Les techniques de prise en compte du mouvement des machines électriques tournantes dans la méthode des élément finis

27/08/2017
Publication REE REE 2006-10
OAI : oai:www.see.asso.fr:1301:2006-10:19660
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Résumé

Les techniques de prise en compte du mouvement des machines électriques tournantes dans la méthode des élément finis

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	    <date dateType="Created">Sun 27 Aug 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sun 27 Aug 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Fri 13 Jul 2018</date>
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Les techniques de prise en compte du mouvement des machines électriques tournantes dans la méthode des élément finis m'iF.n ? Méthode desélémentsfinis, Mouvement, Pasbloqué, Overlapping, Mortar, Interpolation, Machineélectrique Yvonnick LE MENACH l, Jean-Pierre DUCREUX' L2EP Laboratoire d'Électrotechnl " que et d'Électroni*que de Pul'Ssance de Li'lle)', EDFR&D' 1. Introduction Certaines modélisations numériques de machine élec- trique tournante requièrent une précision importante. En effet, il peut être nécessaire de quantifier les taux d'har- moniques sur les grandeurs globales (courant, tension...) afin de pouvoir déterminer les possibilités de résonance. Généralement, pour ces études, les ingénieurs utili- sent la méthode des éléments finis à laquelle est associée une technique de prise en compte du mouvement. Ces techniques ont été introduites dans les codes de calcul de champs très rapidement après leur apparition [1-4]. Il en résulte que beaucoup de méthodes ont été implantées sans qu'aucune ne se soit réellement imposée. Parmi elles, on trouve la méthode de la bande de mou- vement, et celle d'interpolation. Ces deux méthodes sont faciles à implanter et assez rapides, mais elles engendrent des oscillations numériques sur les grandeurs globales. En revanche, il existe d'autres méthodes telles que la méthode des éléments joints ou la méthode 'Overtapping', plus délicates à intégrer dans un logiciel de calcul de champ. Elles présentent de meilleurs résul- tats, mais elles nécessitent des temps de calcul plus importants. L'objet de cet article est de comparer les méthodes existantes sur le plan de la rapidité et de la qualité de la solution. L'étude portera uniquement sur le cas des struc- tures dont le mouvement est rotatif (figure 1).CI --J . : y Figiii-e 1. Dispositij à iiiodélisei-. 2. Contexte de l'étude Pour simuler le mouvement d'un système électroma- gnétique lorsqu'on effectue une modélisation avec la méthode des éléments finis, diverses stratégies ou techni- ques numériques peuvent être envisagées. Elles peuvent être classées de la facon suivante : Un terme de transport, v A B, où v représente la vitesse de déplacement des pièces mobiles, est introduit [5]. Cette solution peut être utilisée sous certaines condi- tions, et impose des contraintes sur la structure matricielle du système à résoudre. ESSENTIEL Lapriseen compte du mouvement dansles modèlesnumériques telle que la méthode des éléments finis est indispensablepour simuler le fonctionnement des systèmes électromagnétiques. Beaucoupde méthodes ont été développéessans qu'aucune ne soit imposée. Dans cet article, des méthodes existantes, pour la prise en compte du mouvement rotatif, sont succinctement pré- sentéeset comparéessur le plande la rapiditéet de laqualité de la solution. SYNOPSIS The considerationof the movement in the numerical modelssuch as the Finite Element Method is essential to simulate the electro- magnetic systems. Many methods were developed but that nobody is imposed. In this paper, some methods already studied are briefly presentedand comparedfrom the point of view of the speed and of the quality of the solution. But, the case of the movement of rotation areonly considered. Déccmbre2006 1 Une autre solution, plus couramment utilisée, consiste à modifier le maillage soit en remaillant, soit en défonnant localement le maillage dans une zone intégrant la frontière entre la partie fixe et la partie mobile. On peut citer : la méthode du pas bloqué [4, 9], la bande de mouvement [2] et la méthode de recouvrement (Overtapping) [8]. On peut aussi effectuer un couplage de la méthode des éléments finis avec une autre méthode de résolution numérique. Dans ce cas, on définit un sous-domaine inté- grant la frontière entre la partie fixe et la partie mobile. Dans les parties fixe et mobile, à l'exception du sous- domaine réservé au mouvement, les équations à résoudre sont discrétisées avec la méthode des éléments finis. Dans le sous-domaine, on peut utiliser le macro-élément qui consiste à rechercher une solution analytique dans une partie de l'entrefer [1], ou bien une méthode intégrale de frontière qui ramène la discrétisation spatiale sur la fron- tière du sous-domaine, permettant ainsi un couplage avec la méthode des éléments finis [3]. Enfin, un recollement des maillages peut être effectué à l'interface entre la partie fixe et la partie mobile. Dans ce cas nous sommes confrontés à deux maillages que nous appellerons " non-conformes " au niveau de la sur- face de glissement. Pour le recollement des deux mailla- ges, on peut imposer la continuité de la grandeur incon- nue à l'aide de méthodes d'interpolation [6, II] ou en uti- lisant la méthode des éléments joints [10] ou les opéra- teurs de Lagrange [7]. Pour les deux dernières méthodes, le recollement des deux maillages est effectué en impo- sant la continuité d'une grandeur physique sur la surface de recollement. Parmi les méthodes proposées ci-dessus, comme nous l'avons indiqué, celle basée sur l'introduction d'un terme de transport a un domaine d'utilisation limité. Par ail- leurs, l'utilisation du macro-élément augmente notable- ment les temps de calcul. Enfin, comme les méthodes intégrales de frontières conduisent à ajouter, au niveau de la matrice de raideur, une matrice pleine qui relie tous les termes de la frontière, cela entraîne un stockage plus important et des temps de calcul relativement lourds [11]. Dans ces conditions, dans le cadre de cette étude, nous avons retenu, outre la méthode du pas bloqué, la bande de mouvement, la méthode de recouvrement, les méthodes d'interpolation et la méthode des éléments joints, récem- ment proposée, que nous appellerons par la suite : la méthode « Mortar ». 3. Présentation des méthodes 3.1. La technique du pas bloqué La technique la plus simple est la méthode du pas blo- qué, car il suffit d'effectuer une permutation des numéros d'inconnues en changeant la connectivité du maillage. Toutefois, certaines conditions sont à respecter. En effet, le maillage doit être parfaitement régulier au niveau de la surface de glissement. De plus, la vitesse de déplacement est liée au pas du maillage et du pas de discrétisation tem- porelle. Malgré ces inconvénients, la méthode du pas blo- qué est intéressante, car elle est rapide en termes de temps de calcul, et surtout elle n'engendre pas d'erreur supplé- mentaire car, comme le montre la figure 2, le maillage reste identique (pas de déformation et toujours conforme) quelle que soit la position. Figme 2. Sitnulalion du mouvement avec la méthode du pas bloqué. 3.2. Les techniques d'interpolation Pour pallier l'inconvénient de la méthode du pas blo- qué, il est intéressant que le déplacement soit différent du pas de maillage (figure 3). Dans ces conditions, les noeuds mobiles et fixes de la surface de glissement ne sont plus confondus. Pour assurer la continuité des inconnues (potentiels) aux noeuds, une interpolation est effectuée pour exprimer les valeurs des potentiels aux noeuds mobiles en fonction des potentiels des noeuds fixes. Cette interpolation est du premier ordre (1), du second (2) ou du troisième ordre (3). Ces équations ont été établies à partir de la figure. Par exemple, pour le second ordre, un potentiel d'un noeud mobile sera exprimé en fonction de trois potentiels aux noeuds fixes. 12'=a12 + (1-cx) 14 (1)! " - (yi l'+ (1 - () l 1' (1)2 2 4 il " = 1, + l' « J) 11' +2 1 2 2 4 3 6 (2) il " = £,, «) ) i l'+ L,2 « Y) l + L3 « I,) l + LY4 « J) l8 (3)2 - 2 - 4 - 6 - 1 Cette technique d'interpolation du 1 " ordre peut être étendue au cas 3D assez facilement. Pour ce faire, on uti- lise la fonction d'interpolation nodale pour exprimer un potentiel mobile à partir des potentiels fixes. Par contre nous nous sommes limités au premier ordre, car l'exten- sion aux ordres supérieurs est très délicate. Par la suite 1 REE N " n Décembre2006 Les techniques de prise en compte du mouvement des machines électriques tournantes dans la méthode des élément finis Fi,-iii-e 3. Sinizilcilioii du iiioiti,ciiieiil avec iiiie tecl7iiiqlle d'interpolation. nous appellerons cette méthode : la technique interpola- tion de surface. Il est à noter qu'avec cette méthode le maillage de la surface de glissement peut être quelconque (figure 4). 3.3. La méthode "Mortar " Cette méthode s'applique aussi sur une surface de glissement dans les mêmes conditions que la technique d'interpolation, mais une contrainte supplémentaire à satisfaire est ajoutée. V (l 111) (Ilî = 0 11-iii Dans cette expression, V représente une fonction test comme dans la MEF. Ir et lm correspondent respective- ment aux valeurs des potentiels fixes et mobiles de la sur- face de glissement rf ",. Après discrétisation, on obtient deux matrices [CI et [D] qui permettent d'exprimer les potentiels mobiles en fonction des potentiels fixes Il,-] (51-ic, (5) Dans ces conditions, un potentiel mobile de la surface de glissement est fonction de tous les potentiels fixes de cette même surface de glissement. Cela engendre une sous-matrice pleine qui pénalise le temps de résolution du système. En contre-partie cette méthode peut s'appliquer aux formulations utilisant les potentiels vecteurs, contrai- rement aux techniques d'interpolation qui se limitent aux potentiels scalaires. 3.4. La méthode de recouvrement (Overlapping) Cette méthode, peu connue et introduite par Tsukerman, est très judicieuse et s'applique bien au cas des machines tournantes. Comme le montre la figure 5, cette méthode consiste L F/W< :' 1'.5'7'/a/M M ;7?0:/Vgf ?y avec te C/MttCFigzrre 4. Sinvulalion du iiioziven7ent avec iine techniclte d'interpolation de surface. ' :'.t £- 4 * à I 1 j i. .',..1 1 Figure 5. Siiiiiiiolion du jîîoti,eii ? ent avec la méthode overlapping. à effectuer un double maillage dans l'entrefer en projetant les noeuds de la surface du rotor sur le stator et récipro- quement. Les fonctions d'interpolation s'appuient sur ces nouveaux noeuds. Par contre, des conditions de Dirichlet (la valeur des inconnues fixées) sont associées aux nou- veaux noeuds ainsi créés. Dans ces conditions, la difficulté de cette méthode réside dans la construction des matrices élémentaires. 4. Applications Deux structures vont être présentées. Une machine à réluctance variable pour valider et comparer les métho- des. La seconde structure concerne un turbo-alternateur de production de EdF. 4.1. Machine à réluctance variable Pour comparer les méthodes, une machine à réluc- tance variable, dont la structure maillée est présentée sur la figure 6, a été modélisée. Nous nous intéresserons par- ticulièrement aux grandeurs globales telles que la force électromotrice (f.é.m) et le couple réluctant. Pour simuler correctement le fonctionnent des machines tournantes, il faut s'assurer que toutes les encoches sont maillées de REE NI il Déceii) bie 2006 1 Dossier J NOUVELLES TENDANCES EN CONCEPTION DE MACHINES ÉLECTRIQUES façon identique. Cette contrainte permettra d'annuler le bruit numérique de maillage pour les différentes positions du rotor. De plus, afin de limiter les oscillations sur le cal- cul du couple, la prise en compte du mouvement ne doit pas se faire sur les éléments qui servent au calcul du cou- ple. Dans ces conditions, il est nécessaire de mailler l'en- trefer en plusieurs couches (2 minimum). ;X.' 7'.'. T4''Yi -+-Iy r: Îl Ir t+-f;_ Ni Lr : «y+t "y: t':. Eii',z r N n r IT y.. Sk Y u Figiii-i, 6 Maillcge de la iiiachine à i-éliic-itince vcii-iable. Le fonctionnement de cette machine a été simulé dans des conditions particulières. En effet, seule une phase est alimentée par un courant continu et le rotor tourne à une vitesse constante. Sur la figure 7, nous pouvons observer la forme d'onde de la force contre électromotrice délivrée par la MRV Ces résultats ont été obtenus à partir de la méthode du pas bloqué, des méthodes d'interpolation, de la méthode Mortar et enfin de la technique de recouvre- ment (overlapping). Les oscillations qui apparaissent sur l'agrandissement de la figure 7 sont numériques et dues aux méthodes de prise en compte du mouvement. Toutefois ces oscillations sont générées uniquement par les techniques d'interpolation du 1" et 2 " "' ordre. Pour cette machine, la technique de recouvrement engendre aussi de légères oscillations. Quant aux résultats obtenus par la technique d'interpolation du 3 " "'ordre et " Mortar ", ils sont équivalents et sans oscillations. Il est à noter que la méthode du pas bloqué présente également de bons résultats. Toutefois, le pas de déplacement est plus grand, car celui-ci doit être égal au pas du maillage. Les résultats obtenus pour le couple réluctant présentent moins d'oscil- lations. On peut remarquer qu'une légère oscillation apparaît pour les techniques d'interpolation du 1" et 21,11, ordre. Concernant les temps de calculs, toutes les méthodes se comportent de façon identique, sauf la méthode " Mortar " qui est sensiblement plus lente. 1 REE Déccmbre2006 Fcem inn·rpoiatlon rai icr ordra d,Interpolatlandu3i;meordn MnrlarM,,rt, P, \\ \ A Figure 7. Formes d'ondes de la force contre électromotrice. Couple(iiiniii) ,, 1, , 1,, 1,, Iiitrp,it c,,, dij (,rdr l,), !,, ... Figiti-e 8. E,oliiiion teiiil ? oi-clie de (-oitlle i- (,'Iticiciiil. 4.2. Turbo-alternateur La seconde application concerne un turbo-alternateur de EDF (Electricité de France). Pour cette étude, nous nous intéresserons à l'influence des têtes de bobines. Pour cela, deux maillages ont été réalisés : le premier, un mail- lage constitué de prismes est invariant selon la profon- deur de la machine (2D extrudé), et ne tient pas compte des têtes de bobines. Dans ces conditions, seule la partie active de la machine est modélisée. Le second maillage reprend la partie active à laquelle sont ajoutées les têtes de bobine. En raison de la complexité géométrique, cette nouvelle partie est maillée à l'aide de tétraèdres. Ce mail- lage est présenté par les figures 9 et 10. Afin de visualiser les parties internes de la machine, plusieurs têtes de bobi- nes et le maillage de l'entrefer ont été ôtés. Sur ces figu- res, on peut remarquer que le bobinage statorique est de type imbriqué. En revanche, celui de l'inducteur du rotor est concentrique. De nombreuses simulations ont été faites sur cette machine avec toutes les méthodes de prise en compte du mouvement [12], mais dans cet article nous présentons uniquement les résultats obtenus concernant la caractéris- tique à vide de la machine. Pour cette simulation, les Les techniques de prise en compte du mouvement des machines électriques tournantes dans la méthode des élément finis iI t. ,x,. , ·.'%.i. ; * a..y bf','. .. ,, `. , i I i.,-.. v 'a k `E" 1.'s :...rl r r -ziayi. :. t y/Ct I'., ., "· . A` ;'- _ f t, :iY n.. Figzrre 9. Pai-lie fi-oiiieile tiii-I) o-allertititeiii-. oscillations numériques sont moins importantes que pour l'exemple précédent. Dans ces conditions, pour le mail- lage 2D extrudé, les calculs ont été réalisés à l'aide de la technique d'interpolation du second ordre. En revanche, pour le maillage 3D nous avons développé une méthode hybride permettant d'utiliser la méthode d'interpolation de surface dans la partie maillée par les tétraèdres, et la méthode d'interpolation de second ordre dans la partie active [13]. Comme l'indique la figure t, tes simulations ont été comparées aux mesures. Il résulte de cette étude que la présence des têtes de bobines dans le modèle numérique a augmenté de 3 % la f.é.m calculée en régime saturé. En revanche, l'écart significatif entre la mesure et les simulations est probablement dû au fait que les évents nécessaires à la mise en place du circuit de refroidisse- ment n'ont pas été pris en compte dans la modélisation. De plus, une prise en compte simplifiée de la structure et de la caractérisation du circuit magnétique (pas d'aniso- tropie) peut être aussi à l'origine de cet écart. En outre, il est connu que la formulation en potentiel scalaire donne des résultats par excès. Il est à noter que des calculs menés à l'aide de la formulation en potentiel vecteur res- tent supérieurs à la mesure expérimentale, bien que cette formulation fournissent des résultats par défaut par rap- port à la solution exacte du modèle mathématique. 5. Conclusion Plusieurs méthodes de prise en compte du mouvement ont été étudiées et implantées dans le code de calcul élé- ments finis (CARMEL). Une comparaison des techniques d'interpolation, des méthodes " Mortar " et " Overlapping ", en termes de qualité de la solution et rapidité de temps de calcul a été effectuée. Il en résulte que, du point de vue de la qualité de la solution, quelle que soit l'application, la méthode " Mortar " n'a jamais été mise en défaut. En r ---7 1 r_ fi. r r Figure JO. Agrandissement de la partie finntale dit ttii-bo-allei-iiatetir. Figiii-c Il. Coiiipcii-aison des c'ai-aléristitliies à thi revanche, cette méthode est la plus gourmande en tempsrevanche, cette méthode est ta plus gourmande en temps de calcul (2 à 5 fois plus long selon l'application traitée). En ce qui concerne la méthode " Overlapping ", elle conduit à des résultats légèrement moins bons que ceux fournis par la méthode " Mortar ", mais elle est plus rapide. La technique d'interpolation devient très intéres- sante si on monte au 3 " "'ordre. Sur tous les exemples trai- tés, il semble que la technique d'interpolation du 3" "' ordre présente le meilleur compromis entre la qualité de la solution et la rapidité des calculs. Toutefois il reste à comparer des méthodes pouvant simuler le mouvement sur des maillages 3D quelconques. La méthode " Mortar " permet de prendre en compte ces types de maillages, car cette méthode est la plus générale. Toutefois, il serait inté- ressant de développer une méthode d'interpolation de surface d'un ordre plus élevé (2 " "au 3 " "'ordre) que celle présentée dans cette étude. References [1] M. FÉLIACHI, "Contribution au calcul du champ électroma- gnétique par la méthode des éléments finis en vue d'une REE NI Il Décembre2006 1 Dossier NOUVELLES TENDANCES EN CONCEPTION DE MACHINES ÉLECTRIQUES modélisation dynamique de machines électriques ", Thèse de Doctor Ingénieur, LGEP 1981, [21 Z. REN, " Contribution à la modélisation des machines élec- triques par résolution simultanée des équation du champ et des équations du circuit d'alimentation ;' Thèse de Docteur de !' ! NPT Toulouse. 1985. [3] F. GOBY, " Utilisation d'une méthode couplée : élément finis élément de frontière, pour le calcul des forces dans des dispositifs électromagnétiques. Application au calcul du couple d'une machine à réluctance variable ;' Thèse de Doctorat de l'Université Paris-VJ, LGEP septembre 1987 J41 T VV. PRESTON, A. 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Il mène ses recherches au sein du Laboratoire d'E ! ectro- nique de Puissance et d Electrotechnique de Lille sur la modélisa- tion numérique des systèmes électromagnétiques Jean-Pierre Ducreux est diplômé en 1990 de l'Instltutlndustrrel du Nord comme ingénieur en Génie Electrique II obtlent son doctorat en Génie Electnque de l'Université des Sciences etTechnologie de Lille en 1994 Depu s 1993, est ingénieur chercheur à EDF et tra- vaille principalement sur la modélisation des machines électriques tournantes (moteurs et alternateursl Il est membre de la Société des ingénleurs en Electricité et Electronique 1 REE N°) i Décembre2006