Stabilisation de systèmes mécaniques sous-actionnés par commande quasi-homogène

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-3:19894
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Résumé

Stabilisation de systèmes mécaniques sous-actionnés par commande quasi-homogène

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Stabilisation de systèmes mécaniques sous-actionnés par commande quasi-homogène Samer Riachy, Thierry Floquet, Jean-Pierre Richard Projet ALIEN, INRIA FUTURS et Equipe SyNeR, LAGIS UMR CNRS 8146 Ecole Centrale de Lille, B.P. 48, Cité Scientifique, 59651 Villeneuve d’Ascq, France. (samer.riachy, thierry.floquet, jean-pierre.richard)@ec-lille.fr Résumé— Une commande par modes glissants d’ordre 2 est réalisée pour le contrôle de systèmes mécaniques sous- actionnés opérant en milieu incertain. Afin de stabiliser un système sous-actionné autour de sa position d’équi- libre instable, une commande robuste quasi-homogène est construite pour générer un régime glissant d’ordre 2 sur une surface de glissement convenablement choisie. La dynamique équivalente par rapport à cette sortie fictive est alors asymp- totiquement stable. Les performances de la loi de commande proposée sont illustrées par une étude expérimentale sur un pendule inversé. Mots-clés— systèmes mécaniques sous-actionnés, modes glis- sants d’ordre 2, contrôle quasi-homogène, stabilisation lo- cale. I. Introduction La stabilisation des systèmes mécaniques sous-actionnés, possédant plus de degrés de liberté que d’entrées de com- mande, est un défi [7], [22]. La loi de commande, qui sera développée dans la suite, est basée sur une transformation non linéaire dans l’espace d’état afin d’obtenir une forme canonique de commande si- milaire à [2], [27]. Pour stabiliser le système autour de sa position d’équilibre (instable ou non), une sortie est choisie de telle sorte que la dynamique équivalente correspondante (lorsque cette sortie est annulée) soit asymptotiquement stable. Une fois la sortie choisie, la stabilité du système as- servi est assurée par la construction d’un contrôle à struc- ture variable assurant la convergence, en temps fini et de façon robuste, du système vers la dynamique équivalente. La synthèse de ce genre de contrôleur est une contribution de cet article. La commande à structure variable construite est en par- tie inspirée de [18]- [19], stabilisant un manipulateur à un degré de liberté en temps fini. Bien qu’elle présente ce qu’on appelle l’effet Zénon, caractérisé par une infinité de com- mutations de la commande sur un intervalle de temps fini (voir [15], [17] pour les modes Zénon), elle n’aboutit pas à la génération de modes glissants d’ordre 1, alors qu’elle assure des propriétés de robustesse et de précision similaires. Des Modes Glissants du Second Ordre (MGSO) apparaissent au point d’équilibre (voir [1], [9], [10], [13] pour plus de de- tails sur les MGSO). Pour des applications à des systèmes mécaniques ayant un niveau de frottement important [18]- [21] et [23], il a été montré que ce type de lois commande assure de bonnes performances en présence de perturba- tions ainsi que de dynamiques non modélisées comme les forces de frottements. La procédure est validée par des applications expérimen- tales de stabilisation locale d’un pendule inversé. Un pro- blème classique est de balancer le pendule jusqu’à ce qu’il atteigne sa position d’équilibre instable et de le maintenir à cette position. La littérature est déjà riche sur ce sujet [6], [16], [25], [28], [29]. L’approche traditionnelle consiste en la construction de 2 contrôleurs. Le premier, basé sur le modèle non linéaire, est dédié à la phase de balance- ment. Le second, basé sur le modèle linéarisé, assure la stabilité locale autour de la position d’équilibre instable. Une stratégie de commutation (hybride) est alors mise en oeuvre pour commuter entre les 2 contrôleurs une fois le domaine d’attraction du contrôleur local est atteint. Basés généralement sur un retour d’état statique, ces contrôleurs locaux déjà publiés sont d’un intérêt pratique limité à cause de leurs domaines d’attraction relativement restreints. De plus, l’influence des efforts de frottements est négligée dans ces travaux, ce qui limite les performances de tels contrô- leurs. Le contrôleur par MGSO développé dans cette commu- nication, concernant uniquement la phase de stabilisation locale autour du point d’équilibre instable pour le système pendule-chariot, ne souffre pas de ces inconvénients. Cette commande, qui ne tient donc pas compte de la phase de ba- lancement, est basée sur le modèle non linéaire du pendule inversé et assure un large domaine d’attraction. En plus, la robustesse du contrôleur vis-à-vis des forces de frottement est mise en évidence. Le reste de l’article est organisé comme suit. La section 2 présente les concepts de base de la commande quasi- homogène discontinue appliquée à la stabilisation d’un ma- nipulateur à un degré de liberté. Dans la section 3, ces résultats sont étendus à la stabilisation des systèmes mé- caniques sous-actionnés. Les performances de la stratégie proposée sont expérimentées sur un pendule inversé dans les sections 4 et 5. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 31-37 II. Etude préliminaire : stabilisation robuste d’un manipulateur à un degré de liberté La commande quasi-homogène, qui sera définie ultérieu- rement, est tout d’abord illustrée sur un manipulateur à 1 degré de liberté opérant dans des conditions incertaines. Les dynamiques du manipulateur sont données par ¨y = ω(y, ˙y, t) + u (1) où y est sa position, ˙y est sa vitesse, u est la commande et ω(y, ˙y, t) est une fonction nonlinéaire continue par mor- ceaux qui contient toutes les forces agissant sur le système (frottement visqueux et de Coulomb, poids, etc.). Les solu- tions de l’équation différentielle à second membre discon- tinue sont définies au sens de Filippov [8], donc dans le cadre d’une inclusion différentielle dont le terme à droite de l’égalité peut prendre plusieurs valeurs. Le manipulateur opère dans des conditions incertaines ce qui implique que la non-linéarité ω(y, ˙y, t) est mal connue. Ce terme, poten- tiellement déstabilisant, peut être considéré comme étant la somme d’un terme nominal connu a priori ωnom (y, ˙y, t) et d’un terme incertain ωun (y, ˙y, t) qui sera rejeté : ω(y, ˙y, t) = ωnom (y, ˙y, t) + ωun (y, ˙y, t). (2) On suppose que ωun (y, ˙y, t) est borné, i.e. que l’inégalité : |ωun (y, ˙y, t)| ≤ N (3) est vérifiée pour tout t ≥ 0 et tout (y, ˙y) ∈ IR2 , où N > 0 est une constante connue a priori. De plus, on suppose que les fonctions ωnom (y, ˙y, t) et ωun (y, ˙y, t) sont continues par morceau. La loi de commande u = −ωnom (y, ˙y, t) − asign(y) − bsign(˙y) − hy − p˙y, (4) N < b < a − N, h, p ≥ 0 (5) où sign(.) est la fonction signe, stabilise le système incertain (1)-(3) en temps fini. La commande (4)-(5) est constituée de la compensation nonlinéaire −ωnom (y, ˙y, t), d’un gain linéaire −hy − p ˙y, et d’une partie discontinue ϕ(y, ˙y) = −asign(y) −bsign(˙y) vérifiant ϕ(cy, c ˙y) = ϕ(y, ˙y) pour tout c > 0. Un tel contrôleur est dit quasi-homogène. Definition 1: Un contrôleur est dit quasi-homogène ssi il peut être représenté comme une combinaison d’un terme homogène discontinu et d’un autre terme continu qui tend vers l’origine de l’espace d’état. La stabilité en temps fini des systèmes homogènes asymptotiquement stables est bien connue pour les champs de vecteurs continus [3], [12]. Pour l’extension de ce résul- tat aux systèmes à structure variable, il a fallu procéder différemment [14], [19] étant donné que l’existence d’une fonction de Lyapunov lisse et homogène, dont l’existence a été prouvée dans [24] pour les champs de vecteurs continus asymptotiquement stable, n’est plus utilisable. La nouveauté dans la démonstration est que la stabilité en temps fini est conservée en présence de perturbations non-homogènes [19]. En particulier, il a été montré que le système non-homogène (1)-(5) est globalement stable en temps fini, en présence de perturbations externes (2) véri- fiant (3). III. Stabilisation des systèmes mécaniques sous-actionnés Dans la présente section, la synthèse d’une commande quasi-homogène est développée pour la stabilisation de systèmes mécaniques sous-actionnés dont le modèle dyna- mique est de la forme : ¨q = M−1 (q)[Bτ − C(q, ˙q) ˙q − G(q) − F( ˙q)]. (6) Dans cette équation, q ∈ IRn est le vecteur de position des articulations, τ ∈ IRm , m < n est la force de commande, ˙q et ¨q sont respectivement les vecteurs de vitesse et d’ac- célération, M(q) ∈ IRn×n est la matrice d’inertie, C(q, ˙q) ˙q représente les forces centrifuge et de Coriolis, G(q) le poids, F( ˙q) ∈ IRn les forces de frottements et B est la matrice d’entrée de rang m. Le système (6) peut être représenté localement, par l’in- termédiaire d’un changement non linéaire, sous la forme : ¨η = g(η, ˙η, ξ, ˙ξ) ¨ξ = f(η, ˙η, ξ, ˙ξ) + u. (7) Si en plus, ce système est localement à minimum de phase et suffisamment dérivable, il peut être localement stabilisé par un contrôleur quasi-homogène similaire à (4). Les va- riables η et ξ sont supposées mesurables, car ce sont des fonctions de q et ˙q. Dans la suite, on suppose que : 1. Les fonctions g(η, ˙η, ξ, ˙ξ) et f(η, ˙η, ξ, ˙ξ) sont continues par morceaux et g(η, ˙η, ξ, ˙ξ) est continue par rapport à (ξ, ˙ξ) localement autour de (ξ, ˙ξ) = 0 pour tout (η, ˙η). 2. Le système ¨η = g(η, ˙η, ξ, ˙ξ) est stable du point de vue entrée-état. 3. Le système ¨η = g(η, ˙η, 0, 0) (8) a une position d’équilibre en 0, localement asymptotique- ment stable. Les solutions de l’équation différentielle (7)-(8), ayant un second membre discontinu, sont définies au sens de Filippov [8]. L’hypothèse 1 étant vérifiée, l’existence d’une solution (probablement non-unique) d’une telle équation, ayant des conditions initiales arbitraires et un contrôle continu par morceaux, est garantie par le Théorème 8 de [8, p. 85]. Les autres hypothèses sont nécessaires pour des raisons techniques. L’hypothèse 2 est introduite pour éviter les ef- fets de pic déstabilisant (voir [26] pour plus de détails). L’hypothèse 3 signifie que (7), ayant comme sortie ξ, est localement à minimum de phase. Comme dans le cas du manipulateur (1), le système (7) opère dans un milieu incertain. Le terme, f(η, ˙η, ξ, ˙ξ) = fnom (η, ˙η, ξ, ˙ξ) + fb (η, ˙η, ξ, ˙ξ) (9) probablement déstabilisant, est décomposé en une compo- sante nominale fnom , connue a priori, et un gain borné mal connu fb dont les composantes fb j , j = 1, . . . , m sont globalement bornées |fb j (η, ˙η, ξ, ˙ξ)| ≤ Nj (10) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 31-37 par des constantes connues a priori Nj > 0. De plus, les deux fonctions fnom et fb sont supposées continues par morceaux. Le contrôleur quasi-homogène suivant (4), (5), est proposé u(η, ˙η, ξ, ˙ξ) = −fnom (η, ˙η, ξ, ˙ξ)−αsign ξ−βsign ˙ξ−Hξ−P ˙ξ (11) H = diag{hj}, P = diag{pj}, α = diag{αj}, β = diag{βj} avec Nj < βj < αj − Nj hj, pj ≥ 0, j = 1, . . . , m (12) pour stabiliser localement le système incertain (7), (9), (10). La notation diag représente une matrice diagonale de dimension appropriée, sign ξ où ξ = (ξ1, . . . , ξm)T est ce vecteur colonne (sign ξ1, . . . , sign ξm)T . Dans la suite, on montre que le contrôleur proposé (11), (12) assure la convergence du système incertain (7) vers la dynamique équivalente ξ = ˙ξ = 0 en temps fini avec les propriétés désirées du système bouclé. Theorem 1: Supposons les hypothèses 1-3 satisfaites et soit le système (7), (9), (10) bouclé par le retour (11) sous la condition (12). Alors, le système bouclé (7), (11)-(12) est localement asymptotiquement stable, uniformément vis-à- vis des perturbations (9), (10). Démonstration : Le système en boucle fermée (7), (11) est représenté comme suit ¨η = g(η, ˙η, ξ, ζ) (13) ˙ξj = ζj, ˙ζj = fb j (η, ˙η, ξ, ζ) − αjsign ξj − βjsign ζj −hjξj − pjζj, j = 1, . . . , m. (14) L’hypothèse 1 permet d’utiliser les résultats de la théorie de Filippov sur les systèmes à second membre discontinu. Pour des raisons de concision, on ne fera ici référence qu’au Théo- rème 8 de son ouvrage de référence [8, p. 85]. Ce Théorème étant applicable au système (13)-(14), le système admet une solution locale en présence de perturbations globale- ment bornées (10). Montrons que toute solution de (13), (14) est globalement continue à droite. Tout d’abord, pour j ∈ (1, . . . , m), aucun mouvement n’apparaît sur les axes ξj = 0 and ζj = 0 sauf sur leur intersection ξj = ζj = 0. En effet, si ξj(t) = 0 pour une trajectoire de (13)-(14), alors (13) donne ζj(t) = 0 sur la trajectoire. D’autre part, si ζj(t) = 0 pour une trajectoire de (13)-(14) et en tenant compte de (12), la seconde équa- tion de (14) n’est plus satisfaite pour ξj = 0. Ensuite, calculons la dérivée temporelle de la fonction Vj(ξj, ζj) = αj|ξj|+ 1 2 (hjξ2 j +ζ2 j ), j = 1, . . . , m, le long des trajectoires de (14). En tenant compte de (10), on obtient ˙Vj(ξj, ζj) = αjζjsign ξj + hjξjζj + ζj{fb j (η, ˙η, ξ, ζ) −αjsign ξj − βjsign ζj − hjξj − pjζj} = −[βj − fb j (η, ˙η, ξ, ζ)sign ζj] × |ζj| − pjζ2 j ≤ −(βj − Nj)|ζj| (15) sauf le long de l’axe ξj = 0 où la fonction Vj(ξj, ζj) n’est pas dérivable. Puisque le régime de glissement n’apparaît pas sur ξj = 0 mais uniquement sur l’intersection de ξj = ζj = 0 où ˙Vj(ξj, ζj) = 0, l’inégalité (15) est toujours satisfaite ∀ t. Selon (12), la solution du sous-système (14) satisfaisant (10) est uniformément bornée par rapport à t. Tenant compte de l’hypothèse 2, on s’assure que toutes les solu- tions possibles du système incertain (10), (13), (14) restent bornées sur tout intervalle de temps fini, et d’après la pro- priété B du Théorème 9 de [8, p. 86], ces solutions sont globalement continues à droite. Les composantes fb j (η, ˙η, ξ, ζ), j = 1, . . . , m, étant glo- balement bornées et en vertue de (12) tout sous-système (14) est similaire à celui considéré dans la Section II, et est donc globalement stable en temps fini, pour toutes pertur- bations satisfaisant (10). Donc, à partir d’un certain temps fini, le système bouclé (13), (14) évolue sur la dynamique équivalente ξ = ζ = 0 où le comportement est décrit par la dynamique des zéros (8). Enfin pour compléter la démonstration, il reste à noter, d’après l’hypothèse 3, que la dynamique équivalente (8) est localement asymptotiquement stable. Celle-ci, couplée à la stabilité en temps fini locale uniforme de (14), assure que le système asservi (13), (14) est localement asymptotique- ment uniformément stable. La preuve du théorème est alors complète. En résumé, la synthèse Quasi-homogène suivante est pro- posée pour les systèmes sous-actionnés. Premièrement, une sortie du système est choisie sachant que la dynamique équivalente correspondante est localement asymptotique- ment stable. Ensuite, le système sous-actionné est, loca- lement, transformé sous la forme canonique (7), dont la stabilisation est achevée par l’application d’un contrôleur quasi-homogène (11), (12). Dans ce qui suit, cette synthèse quasi-homogène est mise en œuvre pour la stabilisation d’un pendule inversé à 2 degrés de liberté avec n = 2 et m = 1. Des études de simulations numériques ainsi que des expérimentations sont également réalisées. IV. Application au pendule inversé A. Modèle mathématique du pendule inversé Par application de la seconde loi de Newton, on obtient les équations dynamiques du système : (M + m)¨x + ml sin θ ˙θ2 − ml cos θ ¨θ = τ − ψ( ˙x) + ω1(t), 4 3 ml2 ¨θ − ml cos θ ¨x − mgl sin θ = −ϕ( ˙θ) + ω2(t). Dans les équations précédentes, x et θ sont les coordon- nées généralisées (voir fig. 1), M et m sont respectivement les masses du chariot et du pendule, l est la distance du centre de gravité du pendule à son axe de rotation, g est la constante de gravitation, τ est l’entrée de commande (la force exercée par le moteur) et ω1(t), ω2(t) sont des termes incertains bornés prenant en compte les dynamiques mal modélisées ainsi que les perturbations externes. ψ( ˙x) et ϕ( ˙θ) sont respectivement les efforts de frottement (de e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 31-37 Fig. 1. Le pendule inversé en coordonnées généralisées x et θ. Fig. 2. Pendule inversé situé au LAGIS. Coulomb et visqueux) du chariot et du pendule et sont modélisés comme suit : ψ( ˙x) = ψDahl( ˙x) + ψv ˙x et ϕ( ˙θ) = ϕDahl( ˙θ) + ϕv ˙θ où ψv et ϕv sont les coefficients de frottement visqueux. Dans ce qui suit, le contrôleur requiert que les perturba- tions inconnues et les efforts de frottement sont différen- tiables. Ainsi, il est supposé que l’évolution du frottement de Coulomb est décrit par le modèle de Dahl suivant [5] : ˙ψDahl( ˙x) = σx ˙x − ψDahl( ˙x) ψc | ˙x| et ˙ϕDahl( ˙θ) = σθ ˙θ − ϕDahl( ˙θ) ϕc | ˙θ| σx et σθ sont les coefficients de rigidité, alors que ψc et ϕc représentent respectivement la force de frottement de Cou- lomb du chariot (moteur linéaire) et le couple de frottement de Coulomb du pendule. Les équations peuvent être mises sous la forme (6) avec : M(q) = M + m −ml cos θ −ml cos θ 4 3 ml2 C(q, ˙q) = 0 ml sin θ ˙θ 0 0 ; G(q) = 0 −mgl sin θ B = 1 0 ; F( ˙q) = ψ( ˙x) − ω1(t) ϕ( ˙θ) − ω2(t) . Après quelques manipulations mathématiques, la représen- tation suivante sous forme d’équations d’état est obtenue :   ˙x ¨x ˙θ ¨θ   =    ˙x (3mgl cos θ−4ml2 ˙θ2 ) sin θ D ˙θ 3((M+m)g−ml cos θ ˙θ2 ) sin θ D    +   0 4l D 0 3 cos θ D  (τ − ψ( ˙x) +ω1(t)) −    0 3 cos θ D 0 3(M+m) mlD   (ϕ( ˙θ) − ω2(t)) (16) avec D = l(4M + m + 3m sin2 θ) > 0. En examinant (16), on s’aperçoit que ϕ( ˙θ) et ω2(t) sont des frottements et des perturbations “non-matching” (F( ˙q) /∈ span(B)). B. La loi de commande Dans cette section, une loi de commande par MGSO quasi-homogène est construite pour la stabilisation locale du système pendule-chariot autour de sa position d’équi- libre instable. L’idée est de trouver un difféomorphisme transformant le système en une forme régulière (7). Pour cela, on propose le changement de base suivant : η = x − 4 3 l (θ) (17) avec (θ) = ln 1 + sin θ cos θ , |θ| < π 2 . (18) Alors, le système (16) est transformé en 2 chaines d’inté- grateurs où l’entrée de commande n’agit que sur la 2eme :   ˙η ¨η ˙θ ¨θ   =     ˙η − g + 4 3 l ˙θ2 cos θ tan θ ˙θ 3 sin θ((M+m)g−ml cos θ ˙θ2 ) D     +   0 0 0 3 cos θ D  (τ − ψ + ω1) −    0 1 ml cos θ 0 3(M+m) mlD   (ϕ − ω2) (19) On voit que les termes non-matching ϕ et ω2 influence le sous-système (η, ˙η) de la forme régulière (19). Ces termes ne sont pas traités dans la partie théorique III, mais on verra que le contrôleur permet d’atténuer leurs effets. Une sortie fictive ξ est choisie afin que le sous-système (η, ˙η) avec ϕ = ω2 = 0 soit à minimum de phase par rapport à cette sortie. Nous allons montrer qu’on peut choisir ξ telle que : ξ = tan θ − λ1η − λ2 ˙η, (20) avec λ1 et λ2 > 0. En tenant compte de (17), (18) et (20), les variables d’état θ et x convergent vers l’origine lorsque η, ˙η et ξ tendent vers zéro. Donc, si on génère un régime de glisse- ment sur ξ = 0, l’hypothèse que le sous-système (η, ˙η) est à minimum de phase entraîne la stabilisation asymptotique e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 31-37 de x et θ. Le problème revient alors à la construction d’une commande à structure variable garantissant la convergence en temps fini de ξ vers zéro. En dérivant deux fois ξ, on ob- tient : ¨ξ = µ + z + u, (21) avec µ θ, ˙θ = 2 tan θ cos2 θ ˙θ 2 + 1 cos2 θ + 8lλ2 ˙θ tan θ 3 cos θ − λ2ϕv ml cos θ 3[(M + m)g − ml cos θ ˙θ2] sin θ − 3 cos θψ( ˙x) − 3 M+m ml ϕ( ˙θ) D +λ1 g + 4 3 l ˙θ2 cos θ tan θ + λ2 g + 4 3 l ˙θ2(1 + sin2 θ) cos θ ˙θ cos2 θ − λ1 ml cos θ + λ2 ˙θ tan θ ml cos θ ϕ( ˙θ) − λ2 ml cos θ ˙ϕDahl( ˙θ), u = 3ml + 8ml2 λ2 ˙θ sin θ − 3λ2 cos θϕv mlD cos θ τ, (22) et le terme incertain (ml cos θ) z = ml cos θ + 8ml2λ2 ˙θ tan θ 3 − λ2ϕv 3 cos θ D ω1 + 3(M + m) mlD ω2 + λ1 + λ2 ˙θ tan θ ω2 + λ2 ˙ω2. Etant données les contraintes physiques, le gain λ2 est choisi suffisamment petit pour assurer que 3ml + 8ml2 λ2 ˙θ sin θ−3λ2 cos θϕv = 0 dans (22). Le système décrit par : ¨η = − g + 4 3 l ˙θ2 cos θ (ξ + λ1η + λ2 ˙η) + 1 ml cos θ (ϕ − ω2). (23) et (21) est une forme régulière similaire à (7)1 , lorsque ϕ = ω2 = 0. Puisque (21) est similaire à (1), on propose la loi de commande u suivante : u = −µ θ, ˙θ − α1sign(ξ) − β1sign( ˙ξ) − hξ − p ˙ξ, ce qui donne : τ = mlD cos θ −µ θ, ˙θ − α1sign(ξ) − β1sign( ˙ξ) − hξ − p ˙ξ 3ml + 8ml2λ2 ˙θ sin θ − 3λ2 cos θϕv . (24) Supposons que ω1, ω2, ˙ω2 et ˙θ sont bornés. Alors z est une perturbation “matching”, uniformément bornée par ∆, i.e. |z| < ∆ pour presque tout t, θ et ˙θ. Comme on vient de le montrer dans la Section II, en posant ∆ < β1 < α1 − ∆ h, p ≥ 0, (25) le contrôleur quasi-homogène (24), (25) assure la stabilité uniforme en temps fini du système (ξ, ˙ξ). La dynamique 1Pour pouvoir écrire les équations du pendule inversé sous la forme régulière (7), il faut écrire les équations d’état en fonction η et ξ. La forme régulière complète n’est pas donnée ici à cause du calcul relati- vement complexe qui doit être effectué pour la trouver. De plus, cette forme n’est pas essentielle pour la construction de la commande. En fait, (21) et (23) constituent la forme régulière parce que les variables d’état θ et ˙θ sont des fonctions implicites de η, ˙η, ξ et ˙ξ. équivalente sur la surface ξ = 0 est donnée par : ˙η ¨η = 0 1 −λ1ρ −λ2ρ η ˙η + 0 1 ml cos θ (ϕ − ω2). (26) avec ρ = g + 4 3 l ˙θ2 cos θ > 0, ∀θ ∈ −π 2 , π 2 . Enfin, il reste à étudier la stabilité asymptotique de (26), lorsque ϕ = ω2 = 0. Notons qu’il existe un changement de base : Ω = Ω1 Ω2 = P η ˙η , avec P = 1 0 κ 1 , κ > 0, qui transforme le système (26) sous la forme ˙Ω = −κ 1 κσ δ Ω, (27) σ = −κ2 + λ2ρκ − λ1ρ κ δ = κ − λ2ρ. Soit V (Ω) = |Ω| = |Ω1| |Ω2| une fonction de Lyapunov vectorielle [4], [11]. La dérivée de Dini à droite de V (Ω) donne D+ V (Ω) ≤ ΓV (Ω), avec Γ = −κ |1| |κσ| δ . Si λ2 2 > 4λ1 ρ , (28) il existe alors κ > 0 tels que κ2 − λ2ρκ + λ1ρ < 0 et Γ = −κ 1 κσ δ . (29) Notons que les termes non-constants dans (29) apparaissent dans la dernière ligne seulement et que Γ est une matrice de Metzler (−M matrice). Cela permet d’appliquer la théorie de stabilité linéaire (voir [4], [11]). Par conséquence, sous la condition (28), Ω = 0 est un équilibre asymptotiquement stable du système non linéaire (27). Enfin, en prenant en compte le frottement du pendule ϕ( ˙θ) ainsi que les per- turbations non-matching ω2(t), il est évident qu’on perd la stabilité asymptotique, mais il est prouvé dans la théorie de stabilité linéaire que le système linéaire perturbé (26) converge dans une boule autour de l’origine. On obtient ainsi une stabilité pratique. Le rayon de cette boule peut être diminué en ajustant les paramètres λ1 and λ2. Ceci sera soutenu par des résultats expérimentaux. V. Simulations numériques et expérimentations Pour illustrer l’efficacité de la commande proposée, des simulations numériques et des expérimentations ont été e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 31-37 faites sur un pendule inversé situé au LAGIS à l’Ecole Cen- trale de Lille (voir Fig. 2). Les valeurs numériques suivantes sont utilisées : M = 3.4kg m = 0.147kg; l = (0.351/2)m; λ1 = 0.2m−1 ; λ2 = 0.25 sec /m.rad K1 = 40rad/sec2 ; K2 = 20rad/sec; h = 30rad/sec2 ; p = 0rad/sec; ψv = 8.5Nsec/m ϕv = 0.0015Nmsec/rad; σx = 10000N/m σθ = 50Nm/rad; ψc = 6.5N; ϕc = 0.00115Nm Les simulations ont été faites sans frottements et sans per- turbations non-matching, avec les conditions initiales sui- vantes : (x, ˙x, θ, ˙θ)T (0) = (0.2m, 1m/sec, 0.8rd, 2rd/sec). La condition initiale de θ est θ(0) = 0.8rd = 45.8◦ pour illustrer le grand domaine d’attraction (θ ∈ −π 2 ; π 2 ) du contrôleur. Les résultats sont présentés dans les figures 3 et 4. Comme on le prévoit théoriquement, le chariot ainsi que le pendule sont asymptotiquement stablisés. Fig. 3. Simulation numérique x(m) et θ(rd) Fig. 4. Entrée de commande (volts). Ensuite, des essais expérimentaux ont été faits sur le pendule inversé réel, ayant des frottements (non-matching) sur le pendule et des frottements (matching) sur le cha- riot. Pour mettre en évidence la robustesse du contrôleur, une perturbation a été manuellement appliquée au pendule pendant l’intervalle de temps allant de 6 à 10 secondes. En réglant les paramètres λ1 = 0.2 et λ2 = 0.25, de bonnes performances d’un point de vue stabilité et robustesse ont été obtenues (voir Fig. 5 et 6). On remarque que, dans l’interval 6 − 10 secondes la commande est moins impor- tante, ceci est dû à la force manuelle appliquée. Ce qu’on voit donc sur la figure est la résultante de la commande et de la perturbation manuelle. Enfin, à titre comparatif, un résultat expérimental pour un essai de stabilisation par retour d’état statique est présenté (Fig. 7). On voit bien l’apparition de cycles limites de grande amplitude. Fig. 5. Résultat expérimental (MGSO) x(m) et θ(rd). Fig. 6. Résultat expérimental (MGSO), entrée de commande (volts). VI. Conclusions La synthèse d’une commande quasi-homogène a été déve- loppée pour la stabilisation asymptotique de systèmes mé- caniques sous-actionnés, opérant dans un milieu incertain. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°3 pp 31-37 Fig. 7. Résultat expérimental avec un retour d’état statique, x(m) et θ(rd) La synthèse proposée présente une alternative intéressante des modes glissants standard. Bien que le contrôleur quasi- homogène génère des modes Zénon, i.e. une infinité de com- mutations sur un intervalle de temps fini, ils n’aboutissent cependant pas à la génération des modes glissants standard sur les surfaces de commutation. Des MGSO apparaissent en fait sur les intersections des surfaces de commutations. Pour stabiliser de tels systèmes autour d’une position d’équilibre instable, une sortie du système doit être choi- sie de telle sorte que la dynamique équivalente correspon- dante est localement asymptotiquement stable. Ensuite, les performances désirées du système bouclé sont assurées par l’application d’une commande quasi-homogène annulant la sortie fictive. Les performances de la commande proposée ont été illus- trées par des simulations numériques ainsi que des essais expérimentaux sur un pendule inversé à 2 degrés de liberté. Références [1] Bartolini G., Ferrara A. and Usai E. (2000). Chattering avoi- dance by second-order sliding mode control. IEEE Trans. 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