La logique floue

29/08/2017
Publication REE REE 2006-7
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La logique floue

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DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES : DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? (l'le partie) La logique floue Didier DUBOIS, Henri PRADE Université Paul Sabatier Mots clés Ensembleflou, Raisonnement, Interpolation, Commandedessystèmes, Décision, Systèmed'informations La logique floue permet de représenter de façon souple des informations nuancées Elle a été utilisée dans de nombreux domaines en informatique et en automatique. 1. Introduction La logique floue a été imaginée dans les années 1960 par le professeur Lotfi Zadeh de l'université de Berkeley. C'est un automaticien de formation, l'un des pionniers de l'approche de la commande par espace d'états. En 1965, il publie dans la revue Information and Control un article intitulé « Fuzzy Sets » [12], dans lequel il rompt de façon durable avec les traditions de sa communauté d'origine, ce qui lui vaudra parfois des quolibets. Dans cet article et les suivants, Zadeh affirme que pour maîtriser certains systèmes complexes, il n'est pas toujours nécessaire d'en faire une représentation mathématique issue d'observa- tions objectives de son fonctionnement pour le comman- der. Si le système est trop complexe ou mal connu, une telle représentation mathématique sera très difficile à obtenir (y compris pour des raisons de coût) et si elle est trop élémentaire, elle sera difficile à exploiter sur des applications réelles. Parfois au contraire, dans certaines applications, la précision requise par les approches mathématiques traditionnelles est simplement inutile. Zadeh remarque que dans un certain nombre de cas, il y a de la connaissance humaine (de l'expertise) sur de tels systèmes, connaissance qu'il serait bon d'exploiter au même titre que d'autres sources de connaissances plus objectives. Par exemple, définir un algorithme automati- que pour garer une voiture près d'un trottoir, sur la base des équations de la physique semblait à l'époque une tâche insurmontable. Or d'une part un individu entraîné parviendra à la réaliser très facilement, et d'autre part, c'est un cas où une précision limitée suffit. Une certaine tolérance existe dans la spécification d'une consigne telle que près du trottoir L'apport de Zadeh au cours des années suivantes fut de définir un cadre conceptuel ainsi que des outils mathématiques et de calcul pour pouvoir appréhender un certain type de connaissance humaine (du type de celle que détient un moniteur d'auto-école) en vue de son application à la commande des systèmes, puis plus généralement aux sciences de l'information et de la décision. On voit que le programme de la logique floue esquissé plus haut recouvre en partie celui de l'Intelligence Artificielle, puisqu'il touche au problème de la représen- tation des connaissances et du raisonnement automatisé. Il s'en écarte néanmoins parce qu'il s'est focalisé, de par la classe d'applications originellement visées, sur les liens entre langage naturel et informations numériques, et plus précisément sur les aptitudes complémentaires des individus pour résumer l'information et pour mettre en oeuvre, sur la base de recommandations de nature symbo- lique en langage naturel, des processus mesurables numé- riquement. Cet accent mis sur l'interface numérique/sym- bolique est absent des préoccupations de l'Intelligence Artificielle, qui est souvent vue comme purement symbo- lique (dans l'approche logique) ou purement numérique (les réseaux de neurones). Les idées de Zadeh (voir [11] pour une anthologie de ESSENTIEL On présentebrièvementles enjeux,les principauxconceptset les applicationsde la logiquefloue. Paressence, la logiquefloue pro- pose des formalismes pour prendre en compte le caractère nuancé des informations verbales, et éviter les effets de seuil dans les systèmes de traitement d'information. Elle réconcilierai- sonnement humain et interpolation. Elle a été utilisée dans de nombreuxdomainesdes sciencesde l'information. SYNOPSIS The rationale,the main notions and the applicationsof fuzzy logic are briefly surveyed.Fuzzylogic essentiallyproposesformal tools that capture the graduai nature of verbal knowledge, and avoids thresholdingeffects in information processingmethods. It enables humanreasoningto be envisagedas a form of interpolation. Ithas beenappliedin manyareaspertainingto informationsciencesand engineering. REE N 8 Septembre2006 Dossi le ri DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? (1 u'e partie) ses articles) ont donné naissance à une immense littéra- ture qu'il serait vain de vouloir parcourir en détail ici (voir les 7 volumes du traité [6]). En France, les journées de la logique floue et ses applications se tiennent annuel- lement depuis le début des années 1990. Cet article tente modestement d'isoler la spécificité de la logique floue, en donne les définitions de base et en parcourt les champs d'application, en distinguant ceux où les résultats essentiels sont acquis de ceux où la recherche est encore très active. Pour des introductions plus détaillées, voir [2, 3, 9]. 2. Le flou : du booléen au graduel Les connaissances fournies par un expert s'expriment en langage naturel, donc symbolique. Si ces connaissan- ces renvoient à des grandeurs numériques exprimées sur un espace continu, on est face à une difficulté. En effet, c'est la logique classique qui est utilisée pour formaliser les connaissances symboliques. Dans ce cadre, toute pro- position est susceptible d'être vraie ou fausse (ce qui cor- respond à un événement pouvant se produire ou non). Cette représentation booléenne est une convention. Cette convention n'est pas toujours idéale surtout pour le type d'information symbolique qu'un agent peut énoncer relativement à des grandeurs numériques. Par exemple la proposition « Pierre est jeune » peut n'être ni complète- ment vraie, ni complètement fausse : elle est plus vraie si Pierre a vingt ans que s'il en a trente (dans ce dernier cas on ne peut pourtant pas dire que Pierre n'est pas jeune). De plus ou peut moduler le terme jeune avec des adver- bes d'intensité : on peut dire trèsjetine, plus trop,jetine, etc. Autrement dit la proposition « Pierre est jeune » n'est pas vraiment tout ou rien, et elle suggère un ordre impli- cite entre les valeurs d'attributs auxquels elle se réfère. Ce type d'information est pris en compte par la notion d'ensembleflou. Un ensemble flou, noté F. est une appli- cation d'un ensemble, noté S, (d'états, le plus souvent de nombres) dans un ensemble totalement ordonné, noté L, de degrés d'appartenance, qui est souvent l'intervalle [0, 1]. On note alors MF (s) le degré d'appartenance de l'élé- ment s à F. C'est une mesure de l'adéquation entre la situation x = s et la proposition x est F. Par exemple, si F est le prédicat Jeune, iujez (iie (20) sera plus élevé que 'Uie,,,, (30) (voir fig.1). Il est donc naturel d'utiliser des ensembles flous quand on a affaire à une information en langage naturel qui se réfère à un attribut numérique. Ces termes sont des prédicats dits graduels. On les repère par la possibilité de les modifier avec des adverbes d'in- tensité tels que très. L'échelle d'appartenance [0, 1] n'est que le reflet de l'échelle continue de l'attribut (ici : l'âge). Tous les prédicats ne sont pas graduels : il est clair, par exemple, que célibataire est booléen. La modélisation du caractère graduel des prédicats permet de résoudre certains paradoxes de la logique comme celui-ci : Li)r j 1 ) - - - - - - - - A -2 ( -ti 40 : \C' Figure 1. Une représentation platisible dît prédicat «jeune » dans un o individu jezrne v. si un tas de sable est petit, lui ajouter un grain de sable le laisse petit un tas de sable oit il n'y a qu'un grain est petit, donc tout tas de sable est petit Le paradoxe est dû au fait qu'on modélise de façon tout ou rien le prédicat petit. Il est résolu dès qu'on admet qu'à mesure qu'on rajoute des grains de sable, le degré de vérité de la proposition « le tas de sable est petit » dimi- nue progressivement. Zadeh a introduit la notion de variable linguistique à valeurs dans un ensemble fini ordonné de termes. Chacun de ces termes représente un sous-ensemble de l'échelle numérique associée à l'attribut et ces sous-ensembles cor- respondent à une partition de cette échelle. Par exemple, l'ensemble de termes Ueune, adulte, vieuxf forme le domaine de la variable linguistique âge (Pierre) et parti- tionne cet attribut. Néanmoins on conçoit que les transi- tions entre les zones d'âge correspondant aux termes soient graduelles plutôt que nettes. Dans le cas du prédi- cat jeune, il paraît quelque peu arbitraire de fixer sur une échelle continue un seuil précis s * tel que,uF (s) = 0 si s>s*et 1 sinon. Il est important de distinguer entre le degré d'adéqua- tion (souvent appelé degré de vérité) et des notions de degré de confiance, de vraisemblance, qui renvoient à l'idée d'incertitude. Déjà, dans le langage naturel les phrases Pierre est très jeune et Pierre est très probable- ment jeune n'ont clairement pas le même sens. Dans le premier cas, le degré d'appartenance de âge (Pierre) à F = Jeune est certainement élevé ; dans l'autre cas il n'est pas totalement exclu que Pierre soit vieux. Un degré d'ap- partenance est vu comme degré d'adéquation si on connaît la valeur âge (Pierre) = s que l'on veut qualifier linguistiquement. Le qualificatif Jeune convient au degré ,uF (s). Un élément s tel que PF (S) - 1 est un prototype de l'ensemble flou F. Le degré,uF (s) peut être vu comme le degré de similarité entre la valeur s et le plus proche des prototypes de F, soit so tel que yf (so) = 1 ; iF (s) varie donc en raison inverse de la distance entre ce prototype so et s. Le degré d'appartenance a souvent une interprétation de type métrique et repose alors sur l'existence d'une dis- tance dans S. REE No 8 Septembre2006 La théorie des ensembles flous considère donc toute fonction d'évaluation comme un ensemble. Par exemple, une fonction d'utilité peut être vue comme un ensemble flou de bonnes décisions. Le fait de voir une fonction d'évaluation comme un ensemble peut sembler un pur jeu de l'esprit sans conséquence utile. Pourtant, cela pousse à regarder les opérateurs d'agrégation comme des connec- teurs logiques. Ainsi la logique floue définit des exten- sions multi-valuées de la logique classique et de ses connecteurs (disjonction, conjonction, négation). Bien sûr, se posent des questions naturelles telles que le mesu- rage des fonctions d'appartenance, la commensurabilité entre fonctions d'appartenance relatives à des attributs différents, etc. Ce sont les mêmes questions que l'on retrouve pour l'évaluation multicritère. Quand la seule information dont on dispose sur la valeur d'une grandeur v est de la forme vE F où F est un ensemble flou (par exemple, on sait seulement que Pierre est trèsjeune) alors, comme dans le cas booléen, la fonc- tion d'appartenance est interprétée comme une distribu- tion de possibilité associée à v, ce que l'on écrit nv = (voir l'article sur la théorie des possibilités dans ce numéro). Dans ce cas, les ensembles flous sont un outil de modélisation de l'incertitude. Cette modélisation de l'incertain au travers de termes linguistiques graduels évalue donc la plausibilité en termes de distance à des situations idéalement plausibles, et non en termes de fré- quence d'occurrence par exemple. Dans cet article, on ne s'attardera pas sur la modélisation de l'incertitude, mais on s'attache à ce qui est l'essence de la logique floue : l'abandon du booléen pour le graduel. 3. Théorie des ensembles flous Disposant d'une représentation formelle de classes floues sous la forme de fonctions d'appartenance nuan- cées (que nous supposerons ici à valeurs sur l'intervalle unité) il est naturel de chercher à faire avec des ensembles flous ce qu'on fait avec des ensembles classiques. Zadeh a ainsi généralisé les opérations d'inclusion, d'égalité, de complémentation, d'union et d'intersection, la notion de cardinalité, aux ensembles flous. Avant de proposer de telles généralisations, il est commode de représenter l'ensemble flou F non plus par une fonction d'appartenance,uF, mais par une famille d'ensembles emboîtés, appelés coupes, qui sont autant de représentants classiques de l'ensemble flou obtenus en se fixant un seuil d'appartenance. Une coupe de niveau a est l'ensemble des éléments qui appartiennent à F au moins au niveau a, ce qu'on note F,,. Parmi les coupes de niveau, le noyau s'obtient en imposant un seuil maximal d'appartenance (a = 1). On capture ainsi tous les prototy- pes de F. En faisant tendre le seuil d'appartenance vers zéro on obtient le support de F contenant tous les élé- ments qui appartiennent tant soit peu à F. On peut étendre les opérations ensemblistes classi- ques en utilisant les coupes de niveau donné. On peut ainsi poser que la coupe de niveau a de l'intersection de deux ensembles flous est l'intersection des coupes de niveau a des deux ensembles flous. On justifie alors l'opération minimum entre fonctions d'appartenance pour l'intersection, et l'opération maximum pour l'union. Le complémentaire d'un ensemble flou F est l'ensemble flou Fc de fonction d'appartenance l-,UF. Cette opération exprime que plus un élément appartient à un ensemble flou, moins il appartient à son complément. L'inclusion d'ensembles flous peut être définie de plu- sieurs façons. L'une d'elle consiste à admettre que si F est inclus dans G, alors tout élément appartient au moins autant à G qu'à F. On peut avoir une définition beaucoup plus stricte de l'inclusion à savoir que tous les éléments appartenant un tant soit peu à F soient des prototypes de G. La première notion mène à définir l'égalité de deux ensem- bles flous par l'égalité de leur fonction d'appartenance. La théorie naïve des ensembles repose sur l'algèbre de Boole. On aimerait bien qu'il en soit ainsi pour les ensembles flous. Mais mathématiquement c'est impossi- ble : la gradualité de l'appartenance à valeurs sur une échelle totalement ordonnée est incompatible avec une structure d'algèbre de Boole. On doit donc abandonner certaines propriétés de la logique classique. Ce qui paraît le plus contestable avec des classes floues, ce sont les lois du tiers exclu (soit une proposition est vraie, soit elle est fausse) et celle de non-contradiction (une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse). Si on ne rejette que ces propriétés, on obtient la théorie des ensembles flous « max-min » évoquée ci-dessus. Le rejet d'autres proprié- tés conduit à d'autres définitions de l'union (une somme à la place du maximum, pour l'union, par exemple) ou de l'intersection (un produit à la place du minimum, pour l'intersection, par exemple). Un modèle consensuel parmi les chercheurs pour l'in- tersection ensembliste floue est la norme triangulaire, issue de la géométrie stochastique, et qui capture la struc- ture de semi-groupe sur l'intervalle unité. Plus générale- ment, les opérations ensemblistes floues reposent sur les connecteurs des logiques multivalentes (voir [2, 3, 9]) pour les détails. Un des intérêts des ensembles flous est d'aller au-delà de la logique classique non seulement en généralisant le « ET » (intersection) et le « OU » (union) mais en propo- sant de « nouveaux » connecteurs logiques. Par exemple on peut construire un nouvel ensemble flou à partir de F et G en faisant une moyenne arithmétique de leurs fonctions d'appartenance. Les opérations de moyenne sont bien connues en statistique et en théorie de la décision, mais jamais avant la théorie des ensembles flous on ne les avait communément considérées comme des connecteurs logi- REE N 8 Septembre2006 e ossier DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES : DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? (lu " partie) ques, à savoir un « ET » avec compensation. Par exemple lorsqu'on cherche l'ensemble des voitures « pas chères et très confortables » on conçoit qu'avec le ET classique ou le ET flou de type minimum, cet ensemble soit vide (car satisfaire avec un degré positif chaczrne de ces propriétés est sans doute impossible dans cet exemple). En pratique l'utilisation d'une moyenne est une traduction beaucoup plus naturelle de ce « ET » qui n'a jamais eu sa place en logique (car l'opération de moyenne sur 10, 11 x 10, 11 peut donner des résultats différents de 0 ou de 1). Il y a d'autres classes d'opérations ensemblistes floues sans contreparties classiques, telles les sommes symétriques, invariantes par les lois de de Morgan (F agrégé avec G donne le même résultat que le complément de l'agréga- tion de leurs complémentaires). Elles sont particulière- ment adaptées à l'agrégation des opinions pour le choix social (le vote où les bornes de l'échelle de quantification doivent jouer des rôles symétriques). On peut vouloir évaluer un ensemble flou par rapport à au moins deux critères : le nombre d'éléments qu'il contient, et à quel point il se distingue d'un ensemble clas- sique. La première évaluation scalaire peut être faite en additionnant les degrés d'appartenance de tous les élé- ments du référentiel (cas fini). Une autre forme d'évalua- tion plus complexe peut consister à calculer la cardinalité de chaque coupe de niveau, et d'attacher à chacune de ces évaluations le seuil d'appartenance correspondant, ce qui fait alors ressembler la cardinalité floue à une fonction de répartition probabiliste « décumulative », dont l'évaluation scalaire ci-dessus n'est que la valeur moyenne associée. Les indices de flou (il y en a de nombreux) évaluent à quel point un ensemble est flou. Ce qui fait qu'un ensem- ble est flou, c'est que pour certains éléments du référen- tiel, la décision de les affecter à cet ensemble plutôt qu'à son complémentaire (pour autant qu'on soit amené à faire ce choix) est difficile à prendre. Pour un élément donné le choix est d'autant plus difficile que son degré d'apparte- nance est proche de 1/2. En particulier le plus flou des ensembles serait celui dont tous les éléments ont un degré d'appartenance égal à 1/2. Il est facile de voir qu'il ne se distingue pas de son complément. Les indices de flous reviennent donc souvent à évaluer à quel point un ensem- ble et son complément se chevauchent (c'est-à-dire qu'ils ont une partie non vide commune). Un troisième indice très utilisé permet d'évaluer à quel point un ensemble flou est non vide : la hauteur de l'ensemble flou F est le degré d'appartenance à F le plus élevé. De façon duale, on peut se demander à quel point F coïncide avec le référentiel, en calculant le plus petit degré d'appartenance à F parmi les éléments du référen- tiel, ce qu'on peut appeler le « socle » de l'ensemble flou F. La cardinalité, la hauteur et le socle sont à la base du calcul d'autres indices qui servent à comparer des ensem- bles flous entre eux. Par exemple le chevauchement entre ensembles flous se mesure par la hauteur ou la cardinalité de leur intersection. L'inclusion de F dans G peut s'éva- luer en raison inverse du chevauchement de F et du com- plément de G ou par exemple par la cardinalité relative de l'intersection FnG par rapport à celle de F. On peut aussi évaluer à quel point il est vrai que tous les éléments du référentiel ont un degré d'appartenance à G au moins aussi élevé qu'à F. Les degrés d'égalité entre ensembles flous sont obtenus en agrégeant des indices d'inclusion mutuelle par une opération de conjonction (le minimum). On peut aussi évaluer à quel point l'intersection FnG égale l'union FUG, et généraliser ainsi l'indice de Jaccard en classification. 4. Du raisonnement logique à l'interpolation Le raisonnement en logique floue repose sur des variantes multi-valuées de l'implication. Il y a principale- ment deux familles d'implications floues basées respecti- vement sur l'extension de l'implication matérielle de la forme « non A ou B », et sur une définition de l'implica- tion reliée directement à la déduction proprement dite (parfois appelée méta-implication). En logique classique, A implique B veut dire que A est faux ou B est vrai, ce qui en termes ensemblistes correspond à AC U B où AC est le complément. On peut alors construire une implication floue avec une disjonction et une complémentation floues. A implique B veut aussi dire que de A on peut déduire B, c'est dire que B est toujours au moins aussi vrai que A, ce qui est en accord avec l'inclusion d'ensem- bles flous entendue comme une inégalité sur les degrés d'appartenance. La famille d'implications ainsi engen- drée conserve en logique multi-valuée le théorème de déduction de la logique classique (de p et q je déduis r si et seulement si de p je déduis que q implique r). Ces implications permettent de représenter des connaissances du type « Si X est A alors Z est C », encore appelées règles floues, où A et C sont des prédicats gra- duels. On peut ainsi formaliser des règles, dites graduel- les, du type « plus X est A, plus Z est C », et raisonner avec de telles règles. La représentation d'une règle gra- duelle correspond alors à l'expression d'une contrainte qui lie les interprétations préférées de la conclusion de la règle à celles de sa partie condition. Un exemple de rai- sonnement graduel est le suivant : plus une toiiiale est rouge plus elle est intire la tomate est très rouge donc la tomate est très mûre La règle sur le mûrissement des tomates est graduelle, et on serait bien en peine de l'exprimer dans un cadre pro- positionnel classique tout ou rien. De telles règles permet- tent d'exprimer des dépendances qualitatives de type « croissance » (plus... plus...), ou " décroissance " (plus REE NO 8 Septembre2006 ... moins...), et de réaliser des « règles de trois » linguis- tiques. L'utilisation d'un jeu de règles graduelles corres- pondant à plusieurs situations types permet de réaliser des inférences sur des situations qui s'écartent des cas types prévus par les règles. Comme en général plusieurs règles ont des conditions d'application plus ou moins compati- bles avec la description de la situation courante, il convient de combiner les conclusions de ces règles en prenant en compte les degrés respectifs avec lesquels les règles s'appliquent à la situation. Ceci est réalisé en inter- polant entre les conclusions types de plusieurs règles, sur la base des degrés d'adéquation entre la prémisse et la condition de ces règles. On obtient donc une formalisa- tion logique du raisonnement interpolatif. Chaque logique floue (il y en a autant que de familles de connecteurs logiques) possède, comme la logique clas- sique, une syntaxe et une sémantique (en termes d'ensem- bles flous), et leurs fondements mathématiques sont dés- ormais maîtrisés. 5. Applications On se contentera ici d'évoquer les applications de la logique floue qui reposent sur le passage du booléen au graduel, sans faire appel à la notion d'incertitude. 5.1. Les systèmes de commande floue En 1973, Zadeh proposa de représenter directement par des règles floues le savoir d'experts capables de pilo- ter des systèmes complexes, pour lesquels il peut être malaisé d'avoir un modèle mathématique simple et précis à partir duquel calculer une commande optimale. Ces règles floues ou si l'on préfère graduelles, expriment que plus on se trouve proche d'un type de situation don- née, plus la consigne à appliquer doit être proche de celle prévue dans cette situation (ce qu'on traduira par : plus les observations du système appartiennent à des ensem- bles flous donnés, plus le poids à accorder à l'action recommandée dans cette situation est grand). On peut donc appliquer le mécanisme d'interpolation décrit plus haut, entre les diverses recommandations fournies dans ces règles. Le principe de la commande de systèmes à l'aide de règles floues est relativement simple et ne met en jeu qu'un fragment de la théorie des ensembles flous. Un régulateur flou effectue le même travail qu'un régulateur classique puisqu'il définit implicitement une fonction numérique reliant la variable de commande aux variables observées. Mais l'approche par la logique floue, conforme en cela avec l'Intelligence Artificielle, construit la commande à partir de l'expertise de l'opérateur humain. Néanmoins, la logique floue s'écarte de l'appro- che « système expert » standard en offrant un mécanisme d'interpolation à partir de plusieurs règles. La transition graduelle d'une classe floue de situations à une autre per- met de préserver la continuité de la fonction simulée par l'organe de commande, comme en automatique classique. Si l'on parvient à trouver les « bonnes règles », on obtient donc un système de commande raisonnable, qui évite les à-coups. Dans le cas de processus complexes à modéliser, il peut s'avérer beaucoup plus simple de saisir les connais- sances d'un expert plutôt que de calculer une commande optimale. Pour plus de détails voir [71 volume 1. L'idée d'utiliser des règles floues en commande de sys- tèmes fut expérimentée avec succès dès 1974 à Londres par l'équipe du professeur E. H. Mamdani. Mais souvent dénigrée par les partisans des approches classiques, elle ne devait, sous l'impulsion du professeur M. Sugeno de Tokyo et de quelques autres collègues japonais, trouver de nombreuses applications industrielles que dans les deux décennies suivantes, d'abord au Japon, puis en Europe et en Amérique. Citons pêle-mêle, parmi les premières applications, la mise au point automatique des appareils photos en situation de contre-jour, la stabilisation d'ima- ges de caméscopes, le contrôle de balancement des char- ges soulevées par une grue, la conduite de machines à percer les tunnels, la ventilation de tunnels, la purification de l'eau, la sélection automatique de programmes de machine à laver, le contrôle du cycle de cuisson de fours à micro-ondes ou de la puissance de succion d'un aspira- teur, le contrôle de la vitesse et du régime du moteur de véhicules en virage ou en côte, le contrôle de la tempéra- ture et du débit de l'eau dans une installation de salle de bain, etc. Tous ces travaux concernent des applications très concrètes (de conduite, de régulation, de décision) à des processus continus, où l'idée d'interpolation entre des consignes types, est pertinente (voir [9]). Takagi et Sugeno ont simplifié les systèmes flous en considérant des règles dont la conclusion est précise, ce qui facilite l'interpolation. Ils ont généralisé ce modèle en autorisant des conclusions variables, par exemple des fonctions linéaires des entrées. Cela a ouvert la voie à l'identification de systèmes flous, qu'on peut voir comme des systèmes non linéaires multi-modèles : chaque domaine de fonctionnement possède un modèle linéaire propre et les règles floues réalisent une interpolation aux frontières entre les domaines, assurant une transition continue entre modèles locaux. Cette approche a permis à la commande floue de s'appuyer sur des modèles et donc de mener des études théoriques de stabilité, ce qui l'a ren- due plus conforme à la tradition. La commande des sys- tèmes flous inspirée de Takagi et Sugeno est maintenant un chapitre de la commande non linéaire. 5.2. Flou et réseau de neurones Les systèmes de règles floues permettant de synthéti- ser des fonctions de plusieurs variables, et constituant des REE IN 8 Septembre2006 . Dossier) DU TRAITEMENT NUMÉRIQUE À LA GESTION DES CONNAISSANCES DE NOUVELLES VOIES D'INVESTIGATION ? W'partie) approximations universelles, leur ressemblance avec les réseaux de neurones n'a pas manqué de frapper les cher- cheurs. Cela a donné naissance à l'approche neurofloue (voir [4], chapitre 5). Si les modèles mathématiques des neurones formels et des règles floues se ressemblent, les motivations des deux approches sont radicalement oppo- sées. Les réseaux de neurones sont vus comme des outils numériques d'apprentissage supposés imiter des comporte- ments ou reproduire des jeux de données. Les règles floues modélisent une expertise initialement symbolique et sont donc interprétables. La synergie entre les deux approches a pen-nis d'une part d'accélérer les performances des réseaux de neurones en exploitant la connaissance humaine a priori, et d'autre part d'aborder le problème de l'apprentissage des règles floues, en maintenant leur interprétabilité. L'utilisation de la logique floue pour l'apprentissage de connaissances nuancées interprétables a connu un grand essor dans les dix dernières années (voir [4], chapitre 4). 5.3. Similarité et classification La logique floue permet de faire le lien entre relation d'équivalence et distance en formalisant la notion de similarité. Une relation de similarité exprime à quel point des objets sont proches, et peut se voir comme le reflet en creux d'une distance. Elle engendre des classes de simi- larité qui sont floues. La classification automatique peut être vue comme la construction d'une relation d'équiva- lence (le partitionnement d'un ensemble de données en classes) à partir des distances entre les items considérés. Avec la logique floue, on permet de faire de la classifica- tion nuancée, avec des classes aux frontières graduelles qui préservent l'idée de distance. En effet, le partitionne- ment booléen de données numériques est parfois entaché d'arbitraire : des groupes de points homogènes et bien séparés n'existent pas toujours. L'utilisation de méthodes de groupement floues (voir [31 chapitre 5) permet de res- taurer une image plus fidèle des données analysées, image qui sera d'autant plus légitimement floue que les groupes de points à classer sont moins faciles à distin- guer. On peut signaler de nombreuses applications au trai- tement d'images (voir [4] chapitre 3), les niveaux de gris pouvant être facilement reliés à des degrés d'apparte- nance à telle ou telle réion. 5.4. La préférence nuancée et les relations d'ordre floues La notion de relation d'ordre est clairement d'utilité universelle, mais c'est encore un concept de type tout ou rien. Si deux nombres a et b sont tels que a < b, on ne sait pas dire si b est beaucoup plus grand ou seulement un peu plus grand que a. Si on veut exprimer de telles nuances on est amené à considérer des relations d'ordre floues ou encore valuées. Par exemple, la relation R ==beaucoup plus grand que va utiliser un seuil 0 tel que a est beau- cotip plus grand que b pourvu que a > b + e. Si b , 2 Vol Traité IC2, Série Systèmes Automatisés, Hermes, Paris, 2003. [8] J. FODOR AND M. ROUBENS, « Fuzzy Preference Modelling, Multicriteria Decision Support Kluwer Academic Publishers, 1994. [9] OFTA, Logique Floue, Série Arago, n'14, Masson, Paris, 1994. [10] E. SANCHEZ, RED. « Fuzzy Logic and the Semantic Web n, Elsevier, Amsterdam, 2006. [11] R.R.YAGER, S. OVCHINNIKOV, RM TONG, et H.T NGUYEN, eds. 1987 ( Fuzzy Sets and Applications u : Selected Papers by LA Zadeh. NevvYork : Wiley. 1121 ZADEH. LA 1965. Fuzzy sets. « Information and Conro/ 8 : 338-353. Les auteurs 1 Didier Dubois et Henri Prade sont directeurs de Rechercheau CNRS.Ils travaillent à institut de Rechercheen Informatique de Toulouse.Leurs thèmes de rechercheconcernent la modélisation de l'imprécis et de l'incertain dans diversdomainestels que le rai- sonnement automatisé, la fusion d'informations, l'argumentation, ladécisionet l'analysede risque. Ilssont conjointementauteursou rédacteurs,de plusieurs ouvragesspécialisésautour de la logique floue, de la formalisation de l'incertitudeet de ladécision,ainsique de nombreuxarticles scientifiques. REE No 8 Septembre2006