Conception et modélisation d'un dispositif de contrôle de déplacement utilisant un matériau à magnétostriction géante

27/08/2017
Publication REE REE 2006-9
OAI : oai:www.see.asso.fr:1301:2006-9:19668
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Conception et modélisation d'un dispositif de contrôle de déplacement utilisant un matériau à magnétostriction géante

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	    <date dateType="Created">Sun 27 Aug 2017</date>
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m -Dossîer) CAPTEURSET ACTIONNEURS POURAPPLICATIONS AUTOMOBILES Conception et modélisation d'un dispositif de contrôle de déplacement utilisant un matériau à magnétostriction géante Mots clés Magnétostriction, Modélisation parélémentsfinis, Dispositifdecontrôle dedéplacement Nicolas GALOPIN, Karim AZOUM, Mondher BESBES, Frédéric BOUILLAULT,Laurent DANIEL Laboratoire de Génie Electrique de Paris, Supelec Lutilisation de matériaux à magnétostriction géante permet le développement de dis- positifs de contrôle innovants. La conception optimale de ce type de dispositifs sup- pose l'emploi de modèles adaptés. 1. Introduction Les matériaux magnétostrictifs sont employés avec succèsdans une large variété d'applications électroméca- niques. La propriété principale de ces matériaux réside dans le fort couplage entre les comportements magnéti- que et mécanique. Un des matériaux fréquemment utilisé dans diverses applications telles que les moteurs linéai- res, les sonarsou les capteursde couple est le Terfenol-D. Les forces élevées, le déplacement et la capacité de conversion d'énergie qu'il peut fournir, en font un très bon candidat pour certaines applications à basede maté- riaux électro-actifs. Le phénomène de magnétostriction est non-linéaire, mais un modèle linéaire est souvent employé dans les applications d'ingénierie. Ce type de modèle piézo- magnétique [1] est utilisé quand la contrainte et le champ magnétique varient avec une faible amplitude autour d'un point de fonctionnement, correspondant à une polarisa- tion magnétique et mécanique.Par conséquent,cesmodè- les deviennent inadaptésquand le phénomènede magné- tostriction est utilisé dans une large gamme de champ magnétique et de contrainte mécanique. Ces limitations conduisent à chercherun modèle non-linéaire décrivant le phénomène de magnétostriction, tel que le modèle basé sur la densité de basculement des domaines [2]. Dans cet objectif, cepapier présenteun modèle décrivant l'interac- tion mutuelle entre les propriétés magnétique et mécani- que. Après présentation de ce modèle et de son implé- mentation dans un code de calcul par éléments finis, un dispositif développé initialement par Cedrat Technologies pour l'activation d'une pompe hydraulique [3] est étudié. Des résultatsnumériques dansdescas2D et 3D sont alors discutés. 2. Description du dispositif Le dispositif étudié par la suite (figure l.a) a été déve- loppé pour l'activation de pompe hydraulique. Il est éga- ESSENTIEL Lesmatériauxà magnétostrictiongéante,tels quele Terfenol-D, possèdentdespropriétésmagnétiqueset mécaniquesfortement couplées.Ainsi, un changementdu chargementmagnétique entraîneune modificationdu comportementmécanique(effet direct),tandis qu'unemodificationdu chargementmécanique induira un changementdu comportementmagnétique(effet inverse).La conceptionde dispositifsutilisantces matériaux passeparlamiseaupointdemodèlesreprésentantlecomporte- mentnon-linéairedecesmatériaux,et leurintroductiondansdes codesdecalcul. SYNOPSIS Giantmagnetostrictivematerials,suchasTerfeno ! -D. exhibitstron- gly coupledmagneticandmechanical properties.Thus,achangein magneticloadinginducesa modificationin mechanicalbehaviour (d ! rect effect), whiiea modificationof mechanicalloadinginduces analterationofthemagneticbehaviour(inverseeffect).Thedesign of devicesusingthesematerialssupposesthe developmentof modelsforthe non-linearbehaviourof thesematerials,andtheir introductionintocomputationsoftware. 1 REE W10 Novembre2006 Conception et modélisation d'un dispositif de contrôle de déplacement utilisant un matériau à magnétostriction géante B,,I,iiied'excitation 1 Terfeill'i- ïde -------------------------- --------------------------------- - - "' " '.) Figure 1. Vued'eiise ; iible du dispositif de contrôle de d-placeinent (a) et déplaceiiient ô en réponse à une excitation iiiagiiétiqtie (b). B (T) 1 0,8 -0 Mlla 1 0.6 0.4- 02-, -30 MPa o 40 60 80 H (kA/m)'' lai MM1400 1i-()O -6 MPa B (T) 1000 800 MPa 400- 600-C30 MPa 200- -1. () 4.0 W) 8 () (b) o H (kA/ill) ,fetdirect (b) pour différents niveaux de contraintes.Figure 2. Phénotiiène de inagnétostriction, effet inverse (a) et ef Courbes expéi-iiiientales issties d'une collaboration avec le Departiiient of Pi-ecisioii Machinery Engineering, University of To4o.CoMr&Meeri'Me/M ;MMM 'Mc co//a&orc')'!OMavec/e DeorMgy q/'P ;'ecM;o A'c/7/Mer EMgMee)'!, f./M/i?;' ;/y o/Too. lement possible d'utiliser ce dispositif pour réaliser du micro-positionnement, par exemple de miroir pour des mesures optiques de précision. Ce dispositif est constitué par un barreau de Terfenol-D entouré d'un bobinage, uti- lisé pour la création de l'excitation magnétique. Un corps élastique en forme d'ellipsoïde exerce une précontrainte sur le barreau de Terfenol-D. La finalité du dispositif est d'obtenir le déplacement ô maximum (figure l.b) en réponse à une excitation magnétique. Une condition pour obtenir une déformation de magnétostriction importante est de pré-contraindre le barreau de Terfenol-D à une valeur qui permet d'avoir la déformation maximale du matériau. Pour le Terfenol-D utilisé, une précontrainte d'environ 6 MPa en compression est nécessaire. Le corps élastique est choisi de façon à ce que ses propriétés magnétiques soient suffisantes pour canaliser le champ magnétique tout en présentant de faibles propriétés magnétostrictives, comparées au barreau de Terfenol-D. L'acier peut convenir pour cet usage. que du matériau. Un champ magnétique produit une déformation (effet direct), tandis qu'une contrainte méca- nique induit une modification des propriétés magnétiques du matériau (effet inverse), figure 2. Cette interaction mutuelle est exprimée par la dépendance du tenseur des contraintes ci et du champ magnétique h par rapport à l'induction magnétique b et au tenseur de déformation e. 3.1. Lois de comportement magnéto-mécanique couplé L'effet direct du phénomène de magnétostriction, dû à l'application d'un champ magnétique, peut être intégré dans la loi de comportement mécanique. Pour prendre en compte cet effet, la loi de Hooke est décomposée dans le but d'introduire la déformation de magnétostriction et la précontrainte mécanique [4-5] : o., (b,E) =C ijll - F " i (b »1+ G ; l (1) 3. Modélisation du phénomène de magnétostriction Le phénomène de magnétostriction correspond à un fort couplage entre les propriétés magnétique et mécani- Avec dans le cas de matériaux élastiquement isotropes : c ijki = L v Ôk] Ôij + 1 (Ôik8j] + ôi [8jk) (2) I+v'1-2v'2 REE NI 10 Novembre2006 1 Dans l'équation (1), -ki, et ç5 " représentent respective- ment le tenseur de déformation totale, le tenseur de défor- mation de magnétostriction et la précontrainte. Dans l'équa- tion (2), E *, u *et Ôsont respectivement le module d'Young, le coefficient de Poisson et le symbole de Kronecker. Le couplage magnéto-mécanique est associé à une énergie due aux contributions magnétique et mécanique. La différentielle totale de la densité d'énergie potentielle du matériau, permet de prendre en compte les variations infinitésimales dw (b,e) de la densité d'énergie potentielle W (b, e)due aux variations élémentaires db et dE : dw (b,E)F) ='c) db+ aw (b, F) ab oF de = Il (b,r-b + a (b,cr- (3) Comme la densité d'énergie est une fonction de classe C2@ les coefficients piézo-magnétiques [6-7] peuvent être définis par l'équation suivante : ai () h, (b,E) _f) \v (b,e) aF " afab w (b,e) abap- - ocy,, (b, F) ki ;3b, (4) Une intégration du coefficient piézo-magnétique entre Em et e, conduit à la loi de comportement magnétique hi = hi (b,e). Cette loi peut être exprimée par l'introduction d'un champ magnétique coercitif équivalent qui décrit l'effet inverse de magnétostriction dû à l'application d'une contrainte : h. (b,e) =he' = h' (b,e) - he (b,P) e) b, (b) PJ h (b,F) représente la composante du champ magnéti- que, selon la direction i, induit par une contrainte à induc- tion magnétique donnée et hO(b,e) est le champ magnéti- que à contrainte nulle dépendant seulement de l'induction magnétique. Il est important de noter que le champ magnétique dépendant des variables d'état b et e, est exprimé à travers h(b, e' ") à e - E' parce qu'il est plus dif- ficile en pratique de déterminer la caractéristique magné- tique non-linéaire h(b) à déformation totale nulle qu'à contrainte nulle. 3.2. Modèle de déformation de magnétostriction Azoum et al., [5], ont développé un modèle où la déformation de magnétostriction est supposée quasi-qua- dratique en fonction de l'induction magnétique. Ici, le modèle est étendu à une fonction polynomiale paire d'or- dre élevé toujours en fonction de l'induction magnétique. En outre, la déformation de magnétostriction est suppo- sée isochore. La variation de volume n'apparaît en effet en pratique que sous des champs magnétiques très inten- ses. Le tenseur de déformation de magnétostriction dans le système de coordonnées local, attaché à l'induction magnétique (b//, b.Ll, bj), peut être exprimée sous la forme suivante : £n,(b) = R bzcn+y2 (i+l) n=O "' (b) E 11, (b) = e "'- (b) = - E-L i (b) 0 l, = £'lno (b) e,l,0E -L, (b) o 0o E (b) (6) Cette expression est seulement valide dans le système de coordonnées « magnétique » et doit être transposée au système de coordonnées du matériau. Après changement de repère, le tenseur de déformation est donné par la forme indicielle suivante : N £ : j(b) = YPnb (3bibi - () (7) 3.3. Tenseur de reluctivité équivalente Dans l'équation (5), le champ magnétique coercitif h (b,e) induit par l'effet inverse de magnétostriction,1 peut être exprimé par le produit d'un tenseur de relucti- vité équivalente et de l'induction magnétique, tel que : h (b,E) = (b,E) b (8) De plus, le tenseur de reluctivité équivalente peut être exprimé par le produit de deux tenseurs, dépendant res- pectivement de l'induction magnétique et de la déforma- tion élastique : k (b,d= l\jfC (b) Jlt (E-E " yc (b) =y 211 ô +ij P,b i nb ; b; 1 b- -yc (F) = 3 F-ii - 5j tr (P-)ii i (9) (10) (Il) Cette expression permet d'une part de donner une inter- prétation physique au tenseur de reluctivité équivalente, et d'autre part de faciliter son intégration dans un code de calcul par éléments finis. Limitée au quatrième ordre, l'expression (10) devient : y' (b) = () + i b 2 ij + p 1 bi b.., (12) 1 REE W 10 Novembre2006 Conception et modélisation d'un dispositif de contrôle de déplacement utilisant un matériau à magnétostriction géante 4. Formulation éléments finis Considérant le cas statique, le problème magnéto- mécanique est défini par la minimisation d'une fonction- nelle d'énergie en tennes d'induction magnétique b et de déformation f : E (b,£) = W (b,£) - T (13) où l'énergie magnéto-élastique W (b,E) et le travail des sources magnétique et mécanique T sont exprimés par : b e fh° (b/E'db'+ fW (b, F) = fh 0 (b,1F- "') db'+ fG (b,F') dF' dÇ2 (14) T= fajdQ+fa'nxhdrh Q rh + fu f " dQ+ fu. (o n) dr (15) Avec a le potentiel vecteur magnétique, u le vecteur déplacement et j la densité de courant dans le bobinage. des éléments d'arête dans le cas 3D et des éléments nodaux dans le cas 2D. Le déplacement est discrétisé avec des élé- ments nodaux. Le système d'équations algébriques obtenu après discrétisation et assemblage de (16) et (17) est : f[S][a]== [J]+ [JC (b,e) tMu] =H+ [F- (l K Jiu l= IF' (b)] +Hb)]. (18) où JC(b,e) est une densité de courant associée à l'effet inverse, FOo les forces nodales équivalentes dues à la pré- contrainte, pnf (b) les forces magnétiques odates et FITI (b) les forces de magnétostriction nodales exprimées par : F Il' (b) ho (b) a,,blJl+-110 (b) dbô,,I,ll d2 (19) 2 F'Il (b) (b) d2 (20) Avec J la matrice Jacobienne, son déterminant, À les fonctions de bases associées aux éléments et QI'élé- ment de référence. Fmf est obtenue par la dérivation de la matrice Jacobienne et de son déterminant [8-9]. rh ,4 1-,, P (e h (b) h (b,c) 2, (Y (b,e) V, 2'l hxn = 0 -Fh b-n = 0 Fb (J'n = f 1 F, u = 0 -F,, Il - 2] u £2, cph - r,,u Fb = F,u F,, Figure 3. Dornaine d'étitde et conditions aiix Iiinites associées. La minimisation de (13) en fonction de a et u conduit aux égalités suivantes pour les problèmes magnétique et mécanique : fvxôa [v] Vx a d£2- fV x ôa - h' (b, P-) d£2 n n - fÔa - j dÇà - fôa - ii x b drl, = 0 (16) JE(bu)[Ckd£2- fF (8,,) [Ck " dÇ2- f8u f " dÇ2+ fe (8u) a' dÇ2 - fô. - f'-dl- + a,1 ho (b',,') db' 0 0 2 (17) Pour toutes variations ôa et Su. Le potentiel vecteur magnétique est discrétisé avec Une procédure itérative basée sur l'algorithme du point fixe est utilisée pour résoudre simultanément les problèmes magnétique et mécanique, comme le montre la figure 4. Cet algorithme présente l'avantage de garder les matrices de rigidité magnétique [S] et mécanique [K] du système magnéto-mécanique algébrique final. En effet, les non-linéarités dues au comportement magnétique et aux effets de magnétostriction sont reportées dans le membre de droite de chaque équation. 5. Etude du dispositif Une fois le modèle de déformation de magnétostric- tion établi, et son implémentation dans un code de calcul par éléments finis effectuée (sous environnement Matlab), il est possible d'étudier le dispositif présenté au §2. Nous proposons une première étude paramétrique bidimensionnelle préparatoire à une étude tridimension- nelle complète, mais plus coûteuse en temps de calcul. REE N'10 Novembre2006 0 47 1 _n u M [KI [Li'] = [Fo] + [F "'I Il i=i+1 non convcrgcncea c>olli àia, u Figure 4. Algorithme dzr point fixe. 5.1. Etude bidimensionnelle Dans un premier temps, le dispositif est étudié dans un cas 2D avec l'hypothèse de contrainte plane pour le pro- blème mécanique. Comme le montre la figure 5.a, l'induc- tion magnétique est canalisée par l'anneau elliptique. Cette excitation magnétique induit des déformations du disposi- tif (figure 5.c) associées aux forces de magnétostriction représentées en figure 5.b. L'objectif du dimensionnement de ce dispositif est d'obtenir un déplacement ô maximal pour une excitation magnétique donnée. Cet objectif peut être atteint grâce à une optimisation de la structure d'une part, et à un choix approprié des matériaux constituant l'anneau elliptique d'autre part. Aussi, regardons l'influence des propriétés des matériaux et plus particulièrement du module d'Young. La figure 6.a représente le déplacement ô en fonction de l'induction magnétique pour trois modules d'Young différents. On constate logiquement que plus le module d'Young est fai- ble, plus le déplacement ô est élevé. Mais on constate que, dans une gamme raisonnable, le choix du matériau n'est pas très influent sur la réponse en déplacement. Il n'en va pas de même pour le choix de la structure. La modification de la structure fait intervenir plu- sieurs paramètres représentatifs de la géométrie de l'an- neau elliptique et du Terfenol-D. La figure 7 montre les paramètres qui seront pris en compte par la suite (voir tableau 1). Plusieurs de ces paramètres sont liés entre eux, certains ne seront donc pas considérés directement. Dans cette optimisation assez simple, le plus grand déplace- ment est obtenu pour la structure n'5, pour laquelle le dia- mètre du barreau de Terfenol-D est important et l'épais- seur de l'anneau elliptique (lp) est faible. De plus, la structure n'5 permet d'avoir une amplification entre le déplacement du barreau de Terfenol-D et le déplacement ô à peu prés égal à 2, figure 8.b. Cette étude nous permet d'avoir un aspect qualitatif et non quantitatif, en raison des hypothèses 2D adoptées. Elle nous donne toutefois une orientation à suivre, tout en minimisant le temps de ss : : : . . ''. " ! " ".'' ------S' ? =--.---<. ) E-'''' ;' : ..,,(0) (c) --. ; *.j.-M ////)/1'\ \ \ \' ; f'...'4-fj.'*t. .--- ".//-A-//) -;t--' ; i i 1 _ ra. , _ r ii i x t F/gM/'e. DM !&t;fMMd'g/'iMMC/ ;OMnM.g7! ;<:yt;e , M'H'OM M'0 ;'CMCeMMg7!e/0.;<;'iC'OMFigitre 5. Distribiitioii de l'iiiductioii magnétiqiie (a), disti-ibtition desfoi-ces de magnétosti-iction (b) et déformation du dispositif aiiiplifiée 50fois (c). REF W 10 48 1 Noeiiibre 2006 Conception et modélisation d'un dispositif de contrôle de déplacement 'l'1 1u utilisant un matériau à magnétostriction géante 0 '1 - 10 - 1 (Il, _, 0 1 La.., if ", -4 1, 02 04 l (1) O6 0.8 4- a2a b2 r T 1) 11 1 i Ill : 11) zi1 Figure 6. D,placeiiienl Ô polir trois iiiodtiles d'Yotti ? g différents. Figzrre 7. Desci-iption des paraiiièti-es géoii7étl-iqites. a2 = 20.4 mm Structureinitiale Structure2 Structure3 Structure4 Structure5 Structure6 Structure7 b1 (mm) 7 7 8 9 7 7 7 Ip (mm) 3 2 2 2 2 4 2 Db(mm) 4 4 4 4 5 4 3 ô (um atô (Pm) ai -18,434 -27140 -24,262 -21.844 -27622 -18761 -26,140 b=0.45 T 1 Tableau 1. Pai-atiièti-es potil- l'ol) tii7iisation de la siptictitie et déplacetiielit 6 indîtit à B - 0, 45 T - nifi:dcmncWrc. - Strucn,re2 - '-0 , snucmra3 . .i- So-uaurc5' SVUdui't(, · ^.. \ Sirycturc' -20 o 0.2 O4 BtT) 0.6 0.8 (i DfT) ) 40 110 10 oi . --- Smmture· StruclurG ' - Stmcnrc7 -Sc[u7 v0 5 10 15 20 25 30Displacemt5 10 15 20 25 30 r.,l (1 » Figure 8. Déplacei ? ient Ô enfonction de l'indiiction iiiagiiéliqtie (a) el du déplacemeiit dLi barreazi de Teifeliol-D (b). calcul avant de réaliser l'étude tridimensionnelle. 5.2. Etude tridimensionnelle L'étude bidimensionnelle du dispositif de contrôle de déplacement suppose que la structure est infinie dans la troisième direction. Elle donne une première idée sur les performances du système étudié et sur l'influence des paramètres géométriques. L'étude tridimensionnelle se limite à la comparaison entre la structure initiale et la structure n'5. Comme pour l'étude bidimensionnelle, le déplacement est plus impor- tant dans le cas de la structure n'5 (figure 9.a). Mais pour une induction magnétique donnée, le déplacement obtenu dans le cas tridimensionnel est moins important compara- tivement aux résultats bidimensionnels. De plus, l'ampli- fication entre le déplacement du barreau de Terfenol-D et le déplacement § est maintenant limitée à une valeur pro- che de 1,3. Le temps de calcul étant pour le moment rela- tivement important, l'étude est limitée aux faibles valeurs d'induction magnétique. 5.3. Développements futurs Le dispositif de contrôle de déplacement n'est pas limité à cette configuration. Il est possible, si on souhaite travailler autour d'un point de fonctionnement, d'intro- duire dans la structure un aimant permanent comme le montre la figure IO.a. Cet aimant permanent permet de réduire le bobinage et par conséquent de réduire les per- tes Joule. De plus, la validité du modèle de magnétostric- tion développé ne se limite pas à un point de fonctionne- ment mais permet de décrire une large gamme de niveaux d'excitation magnétique. REE N'10 Novembre2006 1 o -z -2-. -4- 9 -6 -8 - Ltitial%tncturc 2D Structure21) - Iiiiiial structo 3D Sbichire 5 3D 2 - 1.8 c 1.6 z '1,4 .4. c: 1 2 11 Initial structure 2D Initial structure 3D 31 ,,/ O 12 0.14 O 16 13 (l) O 18 HO) 0.2 0.22 o9 1 1.1 1.2 l3 1.4 1. Diplaceiie,it ofTefe.,,I-D r,,d (it,ii) 0,) Figure 9. Déplacement Ô enfonction de l'induction magnétique (a) et du déplacement du barreau de Terfenol-D (b). L 1 0.8 1-l "bo bo «.. I " -/ 0.4.. «/ /11 Il o5.,1 '0 20 40 60 80 o (b) Figure 10. Structure avec introduction d'un airnant permanent (a) et principe dbifonctionnernent autour d'un point (b). 6. Conclusion Les matériaux à magnétostriction géante sont de plus en plus utilisés dans des actionneurs. Dans le but de concevoir des dispositifs innovants, il est nécessaire d'avoir des outils performants d'aide à la conception. Un modèle décrivant le phénomène de magnétostriction des matériaux à magnétostriction géante, comme le Terfenol- D, a été présenté. Son implémentation dans un code de calcul par éléments finis, grâce à la minimisation d'une fonctionnelle d'énergie, a aussi été réalisée. Un dispositif simple et innovant a été étudié grâce au code développé. Ce dispositif s'avère potentiellement intéressant pour des applications en micro-positionnement. Références h] A. E. CLARK, "Ferromagnetic Materials ", vol 1, North- Holland, Amsterdam, 1980. [21 T DUENAS, L. HSU et G. P CARMAN, " Magnetostrictive Composite Material Systems Analytical/Experimental ", in advances in materials for smart systems-fundamental and applications, Boston, MA, 1996. [31 N. LHERMET, F CLAYESSEN et H. 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Karim Azoum titulaire d'une licence et d'une maîtrise EEA de l'Université de Toulouse, Il obtient le DEA de Génie Electrique de Paris en 2001. En 2005 il devient docteur de l'Université Paris-Sud en Génie Eiectrique. Mondher Besbes ingénieur en Génie Electrique de l'Ecole Nationale d'Ingénieurs de Sfax (Tunisie) en 1990, est titulaire d'un doctorat de l'université Paris VI en 1995. Il travaille actuellement au sein du Laboratoire Charles Fabry de l'institut d'optique en tant qu'ingénieur de recherche au CNRS. Ses travaux de recherches concernent principalement la modélisation multi-physique de systè- mes électromagnétiques. Frédéric Bouillault est né en 1957 Ancien élève de l'Ecole Normale Supérieure de Cachan, il a obtenu sa thèse en 1984 et soutenu son habilitation à diriger des recherches en 1991. Il est actuellement professeur à l'Université Paris Sud et il effectue son activité de recherche au Laboratoire de Génie Electrique de Paris Ses travaux portent sur lamodélisation numérique des systè- mes électromagnétiques. Laurent Daniel est né en 1976 Ingénieur diplômé de l'Ecole Nationale Supérieure dArts et Métiers et docteur de l'Ecole Normale Supérieure de Cachan en Mécanique et Matériaux, ri est actuelle- ment maître de conférences à t'Université Paris Sud. Ses travaux de recherches portent principalement sur le développement de métho- des multi-échelles pour la modélisation des phénomènes de cou- plage magnéto-mécan ! que. REE NI 10 Novembre 2006