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Modélisation Thermique d’un Actionneur Linéaire pour la Direction Automobile de Type Steer-by-wire

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	    <date dateType="Created">Fri 22 Sep 2017</date>
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            <date dateType="Submitted">Mon 23 Oct 2017</date>
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Modélisation Thermique d’un Actionneur Linéaire pour la Direction Automobile de Type Steer-by-wire Wadhah MISSAOUI Université Tunis El Manar Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis Laboratoire de Recherche en Automatique wadhah.missaoui@gmail.com Lilia EL AMRAOUI OUNI Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Carthage Unité de recherche Systèmes Mécatroniques et Signaux lilia.elamraoui@enicarthage.rnu.tn Résumé – Un actionneur linéaire tubulaire est utilisé pour la motorisation d’une servodirection de type Steer-by-Wire dont l’effet roue est de 5 KN. L’élaboration d’un modèle analytique thermique de l’actionneur a permis de déterminer ses performances de fonctionnement et d’évaluer ses pertes fer et pertes Joule en fonctionnement cyclique de surintensité. Mots-clés— Steer-by-Wire, Modélisation Thermique, Eléments finis magnétodynamiques. I. INTRODUCTION Les sous-systèmes mécaniques de direction d’automobiles sont de plus en plus remplacés ou assistés par des systèmes électroniques. Les industriels comptent sur des sous-systèmes de régulation électromécanique pour sophistiquer la commande et améliorer les performances. Néanmoins, la transmission mécanique de la direction comporte des jeux fonctionnels, des retards dans la commande, des frottements, et des pertes énergétiques. Cette transmission nuit au progrès vers des systèmes de conduites autonomes [1]. La réalisation de la servodirection est associée à beaucoup de difficultés au regard de la disponibilité de la technologie d'actionneurs et des capteurs [2]. D’ailleurs vis-à-vis de la sécurité, une défaillance éventuelle aurait manifestement une criticité et des conséquences redoutables. Les systèmes de Steer-by-Wire expérimentés jusqu’à présent sont construits soit au moyen d’actionneurs hydromécaniques, soit autour de moteurs tournants électriques. Dans ce papier, l’actionneur étudié présente une structure linéaire de type tubulaire. Un modèle thermique est développé afin de déterminer les performances de fonctionnement et étudier ses limites par le calcul des pertes fer et des pertes Joule. II. STEER-BY-WIRE Dans le Steer-by-Wire, le système de direction se compose de trois blocs principaux : le volant, l’unité de contrôle électronique, et les roues directrices. Le conducteur agit sur le volant pour orienter le véhicule et envoie la consigne de l’angle de braquage à l’unité de contrôle électronique [3]. L’unité de contrôle accomplit certaines fonctions de contrôle liées à la direction. Elle génère la commande suivant un rapport de démultiplication entre l’angle du volant et l’angle de braquage des roues et elle applique la consigne d’angle afin d’actionner les roues directrices [4]. La liaison mécanique montrée dans Fig. 1 entre le volant et les roues directrices est supprimée. La position du volant est utilisée pour commander les roues directrices et pour les diriger dans la position désirée. L’unité de contrôle électronique fait séquentiellement tourner les roues par l’intermédiaire de l’actionneur commandé électroniquement et en donnant au conducteur la sensation de la direction au niveau de son volant [5]. La commande act de la direction est décrite par l’équation : w w f a actJ b        (1) avec  est l’angle de braquage, wJ et wb sont les moments de l’inertie et d’amortissement du système de direction aux roues directrices, f représente le frottement de coulomb et a est le moment d’autoalignement. Le moment d’autoalignement du pneu est fonction de la géométrie de direction en particulier, l’angle de carrossage, angle de chasse, angle de pivot et la déformation du pneu qui produisent les forces latérales telle que montré dans Fig. 2. En outre act est le couple d’orientation du levier de direction, qui peut être écrit :  0 0cosact actF L    (2) avec 0L est la longueur du levier, actF est la force d’actionneur appliquée pour le braquage des roues. Le déplacement de l’actionneur en fonction d’un petit angle de braquage s’écrit :     0 0 0tan tanx L      (3) sachant que s wr  , 0 est l’inclinaison du levier de pivot, sr est le rapport de démultiplication entre l’angle de braquage des roues et celui du volant w . Le déplacement de l’actionneur dans la pratique est fonction de l’agencement de la direction, des cotations tridimensionnelles [6]. Il dépend donc des angles de chasse, pivot, carrossage, ouverture, etc. L’actionneur de la direction doit produire la force nécessaire pour orienter l’automobile même dans les conditions les plus sévères. Fig. 1: Agencement du système Steer-by-Wire étudié Fig. 2 : Angles de chasse, de pivot et de braquage III. ACTIONNEUR DE DIRECTION L’actionneur étudié pour la direction d’automobile représenté en Fig. 3 est de type linéaire tubulaire triphasé. L’armature mobile est magnétisée en quasi Halbach montée sur un tube ferromagnétique. Le stator est triphasé, formé de phases à bobinage concentré. Pour chaque roue avant, un actionneur est installé. Les stators sont minutieusement distancés et disposés en quadrature de phase afin de réduire les effets d’extrémités. Les avantages d’un tel modulaire actionneur sont : un facteur de bobinage élevé, un nombre réduit d’encoches pour un nombre donné de pôles et un nombre fractionnaire d’encoches par pôle. Le choix du mobile à aimants permanents équipés de la magnétisation quasi Halbach favorise le bouclage du flux magnétique autour de l’entrefer et la réduction des forces de détente qui sont une origine des forces d’ondulation. L’armature avec une magnétisation quasi Halbach créent des forces électromotrices sinusoïdales contribuant à une très faible force de détente électromagnétique. L’encombrement de l’actionneur a été restreint pour tenir compte de son agencement à côté d'un moteur automobile thermique à essence ou diesel. Les grandeurs géométriques sont données par le Tableau 1. L’alimentation électrique des phases statoriques associée au mouvement rectiligne du mobile produisent un comportement thermodynamique émanant les pertes fer et les pertes par effet Joule. La durée de vie du bobinage est limitée par la durée et l’intensité de température à laquelle sont soumis les isolants. Les isolants doivent supporter les régimes de surintensités cycliques définies dans le cahier des charges de pour produire les forces escomptées. Une vérification pré- opérationnelle des performances de l’actionneur électromagnétiques et thermiques est nécessaire. Dans l’objectif d’obtenir des modèles simples permettant de déterminer la température de fonctionnement de l’actionneur électromagnétique en fonction des pertes dans les matériaux. La température est considérée uniforme dans les matériaux magnétiques et dans le cuivre afin de conserver une grande simplicité du modèle. Dans ces conditions, le modèle est capable d’évaluer la température avec une bonne précision en connaissant les pertes dégagées en énergies thermiques. Les régimes de surintensités cycliques définies dans le cahier initial des charges doivent produire les forces requises pour un fonctionnement correct du système de direction [7, 8]. Tableau 1 : Dimension de la structure Designation Largeur de pôle Tp 20 mm Rayon intérieur du stator Rs 56 mm Épaisseur d’entrefer G 1 mm Rayon extérieur du stator eR 100 mm Rayon extérieur du mobile mR 55 mm Largeur d’une phase wpT 66.6 mm Largeur du stator eL 200 mm Fig. 3 : Demi-coupe axiale de l’actionneur d’étude IV. MODÉLISATION PAR ÉLÉMES FINIS L’analyse statique du champ magnétique est réalisée en considérant que le champ magnétique est invariant dans le temps. Les formules de la résolution sont établies à partir des équations de Maxwell. L’intensité du champ magnétique H est liée à la densité du courant J en magnétostatiques par : H J  (4) et l’intensité du champ électrique s’exprime en fonction de la densité du flux magnétique B par : B E t       (5) alors que la divergence de B est nulle : 0B  (6) L’induction magnétique étant liée à H par : B H (7) La densité du courant J s’écrit en fonction du potentiel électrique E et de la conductivité électrique σ sous la forme : J E (8) Le vecteur potentiel magnétique A peut être déterminé à partir de : B A  (9) et le potentiel magnétique Ф, à partir de : H   (10) L’équation à résoudre dans le cas du champ magnétostatique, en utilisant le vecteur potentiel magnétique, est déduite à partir des équations (4) et (9), ce qui donne : 1 A J          (11) Les simulations réalisées en éléments finis magnétostatiques montrent que les lignes d’équipotentielles du flux s’orientent par un auto- bouclage guidée par la magnétisation quasi-Halbach. Les caractéristiques de force électromagnétique varient sinusoïdalement en fonction du courant d’alimentation des phases et en correspondance avec l’évolution de la position géométrique du mobile. Les caractéristiques sont périodiques géométriquement de 2τp. Il est nécessaire d’adapter la position du mobile avec le courant d’alimentation afin de maximiser les forces électromagnétiques. Les caractéristiques obtenues en Fig. 4, montrent l’évolution de la force électromagnétique en fonction de la position du mobile et les courants d’alimentation. Elles sont pour des différents courants d’alimentation. Elles augmentent en fonction de l’amplitude des courants et oscillent avec la position de l’armature du mobile. Elles sont périodiques de période pT en fonction de la position géométrique de l’armature mobile. D’après ces caractéristiques, l’actionneur est capable de développer une force d’environ 5 KN pour une amplitude de courant correspondant à 10 A/mm². Pour un courant d’alimentation nul, la caractéristique de la force électromagnétique varie en fonction de la position géométrique. La variation est due à la force de détente créée par la présence de l’effet de bord des aimants. Le flux autour de l’entrefer est orienté par la structure équipée d’une magnétisation quasi Halbach. L’évolution des caractéristiques de la force en fonction de l’intensité de courant et de l’épaisseur de l’entrefer montre que l’effet de la variation de l’épaisseur de l’entrefer est faible cependant, l’impact de l’épaisseur dépend de la saturation magnétique. L’épaisseur d’entrefer est choisie volontairement de 1 mm afin de simplifier le mécanisme de guidage mécanique de l’armature mobile. Fig. 4 : Évolution de la force V.MODÉLISATION THERMIQUE Le transfert de chaleur au sein de l’actionneur étudié obéit aux principes fondamentaux de la thermodynamique, mais ce sont les lois de la thermocinétique qui les décrivent en détail. Les trois modes de transfert de chaleur sont la conduction, la convection et le rayonnement. Le rayonnement est négligé. La conduction des matériaux est le principal mode de transfert de chaleur dans l’actionneur. En vue d’étudier le comportement thermique de la machine, seules les pertes-joules et les pertes fer dans le stator sont considérées comme sources de chaleur. V.1 Modèle de calcul des pertes-fer L’échauffement est une donnée importante qui concourt à la dégradation des caractéristiques magnétiques et au vieillissement des isolants. Les pertes fer dépendent essentiellement des dimensions géométriques et de l’alimentation. Les pertes fer sont difficilement quantifiables, contrairement aux pertes Joule, compte tenu de la forme non-sinusoïdale de l’induction magnétique et des fréquences. Les phénomènes dissipatifs se produisant lors de la variation d’état magnétique du matériau, doivent être modélisés afin de calculer ce type de pertes. Cette modélisation n’observe cependant, que les niveaux macroscopiques des effets et des grandeurs physiques (B, H, temps, pertes, résistivité, dimensions, etc.). La formulation classique des pertes-fers décompose celles-ci en deux termes qui sont les pertes par hystérésis, et les pertes par courants de Foucault. Pour une induction sinusoïdale, d’amplitude mB et de fréquence f, les pertes volumiques peuvent s’exprimer avec la formulation suivante qui regroupe les deux types de pertes [9] :  3 1 2 1 2 fer mP W m K B f avec et          (12) Sous un flux alternatif, une autre formulation séparant les deux types de pertes peut être faite :       3 2 1 1 2 0 fer h h T p P W m K B K B f dB t dt dt              (13) 2 avec 12 p p e    Les deux composantes de la formulation s’attachent aux pertes fer par hystérésis et des pertes fer provenant des courants de Foucault représentées successivement par la première et la deuxième partie de l’équation (13). Dans le cas de présence des cycles mineurs, l’expression des pertes fer pour une composante de l’induction devient :       2 2 1 1 0 2 1 2 1 T fer h h p n h i h i i dB t P K B K B f dt dt K B K B f                    (14) où iB représentent les amplitudes des cycles mineurs et n représente leur nombre. Une autre expression des pertes fer excédentaires a été ajoutée à l’équation (14). Elle provient des courants de Foucault [10]. Elle exprime le phénomène des pertes fer par des domaines magnétiques dans les matériaux. Les domaines sont séparés par les prétendument parois de Bloch agissant mutuellement entre elles et avec d’autres parois semblables. Une zone de corrélation interne est créée entre les domaines magnétiques. Ces zones de corrélation couplées aux effets coercitifs et de courant de Foucault, agissent en tant que zone d’atténuation. Elles s’opposent à tous les changements magnétisants externes de la zone, par conséquent les pertes fer excédentaires sont produites. Le mode d’alimentation adoptée est important. Il fixe soit la valeur du champ d’excitation magnétique, soit l’amplitude de l’induction. Ainsi la plage de fonctionnement contrôlée en courant se distingue de la plage de fonctionnement contrôlée en tension. Dans le cas d’une induction sinusoïdale, la formulation se simplifie pour aboutir à la formulation :       23 1 2 2 2 2 2 2 fer h m h m p m P W m k B K B f B f     (15) sachant que  ,  et d sont respectivement la conductivité électrique, la densité massique, et l’épaisseur de laminage. Les valeurs aux différents coefficients 1hK , p et 2hK sont indiquées dans le Tableau 2 des pertes. Elles sont déterminées par des mesures expérimentales. Les densités des pertes-fer sont calculées dans chacune des trois régions de la dent statorique à savoir, l’épanouissement de dent, la dent, et la culasse [11, 12]. Les pertes-fer par hystérésis hP et par courants de Foucault cP sont alors données par :   1 2 M fer h c m mmTotales m P P P A r    (16) avec mA et mr sont respectivement la surface de la région m dans le plan (r-z) et le rayon à partir de son centre de masse. Le nombre de toutes les régions du stator discrétisé est M. La démarche pour estimer les pertes fer est organisée en deux parties. La première suppose que le fonctionnement de l’actionneur est à vide. La deuxième le préconise en charge et les phases sont alimentées en courants. V.1.1 Flux magnétiques à vide La dent statorique est discrétisée en trois régions : l’épanouissement de dent, la dent, et la culasse. Les paramètres géométriques sont donnés dans Fig. 5. L’allure de l’induction moyenne est déduite dans les trois régions discrètes du noyau statorique. L’induction magnétique est de suite calculée.  Région d’épanouissement Les flux magnétiques dans la région d’épanouissement dentaire s’alternent essentiellement dans le sens axial. Une inversion rapide de polarité se surgit durant les déplacements des aimants du mobile qui sont face aux dents statoriques. Le maximum du flux magnétique dans la région d’épanouissement polaire se produit au moment où l’axe d’une dent se coïncide avec une transition entre les pôles d’aimants, tel que la montre la Fig. 6. Pour un circuit ouvert, il est évalué analytiquement à partir de : 0 2 2 0 1 2 2 2 pt pt T ep s r s r T R B dz R B dz           (17) Par déduction, le maximum de l’induction radiale dans la région d’épanouissement polaire est :   max 2 2 R ep z ep ep s B R    (18) La distance de passage du flux d’une polarité à une autre est donnée par l’équation empirique suivante :  2 mz a p mr r T t T T g     (19) Les évolutions des caractéristiques l’induction magnétique axiale dans l’épanouissement dentaire en fonction de la position axiale de la dent sont présentées dans Fig. 7. Ces caractéristiques sont déterminées analytiquement et ensuite par éléments finis. La perméabilité ferromagnétique est supposée dans un premier temps linéaire et puis non linéaire. De même, les caractéristiques des évolutions de l’induction magnétique radiale dans l’épanouissement dentaire sont déterminées par éléments finis. Les caractéristiques sont établies pour un comportement ferromagnétique linéaire et puis non linéaire. Le maximum de flux entrant dans la région d’épanouissement dentaire est réalisé quand l’axe de dent coïncide avec une transition entre pôles d’aimants.  Région de la dent Le flux passant par la dent est obtenu à partir de l’intégration suivante : 2 2 2 pt pt T d s r T R B dz     (20) Pareillement au cas de l’épanouissement, le maximum de flux atteint quand l’axe de dent coïncide avec l’axe de pôle radial d’aimant. En contrepartie, le flux s'abaisse à son minimum quand l’axe de la dent coïncide avec la transition entre les deux pôles d’aimants. Le flux est par conséquent entièrement radial. Tableau 2. Données des matériaux ferromagnétiques Matériau δ (kg/m3 ) σ (Ω-1 m-1 ) e (mm) Kh1 (A/m) Kh2 (Am/V s) αp (Am/V) FeSi 3% 7600 2 106 0.5 12 90 0.065 7600 2 106 0.35 5 40 0.022 7600 2 106 0.1 8 26 0.028 Fig. 5: Paramètres géométriques Fig. 6 : Distribution de flux magnétique quand l’axe polaire dentaire se coïncide avec l’axe du polaire radial du mobile  Région de la culasse De même pour la culasse, le flux passant par la culasse peut être calculé par l’intégration suivante : 2 2 1 2 2 pt pt T cul s r T R B dz     (21) Cependant, ce flux est principalement axial. V.1.2 Flux magnétiques des phases alimentées Le champ de réaction statorique est déterminé analytiquement pour les phases alimentées. Le champ résultant dans l’entrefer est estimé en supposant que le champ de réaction statorique est créé par la superposition de deux circuits magnétiques. Les deux circuits sont ceux du circuit ouvert et du champ créé par le courant dans la phase alimentée. Les caractéristiques de l’induction magnétique sont déterminées dans les différentes régions du stator. Fig. 7 : Évolution de l’induction magnétique axiale dans l’épanouissement Les pertes-fers créées par une phase alimentée sont évaluées identiquement à l’approche abordée avec une phase non alimentée. Les composantes de l’induction magnétique des deux autres phases sont semblablement obtenues, moyennant un déplacement axial 2 3pT . La réaction d’induit résultante est alors obtenue en additionnant les réactions d’induits des trois phases. Enfin pour calculer la valeur des pertes, il est nécessaire de multiplier chaque densité volumique des pertes-fers par le volume associé. Le stator triphasé est formé d’un bobinage concentré ayant 9 encoches statoriques en face de 5 pairs de pôles du mobile. La distribution de courant d’une phase statorique à denture est représentée sous la forme d’un modèle de feuilles de courant. La Fig. 8 schématise ce modèle de feuilles de courant pour une phase. Le modèle de feuilles de courant est mathématiquement décrit en utilisant les séries de Fourier par l’équation suivante : 1 sins n n n J J m z     (22) avec 2 c n dcn pcn p N i J K K T  ; 2 n s s n m N T   (23) Sachant que le produit dpn pcnK K représente le facteur de bobinage. La distribution de champ magnétique dans l’entrefer est régie par l’équation (22) en supposant que la perméabilité ferromagnétique est infinie. Le vecteur potentiel magnétique A a une composante unique A indépendante de  ce qui donne en appliquant la résolution de Laplace, l’expression suivante :     1 1 0rA rA z r z r r r                      (24) Les conditions aux limites à respecter sont : 0 0z r R sz r Rs B H J      (25) La résolution de l’équation (24) et le respect de conditions aux limites de (25) permettent de ressortir le potentiel magnétique et déduire les composantes de l’induction magnétique. La Fig. 9 montre l’évolution des deux composantes radiale et axiale de l’induction obtenues analytiquement en fonction de la position axiale. Fig. 8 : Distribution équivalente d’une phase en feuilles de courant Fig. 9 : Variation des composantes d’induction magnétique V.1.3 Détermination des pertes-fers La Fig. 10 montre l’évolution de la dissipation des pertes-fers dans le stator. Les pertes-fer sont représentées pour le fonctionnement de l’actionneur à vide ou en charge en fonction de la variation de la fréquence. En exploitant la modélisation dynamique par éléments finis, la distribution des courants de Foucault a été déterminée pour un courant d’alimentation de 4 A/mm². Les courants sont créés lors de déplacement de l’actionneur. Fig. 11 montre la distribution des courants Foucault dans une coupe semi-axiale de l’actionneur. La vitesse de déplacement assignée est de 200 mm/s correspondant à une fréquence de 5 Hz. La structure ferromagnétique est supposée pleine et isotrope. La puissance dissipée par les courants de Foucault dans le stator est de 3.74 W. Le Tableau 3 résume les puissances dissipées par les pertes fer dans les différentes régions stator, aimants et tube. La vitesse du mobile est relativement faible, les pertes fer générées sont par conséquent très réduites et l’impact d’échauffement thermique est négligeable Fig. 10 : Pertes-fer en fonctionnement à vide et en charge Fig. 11 : Variation de la densité de courant de Faucault obtenue par simulation en élements finis magnétodynamiques TABLEAU 3. RESULTATS DE CALCUL DE PERTES-FER PAR SIMULATIONS EN ELEMENTS FINIS MAGNETODYNAMIQUES MAGNETODYNAMIQUE Désignation Pertes-fer Stator 3.74 W Aimants 0.48 W Tube 0.19 W Total 4.42 W V.2 Modèle thermique par réseaux de résistances Les modèles thermiques « à paramètres dissociés » ont donnés des résultats satisfaisants pour une évaluation de l’échauffement dégagé. Le transfert de chaleur est décrit par un réseau de résistances thermiques équivalentes. Les échauffements thermiques dans l’élément de volume sont occasionnés par l'effet Joule dans le cuivre du bobinage et par les pertes-fers dans l’acier ferromagnétique et les aimants permanents. V.2.1 Transfert de la chaleur par conduction La conduction dans les solides est le principal mode de transfert de chaleur à considérer. Elle obéit à la loi de Fourier. Le vecteur de densité de flux thermique q est proportionnel au gradient local de la température T. La densité se décrit par l'expression suivante :  q grad T  (26) avec  est la conductivité thermique du matériau donnée en (W/mK°). En régime transitoire, l’équation du bilan d’énergie pour un élément de volume d’un matériau à travers lequel se propage la chaleur par conduction s’écrit : ( )p T C div q p u       (27) avec pC est la capacité calorifique massique du matériau,  est la masse volumique du matériau et p est la production volumique de chaleur représentant les pertes dissipées. L’équation de la chaleur est :  ( )p T C div grad T p u       (28) Une double intégration de l’équation de chaleur en fonction de l’espace donne la distribution du flux et la distribution de la température. Les constantes d’intégration sont déterminées en vérifiant les conditions aux limites et en spécifiant les densités de flux qui les traversent. L'expression de la propagation des flux de chaleur par conduction est développée sous un système en coordonnées cylindriques étant donné que la structure tubulaire présente une symétrie de révolution. 1 0 d dT r r dr dr        (29) Considérons le cas du schéma de la Fig. 12 et notons Q le flux de chaleur total qui circule entre les surfaces de rayons respectifs 1R et 2R . L’intégration de l’équation (29) avec les conditions aux limites suivantes à 1r R : 12 dT R L Q dr    (30) avec L est la longueur du cylindre et à 2 2,r R T T  permet d’écrire : 2 1 2 1 - 2 RQ T T ln L R        (31) La résistance thermique à la conduction dans les couches cylindriques sans génération de chaleur est : 2 11 2- 2 th R ln RT T R Q L         (32) Dans le cas de propagation purement radiale en régime permanent dans une couche cylindrique d’un matériau isotrope siège d’une dissipation uniforme de chaleur, l’équation devient une conduction dans des couches cylindriques avec génération de chaleur : 1 0 d dT r p r dr dr         (33) L’équation (33) s’intègre sur le domaine considéré de la Fig. 12 en utilisant les conditions aux limites suivantes: 1 1 2 , 0 , à r R à r R T T dr T d           (34) 0 1 2 3 4 5 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 Frequence (Hz) Pertesfer(W) En charge A vide L’écart maximal de température calculé par intégration dans la couche en question est :   2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 12 1 - 1 2 4 R Rp T T R R Ln RR R             (35) Le flux total p généré dans la couche est :  2 2 2 1p p L R R   (36) L’expression de la résistance thermique d’une couche cylindrique à son propre flux est : 2 1 1 2 2 2 12 1 - 1 1 2 4 Thp p T T R R R Ln L RR R               (37) Fig. 12 : Conduction dans les couches cylindriques V.2.2 Transfert de la chaleur par convection L’air proche de l’actionneur linéaire se chauffe au contact avec ses parois, ce qui entraîne un mouvement vertical de l’air et une variation de sa masse volumique. Un calcul exact des transferts de chaleur par convection nécessite la résolution d’équations aux dérivées partielles non linéaires et couplées. Cette résolution n’est plus toujours indispensable [13,14]. En effet, les coefficients de transfert par convection sont empiriques et représentent une importante source d’imprécision qui dégrade la précision des calculs. Les transferts de chaleur par convection sont modélisés par l’intermédiaire d’une relation linéaire entre flux et température qui s’écrit :  p aq h T T  (38) avec h est le coefficient de transfert par convection, pT est la température de la paroi et aT est la température moyenne du fluide. Ainsi, la résistance thermique thcR à un échange convectif à travers une surface S s’écrit : 1 thcR h S  (39) Le coefficient h est déterminé généralement empiriquement. Il dépend des propriétés du fluide, de la nature n, de l’état de surface de la paroi, etc. V.2.3 Modèle par réseaux de résistances Les températures moyennes du matériau magnétique et du bobinage sont déterminées en faisant des hypothèses simplifiées. La température est supposée uniforme dans le matériau magnétique et dans le cuivre. Dans ces conditions, le modèle devra à partir des pertes évaluer la température avec précision. La durée de vie du bobinage est limitée par la surélévation de température à laquelle sont soumis les isolants. Les régimes de surintensités cycliques définies dans le cahier des charges initiales [15, 16] doivent produire les forces requises :  Une force statique de 10 KN en condition de maintien est exigée pendant les manœuvres de stationnement. Une telle force est maintenue pendant (5) cinq secondes sur un cycle de fonctionnement de 60 s.  Une force continue de 7,5 KN à la vitesse de 40mm/s durant (180) cent quatre-vingts secondes sur un cycle de 900 secondes.  Une force dynamique de 3 KN est nécessaire à une vitesse de 200 mm/s durant au maximum (60) soixante secondes dans un cycle de fonctionnement de 240 secondes. L’actionneur tubulaire linéaire ne dispose pas de refroidissement auxiliaire. Les transferts de chaleur par la convection forcée ou par le rayonnement sont nuls. En considérant que le bobinage est caractérisé par une température de fonctionnement, la température est uniforme dans le matériau magnétique. Le problème revient à déterminer les températures de fonctionnement de quelques zones considérées comme isothermes. Il s’agit naturellement d’une approximation, chaque « zone thermique » étant représentée par sa température moyenne. En fait, seules quelques zones présentent de l’intérêt d’un point de vue thermique. La modélisation établie utilise l’analogie thermique– électrique dans le but de simplifier le modèle. Elle emploie les hypothèses d’uniformité de production de chaleur, d’uniformité des propriétés physiques dans tout élément, et l’uniformité des échanges sur chacune des faces. Chaque matériau est représenté par une résistance entre deux nœuds du réseau représentant deux niveaux de température. La température décroît en fonction du rayon et tend naturellement vers la température de l’air à l’extérieur de l’actionneur. La résistance thermique de l’entrefer est supposée suffisamment faible pour considérer que la température des aimants est égale à celle des épanouissements. En supposant que la dissipation thermique est prédominante dans la direction radiale, la conduction de chaleur peut être représentée par le réseau thermique montré dans la Fig. 13, où une moitié du pas de dent est modelée. Sur les surfaces symétriques axiales d’une dent ou d’une encoche, la chaleur s’écoule tangentiellement. Les pertes Joule et les pertes-fers peuvent être dissipées radialement et axialement par l’intermédiaire du réseau thermique représentatif. Les résistances thermiques du modèle sont déduites en utilisant le principe qui gouverne la conduction de chaleur. Elles sont données par les équations schématisées dans la Fig. 13. La structure est décomposée en cellules élémentaires puis modélisées par un ensemble de résistances traduisant les flux de chaleur axiaux, orthoradiaux ou radiaux. Le modèle thermique permet de déterminer la température en plusieurs points de fonctionnement en régimes transitoire et permanent au moyen d’un réseau de résistances thermiques 3D. Dans ce cas, il est nécessaire de distinguer les échanges de chaleur par conduction et par convection ainsi que les sources de chaleur par pertes joules et par pertes fer. Fig. 13: Schéma du réseau des résistances thermiques Tableau 4. Données des matériaux ferromagnétiques Désignation Conductivité thermique du cuivre bob 398 W.K-1 .m -1 Conductivité thermique de la partie ferromagnétique fer 80.2 W.K-1 .m -1 Conductivité thermique de l’isolant et de résine iso 0.15 W.K-1 .m -1 Capacité calorifique massique de la partie ferromagnétique ferC 460 J.kg–1 .K–1 Capacité calorifique du cuivre bC 385 J.kg–1 .K–1 Coefficient de transfert de chaleur par convection h 40 W.m–2 .K–1 Les données des matériaux ferromagnétiques sont citées dans le Tableau 4. Les résistances thermiques du modèle déduites sont regroupées et le système relie les températures à déterminer au réseau de résistances thermiques et les sources de chaleur. Parmi les principales résistances thermiques du modèle, les résistances thermiques du bobinage qui sont données à partir de (32) :  1 2 2 4 w B bob cul ic S R R R    (40)   2 ln cul cc B w bob R R R S   (41) La résistance de la convection thermique est donnée à partir de (39) : 1 conv e s R R T h  (42) Les figures 14 et 15 présentent les évolutions de l’énergie emmagasinée dans une section de bobine et l’échauffement résultant, respectivement pour :  Une force statique de 10KN et une vitesse nulle.  Une force statique de 7,5KN et une vitesse de 40mm/s. Ces deux régimes de fonctionnement constituent en effet les deux phases de surintensité cyclique les plus sévères par le cahier de charges de la servodirection. Ses résultats obtenus montrent que la température du bobinage par ces deux phases de fonctionnement reste toujours inférieure à 120°c grâce à la cyclicité (intermittence du fonctionnement. Les dimensions de l’actionneur sont donc suffisantes pour produire les forces demandées tout en respectant la variation maximale standard d’échauffement admissible supportée par les enroulements des phases. La direction d’automobile sera capable de supportés les efforts et ce malgré les régimes des surintensités sévères et la température ambiante maximale de 60° dans le compartiment contenant le moteur du véhicule. Fig. 14 : Température du bobinage pour une force statique 10KN durant 5s sur un cycle 60s Fig. 15: Témpérature du bobinage pour une force de 7,5KN et une vitesse de 40mm/s durant 180S sur un cycle de 900 s. Température(°c)Puissance(W) Temps (s) Temperature(°c)Puissance(W) Temps (s) VI. CONCLUSION Un actionneur électrique linéaire est utilisé pour la motorisation d’une servodirection Steer-by-Wire. Cet actionneur remplace le moteur rotatif qui nécessite une conversion d’énergie et de mouvement mécanique. L’actionneur direct simplifie la commande et augmente le rendement. Ce dernier fournit une force supérieure à 5KN avec un courant d’alimentation de 10A/mm². La modélisation thermique de l’actionneur a permis de déterminer les pertes fer et les pertes par effet Joule occasionnées par le fonctionnement cyclique de surintensité de l’actionneur. L’actionneur est appelé à supporter des fonctionnements cycliques de surintensités. L’analyse et la modélisation établies ont déterminé les énergies des pertes fer et par effet Joule. Le modèle thermique par réseaux de résistances a dégagé la température de bobinage pour les fonctionnements cycliques de surintensités de l’actionneur. Références [1] P. J. Bergmiller, “Towards Functional Safety in Drive-by-Wire Vehicles”, Springer International Publishing, ISBN 978-3-319- 17484-6, Switzerland, 2015. [2] W. Missaoui, L. El Amraoui Ouni, F. Gillon, P. Brochet, M. 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