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Stabilités Comparées de Systèmes Non Linéaires et Linéarisés Basées sur une Description Redondante

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            <title>Stabilités Comparées de Systèmes Non Linéaires et Linéarisés Basées sur une Description Redondante</title></titles>
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        <publicationYear>2017</publicationYear>
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	    <date dateType="Created">Fri 22 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Fri 22 Sep 2017</date>
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1 Stabilités Comparées de Systèmes Non Linéaires et Linéarisés Basées sur une Description Redondante Anis AYADI1 , Khira DCHICH2 , Mohamed BENREJEB1 1 Université de Tunis-El Manar; Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis Laboratoire de Recherche en Automatique (LARA) BP 37, 1002 Tunis Le Belvédère, Tunisie. 2 Université de Tunis; Ecole Nationale Supérieure des Ingénieurs de Tunis Unité de Recherche Commande, Surveillance et Sûreté de fonctionnement des Systèmes (C3S) 5 Av. Taha Hussein, BP 56, 1008 Bab Mnara, Tunis anis.ayadi@enit.utm.tn, dchich_houda@yahoo.fr, mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Résumé— Dans cet article, est proposée une méthode de détermination du domaine de stabilité asymptotique d’un processus non linéaire de type Lur’e Postnikov, en rapport avec celui du système linéarisé correspondant. Elle est basée sur l’utilisation du critère pratique de Borne et Gentina, pour l’étude de stabilité, et sur une représentation d’état redondante relative à une matrice de forme en flèche de Benrejeb, pour la description du processus étudié. Le cas d’un système non linéaire du deuxième ordre est traîté pour illustrer l’intérêt et la mise en œuvre de cette méthode. Mots clés— stabilité, normes vectorielles, systèmes non linéaires de type Lur’e Postnikov, représentation redondante, matrice de forme en flèche de Benrejeb. I. INTRODUCTION Au cours des dernières décennies, les problèmes de stabilité des systèmes dynamiques ont attiré une immense attention dans le domaine de la commande des processus. Une grande majorité de ces problèmes concerne le comportement en boucle fermée des systèmes non linéaires. Une classe importante et typique de ces systèmes est relative aux systèmes de type Lur'e, introduits par Lur'e et Postnikov [1, 6, 7, 9, 14, 15, 19, 23, 26-28, 35]. Ces systèmes sont devenus un sujet de recherche attractif et ont reçu une série de résultats dans de nombreux domaines d'ingénierie mécanique, électrique, économique et biologique. L’étude de tels systèmes a été motivée par la nécessité de comprendre l'effet des non-linéarités sur la stabilité, mis en exergue au niveau des actionneurs imparfaits ou des capteurs. Plusieurs chercheurs ont émis des hypothèses sur la non linéarité et ont obtenu des résultats interprétables physiquement [11-21]; Aizerman, en 1949, fit la conjecture suivante : le système de type Lur’e Postnikov est absolument stable sur un secteur si et seulement si le système linéarisé est stable sur ce même secteur [22]. Le critère de Popov, relatif à une construction graphique [23], fournit une approche simple, pour maximiser le secteur non linéaire. Popov a prouvé que l'analyse peut être effectuée dans le domaine fréquentiel et la stabilité dérivée par la méthode directe de Lyapunov. Le critère du cercle [24-25], qui traîte la non-linéarité comme une variable qui dépend du temps, analyse la stabilité absolue par l'intermédiaire d'une condition stricte positive sur la partie linéaire et une condition sectorielle sur la partie non linéaire. Récemment, des résultats sur l'analyse de la stabilité des systèmes de Lur'e, à gain instantané borné sur un secteur donné, [3, 26-29], ont été obtenus par exploitation de la matrice de la forme en flèche de Benrejeb et du critère de stabilité pratique Borne et Gentina [1, 6, 7, 35]. La caractérisation des systèmes par des matrices de forme en flèche a permis l’élaboration de diverses nouvelles conditions de stabilité aussi bien pour les systèmes non linéaires continus, discrets, singul- ièrement perturbés que flous [1-7, 30-37]. Cette approche est appliquée, dans cet article, à une représentation redondante obtenue à l’aide d’une méthode originale de partitionnement de la matrice caractéristique d’un processus non linéaire de type Lur’e, qui présente l’avantage de mettre en exergue la matrice du système linéarisé correspondant. Après la description redondante proposée pour le processus étudié, nous envisageons, dans cet article, d’étudier la stabilité, en utilisant le critère pratique de Borne et Gentina associé à une représentation redondante à matrice caractéristique de forme en flèche, dite généralisée [6,7]. Le cas d’un système de Lur’e du second ordre est traité pour illustrer la mise en œuvre de l’approche proposée. 2 II. DESCRIPTION REDONDANTE PROPOSEE POUR LE SYSTEME DE TYPE LUR’E ETUDIE Considérons le processus de type Lur’e Postnikov de la figure 1, décrit par le système d’équations différentielles suivant [10, 20] : ( ): T x Ax Bu e C S u f x e e e = + = − =       (1) NL+ - εe=0 x yu Ɛ u fM fm Figure 1 : Processus de type Lur’e Postnikov Les matrices A, B et C sont des matrices constantes de dimensions( )n n× , ( 1)n× et (n 1)× , n x R∈ le vecteur d’état,u R∈ le vecteur de commande, e R∈ la consigne supposée nulle, Rε ∈ l’erreur et ( ) :f R Rε → une fonction non linéaire passant par l’origine. Les polynômes ( )R p et ( )Q p sont tels que : 1 0 ( ) n n i i i Q p p a p − = = + ∑ (2) 1 0 ( ) n i i i R p pλ − = = ∑ (3) , 0,1,..., 1i i nλ= − et , 0,..., 1,ja j n= − sont des paramètres constants. En régime libre, i.e. e = 0, il vient la représentation d’état du système bouclé sous forme condensée : ( - ( ) )T x A f BC xε= (4) Pour le vecteur d’état 1 2( , ,..., ),T nx x x x= obtenu en notant : ( 1) ,i ix y − = 1,..., ,i n= les matrices A, B et C sont définies par : 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 n n A a a a a− −        =      − − − −               (5) ( )0 0 0 1T B =  (6) ( )0 1 2 1 T n nC λ λ λ λ− −=  (7) Le choix du nouveau vecteur d’état, dit augmenté et noté 1n X R + ∈ , tel que : T T X x ε =   , conduit au système augmenté (Sa), décrit par [2] : (Sa) : ( , )aX A k f X= (8) avec : ( ) ( ) ( ) ( , ( )) T a T T A kBC B f k A k f C A C Bf ε ε ε  − − =   − −  (9) ( , ( ))aA k f ε est la matrice caractéristique instantanée, relative au système augmenté (Sa) de dimension 1) ( 1)(n n+ × + , qui met en exergue la matrice caractéristique ( ) T lA k A kBC= − du système (1) linéarisé, obtenu en faisant ( )f kε = , k étant un paramètre constant. Soit ( 1) ( 1)n n T R + × + ∈ une matrice définie par : 1 1 0 0 1 n n P T × ×   =     (10) avec [1, 6, 7]: 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 n n n n n n n n n n P α α α α α α α α α α α α − − − − − − − − − −          =                       (11) iα i=1, 2,…, n-1, étant des paramètres pouvant être choisis arbitrairement tels que : 0i j ii j etα α α≠ ∀ ≠ ≠ (12) La matrice 1 P− est définie par [34] : 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) i n n n n j j j j j j i n i i i n n n i j i j i j j j j j i j i j i i i n n n n n n n j n j n j j j j P σ σ σ α α α α α α σ σ σ α α α α α α σ σ σ α α α α α α δ − − − − = = = − − − − − = = = ≠ ≠ ≠ − − − − − − − − − = = = − − − − − −= − − − ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏                1 1 1i nδ δ −                                           (13) i kσ étant un coefficient du polynôme en x défini par : 1 1 2 1 1 1 2 ( ) 1,2, , 1 n i j j i j i i i n n j j x x x x j n − = ≠ − − − − = + + + + + = − ∏    α σ σ σ σ (14) et iδ définis par : 1 1 1 1 1 1,2, , 1 ( ) in n k i k n k k j j j k i n σ δ α α α − − − = = ≠ =− =− − ∑ ∏  (15) Le nouveau vecteur état Z tel que : Z TX= (16) conduit à la nouvelle représentation d’état du système augmenté suivante : ( , ( ))ZZ G k f ε= (17) avec : 1 ( , ( )) ( , ( ))aG k f TA k f Tεε − = (18) Il vient : ( ) ( ) { } 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) l ijT T PA k P PB f k G k f g C AP C Bf ε ε ε − −  − =   − −  (19) avec : 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 ( ) 0 0 0 l n n n n P A k P α β α β α β γ γ γ γ − − − −        =                  (20) ( ) 1 1 1 1 2, , , 1 n i i j j i nβ α α − − = = − = −∏  (21) ( ) 1 2, , , 1li A iP i nγ α=− =− (22) 1 1 1 1 1 2, , , 1 n n n n i i a k i nγ λ a − − − = =− − − = −∑  (23) ( ) ( )( )( ) ( )) 0 0 ( ) TT PB f k f kεε−= − (24) ( ) ( )1 T nC Bf fε λ ε−− =− (25) et : { }1 , 1 2, , ,T n jC AP g j n− − = =  (26) avec : 1 2 1 1 0 0 1 1 2 , 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) , , , 1 ( ) ( ) j n n n j n k k n j jn i i i n n i i k k k i n n n a a g a pour j n a pour j n σ λ λ δ λ aa σ λ λ aa λ λ − − − − = − + − − − = + = ≠ + − − −         − − +    −         =    − − = −    −       − =   ∏ ∑ ∏  (27) ( )lAP µ étant le polynôme caractéristique de la matrice ( )lA k , défini par : ( ) ( ) ( )lAP Q kRµ µ µ= + (28) III. NOUVELLES CONDITIONS DE STABILITE ASYMPTOTIQUE L’étude de la stabilité du système augmenté (Sa) est menée à partir du critère pratique de stabilité de Borne et Gentina [5], basé sur l’utilisation des normes vectorielles et du lemme de kotélyansky. (Annexes A1, A2 et A3). Le choix de la norme vectorielle ( ) 1 2= , , T np X x x x   ε permet de définir un système de comparaison dont la matrice caractéristique majorante ( ( , ( )))M G k f ε (29) est à éléments hors diagonaux non négatifs, les non linéarités étant isolées dans sa dernière colonne. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 ,1 , 1 , 1 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 ( ) ( ) n n n n n n n n n n M k f k k k f k g g g f α β α ε α β gggε λ ε − − − − −            =      −     −                  (29) Théorème Le système (1) augmenté, i.e défini par (8-9), est asymptotiquement stable si la matrice caractéristique G( , ( ))k f ε (17-28) vérifie les conditions suivantes : a) les n-1 premiers termes diagonaux sont strictement négatifs, b) il existe 0∆  tel que : ( ) 1 1 1 i) ( ) n n i i i i k kγ β γ α − − = − ≤ ∆∑ (30) 4 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ( ) ) ii) ( ) ( )) n n n i i i i n n n n i i i i f k k f k g g λ εg β g α ε β α − − − = − − =  −    + − − ≤ ∆  ∑ ∑ (31) Colloraire Le système (1) augmenté, i.e défini par (8-9), est asymptotiquement stable si la matrice caractéristique G( , ( ))k f ε vérifie les conditions suivantes : a) les termes ( )i i kβ γ , 1 2, , , 1i n= − , sont positifs b) les n-1 premiers éléments diagonaux, sont strictement négatifs, c) il existe 0∆  tel que : i) (0)lAP ≤ ∆ (32) ( ) ( )1 , 1 1 , 1 (0) ( ) ( ii) )) ln A n n n n i i i i f P f k g g lεε β α − − − =  + −   − ≤ ∆  ∑ (33) Démonstration Sachant que les non linéarités sont isolées dans la dernière colonne de la matrice G( , ( ))k f ε , la vérification de la stabilité en utilisant la critère pratique de stabilité de Borne et Gentina (Annexe A3) revient à vérifier que les inégalités suivantes sont satisfaites : 1 2 ( 1) ( ( , ( ))) 0 1,..., 1 1 2 h h M G k f h n h ε   − > = +      (34) 1 2 ( ( , ( ))) 1 2 h M G k f h ε         étant le déterminant du mineur principal de ( ( , ( )))M G k f ε d’ordre h [10]. Les (n-1) premières conditions du théorème à vérifier sont: 1 20 , , , 1i i nα < = − (35) et les n et n+1 suivantes sont formulées comme suit : 1 2 ( 1) ( ( , ( ))) 0 1 2 n n M G k f n ε   − >      (36) 1 ( 1)n+ − det ( ( ( , ( )) 0M G k f ε > (37) et calculées en rapport avec les premiers membres des inégalités (30) et (31). IV. CAS D’UN SYSTEME DE LUR’E DU SECOND ORDRE INSTABLE EN BOUCLE OUVERTE Soit le système de la figure 1 tel que: 2 ( ) 3 1Q p p p= + − et ( ) 4R p p= + La stabilité du système de second ordre linéarisé est garantie si les coefficients du polynôme caractéristique lAP sont de même signe, i.e le gain k est tel que : k ∈ D = 1 4   + ∞    La matrice d’état du système augmenté (Sa) étant définie par : ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ( , ) 1 4 3 k ( ) 1 1 aA k f k f k f εε ε     = − − − −   − − −  le choix de la matrice T tel que : 0 0 1 P T   =     ; 1 0 5 1 P   =   −  conduit à la nouvelle matrice caractéristique instantanée du système augmenté suivante : ( ) ( ) ( ) 5 1 0 ( , ) 9 2 ( ) 6 1 G k f k k f k f εε ε −    = − − −   − − −  Pour la norme vectorielle ( ) 1 2= T p X x x  ε , il vient la matrice majorante : ( ) ( ) ( ) 5 1 0 ( ( , )) 9 2 ( ) 6 1 M G k f k k f k f εε ε  −   = − − −    − − −  Dans le cas où nous avons : ( )f kε  et 9k  , la matrice : ( ) ( ) ( ) 5 1 0 ( ( , )) 9 2 ( ) 6 1 M G k f k k f k f εε ε −    = − − −   −  est à éléments hors diagonaux positifs et l’application du critère pratique de stabilité de Borne et Gentina conduit à la stabilité asymptotique du système augmenté (Sa), si les deux conditions suivantes sont vérifiées : - la première est relative à la stabilité du système linéarisé : 1 9 4 k  - et la deuxième suivante : ( )( 8 4 ) 7 0f k kε− − + −  est relative à la condition supplémentaire que doit vérifier la non linéarité pour que le système étudié non linéaire soit asymptotiquement stable. V. CONCLUSION Dans cet article, nous avons déterminé une nouvelle condition de stabilité d’un processus non linéaire à 5 travers l’étude de stabilité d’un système augmenté défini par une représentation redondante. Cette nouvelle condition correspond à la condition de stabilité du système linéarisé à laquelle est ajoutée une condition sur la non-linéarité. ANNEXES A1. Définition des normes vectorielles Considérons l’espace vectoriel n R et les sous- espaces 1 2, , , ,in R i k=  tels que : n x R∈ , in ix R∈ 1 2, , ,i k=  et 1 2 T T T T kx x x x = …  Soit ( )i .p une norme scalaire sur in R ; ( ).p est alors une norme vectorielle sur n R définie par : ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2= T k kp x p x p x p x   qui vérifie les propriétés suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0 , , , 0 0 , , , , , 1,2, , , , , i i i n i i i i i i n i i i i i i i i i n i i i i i p x x R i k p x x i k p x y p x p y x y R i k p x p x R et x R i kλ λ λ  ≥ ∈ =   = ↔ = =  + ≤ + ∈ =  = ∈ ∈=     A2. Lemme de Kotelyanski Les valeurs propres d’une matrice carrée A de dimension n n× , à éléments hors diagonaux non négatifs, sont toutes à partie réelle inférieure à un nombre réel µ , si et seulement si tous les mineurs principaux de la matrice , = nM M I Aµ − , sont positifs, nI étant la matrice identité de dimension n n× . A3. Sur le critère pratique de stabilité du Borne et Gentina Considérons le système continu non linéaire défini dans l’espace d’état par : ( ) (.) ( )x t A x t= A(.) étant une matrice de dimension n n× , à éléments non constants, { }(.) ( ) ,ijA a x= et x le vecteur d’état 1 2 n T T T T n Rx x x x ∈ = …  . le choix d’une norme vectorielle ( )p x telle que : ( ) 1 2= T np z x x x     conduit à la matrice majorante M (A(.)) définie par : ( )( ) { }, ). (.i jM mA = , avec : , , , , 1 2, , ,i i i i i j i j m a i n m a i j = =  = ≠  Les conditions suffisantes de stabilité asymptotique du système considéré ; obtenues par l’application du lemme de Kotelyanski à la matrice majorante M(A(.)) i.e. du critère pratique de stabilité de Borne et Gentina, sont les suivantes : ( ) 1,1 1,2 1 1,1 1,2 1,1 2,1 2,2 2, 2,1 2,2 ,,1 ,2 0 , 0, , 1 0 n n n n nn n m m m m m m m m m m m mm m −           REFERENCES [1] Benrejeb, M. 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