Inversion du modèle d’observation d’un radar météorologique par une méthode ensembliste

05/09/2017
Publication e-STA e-STA 2008-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2008-2:19829
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Résumé

Inversion du modèle d’observation d’un radar météorologique par une méthode ensembliste

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Résumé — L’objectif est d’identifier les paramètres du modèle non-linéaire d’observation d’un radar météorologique à diversité de polarisation reliant le taux de pluie à estimer au facteur de réflectivité radar. L’outil intervalle est utilisé pour prendre en compte les incertitudes de modélisation et résoudre le problème inverse proposé (inversion de modèle ensembliste, optimisation globale) ainsi que l’estimation du profil du taux de pluie le long d’une radiale donnée. Les aspects novateurs résident dans le fait que la méthode proposée soit analytique et prenne en compte les incertitudes de modélisation ainsi que certains phénomènes physiques perturbateurs comme l’atténuation du signal par les précipitations ou le déphasage observé entre les ondes rétrodiffusées en polarisations horizontale et verticale. Mots clés — Estimation, analyse par intervalle, problème inverse, radar météorologique. I. INTRODUCTION Les radars météorologiques sont utilisés pour estimer la pluie dans le cadre de différents projets d’études du cycle de l’eau et de ses ressources, du fonctionnement du système Atmosphère-Surfaces continentales et des applications liées aux risques de crues. Leur avantage est, pour un seul appareillage, de pouvoir sonder une vaste étendue. Le principe des techniques de télédétection par radars météorologiques est de retrouver les propriétés physiques des précipitations telles que l’extension verticale des systèmes précipitants, la densité et la taille caractéristiques des gouttes de pluie, et par ce biais d’estimer le taux de pluie à partir d’une mesure indirecte. Les variables effectivement mesurées par le radar peuvent varier d’un type d'instrument à l’autre, mais le principe de fonctionnement reste sensiblement le même [10], [12]. Les radars conventionnels émettent une onde caractérisée par une puissance transmise Pt (kW) dans une direction donnée (figure 1). Chaque goutte de pluie rencontrée par cette onde se comporte comme une cible et renvoie une partie de la puissance émise par le radar. La grandeur mesurée en retour correspond donc à la puissance rétrodiffusée Pr (kW) O. Adrot et J.-M. Flaus sont membres du Laboratoire des Sciences pour la Conception, l’Optimisation et la Production (G-SCOP), INPG, UJF, CNRS, 46 avenue Félix Viallet, 38031 Grenoble Cedex, (Olivier.Adrot@g- scop.inpg.fr, Jean-Marie.Flaus@g-scop.inpg.fr). M. Gosset, B. Boudevillain sont membres du Laboratoire d’étude des Transferts en Hydrologie et Environnement (LTHE), 1025, rue de la piscine, Domaine Universitaire, 38400 Saint Martin d'Hères (Marielle.Gosset@ird.fr, Brice.Boudevillain@hmg.inpg.fr). par les gouttes de pluie rencontrées dans le volume d’atmosphère échantillonné (volume de résolution), dont on déduit le facteur de réflectivité radar en général noté Z (mm6 .m-3 ). Z dépend des caractéristiques du radar, ainsi que du nombre et de la taille des gouttes de pluie contenues dans le volume de résolution. Fig. 1. Principe de mesure d’un radar Le facteur de réflectivité radar correspond au moment d’ordre 6 de la distribution granulométrique N (m-3 .mm-1 ) caractérisant le nombre de gouttes de pluie d’une taille D (mm) donnée par unité de volume : 6 0 ∞ = ∫Z D N( D )dD . (1) Parmi les expressions de la distribution granulométrique classiquement utilisées dans ce type d’étude, celle retenue est la distribution de Marshall-Palmer à deux paramètres (N0, Λ) : ( ) ( )0N D N exp D= −Λ . (2) La grandeur que l’on cherche à estimer au final est le taux de pluie tombant au sol R (mm.h-1 ) défini comme le flux d’eau tombant au sol par unité de surface : ( )3 67 0 ∞ = × ∫ . rR C D N D dD (3) où Cr est une constante connue. Inversion du modèle d’observation d’un radar météorologique par une méthode ensembliste O. Adrot, M. Gosset, B. Boudevillain, J.-M. Flaus Pt Pr Radar Pluie e-STA copyright © 2008 by see Volume 5 (2008), N°2 pp 29-34 L’objectif est d’estimer le taux de pluie R indirectement à partir du facteur de réflectivité Z déduit de la puissance rétrodiffusée Pr. Comme Z dépend de la distribution granulométrique N(D) de la pluie contenue dans le volume de résolution radar, le principe consiste à identifier les paramètres de N(D) à partir de (1) (problème inverse) afin de pouvoir estimer le taux de pluie qui en dépend (3) (phase d’estimation). S’il existe des méthodes heuristiques pour résoudre ce type de problème [10], l’objectif visé ici est de développer une méthode purement analytique [11]. Le plan de cet article est le suivant. En section 2, nous présenterons le modèle d’observation du radar utilisé. En section 3, nous poserons le problème à résoudre (problème inverse et phase d’estimation) en faisant en sorte de prendre en compte les incertitudes de modèle. En section 4, nous présenterons l’outil intervalle nous permettant de résoudre le problème précédemment posé et pour terminer, des résultats seront présentés en section 5. II. MODELE D’OBSERVATION DU RADAR Afin d’obtenir une analyse complète des propriétés de la pluie, le radar effectue des balayages horizontaux et verticaux, où les données sont stockées par radiales (une radiale est un axe de visée correspondant à un couple d’angles d’azimut et d’élévation donné) et par portes (une porte représente la taille du volume de résolution le long de la radiale) (figure 2). Une radiale sera ici constituée de np = 79 portes d’une épaisseur de 500m. L’objectif consistera donc à rechercher un profil de taux de pluie le long du faisceau radar sur une radiale donnée et donc à résoudre le problème inverse sur chacune de ses portes. Fig 2. Fonctionnement d’un radar Le modèle à inverser utilisé repose sur les relations (1)-(3) modélisant le phénomène de rétrodiffusion d’une onde par la pluie. Néanmoins, les caractéristiques de l’onde émise ne sont pas seulement modifiées lors de la rétrodiffusion sur une porte j, mais aussi lors de sa propagation au travers des portes précédentes [11]. La pluie atténue l’onde radar haute fréquence au fur et à mesure qu’elle traverse les portes, phénomène quantifié par le coefficient d’atténuation spécifique « a » en général exprimé en dB/km. Il est nécessaire de prendre en compte l’atténuation que subit l’onde par propagation afin de corriger les mesures. La valeur de l’atténuation est l’intégration de ce coefficient sur le trajet parcouru par l’onde en fonction des caractéristiques de l’évènement pluvieux rencontré. De plus, le radar considéré étant à diversité de polarisation, il émet et reçoit des ondes polarisées horizontalement (H) et verticalement (V). Cela permet en pratique de mesurer plus de variables physiques qu’un radar conventionnel et d’avoir des informations supplémentaires sur la forme des gouttes (plus ou moins aplaties) afin d’améliorer la précision du modèle. Ainsi, en plus de la réflectivité H en décibels notée Zmdb, la différence de phase entre les ondes horizontale et verticale est prise en compte. La pluie crée également un déphasage entre les ondes H et V au cours de la propagation, quantifié par la différence de phase spécifique φmdp exprimé en °/km, à intégrer tout au long de la radiale en fonction des caractéristiques de l’évènement pluvieux rencontré. Notons que la rétrodiffusion par la pluie affecte elle aussi la phase de l’onde et génère ainsi un saut de phase δ à estimer entre les deux signaux polarisés H et V émis. Compte tenu de la loi de granulométrie à deux paramètres choisie et du fait que soient mesurés dans cette étude la réflectivité Zmdb(j) et le déphasage φmdp(j+1), le modèle d’observation discret du radar permettant d’estimer ces deux grandeurs se ramène aux deux relations suivantes sur une porte j et une radiale données : ( ) ( ) ( ) rétrodiffusion : reflectivité sur la porte (en dbZ) sortie estimée 10 0 1 propagation : atté 1 0 1 10log − = − − = =    = −     − ∑ ∑∑ ⋯ ⋯ p j i p k i j n Λ D db j i i nj Λ D 0k i k i Z j N e z D dD N e a D dD nuation sur les portes 0 à -1j (4) ( ) ( ) ( ) propagation : déphasage sur la portesortie estimée 0 1 propagati rétrodiffusion : saut de phase sur la porte 1 1 1 0 0 1 1 − = + − − + = = + = + + + ∑ ∑∑ ⋯ ⋯ p j i p k i j n Λ D dp j dp i i j nj Λ D j k dp i k i j N e k D dD N e k D dD φ δ on : déphasage sur les portes 0 à -1j (5) Les sommes de 1 à np correspondent à la discrétisation pour un pas correspondant à une taille de goutte dD = 0.1mm de l’intégrale continue (1). Pour la porte courante j, seuls les deux paramètres N0j et Λj sont à identifier, sachant que les paramètres N0k et Λk, k∈{0,…,j−1}, ont déjà été déterminés e-STA copyright © 2008 by see Volume 5 (2008), N°2 pp 29-34 lors de la résolution du problème inverse sur les portes précédentes. Le saut de phase δj+1 est lui aussi inconnu et doit être estimé en même temps que N0j et Λj. Des fonctions correspondant aux réflectivité z(D,T,iforme), atténuation a(D,T,iforme) et déphasage kdp(D,T,iforme) élémentaires (pour une goutte donnée) pour un diamètre de goutte D, une température T et une forme d’aplatissement des gouttes iforme sont utilisées pour calculer les variables radar de l’ensemble des gouttes contenues dans la porte j. Les valeurs de ces fonctions ont été pré-calculées à partir d’un programme code T-matrix basé sur la décomposition du champ électromagnétique en modes au sein de chaque goutte. Ces fonctions élémentaires, fournies sous la forme de tables de valeurs, sont connues. A ces deux relations vient s’ajouter celle permettant d’estimer le taux de pluie sur la porte j et dépendant des valeurs identifiées des paramètres N0j et Λj : ( ) ( )3 67 0 1 p j i n Λ D. r i j i R j C D N e dD − = = ∑ (6) avec -6 = 3.78 10 3600 6 × × ×rC ππππ . III. PROBLEME A RESOUDRE Le problème consiste, pour la porte courante j, à inverser le modèle constitué des relations (4) et (5), c’est-à-dire déterminer N0j, Λj et δj+1 de manière à ce que les sorties Zdb(j) et φdp(j+1) coïncident avec leurs mesures respectives Zmdb(j) et φmdp(j+1), et ce compte tenu des résultats obtenus sur les portes précédentes. Le résultat est ensuite injecté dans la relation (6) afin d’estimer le taux de pluie. De plus, cette étude propose une méthodologie pour évaluer les incertitudes sur ces paramètres, permettant en particulier de traiter de façon exacte les non-linéarités. En effet, un modèle ne représente qu’un comportement approché du système qu’il est censé décrire. Cette imprécision peut être prise en compte en indiquant que certains paramètres, dits incertains, sont mal connus. La méthode ensembliste utilisée repose sur l’outil intervalle [8], [9] qui permet naturellement de représenter l’imprécision d’un modèle. Au lieu de définir une grandeur (paramètres de la distribution granulométrique, mesures,…) par une valeur nominale, l’idée consiste à la décrire par son support, en l’occurrence un intervalle. L’intérêt est qu’il est ainsi possible de représenter la méconnaissance que l’on a de cette grandeur en précisant l’ensemble des valeurs qu’elle est susceptible de prendre. L’outil intervalle est ainsi parfaitement adapté à la représentation de l’incertain dans le contexte de la modélisation des systèmes. En étendant les opérations arithmétiques et élémentaires des modèles de la physique à ces ensembles, l’ensemble résultat d’une opération est l’ensemble de toutes les valeurs possibles que peut prendre le résultat. L’estimation conduit dans ces conditions à un ensemble de valeurs possibles pour le taux de pluie recherché, compte tenu des incertitudes de modèle. Pour illustrer la notion d’incertitude de paramètre, prenons dans un premier temps le cas où seul le paramètre Λj doit être identifié. Comme celui-ci apparaît dans les deux relations (4) et (5) et que le modèle et/ou les mesures ne sont pas exactes, une même valeur Λj ne devrait pas permettre aux sorties Zdb(j) et φdp(j+1) de coïncider avec leur mesures, ce qui signifie que le problème inverse n’a rigoureusement pas de solution (figure 3). L’idée consiste à représenter Λj comme une grandeur incertaine appartenant à un support intervalle à déterminer contenant des valeurs de Λj capables d’expliquer les deux mesures. Il s’ensuit que le sorties sont elles aussi des intervalles devant les contenir. Plus l’imprécision du modèle est grande, plus l’intervalle [Λj] sera important, ce qui permet d’avoir une idée de la qualité du modèle utilisé. Plus généralement, suivant le nombre de paramètres à identifier et de mesures à expliquer, les supports peuvent ou non avoir une taille nulle. Fig 3. Notion d’incertitude de paramètre Par définition, un intervalle est un ensemble fermé et borné de nombres réels. Si x désigne une variable réelle bornée, alors l’intervalle [x] auquel elle appartient est défini par : [ ] { }= ∈ ≤ ≤x x R / x x x , où x et x sont des nombres réels représentant respectivement les bornes inférieure et supérieure de x. De manière générale, l’intervalle [x] sera noté comme suit : [ ] [ ]=x x,x . D’un point de vue modélisation, le fait de considérer la variable bornée x comme incertaine signifie que seul son support [x] est connu (la valeur courante de x étant elle inaccessible). La notion d’intervalle peut aisément être étendue au cas d’un vecteur x constitué de n variables bornées réelles xi∈R, i∈{1,…,n}. Le vecteur intervalle [x] contenant x se définit [Λj] j Support du paramètre ( )mdbZ j ( )dbZ j ( )dbZ j [Φdp(j)] [Zdb(j)] j Λj’’ Λj’ Modèle e-STA copyright © 2008 by see Volume 5 (2008), N°2 pp 29-34 comme suit : [ ] [ ]1 =    ⋯ T nx xx où chaque intervalle  =    i iix x ,x est associé à une variable réelle xi. Le vecteur intervalle [x] définit géométriquement un orthotope aligné avec les axes du repère (x1,…,xn), plus familièrement appelé boîte ou pavé, comme le montre la figure 4. x2 Domaine défini par [x] 1x x1 1x 2x 2x × xc λ2 λ1 Fig 4. Vecteur intervalle de dimension 2 Dans un premier temps, il est nécessaire de déterminer les supports des grandeurs incertaines permettant au modèle d’expliquer les mesures observées. On désigne par xj le vecteur regroupant les grandeurs incertaines du modèle radar à identifier sur la porte j. L’objectif consiste à rechercher un support [xj] de xj contenant au moins une valeur xj’ (respectivement xj’’) permettant à la relation (4) (respectivement (5)) d’expliquer Zmdb(j) (respectivement φmdp(j+1)). Selon le formalisme intervalle, [xj] est un orthotope (figure 4) qui peut être défini analytiquement par son centre xj,c et le vecteur λλλλj de ses demi-longueurs :    = − +   j j,c j j,c j,x x λ x λ . En remplaçant xj par l’expression de son support [xj] dans les relations (4) et (5) et en évaluant les résultats à l’aide de l’outil intervalle, les sorties intervalle estimées sont obtenues : ( ) ( ) ( )   =   db db j,c j db j,c jZ j Z , ,Z ,x λ x λ , ( ) ( ) ( )1   + =   dp dp j,c j dp j,c jj , , ,x λ x λφ φ φ . Imposer que le modèle explique les mesures revient à ce que les intervalles calculés ci-dessus contiennent les mesures en question, ce qui se traduit par les contraintes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 0  − ≤  − ≤    + − ≤  + ≤ mdb db j,c j db j,c j mdb mdp dp j,c j dp j,c j mdp Z j Z , Z , Z j j , , j x λ x λ x λ x λ φ φ φ − φ (7) auxquelles s’ajoutent les contraintes de positivé : 0− ≤j j,cλ x . Au final, il s’agit de résoudre un problème de satisfaction de contraintes non-linéaires par rapport au couple de paramètres (xj,c,λλλλj). Prendre un orthotope arbitrairement grand permettrait de résoudre naïvement ce problème ; il en résulterait des incertitudes excessives sur les paramètres et une estimation du taux de pluie insatisfaisante. De manière à améliorer la précision du modèle incertain obtenu, un critère de précision, lui aussi non-linéaire, est optimisé afin que les incertitudes du modèle soient les plus faibles possibles. Le critère retenu consiste en la somme des longueurs des sorties estimées intervalles sur une porte j : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1= − + + − +db dpdb dp J j Z j Z j j jφ φφ φφ φφ φ . (8). Des travaux ont déjà été publiés sur la caractérisation de supports intervalles dans le cas de modèles linéaires par rapport aux paramètres (conduisant à des contraintes et un critère linéaires) [1], [2], [4]. L’originalité de ce papier, en dehors de son application au problème de télédétection par radar météorologique, réside dans la nature non-linéaire du modèle à inverser. Comme l’outil intervalle est parfaitement adapté à la résolution du problème posé et qu’il a déjà été utilisé pour représenter l’incertain, nous expliquerons dans la section 4 la manière dont il a été utilisé. Une fois le domaine des paramètres déterminé, l’outil intervalle conduit à un tube de valeurs estimées du taux de pluie (sur chaque porte, R est défini par un ensemble de valeurs possibles compte tenu des incertitudes calculées). IV. RESOLUTION A. Méthodes ensemblistes De manière générale, les méthodes ensemblistes désignent toutes les méthodes permettant de manipuler des sous- ensembles de Rn , et de résoudre des contraintes liant les éléments de ces ensembles (ces contraintes pouvant être des relations arithmétiques). Les sous-ensembles élémentaires utilisés peuvent prendre des formes diverses et variées comme des zonotopes, des polytopes, des ellipsoïdes, des pavés (ou boîtes). Lorsque le domaine de solution est trop complexe et ne peut être exactement représenté par un simple sous-ensemble élémentaire, des approximations intérieure (dont tous les points sont solution) ou extérieure (aucune solution n’existe en dehors de cette approximation) sont déterminées en travaillant sur des unions de sous-ensembles (généralement des unions de boîtes). Les points forts de ces méthodes résident : - dans leur capacité à traiter une grande variété de problèmes mathématiques (optimisation globale, inversion de e-STA copyright © 2008 by see Volume 5 (2008), N°2 pp 29-34 modèle, résolution de systèmes d’équations non-linéaire,…), - à trouver toutes les solutions de manière garantie à un problème donné, - à partitionner l’espace de recherche pour éliminer rapidement de grandes zones non solution au lieu de le parcourir point par point, - à résoudre ce problème en prenant en compte l’imprécision sur la valeur des nombres (que ce soit pour les erreurs d’arrondis liées aux calculs ou aux incertitudes sur la valeur de paramètres ou de grandeurs observées). B. Inversion ensembliste et optimisation globale Faisant partie des méthodes ensemblistes, l’outil intervalle permet de résoudre le problème inverse proposé en procédant par deux étapes successives. La première étape correspond à de l’inversion ensembliste qui consiste à trouver toutes les valeurs des paramètres recherchés (xj,c,λλλλj) satisfaisant aux contraintes données (7). Les méthodes d’inversion ensembliste reposent sur des techniques classiques de pavage, de bissection et d’élimination de pavés [6]. Le problème se pose comme suit : soit y=f(x) une application de Rn dans Rm ; connaissant un domaine compact Dy de Rm , l’objectif est de déterminer l’ensemble suivant : ( ){ }∈ ∈n yR / Dx f x . L’application f correspond ici aux expressions données en (7) et Dy au quadrant des valeurs négatives. Brièvement, la méthode consiste à réaliser un pavage du domaine de recherche de Rn en pavés [x]i. Les pavés image [ ] [ ] [ ]( )=i i y f x de chaque [x]i sont déterminés. Puis en testant si [y]i appartient ou non à Dy, il est possible de trouver des approximations extérieure et intérieure du domaine de Rn solution recherché. Les pavés indéterminés n’appartenant pas entièrement à Dy sont redécoupés afin d’obtenir la précision désirée. L’inconvénient majeur des techniques par bissection résidant dans le nombre élevé de pavés à traiter, de manière à réduire la complexité des algorithmes (au sens du nombre d’opérations à effectuer), des techniques de contraction de pavés peuvent être utilisés. Elles s’adressent au problème suivant : pour un pavé [x]i donné, l’objectif est de déterminer un autre pavé [x]i’ inclus dans le précédent, le plus petit possible, tel que toutes les solutions éventuellement contenues dans [x]i le soient aussi dans [x]i’. Cette approche limite l’explosion du nombre de pavés, cependant rien n’assure qu’il y aura effectivement contraction. Les techniques de contraction nécessitent la mise en œuvre de fonctions intervalles spécifiques appelées des contracteurs (Newton par intervalle, linéarisé tangent intervalle) [5]. De façon à compenser les points faibles respectifs des approches par bissection et par contraction, la solution communément utilisée consiste alors à coupler les deux, en contractant par exemple au maximum un pavé [x]i, puis lorsque cette contraction n’est plus significative, en le bissectant puis en relançant l’algorithme sur les nouveaux pavés obtenus [3]. A l’issue, une approximation intérieure sous la forme d’une liste de pavés dont chaque point satisfait les contraintes (7) est obtenue. La seconde étape consiste à déterminer le minimiseur du critère (8) appartenant à ce domaine. Reposant sur des techniques semblables de bissection, d’élimination et de contraction, une méthode d’optimisation globale ensembliste de type Hansen [6], [7] est utilisée. Une fois le couple (xj,c,λλλλj) optimal obtenu, la pavé [xj] déterminant le domaine d’incertitude sur les paramètres à identifier est directement déduit, puis injecté dans (6) pour estimer le taux de pluie recherché. V. RESULTATS Les résultats présentés sont issus d’un jeu de données obtenus à partir d’un simulateur [12] utilisé par le LTHE et utilisant un modèle différent (plus sophistiqué) que celui présenté dans ce document. En conséquence, même si les données ne sont pas issues d’un véritable radar, des erreurs de modélisation sont à appréhender, même si elles restent plus faibles que sur des données réelles. L’intérêt de ce jeu est que les paramètres à identifier étant des entrées du simulateur, l’analyse des résultats trouvés est immédiate. Sur ces figures 5-7, sont montrées les valeurs de référence issues du simulateur et les données mesurées à expliquer (croix en bleu) et les grandeurs identifiées ou estimées (intervalles en rouge) en fonction des numéros de portes. Les zooms sur certaines portes montrent les incertitudes déterminées. Les figures 5 et 6 montrent les résultats obtenus lorsque seul le support du paramètre Λj est recherché (N0j et δj+1 sont issus du simulateur). Fig 5. Mesures à expliquer et sorties estimées e-STA copyright © 2008 by see Volume 5 (2008), N°2 pp 29-34 Fig 6. Paramètre identifié et taux de pluie estimé La figure 7 montre les résultats obtenus lorsque seul N0j est déjà connu (paramètre Λj à identifier et saut de phase δj+1 à estimer). Fig 7. Résultats obtenus Pour les deux cas présentés, les grandeurs estimées ou identifiées sont proches des grandeurs de référence et l’objectif est atteint. VI. CONCLUSION Dans le cadre de ces premiers travaux, la méthode ensembliste utilisée donne des résultats prometteurs en estimant le taux de pluie avec une précision raisonnable. Elle permet à la fois de représenter les paramètres lorsqu’ils sont incertains et de résoudre le problème d’inversion proposé. Des points sont encore à développer comme l’utilisation d’une loi de granulométrie plus sophistiquée contenant plus de paramètres à identifier, l’utilisation de mesures supplémentaires nécessitant d’étendre le modèle utilisé et la validation de l’ensemble sur des données réelles. VII. REFERENCES [1] Adrot O., Ploix S., Ragot J., Caractérisation des incertitudes dans un modèle linéaire statique. Journal Européen des Systèmes Automatisés (JESA), 2002, Vol. 36, no 6. [2] Adrot O., Ragot J., Flaus J-M, Characterization of bounded uncertainties, Complex Systems, Intelligence and Modern Technology Applications CSIMTA, 2004. [3] Adrot O., Flaus J-M, Fault detection of uncertain dynamic systems. Complex Systems, Intelligence and Modern Technology Applications CSIMTA, 2004. [4] Adrot O., Flaus J-M., Ragot J., Estimation of Bounded Model Uncertainties, Journal of Robotics and Mechatronics, 2006, vol.18, no.5. 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