Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des forces locales associées aux champs magnétique et électrique

30/08/2017
Publication REE REE 2006-6
OAI : oai:www.see.asso.fr:1301:2006-6:19712
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Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des forces locales associées aux champs magnétique et électrique

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            <date dateType="Submitted">Sat 24 Feb 2018</date>
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Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des forces m lo locales associées aux champs magnétique et électrique Mots clés Méthodeénergétique, Effortsmagnétiques, Comportementéquivalent, Validationexpérimentale Olivier BARRÉ,PascalBROCHET L2EPEcole centrale de Lille La conception des actionneurs électriques passe par la connaissance pré- cise des distributions de forces sur les différents constituants. Bien que la méthode éner- gétique propose des résultats proches des essais pratiques pour la détermination de grandeurs globales, comme le couple mécanique des moteurs ou la poussée d'action- neurs linéaires, elle ne propose pas intrinsèquement de formulations locales. Ainsi, utili- ser cette approche pour écrire une formulation locale n'est pas une opération naturelle. II est indispensable d'introduire la méthode des travaux virtuels pour arriver à ces formula- tions. La méthode énergétique est un concept physique. En effet, l'association de la varia- tion d'énergie d'un système isolé au travail d'une force extérieure est un choix délibéré, et il ne se justifie que si l'expérience montre qu'aucune autre forme d'énergie n'apparaît. Dans cet article, plusieurs expériences sont ainsi proposées dans le but de valider ces formulations locales. Elles utilisent comme support les champs électriques et magnéti- ques. Des corps sont soumis à ces champs et leurs déformations sont observées avec précision. Les forces induites par ces champs sont calculées au moyen de la méthode énergétique. Puis, on déduit de ces distributions de force la déformation du corps. Enfin les résultats de ces derniers calculs sont comparés aux expérimentations, de façon à vali- der les formulations étudiées. 1. Introduction En analysantfinementlesdifférentsconceptsutilisés parlaméthodeénergétique,il apparaîtquepourdesmaté- riaux linéaires,plongésdansdeschampsélectriquesou magnétiques,leséquationsassociéesauxdensitésd'éner- giesonttrèsvoisines.Rienn'interdit decefait d'interpré- ter la variationde l'énergiemagnétiqueou de l'énergie électriqueen énergiemécanique[1] [2] [8]. Toutefois, ESSENTIEL SYNOPSIS La connaissancedes effetsmécaniquesengendrésparles champsmagnétiquessurlescorpsestobligatoirepourcalculer lapuissancemécaniquedélivréeparlesmachinesélectriques. Auniveaude la conception,il fautaussisavoircommentse répartissentceseffortssurlesconstituantsdecesmachines. Lapprocheénergétiquepermetde calculercetterépartition. Deuxexpériences,utilisant leschampsélectriquesetmagnéti- quessontprésentées.Lapremièrepermetd'évaluer laperti- nencedecetteapprocheetladeuxièmedeconfirmersonuni- versalité. Theknowledgeof the mechanicaleffectsgeneratedby the magneticfieldson the bodiesis obligatoryto calculate the mechanicalpowerdeliveredbytheelectricmachines.During thedesign,it is alsoimportanttoknowthedistributionofthese effortson the componentsof thesemachines.Theenergy methodprovidesformulationstocalculatethisdistribution.Two experiments,basedontheelectricandmagneticfields,arepre- sented.Thefirstoneevaluatestheaccuracyof thisapproach andthesecondconfirmsits universality. REE No 6/7 Jttiii/juillet 2006 cette interprétation ne peut fournir qu'une grandeur glo- bale. Cette grandeur est associéeau systèmecomplet et il faut utiliser les propriétés géométriques du systèmepour en déduire le point d'application de la force engendrée par le champ [13]. Par exemple, pour des distributions de forces possédantdes axes ou desplans de symétrie, il est possible de déterminer géométriquement la droite d'ac- tion associéeà cette résultante. Il faut garder à l'esprit que cette résultante n'est qu'une interprétation. Pour le champ de gravité terrestre, il est clair que toute particule élémentaire d'un solide subit la force engendrée par ce champ et il n'y a aucune raison pour que la particule située au « centre de masse» se voie affecter la totalité de la force. C'est l'approche « masseponctuelle» qui induit cetteinterprétation.Comme le dimensionnement des constituants impose le calcul des distributions locales de forces, cette approche n'est pas satisfaisante. Pour les forces locales induites par les champs magnétiques ou les champs électriques, des for- mulations existent. Elles sont issues des méthodes éner- gétiques couplées à la méthode des travaux virtuels [5]. Dans le cas des matériaux linéaires, l'équation (1) donne la densité de force locale, normale à la surface d'un solide, associéeau champ magnétique. L'équation (2) est la même entité, mais associée au champ électrique. L'écriture de ces deux équations estparticulière. En effet, comme la densité de force ainsi calculée est associéeà la surface de séparation des deux milieux, la composante normale de l'induction magnétique Bu ou du champ électrique source Du se conserve lors du franchissement de cette frontière. La composante tangentielle du champ magnétique HI ou du champ électrique El suit aussi cette même propriété. De ce fait, il n'est plus utile de spé- cifier le milieu dans lequel est utilisée cette formulation. Toutefois, il faut que les milieux aient despropriétés phy- siques différentes de l'air ambiant pour que de telles for- cespuissent exister. eoou ! la ainsique lesparamètresrela- tifs Erou,u,. prennent en compte cet aspect et ils seront explicités par la suite. M ( (1-U) H -] Il),RI12+ 1 1 1 2p ( , 2 (1) -1, J'1 Fll=l 1 (I-) D-+2 ec) el. "'.1 1 1--o - (2) Il faut remarquer que ces formulations ne peuvent pas rendre compte des phénomènesoù l'énergie mécanique n'est pas l'énergie qui est majoritairement produite. Dans cescasprécis,l'interprétation précédenteestimmédiatement remiseen causeet les formulations associéescaduques. 2. Aspect comportemental de la matière Tous les matériaux répondent à leur manière aux champs électriques ou magnétiques. Cette sensibilité se traduit par les lois de comportement (3) ou (4). Dans le cas de matériaux homogènes et isotropes, un paramètre scalaire ou,u lie le champ source,D ou H, à l'effet phy- sique qui peut être mesuré, E ou B. En présence d'un champ engendré par une source extérieure, un corps plongé dans ce milieu ne reste pas immobile à partir du moment où sescaractéristiquesphysiques sont différentes de celle du milieu ambiant,,uo ou Eodans le cas de l'air. En particulier, pour les champs magnétiques, les maté- riaux ayant une perméabilité relative ! l,. égale à l'unité sont dits matériaux amagnétiques. Aucun phénomène n'est obser-vé quand, plongés dans l'air, ils sont soumis à un champ extérieur. L'= uu d, = E l (3) L t/) . f/ -(IE1cc. c (4) Les formulations précédentes(1 et 2) seproposent de quantifier les distributions de force qui vont serencontrer à la surface des corps quand ceux-ci sont soumis à des champs magnétiques ou électriques. Il n'est pas possible de valider de telles formulations en se basant sur la mesure d'une force globale. Plusieurs distributions peu- vent contribuer à engendrer la même résultante [6]. C'est le comportement de la matière qui va fournir la méthode de validation. En effet, les lois de l'élasticité prédisent l'évolution de la déformation d'un corps quand celui-ci est soumis à des forces extérieures [7]. Cette déformation est unique pour une distribution de force donnée. De plus, la moindre modification de cette distribution se traduit par une réponse différente de ce corps. En conséquence,c'est l'examen de la déformation qui permettra de valider cette méthode de calcul des for- ces locales [11]. 3. Expérimentation magnétique Pour permettre d'évaluer les performances de la for- mulation précédente,il faut seplacer dans des conditions certes sévères,mais parfaitement maîtrisées. Il faut donc générer un champ magnétique hétérogène qui doit aussi être aisémentcalculable par élémentsfinis. C'est pour ces raisons qu'un circuit magnétique doté d'un grand entre- fer, de l'ordre de 30 % du volume du circuit magnétique, est utilisé pour engendrer ce champ magnétique. D'une part, cet entrefer important peut contenir un corps étran- ger où il est de fait soumis à ce champ hétérogène REE No 617 Juin/juillet 2006 N Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des forces locales associées aux champs magnétique et électrique /.__ Yr'a,.ÿ,.f nYi k k- My`54'-,7 fv, _.,:-`. 3 1 .> f t f. S.,11 .w ""t r:`,. - CX `,,'..:.,. r, .. ..L, .yt f1 Y. ...âi:.$-.a£_ Figure 1. Un noyau magnétigue est associé à deux bobines en ciiiire. Un chanip iiiagnétiqlte hétérogène petit ainsi être engendré. En introduisant une substance de test dans ce champ, il est possible de confronter son évolution réelle à celle qui est pi-édite par l'iftilisation desfoi-iiiiilalions de calcul de force. Le matériau ainsi réalisé présente une extrême sensibilité aux contraintes extérieures. Ces chaînes moléculaires sont aussi capables de maintenir en suspension de fines particules de fer. La matière ainsi obtenue possède alors de légères propriétés magnétiques. i,' /'i. i.' J,._. /.....- "'7 _.. \ vi ------- " '. i " " 11 Je.. //---------. 1 Figure 2. Les longues chaînes imoléculaires conteiii (es dans les gels s'entrecroisent et engendrent des iiiicro-voltiiiies capables d'enzprisonner les liquides. (Fig. 1). D'autre part, avec un tel entrefer, il est possible de calculer la distribution de champ dans l'entrefer même si la perméabilité magnétique du noyau magnétique n'est connue que de manière approximative. Cette idée de validation expérimentale, basée sur la déformation des corps en présence de contraintes exté- rieures, n'est pas pour autant simple à mettre en oeuvre. Il ne faut pas utiliser de matériaux de test ayant des perméa- bilités élevées. En effet, à la surface du corps d'épreuve, la composante tangentielle du champ magnétique risque- rait d'être négligeable et il n'est pas souhaitable de mino- rer certains termes qui figurent dans l'équation (1). De plus, s'interdire l'emploi de tel matériau est aussi un bon choix pour l'expérience, car la distribution hétérogène du champ magnétique n'est pas remise en cause par l'intro- duction du corps d'épreuve. Ce souci de simplicité per- met d'utiliser un progiciel commercial pour la résolution numérique. Opéra 3D, qui implémente la méthode des potentiels scalaires, a montré, comme cela sera abordé par la suite, sa bonne aptitude à prédire l'évolution de ce champ magnétique. Hélas, de telles conditions expérimentales produiront de faibles niveaux d'induction magnétique et en consé- quence des faibles niveaux de contraintes extérieures seront donc induits. Finalement, des déformations quasi- ment insignifiantes risquent d'être engendrées si aucune précaution n'est prise. Il faut donc rendre les déforma- tions observables même avec des niveaux de contraintes faibles. Pierre-Gilles de Gennes, prix Nobel en 1991, a attiré l'attention de la communauté scientifique sur des objets « étranges » : les gels. Les longues chaînes molé- culaires qui les composent sont capables de piéger les liquides tout en les conservant sous cette phase (Fig. 2). Un parallélépipède constitué d'un tel matériau est soumis au champ magnétique engendré par un courant de 3 A circulant dans les deux bobines de cuivre de la struc- ture de test (Fig. 1). Visuellement, l'ensemble se déforme, et une mesure sans contact permet de quantifier le déplacement de l'arête supérieure. Cette mesure en elle-même mérite un peu d'attention car elle met en oeuvre un procédé jusqu'à présent non utilisé en génie électrique. Les systèmes de mesure optique sont couram- ment utilisés dans l'industrie mécanique et sont en mesure de garantir une précision meilleure que 10 microns. Avec cette méthode, il est possible de donner à 50 microns près le déplacement de l'arête supérieure du paral- lélépipède de test en présence d'un champ magnétique. Avec deux photographies présentant la géométrie de ce solide en présence puis en l'absence de champ magnétique il est possible de déterminer le déplacement (Fig. 3). Pour exploiter ce résultat comme preuve objective de l'aptitude des méthodes énergétiques à prédire l'évolu- tion des systèmes, il faut être capable de réaliser une simulation complète du procédé. De plus, toutes les éta- pes associées à cette simulation doivent être fiables. Pour avoir la distribution du champ magnétique, une simula- tion basée sur le code commercial OPERA 3D est utilisée. Même si des symétries peuvent être mises à profit pour diminuer le nombre d'éléments au niveau des modèles éléments finis, cette solution n'est pas retenue, car les propriétés géométriques peuvent être mises à profit pour évaluer la pertinence des résultats issus des simulations [10] [111. La comparaison des résultats issus des simula- tions avec des valeurs expérimentales reste de toute façon incontournable (Fig. 4). REE No 6/7 Juin/juillet2006 peres)tJ? W L'ELECTROTECHNIQUE DU FUTUR : Il'7 , i U i L_/. ! 1 y 1 ./ z ! ,q 1 1 1 ,FI luilz- > (3. a) 11,.. . 64 0 " 1 " 1Il [ 11 111 t > (3.b) Figitre. 3. Un faisceuti lasei- est ittilisépotir créei- tine oiiibre. Cette oiiibi-eperiiiet de matérialisei-stir lin szipport.eiiii-transparent l'eicacte géoiiiétrie du voltiiiie de test en présence (3.b) et en l'absence (3. a) de chaiiip magnétiqtie. En gi-adttant le stipport seiiii-tîansparent avec tin qtiadrillage an pas de 0,5 iiini, il est possible de iiieszirer le déljlaceiiient de l'arête stipériezire dit volitme de test. 1 1' 1 By 1. 3 4 - 2 1 Bv (en'r) 2t) ls 16 1 1 \2 L----- lU SH t'' - : tf<'tit's ntfsur''' - e-VnlplII "' " C ; Ilf'II ! t>I' " ,,- 1, 4 ;,) a Figure 4. Des mesures deflzi,, (, réalisées sur le dispositif réel, sont coinpai-ées aux valeurs prédites pai- la siintilation. Il apparaît qu'une grande confiance petit etre accordée à la simulation. Uéformation 1, 1 charge variable 11'/ // Il 1 1 .'/. y - 'i%l a t // 'i%latériau à tester F = (l/E) n Mesure de la déformation Contrainte G Figure 5. En utilisant un essai de compression simple d'une épiotivette de matériaii de test, il est possible de déterminer le modtile d'élasticité longitudinal. De plus, en augmentant le nombre d'essai, l'intervalle de confiance associé a ce parametre chute et il apparoït que 7 essais sont suffisants pour obtenir une valeur à moins de JO % d'erreur REE Nû 6/7 Juinjuillet 2006 . Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des forces locales associées aux champs magnétique et électrique Bobine N 1 ,ar =, Entr Bobine N'2 Entrefer Pt'nn'jihitii t') : it ! vt' JO - ---------r------------- HésuJtats eaJeuJés : ------1-......../..-- : ./ : : _____/i .. , . -. - 1 J L J.. ; i l.ti 1.9 2.1 ..5 2.8 : .J ; U : J.7 -1.0 Bobine de détection (6 a) (l lenlt) n LI-x/LIO (6. b) Figure 6. Un circuit magnétique permet de canaliser très facilement lefliix magnétique. Dès qu'un eiill-efe' apparaît dans ce circuit, l'intensité diflitic chute iniii ? édiatement (6.a). Cette chute est aiissifonctioii de la perméabilité relative de la matière contenue dans l'eiitrefei-. Avec la bobine de détection, il est possible d'avoir- une iliforillation, soilsforiiie d'une tension, sur l'influence de cette matière sur l'intensité dttflzt,,u. A partir de deux relevés expériiîientaux, tension Ux et tension UO, la courbe d'étalonnage (6.b), construite à l'aide de simulations paramétrables du système précédent, permet de déteriiiinet- la perméabilité relative du matériau contenu dans l'entre fer Pour poursuivre les simulations, il faut impérative- ment connaître les caractéristiques physiques du maté- riau. Pour atteindre cet objectif, des systèmes de mesure nouveaux doivent être conçus. La résistance des maté- riaux montre qu'il est possible de prédire l'évolution d'un corps si deux paramètres physiques sont connus : le module d'élasticité longitudinal, E, et le coefficient de Poisson v. Le deuxième paramètre n'est pas aisément identifiable. Toutefois, une analyse des principaux consti- tuants de cette nouvelle matière permet de l'évaluer. Le comportement iso-volume qui peut être associé à ce composé induit un coefficient de Poisson de 0,5. Pour le module d'élasticité, il n'existe pas d'autre solution que l'expérimentation. Une compression simple d'une éprou- vette réalisée dans le matériau à caractériser permet d'évaluer ce module d'élasticité (Fig. 5). La mesure de la perméabilité reste pour tous les maté- riaux un problème majeur. Celui-ci n'échappe pas à cette règle. Un circuit magnétique est réalisé au moyen d'élé- ments de transformateur et un entrefer de 1,6 mm est introduit dans ce circuit. L'intensité du flux magnétique circulant dans ce circuit est conditionnée par la matière qui est introduite dans l'entrefer (Fig. 6). Une augmenta- tion du flux apparaît si le matériau testé possède une per- méabilité relative supérieure à l'unité. Toutefois, ce com- portement n'est pas pour autant linéaire, car les fuites dans l'air avoisinant sont inévitables. C'est au moyen de simulations que le comportement d'un tel système est analysé. Une source de courant alternatif permet d'impo- ser un courant de 0,5 ampère dans les deux bobines prin- cipales. Un champ magnétique est ainsi engendré. Une information sur l'intensité du flux dans le circuit peut être obtenue par l'intermédiaire d'une bobine de détection. La tension relevée est proportionnelle à son intensité. Pour une meilleure précision, deux valeurs de ten- sions vont être mesurées. La première Uo est la tension relevée pour un entrefer ne contenant que de l'air, la deuxième, Ux est la tension relevée pour un entrefer contenant la substance de test. Le rapport Ux/Uo est une caractéristique unique associée à la perméabilité relative du matériau de test. Ce sont des simulations du procédé qui vont permettre d'associer à ce rapport Ux/Uo la per- méabilité relative de la substance introduite dans l'entre- fer. L'essai avec un entrefer ne contenant que de l'air per- met aussi de valider la représentativité de la simulation. Avec la perméabilité magnétique estimée du circuit magnétique, la simulation prédit que 80 % du flux total circule dans ce circuit alors qu'expérimentalement, en analysant la tension mesurée à la bobine de détection, celle-ci semble n'en recevoir que 74 %. Finalement, le matériau ainsi fabriqué pour l'expé- rience présente une perméabilité relative faible (r 3,1) et un module d'élasticité qui le classe dans les matériaux souples (E-70 000 N/m2). Ces deux informations sont suffisantes pour aboutir à l'évaluation de la représentati- vité de la formulation énergétique associée au champ magnétique. Par simulation numérique, il est possible de construire la distribution du flux dans l'entrefer. Cette distribution permet d'associer à ce volume de test les for- ces locales prédites par la formulation énergétique. En utilisant ces contraintes extérieures ainsi que les caracté- ristiques mécaniques du matériau, la géométrie finale du volume de test peut être calculée. La connaissance de la totalité de la géométrie n'est pas requise, car seul le déplacement de l'arête supérieure est mesuré (Fig. 7). Cette méthode peut être appliquée pour toute formu- lation de calcul de force [3] [9] [10] [11] [12] [14]. Comme celles associées aux courants équivalents, aux REE W 6/7 JLliii/juillet 2006 Repères L'ELECTROTECHNIQUE DU FUTUR "., z,, N r , 5 dL @ Figure 7. Le iiiatériaii de test en pl-ésence d'un chanip iiiagné- tique hétérogène se déforrne. Le déplacement de l'arëte si,ipéi-ieiii-e est le plus iiiiportant de toits et il servil-a de paramètre de validationa partir de deux relevés expéi-1.iiien- taux, tension Ux et tension UO, la courbe d'étalonnage (6.b), coii.ti-itite à l'aide de siniiilations pai-améli-able, du systènie pi-écédent, pe ; -iiiet de détel-iiiiner la Pei-iiiéabilité i-elative du matériazr contenu dans l'entrefer masses magnétiques, au tenseur de Maxwell... A chaque formulation est associée une géométrie du volume de test (Fig. 8.a, 8.b, 8.c, 8.d). Si un matériau amagnétique est utilisé, aucune déformation n'est enregistrée. Cet essai simple permet de rejeter toutes les formulations qui ne respectent pas le comportement neutre des matériaux amagnétiques. C'est pour cette raison que la formulation de calcul des forces locales associée à la méthode des masses et courants surfaciques n'a pas été évaluée [11]. Une grande prudence doit accompagner l'utilisation de cette formulation comme cela sera souligné à la fin de l'article. 4. Expérimentation électrostatique La nature immatérielle de l'énergie se double de la nature immatérielle de son support. En conséquence il est intéressant d'appliquer ce point de vue à un autre support immatériel comme le champ électrique. Si la même pro- cédure expérimentale est employée, certains éléments qui sont favorables à l'aspect expérimental pénalisent au contraire les modélisations par éléments finis. Par exem- ple, si le matériau retenu reste une composition d'eau et de gélatine, sa permittivité électrique relative est très bien connue et est égale à celle de l'eau (ër - 78,5). Aucun sys- tème de mesure n'est donc requis. Par contre, cette valeur élevée pénalise la modélisation et la résolution par élé- ments finis. Pour mieux comprendre ce problème, un exa- men plus précis de l'expérience utilisant les champs magnétiques doit être mené. Il apparaît que les distribu- tions de force calculées dans des zones proches des dis- continuités ont des intensités faibles devant les intensités existantes sur l'ensemble du solide. Donc, même si ces valeurs sont peu fiables, la déformation calculée à l'aide de toutes les distributions restera représentative. Ainsi la faible perméabilité relative du matériau magnétique minore l'influence des singularités. Par contre, pour l'ex-c 0,439 mm 0,320 mm 0,589 mm 0,448 mm NI. a 8.b S.c 8. (1 Figure 8 a. déformée associée à laformulation " courant équivalent ". Il Figure 8 b. déformée associée à laformulation " masses magnétiques équivalentes. Il Figure 8 c. déformée associée à laforii7zilation " variation de 1 énergie magnétique. Figure 8 d. déformée associée à laformulation " tenseur de Maxwell ". En conclusion, il apparaît très nettement que l'appro- che énergétique propose seule une déformation très voi- sine de la déformation réellement rencontrée durant l'ex- périence. L'expression des forces d'origines magnétiques associée à ce principe n'est pas issue d'une analyse microscopique. Elle provient d'un choix très strict quant à l'interprétation de la variation de l'énergie magnétique. périence basée sur les champs électriques, cet avantage structurel disparaît. Il faut donc utiliser une géométrie plus massive et ne comportant pas de discontinuités pré- judiciables (Fig. 9). Une telle géométrie a des répercus- sions expérimentales non négligeables. Les déformations qui vont se rencontrer seront naturellement plus faibles. La méthode de mesure photographique peut toutefois être REE Nu 6/7 Juin/juillet 2006 . Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des forces locales associées aux champs magnétique et électrique 30 Mill ' " i 1 / 20111111 r/ 10 iiini Corpsd'épreuve pourleschampsiiiignéti (lues. (9.a 35 inm 15 m Il 5m ( 1 1- 30 mm 40 mm 10 mm [ (A) ,. - : 1----i / L-/,- 30 mm (9. b) 10 mm 40 min (9. C) Figure 9. La géométrie du volume de test associé à la première expérience ne peut plus être utilisée. Cette structure présente des singularités géométriques- (9. a). Une autre structure, plus massive, doit être préférée (9.b). Une technique defabrication par moulage permet d'obtenu- ce type de structure. /c/ce vo/e f ' (0 e/?c cx/ ?/<?c co/cnc / ?/'//7c c Mo'e/En plaçant ce volume de test (C) entre deux plaques conductrices (A el B) dont I'zine est à un potentiel élevée (Il Kilovolts), le champ électrique résultant est slifele fisantpozir induire des déplacements visibles (9.c). /y e â ilmerit 11 » 1 " i .1 :,,!' : (10. a) 0 Kvolt 11 Kvolts ----- _------ J ".... ". ft' ' Jt. -!TKvo!ts JM Initial)nitia! ! -'?. !iitia) j j position , positionp 1 tion + 0,15 mrm 0.1425 nim (10.b) 1 1 (10. C) Figure 10. Un appareil photographique équipé d'un objectif macro-photographique peut donner des images très détaillées du sommet du volume de test (10. a). La comparaison des positions en présence el en l'absence de champ électriqiteperiiiet de déduire le déplacement engendié (] 0. b). Finalement, après i (ii calcul de déformation basé sur le comportement élastique de cette matière, un déplacement de 0. 1425 mm est pi-édit (10. c). conservée et, comme une mesure plus directe peut être employée, sa précision s'en trouvera augmentée. Compte tenu des remarques précédentes, une attention particulière est portée à la fabrication du volume de test. Il se doit de posséder le plus faible module d'élasticité possible et pré- senter une géométrie parfaite. Cet objectif est atteint à partir du moment où dans la procédure de fabrication par moulage, l'opération de démoulage est réalisée à faible température. De plus l'absence de matière incluse dans la gélatine, comme la poudre de fer, est un élément favora- ble pour les essais mécaniques. Les dispersions associées aux essais de compression sont plus faibles. Finalement, en associant à cette structure une source de tension de 11 kilovolts, un déplacement de 0,15 mm de son sommet peut être mesuré en utilisant deux photogra- phies, l'une associée à la position initiale et l'autre asso- ciée à la présence du champ électrique (Fig. 1 O.a et lO.b). L'expérience montre qu'un phénomène observable et exploitable est intervenu. La simulation de cette expé- rience est réalisée en utilisant comme paramètre pour le matériau de test une permittivité électrique relative de 78,5 et un coefficient d'élasticité longitudinal de 6 000 N/m2. Si la distribution de forces locales utilisée est celle associée à la méthode énergétique, l'allure du volume de test est celui présenté à la figure IO.c. Il apparait finale- ment que le comportement de cette matière est encore une fois interprété correctement par l'approche énergétique. 5. Les limites de l'interprétation physique A plusieurs reprises, il s'est avéré nécessaire de faire des choix quant aux phénomènes physiques susceptibles de se produire. En effet, pour que cette expérience soit instructive, il faut minorer les effets des phénomènes mal maîtrisés. En restant dans le domaine statique, tous les phénomènes dynamiques disparaissent naturellement. Toutefois, comme des déformations apparaissent au niveau des volumes de test, des questions peuvent se poser quant à leurs effets au niveau de la matière. La magnétostriction [15], l'électrostriction ou encore les effets piézoélectriques rentrent dans cette catégorie. Dans le cas de la magnétostriction, seule la poudre de fer est susceptible de réagir. Une évaluation montre que ces effets seront faibles. Les variations de volume, pour les REE W 6/7 Juin/juillet2006 billes constituant la poudre de fer, seront bien inférieures à 10-10 m. Au moyen d'un module d'élasticité extrême- ment faible, le corps d'épreuve devient très sensible aux efforts externes, les autres effets, comme les effets inter- nes, deviennent négligeables. Le choix le plus important et le plus facilement remis en cause reste toutefois celui lié à la variation d'énergie. En effet, si un système ne pré- sente pas comme effet physique prédominant la produc- tion d'énergie mécanique, utiliser la variation d'énergie pour quantifier l'énergie mécanique produit très rapide- ment des résultats aléatoires. L'exemple le plus connu des physiciens est celui de l'effet gyromagnétique [4]. Si les formulations présentées en début d'article sont utili- sées pour étudier l'expérience associée à cet effet, il appa- raîtrait qu'aucun effet mécanique n'est engendré, alorsr ai qu'expérimentalement il est bien observé. Cet effet n'est pas l'effet prédominant. Einstein et De Haas durent mettre le système expérimental en résonance pour mieux l'obser- ver. L'explication donnée par ces physiciens repose sur l'ai- mantation et de désaimantation de la matière. 6. Conclusion L'approche énergétique est donc validée expérimenta- lement. La dualité entre les champs magnétiques et élec- triques propose de mettre en oeuvre de deux manières dif- férentes le même concept. Cette méthode montre très sou- vent son aptitude à prédire les caractéristiques mécani- ques des machines, tels les moteurs ou les actionneurs linéaires. Pourtant, cette approche repose sur un choix discutable qui est celui de l'interprétation de la variation de l'énergie. Les deux expériences présentées tiennent compte de ce choix. Si une telle approche permet de pré- déterminer les performances mécaniques des actionneurs, c'est grâce aux très bons rendements de ses systèmes. Ils valident indirectement le choix qui est réalisé quant à l'interprétation de la variation d'énergie magnétique. Un rendement proche de l'unité veut bien dire que toute l'énergie entrante est transformée en énergie mécanique. 161 t7l 191 Element Modelling of Electromagnetic Force Densities in DC Machines IEEE Transactions on Magnetics Vol 24, n° 6, November 1988. pp. 3171-3173. Z REN, Comparison of Different Force Calculation Methods in 3D Finite Element Modelling, EEE Transactions on Magnetics. Vol. 30, Nob, September 1994. p. 3471-3474. t7l Z. REN, B. IONESCU, M. BESBES, A. RAZEK. Calculation of Mechanical Deformation of Magnetic Materials in Electromagnetlc Devices IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 31, N'3, May 1995. pp 1873-1879. [8] FX ZGAINSKI, J.L. COULOMB, Y MARÉCHAL, F CLAEYSSEN, X. BRUNOTTE. A Tool Box for 3-D Mesh Generation ln Electromagnetism and Electromechanical Engineering. IEEE Transactions on Magnettcs.VoVol. 32, N'3, May 1996, p. 1341-1343. [9) S. BOBBIO, P ALOTTO, F. DELFINO, P GIRDINIO, P MOLFINO. 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Finite Les auteurs Olivier Barré est professeur agrégé en génie électrique, docteur en génie électrique, enseignant au lycée G. Eiffel(France)et cher- cheurau L2EP(Laboratoired'Electrotechniqueet d'Electroniquede Puissance).Ses recherchesconcernent des domaines comme la prise en compte des phénomènes électromécaniques dans les simulations numériques en vue de la conception et de l'optimisa- tion des machines électriques. Il est membre de l'équipe COME (Conceptionet Optimisation des MachinesElectriques). PascalBrochetest professeurà pleintemps à l'Ecole Centralede Lille (France)et aussi chercheur au aboratoire L2EP (Laboratoire d'Electrotechnique et d'Electronique de Puissance) Ses recher- ches concernent la conception des machinesélectriques,en parti- culier les outils spécifiques d'optimisation tels que les plansd'ex- périence ou les méthodes de résolutions numériques. Il est res- ponsable de l'équipe COME (Conception et Optimisation des Machines Electriques). REE No 6/7 Juin/juillet2006