cas dit "nominal" c’est à dire en utilisant les paramètres identifiés sur le banc (sauf la résistance statorique). Nous pouvons remarquer les bonnes performances de l’en- semble "Commande+Observateur" en boucle fermée en suivi de trajectoire et rejet de perturbation. En terme de suivi de trajectoire, la vitesse estimée (Fig. 2.b) converge correctement vers la vitesse mesurée ((Fig. 2.a) même dans les conditions où la machine est inobservable (entre 7 et 9 sec). Même conclusion pour le flux estimé (Fig. 2.f) et le flux de référence (Fig. 2.e). En terme de rejet de pertur- bation nous remarquons que le couple est bien rejeté en basse vitesse comme en haute vitesse. Néanmoins il existe un petit écart aux instants d’application du couple (voir (Fig. 2.g&i) à 1.5s et 5s) et aux instants d’annulation (Voir (Fig. 2.g&i) à 2.5s). Nous remarquons aussi que le couple de charge estimé (Fig. 2.d) converge vers le couple de charge mesuré (Fig. 2.c) sauf dans le zone inobservable (entre 7 et 9 sec). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 50 100 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.58 0.59 0.6 Wb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −5 0 5 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −2 0 2 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −0.01 0 0.01 Wb Time(s) a b c d e f g h i Fig. 2. Résultat de l’expérience dans le cas nominal : a, c : vitesse et couple de charge mesurés, e : flux de référence, b, d, f : vitesse, couple et flux estimés, g, h, i : erreurs d’estimation de la vitesse, du couple de charge et du flux. La robustesse de l’ensemble "Commande+Observateur" est confirmée par les résultats obtenus avec une variation de (+50%) et (-50%) sur la valeur de la résistance ro- torique Fig. 3 et Fig. 4. Les figures montrent respective- ment qu’une variation sur la valeur de la résistance roto- rique dans les paramètres de la commande et l’observateur n’influe peu ou pas les performances de l’ensemble "Com- mande+Observateur". Néanmoins un écart statique appa- raît sur la vitesse lorsque le moteur est dans la zone inob- servable (entre 7 et 9 sec), (voir Fig.3.a&b et Fig.4.a&b ). De plus, l’écart statique augmente légèrement aux instants d’application du couple de charge à 1.5s et 5s voir (voir Fig.3.g&i et Fig.4.g&i ). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 50 100 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.58 0.59 0.6 Wb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −5 0 5 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −2 0 2 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −0.01 0 0.01 Wb Time(s) a b c d e f g h i Fig. 3. Résultat de l’expérience avec (+50%) sur la valeur de la résistance rotorique : a, c : vitesse et couple de charge mesurés, e : flux de référence, b, d, f : vitesse, couple et flux estimés, g, h, i : erreurs d’estimation de la vitesse, du couple de charge et du flux. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 50 100 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.58 0.59 0.6 Wb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −5 0 5 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −2 0 2 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −0.01 0 0.01 Wb Time(s) a b c d e f g h i Fig. 4. Résultat de l’expérience avec (-50%) sur la valeur de la ré- sistance rotorique : a, c : vitesse et couple de charge mesurés, e : flux de référence, b, d, f : vitesse, couple et flux estimés, g, h, i : erreurs d’estimation de la vitesse, du couple de charge et du flux. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 44-49 Un nouveau test de robustesse est effectué avec une varia- tion +10% sur la valeur de l’inductance rotorique et stato- rique dans les paramètres de la commande et de l’observa- teur Fig. 5 et Fig. 6. En analysant ces figures, nous pouvons remarquer qu’une variation sur la valeur de l’inductance ro- torique respectivement statorique n’influe presque pas les performances de l’ensemble "Commande+Observateur". Mais il apparaît un légère oscillation en haute vitesse voir (Fig. 5.g) et cette oscillation augmente légèrement lors de la variation de la valeur de l’inductance statorique voir (Fig. 6.g). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 50 100 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.58 0.59 0.6 Wb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −5 0 5 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −2 0 2 4 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −0.01 0 0.01 Wb Time(s) a b c d e f g h i Fig. 5. Résultat de l’expérience avec (+10%) sur la valeur de l’in- ductance rotorique : a, c : vitesse et couple de charge mesurés, e : flux de référence, b, d, f : vitesse , couple et flux estimés, g, h, i : erreurs d’estimation de la vitesse, du couple de charge et du flux. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 50 100 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.58 0.59 0.6 Wb 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −5 0 5 Rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −5 0 5 N.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 −0.01 0 0.01 Wb Time(s) a b c d e f g h i Fig. 6. Résultat de l’expérience avec (+10%) sur la valeur de l’induc- tance statorique : a, c : vitesse et couple de charge mesurés, e : flux de référence, b, d, f : vitesse , couple et flux estimés, g, h, i : erreurs d’estimation de la vitesse, du couple de charge et du flux. VII. CONCLUSION Cet article propose une commande sans capteur méca- nique de la MAS. La loi commande adoptée est de type backstepping. Un observateur interconnecté est utilisé dans cet article pour reconstruire la vitesse mécanique de la MAS. L’ensemble "Commande+Observateur" est testé et validé en expérimentation sur un benchmark spécifique à la commande sans capteur mécanique. Des tests de robus- tesse significatifs on été effectués attestant la qualité de la loi de commande proposée. Références [1] C. Canudas de Wit, A. Youssef, J.P. Barbot, Ph. Martin and F. Malrait, "Observability Conditions of Induction Motors at low frequencies", IEEE Conference on Decision and Control, Sydney, Australia, December 2000. [2] D. 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