La technique d'intégration finie

27/08/2017
Publication REE REE 2006-10
OAI : oai:www.see.asso.fr:1301:2006-10:19659
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La technique d'intégration finie

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Dossier J NOUVELLES TENDANCES EN CONCEPTION DE MACHINES ELECTRIQUES La technique d'intégration finie Yvonnick LE MENACH', Jean-Pierre DUCREUX' L2EP (Laboratoire d'Électro technique et d'Électronl*que de Puissance de L 1'lle)', EDF R& D' Mots clés Techniqued'intégration finie, Méthode desélémentsfinis, Electromagnétisme 1. Introduction Pour modéliser tinement un dispositif étectrotechni- que comme un transformateur ou une machine tournante, les équations de Maxwell régissant son fonctionnement doivent être résolues localement. Difïérentes méthodes sont utilisées pour les résoudre. Les plus connues sont la méthode des différences finies et surtout la Méthode des Eléments Finis (M.E.F). Cette dernière est à la base des logiciels de calcul de champs (ANSYS, FLUX, MAX- WELL, VECTOR FIELDS...). Une autre méthode, moins connue, est la technique d'intégration finie, appe- lée F.I.T (Finite Integration Technique en Anglais) utili- sée par le logiciel CST. Cette technique a été développée par les chercheurs allemands de l'université de Darmstadt (Hesse) sous la direction du Pr T.Weiland [1]. Dans cet article, nous allons présenter succinctement la théorie de la FIT et comparer ses résultats avec ceux obtenus par la méthode des éléments finis dans des cas simples. En fait, on peut considérer la FIT comme une méthode intermédiaire entre la Méthode des Eléments Finis et les différences finies. En effet, pour que la FIT soit perfor- mante en termes de temps de calcul. le maillage utilisé pour discrétiser l'espace doit être constitué uniquement d'hexaèdres orthogonaux comme pour les différences finies. En revanche, le modèle mathématique appliqué est le même que celui employé par la méthode des éléments finis, à savoir la discrétisation des flux, des champs et des potentiels dans les espaces de facettes, d'arêtes et de noeuds. L'association de ces deux points confère à la FIT un très bon rapport qualité de la solution/temps de calcul. 2. La théorie Comme il est très difficile de résoudre analytiquement les équations de Maxwell, qu'elles soient sous leur forme, différentielle ou intégrale, il est nécessaire d'avoir recours à des méthodes numériques [l, 3, 4]. Dans ces conditions, nous devons discrétiser l'espace, les opéra- teurs différentiels, les champs et les lois de comporte- ment. Les techniques numériques telles que la FIT ou la MEF s'appuient sur une discrétisation spatiale. Cette discrétisation se fait classiquement à l'aide de maillage. En 3D, ils sont constitués d'éléments eux- mêmes constitués de facettes, d'arêtes et de iioeuds. Nous développerons plus tard pourquoi le maillage doit rester orthogonal. 2.1. Discrétisation spatiale Considérons un domaine D (figure 1) que nous sou- haitons discrétiser. Dans ce cas, un maillage G est réalisé,z auquel on peut associer un maillage dual g. Ce mail- lage dual est indispensable pour établir les lois de com- portement dans le domaine discret [2]. Pour la M.E.F, le maillage dual est inclus dans le modèle mathématique. En revanche, pour ! a F.I.T, it doit être construit. Plusieurs types de maillage dual existent, le plus connu étant celui de Voronoï, mais celui qui nous intéresse dans le cas de la FIT est le maillage dual de type barycentrique. Sa construction est assez simple car elle consiste à associer à chaque noeud primal un élément dual, à chaque facette ESSENTIEL Aujourd'hui, pour concevoiret analyserdes systèmes électroma- gnétiques, les ingénieurs ont recours aux modèles numériques implantésdansles logicielsde calculde champ(Flux,Vectorfields, Maxwelll. Ces logiciels sont basés sur la méthode, bien connue, des éléments finis. Néanmoins,il existe uneautre méthode appe- lée techniqued'intégration finie utilisé parle logiciel CSTDanscet article latechnique d'intégration finie est présentée.Descas sim- ples sont modélisés et les résultats obtenus sont comparés à ceux fournis par la méthodedes éléments finis SYNOPSIS Today,to conceiveandanalyzeelectromagneticsystems, the engi- neers haveappeal to the numerical models introduced in thesoft- ware of field computation (Flux, Vector fields, Maxwelll. These software are basedon the Fmite ElementMethod. Nevertheless, an another method called the Finite IntegrationTechniqueis used by the software CST In this paper Finite Integration Technlqueis presented. Some simple cases are modelled and the obtained results are compared with those given by the Finite Element Method. REE 1 Dossier J NOUVELLES TENDANCES EN CONCEPTION DE MACHINES ÉLECTRIQUES 2DDp Grille Primale 1 tj tj Grille Duale Cf Figlire 1. Disciétisatioii de l'espace avec des gi-illes. primale une arête duale etc. Pour ce faire, chaque noeud dual est placé exactement au centre d'un élément primal. Les arêtes duales relient les nmuds duaux en passant par le milieu des facettes primales. Dans ces conditions, une arête duale est formée de deux segments. Les arêtes dua- les forment les facettes duales (elles ne sont pas planes). Enfin les facettes duales forment les éléments duaux. Dans le cas d'un maillage hexaédrique orthogonal, le maillage dual est lui aussi orthogonal. 2.2. Discrétisation des champs Prenons d'abord les champs magnétique Il (A/m) et électrique È (V/m). Sous leurs formes locales, ceux-ci sont des grandeurs vectorielles mais, sous la forme glo- bale, on peut considérer que ces champs circulent le long d'un chemin (fi R.dl Nous appelons hd la valeur de circulation de H sur l'arête de longueur La et na le vecteur unitaire indiquant la direction de l'arête. On peut alors retrouver le champ magnétique. Il.li 1 -1 = " 1-, VL " Figawe 2. Circitlation dl (chatiip iiiagnétiqtie slir iine ai-ête. Quant à l'induction magnétique B (Tou Wb/m') et la densité de courant.ï (A/nh, on doit les discrétiser sur les facettes. Dans ces conditions, on doit déterminer uni- quement les flux de vecteurs sur ces facettes. De la même manière, à partir des flux et des caractéristiques géométri- ques de facettes, on peut obtenir les grandeurs vectoriel- les. Dans le cas de l'induction magnétique, on aura l'ex- pression suivante : 1 REE N " Il Décembre2006 111l H=n,.bj/S, Figiii- ( 3. Flity i7iagii,tiqite à ti-avei-, litiefiicette. où correspond à la normale à la facette, Sa à la surface de la facette et bd au flux à travers la facette. Enfin, pour les grandeurs scalaires, il suffit de les définir aux noeuds du maillage 2.3. Discrétisation des opérateurs Les opérateurs différentiels gradient, rotationnel et divergence sont facilement discrétisés si l'on s'appuie sur un maillage. Pour cela, on utilisera les matrices d'inci- dence [4]. Le rotationnel : matrice Rfa Prenons le théorème d'Ampère sous sa forme locale (rot Il = J), et appliquons-le sur une facette dont la cir- culation de II sur les arêtes est connue (figure 4). Pour obtenir jd le flux de.t, it suffit de faire la somme des cir- culations hd en tenant compte des orientations hi t Il Il 1 Il, h. Il z li,i -111 1- 112 + 113 - 114 Figiii-e 4. Tliéoi-èiiie daiiil) èi-e appliqzié à line.làcette. En considérant tout le maillage, on obtient une matrice d'incidence facette-arête que l'on nommera RFA, qui assure la correspondance entre toutes les arêtes et tou- tes les facettes du maillage. Les termes de RFA peuvent prendre la valeur 0, 1 ou -1 soit : 0 si l'arête n'appartient pas à la facette, 1 si l'arête est orientée dans le même sens que la facette, - 1 si l'arête est orientée dans le sens inverse de la facette. La divergence : matrice Dvf Dans le domaine discret, la divergence s'obtient en som- mant le flux sur toutes les facettes d'un élément. Cet opé- rateur associe tous les éléments à toutes les facettes du maillage. La divergence est définie par la matrice inci- dence volume facette. Tout comme pour la matrice RFA, les termes peuvent prendre les valeurs 0, t, ou -1 Le gradient : matrice Gan Ici, le gradient exprime une différence entre deux noeuds formant une arête. La forme discrète du gradient est la matrice d'incidence arête noeud qui relie tous les noeuds primaux et arêtes pri- males du maillage. Là encore, ces termes prennent uni- quement trois valeurs. Propriétés des opérateurs Comme nous l'avons vu pour le maillage primal on peut définir, de la même façon, les opérateurs Gn. Rfâ et DVf du maillage dual. L'orientation des arêtes et des facettes duales est déduite de l'orientation des arêtes et des facettes du maillage primal. On montre alors que l'on a les propriétés suivantes entre les opéra- teurs vectoriels discrets telles que : G,, = -F)'-, = -D,,, et R,-F)' = -D'-t-7,, f et Rf, R 7_ A l'aide de ces propriétés on note que, connaissant les matrices incidences des opérateurs " primaux ", on peut facilement en déduire les matrices des opérateurs " duaux " et réciproquement. 2.4. Discrétisation de loi de comportement C'est la discrétisation des lois de comportement qui diffère entre la FIT et la FEM [2, 7]. Prenons le cas de loi de comportement magnétique que nous allons considérer linéaire (13 il 1 Dans le domaine discret, il faut asso- cier un flux à travers une facette et une circulation le long d'une arête. Pour ce faire, il faut s'appuyer sur le maillage dual. Prenons le cas d'une partie d'un maillage représenté sur la figure 5. Les traits continus sont relatifs au maillage primal et l'on distingue un élément complet et trois par- ties d'autres éléments, des arêtes dans le plan (x,y) et une arête dans la direction " z". Pour le maillage dual, en traits interrompus, on distingue les noeuds duaux qui corres- pondent aux centres des éléments primaux et deux facet- tes duales (grisées). - - - - - - -1 1 Il1 1-1, 1, -, 1 1 1 1 -1- 1 - - - - - - - 1 - - - - - -// 1, 1Il + C,l CI " - " 1>5 ;,i,1 i CI C, 7 L,, Pour obtenir la relation qui lie la facette duate " " à l'arête primale " a", on considère le tube de flux magnéti- que formé par la surface et l'arête de longueur La. A l'aide de la loi d'Hopkinson, on peut établir une relation entre le flux de B à travers la facette et la circulation de H le long de l'arête " a" soit : hi =9i.h1 (1) où ) (' représente la réluctance du tube de flux. Cette réluc- tance est donnée par l'expression suivante : L. 9i = - z 1 t iii (IN s 1 (2) avec J..lmoy la perméablité moyenne du tube de flux. En effet, ce dernier peut être constitué de plusieurs parties d'éléments ayant une perméabilité différente. En regrou- pant toutes ces réluctances, on obtient une matrice de masse diagonale car une facette est associée seulement à une arête. Ce calcul élémentaire, basé sur la loi d'Hopkinson, est appliquable uniquement si l'arête pri- male est orthogonale à la facette duale. Dans ces condi- tions, le maillage primal doit être uniquement constitué d'hexaèdres réguliers. Dans le cas contaire, si le maillage est réalisé par des hexaèdres irréguliers, des prismes, voire des tétraèdres, il faudra tenir compte de l'effet mutuel des flux des autres facettes duales et des circula- tions des autres arêtes primales. On utilisera la cett-method [10] qui permet de prendre en compte ces types d'éléments. Malheusement, la matrice de masse engrendrée par ce maillage n'est pas systémati- quement symétrique. De ce fait, la mise en oeuvre de cette méthode demande plus de temps. Remarque importante L'interêt de cette discrétisation des lois de comporte- ment permet d'avoir deux milieux différents dans un même élément [5]. Cela revient à modifier le calcul de perméabilité moyenne de l'équation (1). Dans ces condi- tions, le maillage n'épouse pas nécessairement les contours de la géométrie. On peut alors mailler une sphère avec des cubes (voir § 3.1). Par la suite, cette varainate de la F.I.T sera appelée C.F.I.T. 2.5. Formulation Une fois toutes ces matrices construites, on peut faci- lement établir les formulations dans le domaine discret en multipliant entre elles les matrices d'incidence et les matrices de masse. Pour illustrer cela, prenons le cas de l'électrocinétique [6] et la formulation en potentiel sca- laire électrique : div 0. 5. Titbe cle.flitx. Cette dernière devient sous sa forme discrète 1 1l1 = 0 (3) (4) REE Décembre2006 1 J ou représente des résistances électriques détinies par la loi d'Ohm e,l = R.l. En effet, la circulation de champ électrique le long d'une arête correspond à la ten- sion électrique aux bornes de cette arête. Quant au cou- rant électrique, c'est évidemment le flux de la densité de courant à travers une facette. Pour déterminer la résis- tance du tube de flux électrique, on applique alors la for- mule bien connue : Li R - p s1 (5) i 3. Applications Afin de valider les résultats obtenus par la FIT, une comparaison est effectuée avec ceux issus de la Méthode des Eléments Finis. Comme exemple d'application, nous avons étudié deux dispositifs. Le premier est un exemple académique, sphère plongée dans un champ magnétique, pour lequel il existe une solution analytique. Le deuxième exemple concerne une bobine de filtrage à noyau de fer. 3.1. Sphère plongée dans un champ uniforme Nous avons traité un problème magnétostatique dont la solution analytique est connue. Il s'agit d'une sphère, de 1 i-n de rayon et de perméabilité relative égale à 1000, plongée dans un champ magnétique uniforme de 0.5 A/i-n. Dans ces conditions, la valeur du champ magnétique au centre de la sphère est connue et vaut 1,497 mA/m [8]. La moitié de la sphère est modélisée et elle est insérée dans une boîte dont les dimensions suivant x, y, z valent respectivement 5 m, 2,5 m et 5 m. Le maillage est constitué de 62 500 hexaèdres réguliers et nous avons imposé une différence de potentiel magnétique de 2,5 A entre les deux plans de la boite d'air (plans yz), situés en x 0 et x = 5 m. Sur le plan x - 0, on a imposé un potentiel scalaire magnétique nul sur tous les noeuds de la surface. Sur l'autre plan x = 5, le potentiel magnétique est fié à 2,5 A. Sur ces deux plans, des équipo- tentiels scalaires magnétiques sont donc imposés comme on le fait pour imposer une différence de potentiel électrique dans le cas plus classique de l'électrocinétique. Comme les hexaèdres ne peuvent pas épouser les formes de la sphère le maillage utilisé est non conforme. A titre d'illustration, nous avons représenté sur la figure 6, la distribution du champ magnétique suivant le plan xOz. Un calcul avec la méthode des éléments finis a également été effectué. Par contre, nous avons utilisé un maillage dif férent afin de prendre en compte la géométrie réelle du pro- blème. Ce maillage, est composé de 17 115 éléments car, l'air est maillé plus grossièrement. Avec les deux méthodes, nous avons calculé l'énergie globale emmagasinée dans la sphère ainsi que la valeur du champ magnétique au centre. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau 1. - i Figiti- (, 6. Di3 li-ihiiiioli dit ch (iiiil ? iiia,,iiélitliie da ; is le pltiii -,cOz. CFIT MEF Analytique Energie (pJ) 10,958 10,835 ChampmagnétiqueCliainp magnétique 1,691 1,563 1,497 au centre mA/m) Tcibleaii 1. Ré,iilicits (1 (,s.iiiiiiiilioiis i-eltitii,es à Ici slhèl- (.,. 3.2. La bobine à noyau de fer La bobine étudiée est représentée sur la figure 7 [9]. Une partie du circuit magnétique a été enlevée afin de faire apparaître l'entrefer que l'on fera varier. On peut également distinguer les deux enroulements de 50 spires montés en série. Figiti-e 7. Bobii7e à iio.i,ciii de li-i- éliidiée. Pour des raisons de symétrie, l'étude se limite à la moitié de la bobine. Le maillage que nous avons utilisé est constitué de 6 125 hexaèdres, 7 800 noeuds, 21 644 arêtes et 19 970 facettes. Sur la figure 8, nous avons représenté le maillage de la partie active du dispositif (la boîte d'air n'est pas représentée). Dans ce paragraphe, nous présentons les résultats obtenus sur les grandeurs locales. Une étude comparative est effectuée entre les résultats de la FIT classique, de la 1 REE La technique d'intégration finie IÎII I _i···jr I I9 ii · ···I ·I% `1 ; I,Î'Il CCiC Vas, ; lli isi iJ%, s: s iiii%/i iil iâ',aN% %%%%1 11 1 1 ZS'i'1 Figtii-e 8. Maillage de la bobine éitidiée. CFIT et de la MEF. Pour cela on doit se placer dans des conditions de calcul identiques pour les deux méthodes. Toutes les simulations sont effectuées à courant imposé (pas de couplage circuit). Afin de compléter l'étude, nous avons reproduit sur la figure 9 la distribution de l'induction magnétique BFIT. IA / ® Figure 9. Distribution de 1 " ndtlc " o " BFIT Afin de visualiser la position où se situent les écarts les plus importants entre les deux méthodes, nous avons calculé la différence entre les inductions. Les résultats obtenus sont reproduits sur la figure 10, où l'on constate que les écarts les plus importants se trouvent autour de l'entrefer et dans les zones à forte saturation. On souhaite déterminer l'évolution de la valeur de l'in- ductance en fonction de l'épaisseur de l'entrefer. Pour cela, on impose un courant de tA et on effectue une série de simulations avec les trois méthodes en faisant, comme indi- qué précédemment, varier l'entrefer de 0 à 0,4 mm. Nous avons pris un pas de 0,05 mm. Les résultats obtenus sont présentés sur la figure H. On constate sur cette figure que -- --------- Figzrre 70. Disti-iblitioii, de BFIT-BMEF. L() jH) -' \ - CFIT F!TC!ass!queFIT Clissi,ie FEM 02 C) 4 e(rnm) Figiti-e Il. Ei,olittion dc la valeiii- de l'iiidiictai7ce eii.foiiction de l'épiisseiii- de l'entrfèi les valeurs de l'inductance sont relativement proches. Pour une valeur d'entrefer, e O,Imin, nous avons détenniné, à l'aide des trois méthodes (MEF, FIT classique et CFIT) l'évolution de l'inductance en fonction du courant dans la bobine. Les résultats obtenus, reproduits sur la figure 12, montrent que tes écarts les plus importants, pour la CFIT, apparaissent pour les faibles valeurs du courant. 1 1- " 1 , 1\ 1 2 i 1 , 12 x v. Ei a Figiii-e 12. Potti- iin enti-fei- de 0, 1 iîiiii, évoliiiioiz de l'iiidtic- tance en.fonctioii du coiii-ant. REE N'11 Décembre2006 1 Dossier J NOUVELLES TENDANCES EN CONCEPTION DE MACHINES ÉLECTRIQUES On s'intéresse maintenant à l'évolution du courant lorsque l'on applique une tension sinusoïdale aux bornes de la bobine. La simulation a été effectuée pour trois valeurs d'entrefer (0, 0,1 et 0,4 mm). La figure 13 pré- sente les résultats obtenus pour la MEF et la FIT classi- que. On peut constater, sur cette figure, que les formes d'onde du courant obtenues par les deux méthodes sont sensiblement équivalentes. --- FI l FIT e-0 1 FI] e04 FEr,oE:=oFE,l E-0 F E- ,' ( C) 1 FEl Figitl-e 13. Foiiîîe d'otidc- du coiti-Éii ? t (,Iciiis Ici bobilie oileilife la MI : F et li FIT c'Itis.i (jite- Afin de mettre en évidence les écarts entre les deux méthodes, nous avons reproduit, tigure 14, un agrandisse- ment du courant pour un entrefer égal à 0,1 mm, et nous avons ajouté les résultats obtenus avec la CFIT. Là encore, en présence d'une forte saturation (courant maximal), on peut noter un faible écart entre les différentes approches. ---.F - 1 cU,, n.*,,r 1,. Fi,-iii-e 14. Agi- (iiitlis,eiiieni dc, Ici,&giii-e 13 poiii- iiiie i, (ileili- cl'eiili-ifèi- égale a 0, 1 iiiii. 4. Conclusion La Technique d'Intégration Finie permet de résoudre les équations de Maxwell en obtenant une solution de même qualité que celle fournie par la méthode des élé- ments finis. L'intérêt de la FIT réside dans le fait qu'on utilise un maillage hexaédrique simple à construire et indépendant de la géométrie du système à modéliser. Dans ce cas, la qualité de la solution reste correcte sur les grandeurs globales (tllix, courant, tension...), mais celle sur les grandeurs locales (champ magnétique, induction magnétique) est dégradée. Toutefois, il est envisageable de modéliser des machines électriques avec cette techni- que car elle s'avère plus rapide que la méthode des élé- ments finis. Il résulte de cette étude que la FIT peut être un bon compromis entre la qualité de la solution et la rapidité des calculs. Références 111 T. VVEILAND, " TI/ne Oomain EIectromagnetic Field Computation with Finite difference Methods ", Inter. Jour. Num. ModVol 9, 295-319 (1996). [21 A. BOSSAVIT, L. KETTUNEN, " Yee-Ilke Schemes on Staggered Cellular Grids, A Synthesis Between FIT & FEM Approaches " IEEETrans. Mag., vo. 36, n'4, pp861-867 2000 [3] E TONTI, "On the Geometrical Structure of Electromagne- tlsm ", http ://discretephysics.dic.univ.triesteit/papers/TONTI/. [4] A. 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[101 M.MARRONE, " Computational Aspects of Cell Method in Electrodynamics ;' PI ER Monograph Series, vo.32, pp. 317- 356, 2001 Yvonnick Le Menach est docteur en Génie Electrique de l'Université des Sciences et Technologie de Lille (USTL) depuis 1999 Cette mëme année il a été nommé maïtre de conférences à !' ! UTde Béthune Depuis 2002, Il est maître de conférences à USTL. II mène ses recherches au sein du Laboratoire d'Electroni- que de Puissance et d'Eiectrotechnique de Lille sur la modélisation numérique des systèmes électromagnétiques. Jean-Pierre Ducreux est diplbmé en 1990 de l'Institut Industriel du Nord comme ingénieur en Génie Electrique. II obtient son doctorat en Génie Electrique de l'Université des Sciences etTechnologie de Lille ei 1994. Depuis 1993, 1 est ingénieur chercheur à EDF et tra- vaille principalement sur la modélisation des machines électriques tournantes (moteurs et alternateursl. Il est membre de la Société des ingénieurs en Electricité et Elecironique. 1 REE Décembre2006