Initiation aux ondelettes

28/08/2017
Auteurs : Nicolas Morizet
Publication REE REE 2006-8
OAI : oai:www.see.asso.fr:1301:2006-8:19684
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Initiation aux ondelettes

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	    <date dateType="Updated">Mon 28 Aug 2017</date>
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invité > Initiation aux ondelettes < Initiation aux ondelettes Nicolas MORIZET ISEP Département Électronique tMtr TransforméedeFourrier, TransforméedeGabor Ondelettes, Analysetemps-fréquence Une approche pédagogique des ondelettes, de leurs origines aux applications actuel- les dans les domaines du traitement du signal et de l'image. 1. Introduction « Les choses devraient être rendues aussi simples que possible, mais pas plus simples. » (Albert Einstein). Cette remarquable citation du physicien allemand est intéres- sante pour deux raisons qui nous concernent ici. D'une part, elle reflète assez bien le concept fondamental de l'analyse en traitement du signal, selon lequel on cherche à décomposer des signaux complexes en éléments sim- ples. D'autre part, elle résume tout à fait le défi pédago- gique que doit relever cet article : Il s'agit de pouvoir relier la théorie des ondelettes à des exemples concrets et des analogies simples, sans pour autant négliger d'appro- fondir certains points qui montrent la richesse et le formi- dable potentiel des ondelettes. Les ondelettes ont permis à de nombreux spécialistes de sujets mathématiques et physiques qui s'ignoraient mutuellement, de se rencontrer, de parler un langage commun et de former une véritable « Communauté des ondelettes ». Malheureusement, aborder les ondelettes est avant tout une question de courage et de volonté car les premières lectures sont plutôt difficiles et abstraites. L'analyse de Fourier est incontournable dans le traite- ment des signaux continus. Néanmoins, elle possède une certaine faiblesse dans le traitement des signaux compre- nant des zones d'instationnarités. Le problème réside dans le fait que ces signaux transitoires sont largement représentés dans le monde physique qui nous entoure : dans le domaine biomédical (électro-encéphalogramme (EEG), électrocardiogramme (ECG)), en géophysique et séismologie (détection de séismes), analyse de turbulen- ces, etc. Les ondelettes, de part leur nature, sont devenues nécessaires pour analyser ces phénomènes non stationnai- res et constituent un outil formidable en traitement du signal et de l'image. Dans cet article, nous allons ensemble décrypter l'uni- vers fascinant des ondelettes. Nous ferons tout d'abord une présentation du contexte qui a donné naissance à la trans- formée en ondelettes, puis nous étudierons de plus près les ondelettes pour finalement se concentrer sur quelques applications actuelles en traitement du signal et de l'image. 2. Rappel de deux transformées classiques Nous commencerons par redonner les notions fonda- mentales de la transformée de Fourier pour ensuite étudier la transformée de Gabor. Tout au long de ces rappels, nous insisterons sur deux phases essentielles en traitement du signal : l'analyse et la synthèse. L'analyse consiste à déplo- yer un signal dans un espace transformé ; elle est, en géné- ral, facile tandis que la synthèse résulte plus souvent d'un « tour de force ». La synthèse consiste à reconstruire le signal d'origine à partir des coefficients obtenus lors de l'analyse. Par analogie, on peut penser à la synthèse de l'urée (Friedrich Wohler, 1828) qui a joué un rôle fonda- mental, car cela a permis d'établir un pont entre le monde de la chimie et celui du vivant. a. La transformée de Fourier : Un « prisme mathé- matique » On ne peut pas parler de l'analyse par ondelettes sans commencer par parler de l'analyse de Fourier dont elle découle. Nous devons l'analyse de Fourier au Mathématicien et Physicien Français Jean Baptiste SSENTIEL SYNOPSIS Il s'agit de comprendre les conceptsfondamentauxdes ondelet- tes et en quoi ellés diffèrentde l'analysede Fourier,à travers des exemples simples. On pourraégalement apprécier les nombreu- ses applications des ondelettes dans divers domaines du traite- ment du signal et de l'image. Ifs a questionof understandingthe basicsof waveletsand inwhat they differ from Fourieranalysis ;through simple examples. One will also be able to appreciatethé numerous applicationsof the wavelets inmanyfieids of signal treatmentand imagecomputing. REE N'9 Octobre2006 1 Joseph Fourier (1768-1830), considéré comme le fon- dateur de la physique mathématique. De 1802 à 1809, à Grenoble, il travaille sur la théorie de la propagation de la chaleur en modélisant l'évolution de la tempéra- ture avec des séries trigonométriques, et rédige son « Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides u. En 1822, il publie son article fonda- teur « Théorie analytigue de la chaleur » qui donnera naissance à l'analyse de Fourier. L'analyse de Fourier est un des acquis majeurs de la physique et des mathématiques. Elle est incontourna- ble en théorie et en traitement des signaux continus pour de nombreuses raisons. La première est certainement l'universalité du concept de fréquence sur lequel elle est fondée : une description fréquentielle fournit un complément indis- pensable à la seule information temporelle (fournie par la sortie de capteurs par exemple) généralement utilisée en premier lieu pour l'analyse de signaux. La seconde raison tient à la structure mathématique elle-même de l'analyse de Fourier qui se prête très naturellement à des transformations de filtrage linéaire, en les traduisant de manière particulièrement simple. Une troisième rai- son enfin, plus pratique, est que l'ensemble de ces avan- tages a conduit au développement de nombreux algo- rithmes et logiciels, conférant à celle-ci la notoriété d'usage qu'on lui reconnaît aujourd'hui. La transformée de Fourier (1) est une opération mathématique qui consiste à décomposer une fonction selon ses fréquences de même qu'un prisme décom- pose la lumière. Elle transforme une fonction origi- nale s (t) qui dépend du temps, en une nouvelle fonc- tion S (f) qui dépend de la fréquence. C'est une repré- sentation fréquentielle globale du signal. +00 S (f) e- " 7 " dt (i) Dans la transformée de Fourier, on décompose le signal à étudier s (t) selon une base d'exponentielles complexes, c'est-à-dire des ondes éternelles parfaite- ment délocalisées dans le temps. Une chose essen- tielle à retenir est que l'on peut, en sens inverse, reconstruire le signal s (t) à partir de sa transformée de Fourier S (f). On a en fait : +00 s (t) (2) Cependant, cette formule de reconstruction est instable, car les phases des nombres complexes S(f) jouent un rôle essentiel et demandent à être connues avec une très grande précision pour que la formule de reconstruction (2) puisse donner une information sur le temps. Pour illustrer ce phénomène, Barbara Burke Hubbard écrit [1] : « Théoriquement, laphase ne semblepas com- pliquée. En réalité, il est impossible de déterminer les phases avec assez de précision pour en extirper l'infor- mation sur le temps. La fréquence du la du diapason, par exemple, est 440 hertz. Peut-on savoir, à partir de la transformée de Fourier de l'enregistrement d'une sym- phonie, si le la estjotié 20 minutes après l'ouverture ? Pour cela, ilfatidrait connaître sa phase avec une incer- litiide inférieure à 1/ (20*60*440), c'est-à-dire //528 000. La phase reste identique durant toute la symphonie, mais les erreurs d'arrondi s'additionnent cycle après cycle. Pour savoir où l'on en est dans le cycle, on doit diviser ce nombre par au moins cinq, ce qui donne 1/2 640 000. Connaître la phase d'une seule fréquence éqttiiaiit à mesurer un kilomètre à moins d'un demi millimètre près ». La transformée de Fourier possède une très bonne résolution fréquentielle puisque la fonction analysante est une sinusoïde de fréquence précise, et quand on la multiplie par le signal, le coefficient obtenu ne se réfère qu'à cette fréquence. Cependant, elle ne permet pas d'analyser le contenu fréquentiel local, ni la régu- larité locale d'un signal. La question que l'on peut alors se poser est la suivante : « Est-il possible de ren- dre cette analyse locale ? ». b. Vers une analyse de Fourier locale : la trans- formée de Fourier à fenêtre En 1947, le Physicien Hongrois Denis Gabor (1900-1979) qui a reçu le Prix Nobel en 1971 pour l'invention de l'holographie, suggère de rendre locale l'Analyse de Fourier en s'aidant de fenêtres. Qu'est-ce qu'une fenêtre ? Une fenêtre (ou enve- loppe) est une fonction g (t), régulière, lentement variable, et bien localisée temporellement (c'est-à- dire qui s'annule en dehors d'une certaine zone, que l'on appelle son support). Sa représentation graphique est un morceau de courbe qui délimite une zone conte- nant des oscillations. En général, on la choisit symé- trique et réelle. Lorsque la fenêtre est gaussienne, on parle de transformée de Gabor. Une gaborette est l'association d'une fenêtre et d'oscillations internes. i ; (t) Il1 " 1 1-, 1+1 - \i\l'-'J .10 5 T-. Figitre I. Exeiiiple de detix gaborettes. REE NI 9 Octobre2006 > L'article invité > Initiation aux ondelettes < 1.2 IF1 1 M'- ; 2 E 04 02 0 - - - - -- - - - - - - - -0.2 -21 j 2 d 04 i â : 1 c - - 02 : 1 0 t1 o - - -. - - - -- _..L.- - ----- - - -.- --.- - -1 -20 -1 -10 0 10 15 20 -20 -il -10 0 6 10 15 20 Temps Temps Figure 2. Illtistration dit principe d 7ncertitude dheisenbei-g. La transformée de Fourier à fenêtre (3) (aussi connue sous le nom de transformée de Fourier à court terme) permet d'analyser un signal à la fois en temps et enfréquence. On parle alors de transformée Temps- fréquence [6]. L'idée consiste à décomposer un signal x (t) en fréquences, : de cette manière, on limite la plage de temps analysée. La taille de la fenêtre définit la taille de l'intervalle analysé. Elle ne change pas pendant l'analyse, mais on la remplit successivement d'oscillations de fréquences différentes (cf. fig. 1). +M W (to fO) x (t) g (t - t, » e -2izf,l (Il (3) De la même manière que pour la transformée de Fourier, il est possible de reconstruire le signal x (t) à l'aide des coefficients obtenus dans l'analyse. Ceci étant, la formule d'inversion (4) (synthèse) est immé- diate et s'écrit : x (t) = c f f g (t - t (,) e 2 iT/ (/ W (to @ j ()) dto df ( o-J o (4) où c > 0 est une constante numérique dont la valeur n'a pas d'importance ici. Tandis que la transformée de Fourier classique compare le signal entier à des sinusoïdes de durée infinie et de diverses fréquences, la transformée de Fourier à fenêtre compare un segment du signal à des morceaux de courbes oscillantes de différentes fré- quences. Quand on a analysé un segment (c'est-à-dire lorsque l'on a effectué une transformée de Fourier à l'intérieur de la fenêtre), on répète l'opération en fai- sant « glisser » la fenêtre le long du signal, pour en analyser un autre. Cependant, le fait de garder constante la taille de la fenêtre d'analyse implique un sérieux compromis. Avec une fenêtre étroite, on localise plutôt bien les composantes transitoires de hautes fréquences mais on devient alors aveugle aux composantes de longue durée, donc de basse fréquence, car la période du phé- nomène observé est trop grande pour rentrer dans une petite fenêtre. A l'inverse, quand une fenêtre est large, on ne peut préciser l'instant où se produit un change- ment brutal dans le signal (pic ou discontinuité) : cette information est noyée dans la totalité de l'infor- mation correspondant à l'intervalle de temps sélec- tionné par la fenêtre. Ce compromis peut être relié au principe d'Incer- titude d'Heisenberg concernant la dualité onde-corpus- cule. Dans son papier « Uncertainty paper » (1927), Heisenberg écrit qu'une particule élémentaire n'a pas simultanément une position et une quantité de mouve- ment précises. Cet énoncé, rapporté au domaine du traite- ment du signal, signifie qu'un signal n'a pas simultané- ment une localisation précise en temps et en fréquence. La figure 2 permet de mieux comprendre le prin- cipe d'Incertitude d'Heisenberg. À gauche, on consi- dère l'impulsion s (t) = 1 oerg. A gnucnt :, [-'2'+'21 a = qui est bien localisée en temps. On voit bien que sa transformée de Fourier S(f) = sine (af) est délocali- sée en fréquence. À droite, on « élargit » le signal (/) en prenant a = 6, de manière à construire un échelon, un peu moins bien localisé en temps. Cette fois-ci, la transformée de Fourier est quasiment centrée en 0, donc mieux localisée en fréquence ! L'analyse par gaborettes a pour objet de déployer le signal dans le plan temps-fréquence. Cela résout le problème de la dictée musicale (qui consiste à écrire la partition en entendant la musique), mais toutes les notes ont alors la même durée puisque la taille de la fenêtre d'analyse reste constante. Nous venons donc de comprendre que garder constante la taille de la fenêtre durant l'analyse d'un signal ne nous donnait pas la totalité des informations : il faut faire un choix entre la localisation des hautes REE N'9 Octobre2006 1 fréquences ou la localisation des basses fréquences. Il a donc fallu trouver un outil induisant une méthode de reconstruction qui soit indépendante de l'échelle d'analyse. Ce nouvel outil s'appelle les ondelettes. Les ondelettes a. La naissance des ondelettes Yves Meyer* a recensé au moins 15 origines distinc- tes de la théorie des ondelettes, quelques-unes remontant jusqu'en 1930. La communauté des physiciens de l'épo- que était intuitivement consciente de l'existence des ondelettes, depuis un article datant de 1971, de Kenneth Wilson, lauréat du prix Nobel, qui décrit la renormalisa- tion. En mathématique, on employait les ondelettes sous le nom de « décompositions atomiques » (sortes de bri- ques de construction), pour étudier des différents espaces fonctionnels. D'autres chercheurs ont développé des ondelettes - sous le nom de « fonctions autosimilaires de Gabor » - pour modéliser le système visuel humain. Cependant, on peut prendre comme point de départ l'année 1975 et les travaux de l'ingénieur géophysicien Français Jean Morlet, qui travaillait pour Elf Aquitaine et qui créa les ondelettes pour chercher du pétrole sous terre. En 1960, la méthode standard de détection du pétrole sous terre, consiste à envoyer des vibrations dans la terre et à analyser les échos. De cette manière, on tente de déterminer la profondeur des diverses couches de pétrole, leur épaisseur et leur constitution, les échos de hautes fréquences correspondant grossièrement aux cou- ches minces. Dans ses travaux, Jean Morlet est souvent confronté à de très nombreuses couches : tous les signaux de réflexion interfèrent entre eux et il lui est donc difficile de les séparer. Jusque là, il utilise l'analyse de Fourier et des ordinateurs de plus en plus puissants. Puis, il utilise des fenêtres de différentes tailles, avec pour objectif d'essayer d'avoir une définition locale plus fine, de manière à accéder à des informations sur des couches d'épaisseurs différentes, sans succès... Vers 1975, Morlet s'inspire de l'analyse de Fourier à fenêtre propo- sée par Gabor 30 ans plus tôt. Malheureusement, cette représentation demeure imprécise sur le temps aux hau- tes fréquences. C'est alors que Morlet a une idée géniale. Au lieu de garder fixe la taille de la fenêtre et de faire varier le nom- bre d'oscillations à l'intérieur de cette fenêtre, il fait l'in- verse : il garde constant le nombre d'oscillations et fait varier la taille de la fenêtre, l'étirant et la comprimant telle un accordéon (cf. fig. 4). Étirer la fenêtre a pour effet d'étirer les oscillations, donc de baisser leur « fré- quence », la comprimer a pour effet de comprimer les oscillations, donc d'augmenter leur « fréquence ». Les ondelettes étaient nées. b. Qu'est-ce qu'une ondelette ? SelonYves Meyer, « c'est le signal transitoire le plus sim- ple que l'on puisse imaginer ». Une ondelette est un objet mathématique relativement simple : il s'agit d'une fonction IP, localisée (par exemple, nulle hors d'un certain intervalle) et oscillante (cf fig. 3). On demande au moins que l'intégrale de If soit nulle, mais on souhaite souvent que 0 JttjJ (t) dt =... = Jrv- (t) dt, pour un certain entier N > 2. Figure 3. Ondelette de Morlet. Il faut savoir qu'il existe de nombreuses ondelet- tes. Certaines ont des formules mathématiques expli- cites alors que d'autres sont construites à partir de propriétés mathématiques plus complexes. Chaque ondelette possède des qualités bien spéci- fiques comme la symétrie, qui est utile pour éviter le déphasage, le nombre de moments nuls (c'est-à-dire le nombre d'oscillations) utile pour la compression, la régularité, utile pour obtenir des signaux reconstruits lisses et réguliers. Par défaut, lorsqu'on emploie le terme d'onde- lette, il faut entendre ondelette mère l'car elle va ser- vir de prototype de base pour générer toute une famille d'ondelettes'Ï ",,b (les ondelettes filles), aussi appelées atomes de base. Ce sont des copies dilatées, comprimées et translatées dans le temps de l'ondelette mère. D'où la formule suivante d'un atome de base : vf ",/, (t) = 1 v t - p 7cl= a t t nJ ,e R',be R (5) Yves Meyer est professeurémériteà l'École Normale Supérieurede Cachan,Membrede l'Académiedes Sciencesdepuis 1993.Spécialiste de l'analyseharmonique,il a découvertlesondelettesorthogonales. 1 REE N,9 Octobre2006 > L'article invité Initiation aux ondelettes < Donnons maintenant quelques explications con- cernant la formule (5) : nous voyons apparaître deux paramètres a et b. Le paramètre a > 0 est le paramètre d'échelle, c'est lui qui va agir sur la compression ou la dilatation de l'atome de base. Lorsque 0 < a < 1, l'atome de base est compressé et lorsque a > 1, l'atome de base est dilaté. Le paramètre b est le para- mètre de position, il permet de faire translater notre atome de base à gauche (<0) ou à droite (>0), le long du signal à analyser. Reste le facteur en Y1-1 qui permet de conserver la même énergie de l'atome de base à chaque échelle a. En fait, il convient de préci- ser que l'inverse d'une échelle est une fréquence (au niveau des ordres de grandeur). Ainsi plus l'ondelette fille est dilatée (a devient donc de plus en plus grand), plus son amplitude et sa « fréquence » diminuent. À l'inverse, plus l'ondelette fille est compressée (a devient donc de plus en plus petit), plus son amplitude et sa « fréquence » augmen- tent (cf. fig. 4). + Figure 4. Trois ondelettesfilles de Morlet.- dilatée (gauche), échelle de base (milieu) et comprimée (droite). Ceci illustre l'expression d' « accordéon » utilisée lors de l'introduction. c. La transformée en ondelettes : Un «microscope mathématique Il Une manière pratique d'introduire la transformée en ondelettes consiste à établir une analogie avec la musique. De la même manière que les notes de musi- que possèdent une certaine hauteur et une durée, les ondelettes oscillent à une certaine fréquence et pen- dant un temps limité. Prenons l'exemple d'un extrait d'une partition musicale représentant les premières notes de La Lettre à Élise de Ludwig Van Beethoven. /1 n ai " - 1 1... IL, 4 £3L -1 1 #r i mr- iE - 1 li C3 CU ri IeL aeammm Figure 5. Netifpi-emières notes de La Lettre à Élise de Ludwig Van Beethoven. L'expérience consiste à comparer la transformée de Fourier et la transformée en ondelettes de l'extrait musical, afin de mettre en avant quelques remarques préliminaires concernant l'apport de l'analyse par ondelettes. Sur la figure 6, les raies de la transformée de Fourier nous indiquent quelles sont les notes qui sont présentes dans l'extrait musical, en nous renseignant précisément sur leurs fréquences ; on ne sait cepen- dant pas l'ordre dans lequel les notes sont jouées. Ces raies verticales se retrouvent à droite dans le scalo- gramme, sous la forme de bandes horizontales (parce que les fréquences sont maintenant en ordonnées). En outre, ces fréquences sont localisées en temps (ce qui est un « plus »). Mais le prix à payer est la perte de localisation fréquentielle. Ce qu'on gagne d'un côté est perdu de l'autre (cf. fig. 7). Enfin, il est très intéressant de remarquer que le scalogramme qui résulte de la transformée en ondelet- tes tend vers la représentation idéale qu'est la partition musicale. D'une certaine manière, les ondelettes peu- vent être assimilées aux « notes mathématiques » d'un morceau de musique. l'O 100 90 80 70 1 E < 0 O 30 20 a 1 ---- 1- - : -- illi 200 40,3 6CO 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Frequencs (Hz ! S,gna n t'nie 1 : : I Sr Lr,l Li=12 Nt-12 i, scale magec Tireshûld=l% - - -- - -- --------------------- ------ ---------------- -------------------------- -------- --------- ------- ----------- ---------------- -------- - ------------ - -------- SoM--- ---------------- -------- ------------------------- ----------------- - ü2 -------------- - -------- ---------------- -- ---- -------- -------- 01 ------ ----------------- - --- ----- - ------ -------- ------- -------- ------------- -------------- ------ qo 100fl 1600 2000 2501) 30GO 300 4Oû3 4bDC T.. i, Iff.qi Figure 6. A gauche, la transformée de Foiirier. En haut à droite, l'onde sonore de l'extrait musical. En bas à droite, la transformée en ondelettes avec en abscisses, le temps, en ordonnées, lafréqttence. REE N'9 Octobre2006 1 ..,fréquence .fréquence échellel Temp-- lernp: : Figure 7. Comparaison des plans teiiips-féqiteiice (traiisforiiiée de Gabor), à gauche, et tenips-échelle (ti-ansfoi-tnée en ondelette,), à droite. Dans la t-ansfol-niée de Gaboi-, la i-ésoltitionfréqiientielle ne diniinzie pas lorsque lafréqtience varie. Dans la transforinée en ondelettes, on peut voir que l'on possède une bonne résoltitionfréqitentielle aux basses fréquences (au détri ; llent d'tille perte de localisation en teiiip,) et que, à l'inverse, on possède une boiïne résolution teiiipoi-elle aux hatites fréquences (au détriiiient d'une perte de localisation eiiji-éqitence). Ce pavage du plan teiiips-j ; -éqitence perniet d'identifier ce que l'on appelle les boîtes d'Heisenberg. La transformée (continue) en ondelettes (6) est une opération mathématique qui consiste à transfor- mer une fonction originale f (t) qui dépend du temps, en une nouvelle fonction C f (a,b) qui dépend à la fois de l'échelle et du temps. C (a, b) -- ff (t) dt (6) R Dans la transformée en ondelettes, on décompose le signal à étudier f (t) selon une base de fonctions d'ondelettes localisées dans le temps. On obtient alors des coefficients numériques Cf (a, b) : les coefficients d'ondelettes. Le calcul de ces coefficients est analo- gue à celui que l'on effectue lors d'une transformée de Fourier : on multiplie le signal par la fonction analy- sante puis on calcule l'intégrale du produit. On notera que l'on prend le conjugué de l'onde- lette afin de pouvoir opérer une reconstruction exacte lors de la transformée inverse (7). Cette synthèse s'ef- fectue par la formule suivante : Tw T`' f (t) -e f f c.f (a, b) qf,,@b (t) db da (7) < ? Où c > 0 est une constante qui ne dépend que de 111. Un coefficient d'ondelette a une amplitude d'au- tant plus grande que l'ondelette « ressemble » au signal sur la portion analysée. Tous ces coefficients sont représentés dans ce que l'on appelle un scalo- gramme (équivalent du spectrogramme pour Fourier), avec le temps en abscisses et la fréquence (ou l'échelle) en ordonnées (cf. scalogramme d'un chirp linéaire, en bas à droite de la fig. 8). Contrairement à la transformée de Fourier, la transformée en ondelettes est une analyse locale de résolution temporelle variable des signaux. Il faut comprendre par là qu'elle permet de décrire le com- portement local des signaux à différentes échelles de temps. On parle alors d'analyse multirésolution. Les ondelettes s'adaptent aux différentes compo- santes du signal. Lorsque la fenêtre est étroite, on peut observer les hautes fréquences et lorsque la fenêtre est plus large, on observe les basses fréquences. Cette apti- tude à pouvoir « zoomer » sur les zones d'instationna- rités d'un signal confère à la transformée en ondelettes l'expression de « microscope mathématique ». À titre d'exemple, revenons à la figure 8 et à ce que l'on a appelé un chirp linéaire. Il s'agit d'un signal dont la fréquence augmente linéairement avec le temps. Voici ce que l'on obtient en comparant la densité spectrale d'énergie (DES), qui est le carré du module de la transformée de Fourier, et le scalo- gramme de Morlet d'un chirp linéaire dont la fré- quence nornzalisée (au sens de Shannon) varie linéai- rement de 0. 1 Hz à 0.4Hz. Néanmoins, les ondelettes de Morlet ne consti- tuent que l'un des outils à l'intérieur d'une immense boîte à outils dont fait partie l'analyse de Fourier. En fait, la détection optimale d'un chirp linéaire se fait à * La transformée de Wigner-Ville fournit une décomposition temps-fréquence sans aucune restriction sur les résolutions temporelles et fréquentielles. Elle est définie par : s Initiation aux ondelettes < i .- 1-- . 1 1 z i? " CEi- Figure 8. En haut, le chirp linéaire étudié. À gazrche, la DSE. À droite le scalogramme. Le c-ai-icièi-e.fréquentiel Iiiiéaire du chirp îi'est bien visible qii',ivec la li-aiisfoi-iiiée en oiidelettes. (L'amplilude des coefficients va du plus faible cauleur claire -, au plus fort - coiileiii-@foncée -). l'aide de ce qu'on appelle l'analyse de Wigner- Ville * (datant des années 40 !). Ceci montre que l'outil doit être adapté à la classe des signaux que l'on souhaite analyser. Une belle réponse est donnée par Bruno Torrésani dans son travail sur les signaux audio. Il uti- lise deux bases différentes : les bases trigonométri- ques locales (pour les parties stationnaires par mor- ceaux, les voyelles par exemple) et les ondelettes (pour représenter les consonnes plosives). En traite- ment de l'image, on peut grossièrement distinguer les objets (délimités par les bords) ayant une structure géométrique simple et les textures (par exemple, un champ de blé est une texture différente d'un champ de seigle). Bien entendu, les ondelettes de Morlet sont incapables d'analyser les textures (de distinguer le seigle du blé). Finalement, en ce qui concerne les ima- ges, les ondelettes conviennent aux objets ayant des structures géométriques, mais pas aux textures. 4. Applications des ondelettes a. Les ondelettes : un outil polyvalent Les ondelettes sont employées dans un grand nom- bre de domaines. On peut citer, entre autres, la géophy- sique, l'astrophysique, les signaux sonores en méde- cine, l'imagerie dans tous ses aspects et l'imagerie médicale en particulier, l'imagerie satellitaire, le codage de signaux vidéo, la modélisation du trafic dans les réseaux de communication comme Intemet, l'ana- lyse de la turbulence atmosphérique ou celle de souffle- ries, et la liste est encore longue. La variété des secteurs concernés et le nombre de problèmes traités sont sur- prenants. La question que l'on peut tout de suite se poser est la suivante : « Comment se fait-il qu'un même outil fonctionne pour tant d'applications ? ». Puisque qu'il est impossible de trouver une unique réponse qui soit réellement satisfaisante, nous allons donner quel- ques raisons qui paraissent plausibles : . Tout d'abord, la méthode des ondelettes est nou- velle en traitement du signal. Elle apporte des innovations techniques et permet la construction d'un nouveau dictionnaire de formes, reliant des caractéristiques du signal à celles des transfor- mées en ondelettes, permettant d'interpréter des propriétés des signaux à partir des structures des coefficients. On sait par exemple, que les coeffi- cients nuls dans une décomposition discrète indi- quent que le signal est lisse et que rien ne change. . Ensuite, la technique des ondelettes constitue en outre un outil d'analyse locale, en quoi elle dif fère fortement d'une analyse de Fourier. L'ondelette sait porter son regard localement en inspectant les voisinages d'un point. Les infor- mations codées dans les coefficients sont alors entièrement déterminées par les valeurs du signal situées dans le champ de l'ondelette. Ce travail local est complété par un travail de synthèse qui réalise la comparaison des résultats obtenus en différents points. On globalise en quelque sorte les analyses locales. . De plus, les ondelettes analysent le signal échelle par échelle. Elles servent de véritable « micros- cope mathématique » en regardant le signal à dif- férentes résolutions. Chaque point est ausculté, très REE NI 9 Octobre2006 1 , >' Figure 9. Débruitage pai- ondelettes d'lin signal de consoiiniation électi-iqite. À gatiche.- avant, à di-oite.- api-ès. finement à petit échelle dans une petite zone et plus grossièrement à grande échelle. Enfin, les ondelettes permettent de caractériser certains espaces de signaux un peu ignorés jus- que là parce que difficiles à manipuler. Ces espa- ces contiennent des fonctions qui peuvent pré- senter des parties moins régulières que les fonc- tions dérivables, séparées par des discontinuités. Ces signaux sont difficiles à aborder par les autres outils actuellement disponibles. b. Panorama de quelques applications des onde- lettes La capacité des ondelettes à faire ressortir les variations d'un signal peut être exploitée de diverses manières. En géophysique, les chercheurs de l'Institut de Physique du Globe, à Paris, utilisent les ondelettes pour étudier le minuscule effet sur la vitesse de rotation de la Terre du courant El Nino, qui longe le Pérou. En mécaniqafe, on tente d'exploiter les ondelettes pour repérer les défauts dans les engrenages, en analysant les vibrations. La conclusion de toutes les études est que l'analyse de Wigner-Ville est optimale pour résoudre ce type de problèmes. En imagerie médicale, on exploite le fait que la pré- sence d'erreurs dans une transfon-née en ondelettes n'al- tère pas toute la transformée. Quand on utilise l'analyse de Fourier en imagerie par résonance magnétique (lRM), le moindre mouvement de la partie étudiée du corps transforme l'image. Le mathématicien Dennis Healy Jr. et le radiologue John Weaver à Dartmouth College (New Hampshire), ont montré qu'avec les ondelettes, ces erreurs sont très réduites. En astronomie, les ondelettes servent à étudier la dis- tribution de la matière à grande échelle dans l'Univers. Selon l'astrophysicien français Albert Bijaoui, une meil- leure connaissance de cette structure est nécessaire aux théoriciens qui veulent tester les divers scénarios de l'évolution de l'Univers ; une première tâche consiste à faire l'inventaire des galaxies de l'Univers. Puisque les ondelettes identifient les structures aux différentes échel- les, elles sont capables de distinguer une étoile d'une galaxie, ce qui n'est pas toujours évident. En biométrie, on utilise les ondelettes dans un algo- rithme de reconnaissance du visage appelé Elastie Bunch Graph Matching [13], en convoluant certains points caractéristiques du visage (milieu des yeux, du nez, de la bouche, etc.) avec de nombreuses ondelettes paramétrées (Wiskott & al.) afin d'extraire différents coefficients qui pourront ensuite être utilisés pour véri- fier la ressemblance entre deux visages. En séismologie, on tente de détecter les séismes en identifiant de façon automatique, différentes compo- santes usuellement appelées P et S d'un signal de séisme, court et instationnaire, en se servant des onde- lettes comme outil de reconnaissance de forme. Dans le domaine des sciences biomédicales, les ondelettes entrent dans un processus visant à découvrir un dysfonctionnement, à comparer du normal à de l'anormal et à améliorer les infon-nations recueillies pour assurer un travail plus clair. Le secteur biomédical se caractérise par la présence d'une grande variabilité dans les signaux disponibles. Les enregistrements sont souvent complexes : mélanges de signaux localisés comme des spikes (pics) en EEG (électro-encéphalo- gramme) et de signaux diffus comme le bruit de fond cardiaque ou l'écoulement sanguin. Le signal cardiaque se décompose en séquences dont la plus importante est appelée le complexe QRS. Le repérage de forme par ondelettes permet la discrimination de patterns nor- maux et anormaux. Les ondelettes testées sur une base de données usuelle s'avèrent avoir un taux de détection excellent [14]. Alors que les autres méthodes ne pou- vaient les repérer, les ondelettes détectent bien de petits signaux de fréquence assez grande apparaissant dans les maladies coronariennes, des infarctus ou des aryth- mies ventriculaires. Concernant les nanotechnologies, et plus particuliè- rement dans le domaine de l'analyse d'hétérostructures en couches minces par réflectométrie et diffraction des rayons X pour l'optoélectronique, il a été montré [111 que les ondelettes permettaient d'effectuer une analyse non destructive de ces matériaux, donnant non seule- REE No 9 Octobre2006 > L'article invité Initiation aux ondelettes < ment l'épaisseur des couches nanométriques mais aussi, dans certains cas, l'ordre d'empilement des cou- ches. L'utilisation de la transformée de Fourier ne per- mettait pas d'extraire les informations d'un profil à grande dynamique avec de très nombreuses zones d'instationnarités et encore moins de donner l'ordre des couches. Passons maintenant au débruitage. Les ondelettes fournissent des moyens simples et efficaces d'estimer de façon non linéaire des signaux, en présence de bruit. La procédure est simple : on transforme le signal en ondelettes ; on élimine, à toutes les résolu- tions, les coefficients supérieurs à une valeur seuil et on reconstruit le signal avec les coefficients qui res- tent grâce à une transformée inverse en ondelettes. La chose qui est surprenante est que cette méthode exige bien peu de connaissances sur le signal. Traditionnel- lement, il faut connaître assez précisément le signal pour pouvoir l'extirper du bruit. En particulier, avec les méthodes traditionnelles, on était censé deviner le type de régularité du signal. Avec les ondelettes, ceci n'est plus nécessaire : cette performance vient du fait que la transformation en ondelettes orthogonales* comprime l'énergie du signal en un nombre assez res- treint de gros coefficients, comme si elle rangeait le signal dans quelques compartiments. Elle ne peut tou- tefois pas ranger le bruit blanc qui est trop « désor- donné ». L'énergie du bruit blanc est donc dispersée sur toute la transformée et donne des coefficients petits qu'on élimine. Précisons enfin que le débruitage par ondelettes est très performant pour des signaux constitués à la fois de parties lisses et de zones présen- tant des irrégularités et des variations brusques (cf. fig. 9). Les méthodes classiques sont incapables d'une telle adaptation en temps. Terminons avec la compression. L'algorithme de base est très semblable à celui du débruitage. Partant du signal à comprimer, on le décompose d'abord sur une base orthogonale d'ondelettes au moyen de la transformée discrète. Ensuite, on sélectionne une par- tie des coefficients par seuillage dur, en conservant intact les coefficients d'approximation de niveau convenablement choisi. Enfin, à partir des coefficients seuillés, on reconstruit le signal original en leur appli- quant la transformée discrète inverse. Le signal ainsi obtenu est le signal comprimé. Le standard de com- pression d'image bien connu qu'est le JPEG est basé sur une transformée de Fourier discrète. Le JPEG analyse l'image par bloc de 8 x 8 pixels ce qui conduit aux fameux effets de mosaïques que nous avons tous vu au moins une fois, et qui altère considérablement la qualité de l'image compressée. Ce défaut est d'autant plus visible que le taux de com- pression est élevé. Le nouveau standard à venir en compression d'image est le JPEG 2000 [15] (Yves Meyer) et qui est basé sur la transformée en ondelettes. Cette fois-ci, l'image est analysée de manière globale et la qualité reste très bonne même à un taux de compression élevé. A titre d'exemple, si l'on considère une image originale de 512 x 512 pixels et d'une taille de 786 Ko, il est très difficile de voir la différence avec la même image compressée par ondelettes d'un ratio de 75 :1 et dont la taille atteint seulement 10.6 Ko. Grâce au JPEG 2000, il est non seulement possible de prévoir la taille du fichier compressé mais aussi de permettre un affichage progressif de l'image. On commence par les détails grossiers de l'image puis les hautes fréquences sont progressivement ajoutées, ce qui a pour effet d'ajouter les détails de plus en plus fin, jusqu'à l'image finale. 5. Conclusion et perspectives En moins de 20 ans, les ondelettes se sont imposées comme une théorie mathématique féconde et un formida- ble outil de traitement du signal et de l'image. La théorie des ondelettes vient compléter de manière très efficace, l'analyse de Fourier utilisée depuis deux siècles. Les ondelettes constituent un outil polyvalent qui trouve des applications dans des domaines aussi riches que variés comme la géophysique, l'astrophysique, la biométrie, les sciences biomédicales, les nanotechnologies, etc. Elles ont également ouvert des champs d'investigation nou- veaux et ont pu résoudre des problèmes qui ne trouvaient pas de solutions dans les méthodes actuelles. Les ondelet- tes sont très perfonnantes pour trois problèmes généraux en traitement du signal : l'analyse, le débruitage et la com- pression, en particulier la compression d'images dont le JPEG 2000 sera très bientôt le nouveau standard, rempla- çant définitivement l'actuel JPEG. Cependant, aucun outil n'étant infaillible, on parle déjà d'améliorations et de variantes des ondelettes sous les termes de « ridgelets » (D. Donoho), « contourlets » (Do et Vetterli) ou encore « bandelets » (Stéphane Mallat et sa start-up Let It Wave). Ces dernières épousent, le plus longtemps possi- ble, le tracé des bords des images et permettent de stocker une photo d'identité dans seulement 500 octets, et ce avec , Si l'on doit calculer,entempsréel,la transforméedeFourierd'un signalde longueurN oud'une imagecomposéede5 megapixels,ondoit utiliser unalgorithmerapide.Sinon,le calculdela transforméedeFourierdel'image demanderait25 000 milliardsd'opérations! L'algorithmerapidemais exact(découvertparCooleyetTuckeyen 1965)s'appellela FFT(FastFourierTransform). Encequi concernela transforméeenondelettes,l'algorithmerapides'appellela FWT (FastWaveletTransform)et reposesur l'existencedebases orthonorméesd'ondelettes. REE N,9 Octobre2006 1 une qualité nettement supérieure à celle obtenue avec une compression classique par ondelettes. Remerciements L'auteur tient à remercier sincèrement deux person- nes. Tout d'abord, M. Jacques Girard pour ses critiques constructives, sa disponibilité et son suivi constant. Puis, M. Yves Meyer, qui a su faire preuve d'une écoute et d'une gentillesse rares, et dont les remarques et les conseils précieux ont très largement contribué à l'élabo- ration de cet article. Références [11 B B. HUBBARD, « Ondes et ondelettes La saga d'un outil mathématique », Belin, 1995. [21 M. MISITI, Y MISITI, G. OPPENHEIM, J-M. POGGI, « Les ondelettes et leurs applications , Lavoisier, 2003, [3] S. MALLAT, « Une exploration des signaux en ondelettes ", Éditions de l'École Polytechnique, 2000. [4j B. TORRÉSANI, Y MEYER, « Analyse continue par ondelet- tes ", CNRS Éditions - EDP Sciences, 2000. [5] J-P KAHANE, P G. LEMARE-REUSSET « Séries de Fourier et ondelettes u, Cassini - Nouvelle Bibliothèque Mathématique ; 3, 1998 [6] P FLANDRIN, « Temps-fréquence) , 21-1 édition - Hermès, 1998. [7] P ABRY, P FLANDRIN, ( (Ondelettes et Turbulences ». Diderot Éditeur, Arts & Sciences, 1997, [81 A. GROSSMANN et B. TORRÉSANI, http/lwww.cmiuniv- mrs.fr/-torresan/universalis/ondel.html, 2001. [91 B. PESOUETPOPESCU, J-C. PESQUET. « Ondelettes et applications ii. Techniques de l'Ingénieur, traité Téiécom, 2001, [10] N. MORIZET, « Les Ondelettes'Ongines, PnnClpes et Applica- tions », Conférence ISEP/SEE, 26 mai 2005. [111 O DURAND, N. MORIZET, r FourierlnversionandWavelet- Transform Methods Applied to X-ray Reflectometry and HRXRD Profiles from Complex Thin-Layered Hetero- Structures . Applied Surface Science, 2006. [12] Le site de la communauté anglophone des ondelettes http//wwwwavelet.org [131 L. WISKOTT, J-M FELLOUS, N. KRIJGER et C. VON DER MALSBURG, Il Face Recognition by Elastic Bunch Graph Matching)), IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 19 (7775-779, 1997 [141 H. DINH, D. KUMAR, N. PAH et P BURTON, « Wavelets for ORS Detection , Proceedings of the 23rd Annual IEEE/EMBS International Conference, Istanbul, Turkey, 2001. [15] Site de !'EPFL sur ! e JPEG 2000 http//savvvvvv.epf.ch/SIC/SA/ publ ications/FiOl/fi-3-1/3-1 -pagel. html Nicolas Morizet est diplômé de l'Institut Supérieur d'Électronique de Paris ( ! SEP)et prépare actuellement un doctorat de l'École Nationale Supéneure des Télécommunications de Paris (ENST), en biométrie. Il est membre du Club 21 de la SEE, IEEE Student Member et est également moniteur d'enseignement des travaux pratiques de traitement du signal à l'ISEP En 2004, il intègre le Laboratoire dAnalyses Physiques Avancées ILAPA) de Thales R&T, afin d'étudier l'utilisation de la transformée en ondelettes pour l'analyse de profils de réflectométrie et de diffraction des rayons x. En 2005, Il donne une conférence en partenariat avec la SEE et l'ISEP intitu de, Ondelettes : Origines, Principes et Applications » En 2006, ses activités de recherche portent sur l'identification mul- timodale par fusion de signatures biométriques du visage et de l'Iris, Il consacre enfin une part importante de ses travaux à l'étude des ondelettes et en particulier leur utilisation en reconnaissance du visage. 1 REE N,9 Octobre 2006