La théorie des fonctions de croyance : une alternative aux probabilités pour la perception et la fusion de données

29/08/2017
Publication REE REE 2006-7
OAI : oai:www.see.asso.fr:1301:2006-7:19691
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La théorie des fonctions de croyance : une alternative aux probabilités pour la perception et la fusion de données

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Dossier DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? (11, " L partie) 10,m La théorie des fonctions m de croyance : une alternative aux probabilités pour la perception et la fusion de données Mots clés Fonctionsdecroyance, Perception, Fusiondedonnées Michèle ROMBAUT, Emmanuel RAMASSO, Frédéric MAUSSANG INPG, Laboratoire des Images et des Signaux Les principes de base de la théorie des fonctions de croyance sont présentés sur des exemples simples. Larticle situe clairement cette théorie à celle classiquement utili- sée des probabilités. 1. La théorie des fonctions de croyance pour la perception Le progrès technique a pennis l'émergence de dispo- sitifs d'observation de plus en plus perfonnants et sophis- tiqués. Toutes les infonnations qui en proviennent doi- vent pennettre de mieux connaître le système observé, en fonction des besoins de l'utilisateur. Un système de per- ception a donc pour rôle de mettre en fonne toutes les informations et connaissances dont on dispose, de les combiner par exemple en les fusionnant, et d'en extraire l'information utile [1]. L'objectif à atteindre dépend de l'application : il s'agit souvent de classification, de détection, de reconstruction, de localisation ou encore d'identilication. Mais en général, il faudra prendre une décision quant au système observé, décision qui pourra être automatique ou laissée à l'utilisateur final. Les domaines d'application sont très larges comme les applications militaires (précurseurs en terme de fusion), le contrôle non destructif, les applications médicales et l'observation de la planète (cartographie, hydrologie, pol- lution). Enfin, apparaissent maintenant toutes les applica- tions de reconnaissance du comportement humain (surveil- lance de personnes âgées à domicile, communication mul- timédia, indexation vidéo, surveillance de lieu publics). La problématique de la perception est la suivante : on suppose qu'il existe un " objet " dans le sens le plus large qui soit sur lequel on souhaite obtenir l'infonnation nécessaire à l'application. On dispose d'un certain nom- bre de senseurs c'est à dire des capteurs physiques et les outils de traitement de l'information associés. Il s'agit de récolter, de fusionner et de mettre en forme les données provenant des senseurs afin d'obtenir l'information ou la décision souhaitée. L'exemple du pari sur une course de chevaux illustre bien cette problématique de perception. Dans un premier temps, le jotieut- récolte l'injôrnia- tion concernant la course. Par exemple, il cherche à connaître l'état du terrain, les résultats des coitrses pré- ESSENTIEL SYNOPSIS Lathéorie des fonctions de croyancepermet de modéliseret syn- thétiser laconnaissancedont on dispose sur le système observé. Elleest particulièrementbien adaptéepour développerdes systè- mes d'assistancehumaine.Elle permet de détecter et de quanti- fier le conflit entre les sources d'informations. Elle est baséesur un formalisme mathématique solide et facilite la conception de systèmesde fusion de données.Lesprincipesde basesont expo- sés sur des exemplessimples. Deuxapplicationsréellessont pré- sentées. The Belief Function theory is used to model and synthesizethe knowledgeabout an observed system. It is particularly welladap- ted for ail human assistanceapplications.It can detect and com- pute the conflict between information sources. It is based on a sound mathematical framework and is useful to develop data fusion systems.Thefoundation principlesare presentedwith sim- ple examplesas well as two real examples. REE N 8 Septembre2006 Dossier DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? (11 " partie cédentes, l'âge des chevaux, le poids du jockey. Il intègre erasuite l'ensemble de ces informations en leur donnant plus on moins d'iinpoi,tai7ce suivant ses propres ci-ifii-es, cela lui permet d'évaluer les capacités de chacun des chevaux pour la course prévue. Vient ensuite la deuxième phase liée à son objectif'.- gagner de l'argent en partant. Il peut y avoii- lllisieiii-s critères de gain possibles. Par (--,reiiiple il leiit choisir de parier sur le.ftivori et dans ce cas, il assure ses chances de gagner mais ses gains seront rédiiit,. Ou bien, il petit choisir de pariet- siii, l'oiit- sidcyi-, ses chances de gagnei- étant pliis.fàibles mais s'il gagne, il S'assure lui gai.Il i.iiiportanl. Dans cet exemple, on voit que la problématique de perception est décomposée en deux phases : une première où l'on rassemble et compile les informations, et une deuxième où l'on prend une décision en fonction de l'ob- jectif recherché. Il est important de bien mettre en évi- dence ces deux phases car elles n'ont pas le même objec- tif et peuvent être traitées relativement indépendamment. Pour formaliser le processus de perception, plusieurs approches sont possibles. La plus connue, car la plus ancienne, est la théorie des probabilités associée au théorème de Bayes. Depuis quelques dizaines d'années sont apparues d'autres approches telles que la théorie des possibilités, et celle qui nous intéressera plus, la théorie des fonctions de croyance car elle est très bien adaptée à la formalisation de l'état des connaissances. En effet, les spécialistes mettent souvent en concurrence théorie des probabilités et théorie des fonctions de croyance. Dans les faits, ces approches sont plutôt complémentaires et cha- cune d'elles est plus adaptée à l'une des deux phases. Nous illustrons ce constat ainsi que tous les concepts qui seront présentés par la suite à l'aide de l'exemple simple du jeu de dé. On dispose d'lin dé clci,sique à siy faces, chacitne possédant de un à sic points. L'ensetiible des,fcices qui peuvent appcaraître est Q - -,IFI,F2,F3,F4,F5,F6,. Apres le jet de câé, on sozrhaite obterrir de l'informcrtion.sur la jace tirée. Dans une première(-'re .Wéi-i.eii (e, on peut (-oinplètenient ob,er- ver lajàce tii-ée, supposons qu'il s'agisse de la.fiice F5. Avec la théorie des probabilitéç, les chances pour la face tirée correspondent à F5 sont à 100%. On tittra donc la probabilité P (F5) == 1 et PM - 0 pont- tout YEQel Y ; eF5. Dans la théorie des Ibnctioiis de croyance, on déli- nit une masse de croyance m qui correspond à la connaissance dont on dispose, la croyance totale étant égale à 1. Alors. on aura m (IF5 » = 1 qui signifie que toute la croyance dont on dispose est portée sur les élénieéits de l'ensemble (F5,1 des .Iàces possibles et donc la face F5 est slire puisqu'elle en est le seul élément. Dans la Élettrième Wérieiice le dé eljeté mais la.face reste cachée. Dans la théorie des probabilités, on suppose que toutes les e,Iàces sont'qiiiprobables, kvpothèse très forte qui induit que le dé n'est pas pipé, que le lan- ceiir ne triche pas,... Alors V Y E Q, P (Y) = 116. Cela signfie que chaque.face a autant de chances d'avoir été tirée. . Avec la théorie des fonctions de croyance, la masse de croyance est mise sur la seule connaissance dont on dispose, c'est que la face tirée corresponde à l'itne des siçftices. On aura donc ni (i (F],F2,F3, F4,F5,F6) - 1 ce qui sigiiijie que la face tii-ée appartient à l'ensemble [F],F2,F3,F4,F5,F61. Cette formalisation modélise le doute que l'on peut avoir sur la réalité des hypothèses, c'est à dire des faces. L'avantage ici c'est qu'aucune information n'est ajozrtée : le dé peut être pipé ou le lancezrr peut trichei ; celti ne modifie pas la croyance. Si l'an dispose de l'information qui indique que le dé est pipé poiti- sortir le 6 par exemple, alors lafonction pourra prendre la,fôrme suiiiante : iii (F6f) 0, 2 et m (F1,F2,F3,F4,F5,F6,) - 0,8, ce qui signifie que l'on croît que n'importe laquelle des 6@faces peut être tii-ée niais on croît un peu plus que ce sera Ici face F6. La théorie des fonctions de croyance permet donc de modéliser la connaissance dont on dispose sur l'objet observé, alors que la théorie des probabilités modélise les chances que l'on a si l'on choisit l'une ou l'autre des hypo- thèses. La première s'applique donc parfaitement à la pre- mière phase du processus de perception c'est à dire la modélisation de la connaissance alors que la deuxième est adaptée à la phase de décision. C'est aussi pour cette raison que Smets a proposé de transformer les fonctions de croyance en probabilités qu'il nomme " pignistiques " (pignus signifie parier en latin) lors du passage de la pre- mière à la deuxième phase du processus de perception [2]. Dans certaines applications, la décision entraîne des conséquences si importantes qu'elle doit être laissée à la responsabilité de l'utilisateur. C'est le cas pour le diag- nostic médical, ou dans certaines applications militaires. Les fonctions de croyance sont directement transmises à l'utilisateur qui a alors connaissance du doute qui existe entre les diffërentes hypothèses. 2. Définition et propriétés de base des fonc- tions de croyance Dans ce paragraphe, on présente les définitions et les propriétés de base des fonctions de croyance. Un récent état de l'art sur le sujet est proposé dans [î]. Les notions sont illustrées par des exemples concrets sur un cas d'école que constitue le jet de dé. RH l' 8N Septembre2006 La théorie des fonctions de croyance : une alternative aux probabilités pour la perception et la fusion de données 2.1. L'espace de discernement Comme pour les probabilités, on définit l'espace de discernement Q qui contient toutes les hypothèses possi- bles. L'ensemble Q, fini et discret, est un ensemble exhaustif d'hypothèses ce qui signifie que la réalité appartient à . Les hypothèses sont exclusives c'est-à- dire que si l'une est vraie, alors les autres sont fausses. Dans le cas du dé, Q = F1,F2,F3,F4,F5,F6. On définit aussi l'ensemble 2e des parties de Q : 2Q = O {FI}, fFi F2 F15F) j FI F2 F F4 F5,.fF2 F) ... 1 51 F611. Si Q contient N éléments, alors 22 en contient 2N. Chacun des sous ensembles peut être interprété comme un OU logique entre les hypothèses qui le composent : F 1,F2 signifie " (FI OU F'- » est vrai ", noté FIU F2, ou encore FI,I-. 2.2. La distribution de masse d'évidence Une source d'informations, senseur ou agent, fournit une croyance sur les états discrets pris par une variable X de l'espace de discernement Q modélisée par une masse MS2 sur l'ensemble 22 des parties ou propositions de Q de la façon suivante : ms 2 : 22 ---> [0, 1 A ---- > ms " (A) avec la propriété : LA c Q mp (A) = 1 Une proposition à laquelle est associée une masse non nulle est appelée « élément focal ». Dans le cadre des fonctions de croyance, une masse m (A), avec A c Q, représente la croyance spécifiquement assignée A et ne donne aucune information sur la croyance des sous élé- ments de A. Ainsi, le doute entre des hypothèses est expli- citement modélisé. En particulier, m (Q) = 1 représente l'ignorance totale. La masse associée à l'ensemble vide (m (O » peut être non nulle, sa valeur pouvant être interprétée de différentes façons notamment comme le degré de conflit entre deux sources ou comme la conséquence d'une définition incomplète voire invalide de l'espace de discernement Q. Théoriquement, la masse peut être répartie sur tous les éléments de 22. Dans la pratique, il est préférable que la distribution de masse soit consonante, c'est-à-dire que la masse soit répartie sur des éléments tels que leur intersec- tion ne soit pas l'ensemble vide. Exemple de distribution consonante Exemple de distribution non consonante mi ( [Fl,F3,F5]) 0,5 mi « FI,F3,F5]) = 0,5 mi ( [Fl,F3]) - 0,2 mi ( [F2,F3]) = 0,2 mi ( [FI]) =0,3 mi ( [FI » =0,3 Dans le detivième cas, oiq ci-oîl qiie la soliiiion est dans F2,F3 et siniiiltanénient, qit'elle est aiissi dans FII ce gui est incohérent. L'un des problèmes majeurs est de définir la distribu- tion de masse à partir des paramètres fournis par les sen- seurs. Globalement, la définition peut se faire à partir d'une connaissance statistique ou par expertise. Il est important à noter que cette difficulté apparaît quelle que soit l'approche envisagée : probabilités, possibilités ou fonctions de croyance. On présentera au paragraphe 4 des exemples de conversion pour des applications réelles. 2.3. Fusion de masses d'évidence Lorsqu'on dispose de plusieurs sources d'informa- tion, chacme d'elles fournissant une distribution de masse d'évidence sur le système observé et définies sur le même espace de discernement, il est possible de les com- biner afin d'obtenir une masse d'évidence prenant en compte toute l'information disponible. Pour cela, on réa- lise une opération de fusion conjonctive définie par l'équation suivante : MI,2 (A) = ( n 1112) (A) = EH nc, =.i Mi (B).mi (C) Cet opérateur est basé sur le calcul de l'intersection d'éléments de 1-2, et permet de transférer la masse sur les intersections et donc sur des éléments de cardinalité de plus en plus petite. Dans le jeu de dé, on dispose d'un premier senseur qui petit déterminer s'il j a un point ait milieu. 011 sup- pose qu'après le jet, le senseiir dit qu'il y a un point. Les faces possibles sont FI, F3 et F5. A loi-,, la tii,tribu- tion de masse associée ml est iiil (fFI, F3, FS}) = 1 et ml (A) = 0 pour lotit A e 2n et A : # (FI, F3, F5j Ceci signifie qu'on est sfit- que laface tirée est 1'tine des e/ F. F 3 faces sans toute fois pouvoir en privilégier une. On dispose d'un deuxième senseur capable de voir le nombre de points siii- l'lin des cotés. Après le jet, ce detrxième setaseur indique qu'il y a deux points. Les faces possibles sont F4, F5 et F6. Alors, la distribution de niasse associée m, est 1112 (fF2,F5,F61) = 1 et M2 (A) - 0 poiti- tout A E 2Q et A ; e F2, F5, F6fF2.FF6/ L'inter,ectioii de F1,F3,F5,,'et de [F2,F5,F6] est IF51. On civait nil (F1,F3,F5 » - 1 et M2 (ifF2,F5,F6j) - 1. On obtient iiil (F1,F3,F5). m2 (tF2,F5,F6,r) - iiil.2 (F5) = 1 etMI,2 (A) = 0 pour tout A E 2Q et A ; e F5f. Toute la masse d'évidence est reportée sur la jàce FS. A l'caide de ces deux sources d'informatiorz, on peut donc en dédiiire que la.face que l'on recherche est la 5. Ce type de combinaison est intéressant car il permet de détecter et quantifier le conflit entre deux sources d'infor- REE N' 8 Septembre2006 Dossier m DU TRAITEMENT NUMÉRIOUE À A GESTION DES CONNAISSANCES DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? l-e partie) mation (in l,2 (0) ; dO). Cela signifie que l'on croît qu'au- cune des hypothèses n'est vraies, ce qui est normalement impossible puisque la solution devrait se trouver dans Q. Les sources de conflit sont multiples : capteur défaillant, mauvaise modélisation, ou il existe une solution non contenue dans Q. Dans ce dernier cas, cela signifie que le dé posséderait une face avec le nombre 7 par exemple. Dans ce cas, on dit que le monde est ouvert en opposition avec le monde fenné quand Q contient toutes les solu- tions. Par exemple, si le premier senseur indique un point au centre et que le deuxième sen,seiii- indique 3 points sur le coté, on obtient ml (Fl,,F3,F5). ni ? (FOfl) - nij,, ? (O) - 1 et ml.2 (A) 0 pour tout A E 22 et A # 0. Cette notion de conflit est particulièrement intéres- sante et peut être exploitée dans la structure de fusion pour diagnostiquer la défaillance de senseurs par exem- ple, ou un changement de comportement du procédé observé [6]. Dans la théorie des probabilités, le conflit n'existe pas explicitement puisque la fusion d'informa- tion provenant de deux sources en conflit se traduit par une distribution de probabilités prenant la même foi-ilie que la modélisation du doute entre hypothèses. 2.4. Etape de décision La théorie des fonctions de croyance donne des indi- cateurs (crédibilité, plausibilité, probabilités pignistiques) qui permettent de choisir une des hypothèses ou ensem- ble d'hypothèses à partir de la distribution de masse. Il faut noter que lors de l'étape de décision, il y a toujours une prise de risque sauf si l'infomiation donnée par les senseurs est parfaitement sure ce qui n'est jamais le cas dans les applications réelles [2,7]. La prise de décision optimise un critère fixé par l'application. Par exemple pour le diagnostic médical, il est préférable de détecter une lésion potentielle plutôt que de ne pas détecter une lésion réelle. Dans d'autres cas, il sera préférable d'éviter les fausses alarmes qui pourraient perturber un opérateur quitte à ce que certaines alarmes vraies soient perdues. 3. Un formalisme mathématique solide A l'origine, la théorie des fonctions de croyance souf- frait d'un manque de fondements mathématiques ce qui constituait un handicap sérieux par rapport à la théorie des probabilités. Les recherches entreprises cette demière décennie ont permis de grandes avancées dans ce domaine [3,4,8,9]. Nous présentons ici quelques notions fondamentales issues de ces travaux. L'une des difficul- tés principales lors de la définition d'une structure de fusion concerne la définition des espaces de discernement [5]. C'est l'une des grandes forces de la théorie des fonc- tions de croyance que de disposer d'outils capables de gérer les différents espaces en fonction des connaissances dont on dispose. 3.1. Changement d'espace de discernement (raffine- ment et grossissement) Pour une application donnée, il faut définir dans un premier temps l'espace qui correspond à l'objectif de l'application. Souvent, cet espace n'est pas celui qui cor- respond aux informations transmises par les senseurs. Il faut donc être capable de gérer les relations entre les espaces par des opérations telles que le raffinement et le grossissement. Dans l'exemple présenté ci-dessus, les senseurs fournissaient leur fonction de masse définie dans des espaces diflërents, mais l'exemple était si simple qu'il nous a été facile de se ramener à l'espace Q. Dans des cas réels plus complexes, le changement d'espace est en général beaucoup moins trivial. On présente ci-des- sous les notions de raffinement et de grossissement pour l'exemple du jeu de dé. Dans l'exemple, l'espace de discernement QI du pre- niier sciiseui- concerne le nombre de points observés au cerrtre de Ia face : QI -Oll, 1191 soit 0 point ou 1 point. L'espace de discerneinent Q2 du deuxième senseur concerne le nombre de points sur un coté : Q =,op'Il lp2@ -2p2, 312,1 soit 0 point, 1 point, 2 points ou 3 points. Les espaces de discernement de nil et m2 sont différents et les deux distributions de masse ne peuvent être directe- ment combinées. Avant de pouvoir réaliser la combinai- son, il faut t-edfinii- mi et nl2 sur les mêmes espaces. Lorsque l'on a traité l'exertiple dans le paragraphe pré- cëdent, il était.làcile d'expriimei- les règles liant chacune des hj) pothèses de QI et Q2 en fôiiction de celles de Q, par exemple lpi f = (FI,F3,F5, 2p2j F2,F5,F6]. Il nous a siiffit de redéfinii- mi et mi sur Qpoiii- réaliser la combinaison. Dans le cas général, lorsqu'il n'est pas aussi aisé de " traduire " les hypothèses par des règles logiques, on crée un espace commun de discernement qui est le produit cartésien des deux espaces noté Qi x Q2 puis on redéfinit chacune des fonctions de masse par une opération raffi- nement de Q 1 OU Q2 vers QI x Q noté (Q t Q ; x Q) ou (Q,) t i x Qi). La distribution de masse ml définie initialement sur QI est étendue en considérant qu'elle il 5appoi-te aucune information concernant les hypothèses de Q,). Dans l'exemple, on a QI x Q2 Opl, Op2), (Ipl, 1 2p2» op'), (01) 1, Pl), (1p 1 IP2),.... (op/, 2p2), ('Pl, a 8 éléments où, par exemple, (Ipl, 01) 2) signifie 1 point ait centre ET 0 point sur le coté. REE N'8 Septembre2006 La théorie des fonctions de croyance : une alternative aux probabilités pour la perception et la fusion de données On éteiidmIQ1 MI (QI Î QI xQ2) et mlQ2 à ni2 (Q2 f QI xQ2J.. 1111QI ilpl NII (QI Pl x Q2) (f ( Ipi, Op2). (1191, Ip2), (Ipl, 2p2), (Ipl, 3p2) ) 2. 7 29 Q2 ( [2 2 ln2 (Q2 QI x Q2) (f ( 0 1. 1112 p f p 2p2), ('Ipl@ 2p2) ) L'intersection des deux seuls éléments focaux permet de déterminer la. distribution de masse résultante de la fus ion de données. (ip 1, op-2), (ip 1, ip2), (ip 1, 2p2), (ip 1, 3p2), n op 1, f 2p), (ip 1, 2p2) - ('Pl, 2p2) -,, et donc 1111. 2111, x 112, ip 1, 212) nII (Qi î QI x Q,2) (/ (1p 1, () p2), (l p 1, IP2), (/Pl, 2p2) @ ( Ipl. 3p2) 1,).nl (Q2 p QI x Q2) (f ( 0 l@ 1 2p2) 1) nIlIll (Ipl). nllll2 (_p2j 2f 7. ./ Y P / Cette distribution de masses est définie sur Q ; x Qi. Elle doit être transfonnée pour être définie sur Q. Il s'agit ensuite de définir chacun des éléments de Q en fonction de ceux de QI x Q2 par une opération de grossissement, c'est à dire que les éléments de Q peuvent être définis comme l'union d'éléments de QI x Ç22. L'opération de grossissement noté (Qj x Q 1 Q) transforme la distribu- tion de masse mQl x Ç22 en m (QI x Q2 1 Q). VAED,M 0 (A,) = m (B) r3.9 Dans l'exemple, cette opération est _Iàcile car il j, a pratiquement bijection entre Qi x Q ? et Q. par exemple nll,2Q ( ? IF5 ?) -,,,2 (-Ql x Q2) (,i ( Ipl@ 2p2) ) Seuls deux éléments de QI x Q2 ne correspondent à aucuiiefac,e et donc 0 - il (Opi. Op2), (] pl, 3p2) . On aura tiloi-s 2Q (O) = 1111. 2 (pl x Q2) (el (' op " Oi') fl) + illi2 (QI x Q. ?) op " OPI) J,) 3.2. Modélisation de la fiabilité (affaiblissement) Dans certain cas, on dispose d'informations concernant la fiabilité des données provenant d'une source particulière [10,11]. Ces informations peuvent concerner les plus ou moins bonnes conditions de fonctionnement d'un senseur, les retards sur les données qui les rendent obsolètes ou la confonnité du modèle associé. Dans la théorie des fonctions de croyance, il est possible de prendre en compte ces infor- mations pour modifier la distribution de masse associée à la source. On les utilise pour définir un paramètre a E [0,1] tel que si a = 0, la source est considérée comme totalement non fiable et si a = l, elle est complètement fiable. La méthode consiste à prélever de la confiance au éléments focaux les plus précis pour la transférer sur le doute. Le senseiir s tre7nsmet une iî ? foi-matioii sur les.làces dit dé correspondant à la distribution de maçse ni, in,, (FI, F2) - 0,8 m (FI, F2, F3, F4, F5, F6) - Q.2 ce qui signifie que 1 on ci-oit qu'il s'cigil de laface FI ou F2, mais qu'il reste un doute sur les autresfàces. On associe à cette source d'inforniatioii l'indice defiabi- lité a - 0, 2 ce qui signfie que la source est très peu fia- ble. On obtient une nozrvelle distr°ibution de naasse m5. telle que inscl (FI, F2j) - a. ni., (,'Fl, F21) - 0,2 x 0, 8 0, 16 msa (fFI, F2, F3, F4, F5, F6 » - ni, (IFI, F2, F3, F4, F-5, F6) + (1 -a). ni, (FI, F2f') - 0, 2 + 0,8x 0, 8 - 0,2 + 0,64 - 0,84 La croyance sur le doute a fortement été augmeratée, même si les deiir.faces FI et F2 sont un peu privilégiéeç. 3.3. Autres mécanismes Ces dernières années, des mécanismes bien connus de la théorie des probabilités ont été généralisés dans le cadre de la théorie des fonctions de croyance. Notamment, on peut citer le théorème de Bayes généra- lisé [9], le filtre de Kalman [12] et les réseaux bayésiens [13] étendus aux fonctions de croyance. A l'instar de la théorie des Probabilités créées dans le but de modéliser des informations incertaines, celle des Fonctions de Croyance ainsi que celle des Possibilités permettent de modéliser les imperfections au sens large sur les données [14] comme l'inconsistance, l'impréci- sion et l'incertitude. L'une des caractéristiques de cette théorie par rapport à celle des probabilités vient du fait que les distributions de masse sont définies sur 2 alors que les distributions de probabilités sont définies sur Q. Le nombre d'éléments de 2Q est exponentiellement plus grand que celui de Q ce qui induit un risque d'explosion combinatoire. Pour pallier ce problème, il est possible de représenter les distributions de masse et leur opérateurs sous fonne matricielle et coder les éléments de 2e sous forme de nombre binaires [15,16]. Cette forme matricielle a en plus la grande qualité de généraliser le formalisme des opérateurs et donc de sim- plifier la conception des systèmes de fusion [15,16,17]. 4. Quelques exemples d'applications La théorie des fonctions de croyance est particulière- ment intéressante pour toutes les applications d'assis- tance à l'opérateur (médecin, militaire, superviseur, pilote,...) car elle permet d'avoir une image claire et syn- thétique des connaissances dont on dispose à partir des senseurs. HE N, 8 Septembre2006 Dossier N DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? (le partie) Au laboratoire LIS (Laboratoire des Images et des Signaux de Grenoble), nous l'avons utilisée pour la détec- tion d'objets enfouis en milieu sous-marin ainsi que sur des applications de reconnaissance de comportements humains (reconnaissance d'émotion sur les visages, reconnaissance d'activités sportives dans des vidéos). Cette approche est aussi utilisée dans d'autres orga- nismes de recherche tels que : . Institut de Recherches Interdisciplinaires et de Développements en Intelligence Artificielle (IRI- DIA), Université libre de Bruxelles . Heuristique et Diagnostic des Systèmes Complexes (HEUDIASYC), Université de Technologie de Compiègne, CNRS UMR 6599 . Office National d'Etudes et de Recherches Aérospatiales (ONERA) . Perception, Systèmes, Information (PSI), INSA Rouen, CNRS FRE 2645 . Laboratoire de recherche opérationnelle, de déci- sion, et de contrôle de processus (LARODEC) . Ecole Nationale Supérieure des Télécommuni- cations (ENST), CNRS UMR 5141 Elle est encore peu diffusée dans le milieu industriel malgré la représentation du doute et de la détection du conflit entre les sources peniiettant de remettre en cause la fiabilité des capteurs et la modélisation. Elle est cependant particulièrement bien appréciée dans les applications mili- taires où la problématique de perception est omniprésente. 4.1. Détection d'objets enfouis en milieu sous marin Ces travaux ont été réalisés dans le cadre de la thèse de Frédéric Maussang [18] en coopération avec le Groupe d'Etudes Sous-Marines de l'Atlantique (DGA/DET/ SCET/GESMA) à Brest. A partir d'images obtenues par un sonar à antenne synthétique, il s'agit de classer les pixels comme appartenant à un objet qui peut être enfoui au moins partiellement dans le sous sol marin. Les figures 1 et 2 représentent l'image originale et les objets à détecter. Il est difficile de traiter ce genre d'ima- ges car celles-ci sont entachées d'un fort bruit de speckle. Pour chaque pixel, nous avons calculé les statistiques d'ordres 1 (moyenne), 2 (écai-t-type), 3 (skewness) et 4 (kurtosis). L'étude physique des signaux du sonar indique que moyenne et écart-type sont liés et donc la moyenne n'est utilisé que pour déterminer un seuil sur l'écart-type. Ce sont ces statistiques d'ordre 2,3 et 4 qui correspondent aux données d'entrée du système de fusion (figure' 3). L'espace de discernement pour chaque pixel est Q = 1" NO " sigiiifie " non objet'. 10, NO t où 0 signifie " objet ", La proposition " 0 U NO " modélise le doute que le pixel soit un objet ou non. Pour chaque valeur x de la moyenne, 3 9 3 a a .. "<...,.f.:4:1."',<.'.. r7 j'(. " a9 10 1t 16 tS i- 2'24 26is 20 2' ,,, t, (, Figure J. Image sonar originale. ... 9 : 5 a C Ï 7 a 9 Io 11 1, 8 v9 10 ').' J": 11 14 16 is 20'2'4 26is 20 22 d,,t,,,,e,,,t, t,ii) Figure 2. Vistialisation des objets. Moyenne Imallec Sonar Eczrt-typc ;,i Skewmess FIJSION Kurtosis Figarre3 : Schénia de pi-incipe dit.j ; stètiie de fzésion. on définit une distribution de masse d'évidence minov à l'aide de trapèzes comme représenté sur la figure 4. Pour chaque valeur x de l'écart-type, on définit une distribution de masse d'évidence mécartà l'aide de trapè- zes comme représenté sur la figure 4. Lors de la mesure x de l'écart type, on obtient une distribution de masse d'évidence mécan [x] définie sur l'espace 20. Par exem- ple, pour la valeur de x représentée sur la figure 4, on obtient la distribution suivante : mecart [x] (0 » 0,70 mecart( (0,NO) - 0,') ü Les seuils définissant les distributions de masse sont défi- nis à partir des propriétés statistiques des images mises en REE N' 8 Septembre2006 La théorie des fonctions de croyance : une alternative aux probabilités pour la perception et la fusion de données ffimov Moi,irt [x] (01)lecartl* NO)ecart OUNO 0 \/\/ ,.--"'/ \ x i t NO x ccart - type Figui-e 4 : Définition des diytt-ibutions de niasse eii,fonctioii clé la valeur x de 1écart- (vpe associée au piicel m ske OUNO mske[x] ( {NO} m k-e [x] (1 0, NO 1) 1 NO L Skewness x Figure 5 : Dfinitioti des disti-ibiitions cle niasse nl,,k, [v] enfoliction de Ici valeur x du skewiiess assoc,ié au pi'yel. IG ·E _0 3Il il Il d't, .. t. ; - 5 0 1,, 0 1 b b 1 .. .. 1 1 0 0 1.. 0 Il.1 a) iiia,se in (10 » pour ojet e .. .." t 14 1 Il 21. : e1 -1 11, 1 1 b) niasse m (NO) poui- non objet c) masse in (0, NO,) poui- doute Figure 6 : Iiiiciges i-eprésentaizt les masses des trois propositions 7%1, ; - - n - 0/,,,, - - 1Noir ni-0,- Blanc.- m-1 évidence par les modèles statistiques et la segmentation automatique dont on utilise le seuil estimé. Pour les statistiques d'ordre 3 et 4, skewness et kurto- sis, les distributions de masse associées sont déterminées à partir de seuils sur les histogrammes cumulés. Elles ont une forme plus simple telle que quelque soit la valeur x de la variable, on n'affirme jamais qu'il s'agit d'un objet (mskeM( (o) -e 0). Pour un pixel, on calcule moyenne, écart-type, skew- ness et kurtosis. Après quelques traitements sur ces don- nées, on obtient trois distributions de masse qui sont com- binées comme présenté à l'équation 2. Nous obtenons trois images représentées figure 6 et donnant respectivement pour chaque pixel la masse de croyance de 0, la masse de NO et la masse de 0 U NO. Ces images modélisent toute la connaissance dont on dispose. Pour présenter cette infonnation à l'utilisateur, nous avons proposé plusieurs alternatives comme pondé- rer l'intensité du pixel p par la plausibilité de l'objet défi- nie par Pl[p] ( {O}) = m [p] (01) + m [p] (fO,NOI). Les pixels qui ne correspondent pas à un objets sont atténués (Figure 7). 4.2. Filtrage temporel de signaux Dans la cadre de l'indexation de vidéo, les travaux de thèse d'Emmanuel Ramasso au LIS portent sur la recon- naissance de comportements humains, et particulièrement sur la reconnaissance de sauts en athlétisme. On étudie le mouvement de caméra en posant comme hypothèse que le cameraman suit les mouvements de l'athlète. Nous avons développé un certain nombre de senseurs qui délivrent des signaux significatifs et évo- luant au cours du déroulement de la vidéo. Les vidéos sont imparfaites due au changement des conditions d'acquisition ou à la compression. De plus, l'environnement de l'athlète est complexe et variable. Ceci explique en partie que les signaux sont particulière- ment perturbés. Nous avons donc développé un filtre cré- dal [6] dont on donne ici le principe de base. Kte N 8 Septembre2006 Dossier DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? (le'e partie) + , , 4 .'(. if.T °,.'.,6 7 g "&=ia 10 11 i 25 . 16 18 20 22 24 2618 20 22 distanceensite(m) 1 --0 , 4 7 9 -25 14 16 18 20 22 24 26 6 'kosN 7 u..N vF:iJr?. *,' 20 10 11 25 14 16 18 20 22 24 2618 20 22 distanceensite(m) Figure 7.- Iiiages originale (gcttiche) et pondérée (droite) par la plausibilité : les objets enjbiiis sont distingués du reste. - -._------,-------, ! i 1./ "'1 t t' ,1 l'l'III 1i " \t "'l' OPr'', "' ., 04 i' : 1 l, 1. , " 1 l, "'. : .- : i : ;',i ", 1 ; 1 i'I II IL IJ. IJ.1 jj,r,'n L't. ;. .Ji L U__ 50 G : 5C 2CO Figi (re 8. Evolution de la ci-o'vance de l'action « saut » dans un saut it Ici perche A VANTfittrage. Léaende : bleu pour « vrai » I rouge poui-,Iàux, vert pour doute. 3p [ D 6 0 4 ''.'". !, " DJ - L- irci LCJ Figure 9. Evolution de la croyance de l'action Il saut) dans un saut à la perche APRESfiltrage. Légende.- bleu pour « vrai », rouge pour faux, vert pour doute. On dispose d'un paramètre numérique x dont la valeur évolue au fil de la vidéo. Ce paramètre informe sur la réa- lité d'une action réalisée par l'athlète comme l'action « saut » par exemple. L'espace de discernement est Q = {A, NAI où A signifie que l'action est en cours et NA que cette même action n'est pas en cours. On définit un modèle similaire à celui de la figure 4 qui permet à chaque instant tk de transformer la mesure x en une distribution de masse mk [x] sur l'espace 20. Cependant, cette conversion n'est pas suffisante pour informer sur la véracité de l'action car x est très perturbé et la croyance sur la réalité de l'action peut fortement évoluer d'un instant à l'autre (Fig. 8). Ceci n'est pas réa- liste compte tenu de la différence entre la cadence vidéo et la vitesse de changement du comportement humain. Nous avons donc défini un modèle d'évolution qui consiste à dire que si l'action était en cours à l'instant tb alors elle est encore vraie avec une certaine imprécision et incertitude à l'instant tk,+,. Ce modèle correspond dans les faits à un affaiblissement de la distribution de masse. On définit la distribution de masse m qui correspond à la prédiction de la masse à l'instant tk+ ! connaissant celle à l'instant t. m (M)/k (. {A}) - a m [x] ( {A}) m (k+u/k (INA) = P ml [x] (NAI) m ( {A, NA}) = mk [x] (JAI NAI) + (1-Ct) MK [XI ( {A}) + (1-P) mk ( (fNAjl) L'affaiblissement sur l'action A a une constante de temps a et celui sur la non action NA a une constante de temps P. Il est à noter que l'on définit des distributions de masse consonantes ce qui impose qu'au moins l'une des deux masses mk [x] ( {A}) et mk [x] ( {NA}) est nulle. Quand l'état réel évolue entre action A et non action NA (Fig. 8), le senseur transmet à l'instant tk+ ! une valeur x donnant une distribution de masse mk+ 1 en conflit avec REE N 8 Septembre 2006 La théorie des fonctions de croyance : une alternative aux probabilités pour la perception et la fusion de données 0.6 04 02 50 cil 20ci Figure 10. Evolution du coqflit entre modèle et mesure lors de l'action « saut » d'un saut à la perche. Reniarcluons qu'un conflit élevé apparaît lors des transitions. 3.5 '5 1 5 o5 50 lm 150 200 Figure. Il Evolution de l'accumulation du conflit avec atténuation (ex entre 100 et 150) lors de l'action « saut » dans un saut à la perche. Lorsque le seuil de changement d'état est dépassé, le modèle est modifré. ,fie. celle prédite par le modèle m () . On tait alors la somme cumulée de ce conflit à tous les instants k. Tant que celle-ci reste en dessous d'un certain seuil (Fig. 11), on considère que le conflit provient d'une mesure bruitée et seule la prédiction est prise en compte (Fig. 9). Quand la somme cumulée du conflit dépasse ce seuil (Fig. 11), on considère que l'état a changé et que la prédiction ne correspond plus à la réalité. Seules sont prises en compte les mesures qui permettent d'identifier le nouvel état. Cette technique permet de détecter et de prendre en compte les changements d'état d'un système de façon efficace. Ces travaux s'inscrivent dans le cadre du réseau d'excellence européen SIMILAR. 4. Conclusion La théorie des fonctions de croyance dont les grandes lignes ont été présentées dans cet article est une alternative intéressante aux probabilités pour la perception et la fusion de données. Elle s'applique particulièrement bien à la pre- mière phase du processus de perception c'est à dire à la synthèse des connaissances dont on dispose sur le système observé. Cette théorie, assez récente par rapport aux proba- bilités, manquait à ses débuts de fondements mathémati- ques. Cette faiblesse a maintenant disparue depuis les nom- breux travaux qui ont été réalisés cette dernière décennie. Comme pour les autres approches, probabiliste avec les distributions de probabilités ou possibiliste avec les distri- butions de possibilité, la difficulté majeure est de définir les distributions de masse initiales qui modélisent la connaissance en fonction des infonnations transmises par les senseurs. Cependant, des méthodes de modélisations statistiques ou expertes ont été proposées. La théorie des fonctions de croyance propose des outils particulièrement performants pour gérer les diffé- rents espaces de discernement ainsi que la connaissance sur la fiabilité des sources et la connaissance partielle hétérogène sur le système. Enfin, elle permet de détecter et de quantifier explicitement le conflit entre les sources d'information, ce conflit étant lui aussi une information souvent cruciale qui peut être exploitée. Références [1] 1.BLOCH, Fusion d'informations en traitement du signal et des images, Collection IC2, Hermes Sciences Publication, 2003, ISBN 2-7462-0628-6. [21 131 141 161 161 [71 PH. SMETS. Decision Making in theTBM : the Necessity of the Pignistic Transformation. Int. J. Approximate Reasoning, vol. 38, pagesl33-147, 2005. P VANNOORENBERGHE. Un état de l'art sur les fonctions de croyance appliquées au traitement de Revue 13, Volume 3, No 2, pages 9-45, 2003. 'information, PH. SMETS et R. KENNES. The transferable belief model. Artificiallntelligence, 66 :191-234, 1994. G. SHAFER. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton Univ Press. Princeton, NJ, 1976. E. RAMASSO, M. ROMBAUT, D. 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Ses travaux de recherche concernent l'analyse du mouvement humain à partir de vidéos notamment dans le cadre des fonctions de croyance. Frédéric Maussang a soutenu sa thèse de Doctorat en novembre 2005 Il est actuellement Attaché Temporaire d'Enseignement et de Recherche à l'INP Grenoble - ENSIEG et au Laboratoire des Images et des Signaux. II travaille sur le traitement d'images et la fusion de données appliqués à la détection et la classification d'ob- jets à partir d'images sonar du fond marin. REE NO 8 Septembre2006