Flachheitsbasierte Minimierung der Energieverluste und Reglerentwurf f ¨ ur eine doppeltgespeiste Asynchronmaschine mit Umrichtern

10/12/2016
Publication e-STA e-STA 2008-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2008-3:17711
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Résumé

Flachheitsbasierte Minimierung der Energieverluste und Reglerentwurf f  ¨  ur eine doppeltgespeiste Asynchronmaschine mit Umrichtern

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	    <date dateType="Created">Sat 10 Dec 2016</date>
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1 Flachheitsbasierte Minimierung der Energieverluste und Reglerentwurf f¨ur eine doppeltgespeiste Asynchronmaschine mit Umrichtern Albrecht Gensior, Joachim Rudolph und Henry G¨uldner R´ESUM´E ´ETENDU Une g´en´eratrice doublement aliment´ee avec deux conver- tisseurs de puissance est consid´er´ee, voir la figure 1 (Abbil- dung 1). Le rotor de la machine est aliment´e par un premier convertisseur, alors qu’un second convertisseur est connect´e au r´eseau de distribution. Les deux convertisseurs partagent la mˆeme liaison `a courant continu. Cette configuration est employ´ee en particulier dans des installations d’´eoliennes, car elle permet aussi bien de g´en´erer de la puissance r´eactive que de faire varier la vitesse angulaire de la machine. La machine et le convertisseur du cˆot´e du r´eseau pouvant d´elivrer de la puissance r´eactive, cette libert´e peut ˆetre exploit´ee pour minimiser la puissance dissip´ee. On utilise particuli`erement la propri´et´e de platitude du mod`ele pour r´esoudre ce probl`eme d’optimisation et r´ealiser la commande. Dans la section II, la platitude du mod`ele (2) est d´emontr´ee. On y propose d’utiliser la sortie plate y = (y1, y2, y3, y4) avec les composantes (4a)–(4d). Toutes les variables du syst`eme peuvent ainsi ˆetre exprim´ees en fonction de la sortie plate et d’un nombre fini de ses d´eriv´ees, voir (9)–(22). La section III concerne la minimisation des pertes ´energ´etiques dans le syst`eme. Les trajectoires de la vitesse angulaire de la machine, y1, de la tension ´electrique au niveau de la liaison `a courant continu, y2, et de la puissance r´eactive d´elivr´ee au r´eseau, y3, sont fix´ees en r´egime stationnaire. La composante y4, quant `a elle, peut ˆetre utilis´ee pour minimiser la dissipation d’´energie dans le syst`eme. Les pertes dues aux courants (moyenn´ees pour le convertisseur et la machine sur une p´eriode de la tension du r´eseau et celle du rotor, respectivement) peuvent ˆetre calcul´ees en utilisant (23)–(32). Rappelons que, par (9)–(22), toutes les variables du syst`eme peuvent ˆetre exprim´ees en fonction de la sortie plate, ce qui implique que la puissance totale dissip´ee (33) est ´egalement une fonction de la sortie plate. Afin de trouver une valeur de y4 qui r´esoude le probl`eme d’optimisation, on a besoin d’une solution de (34); une solution num´erique est propos´ee. La figure 2 illustre le partage de puissance r´eactive entre les convertisseurs du cˆot´e de la machine et du cˆot´e du r´eseau (dans le diagramme du haut) et les pertes correspondantes en fonction de y4 (en bas). La figure 3 repr´esente le partage de puissance r´eactive et les pertes globales pour diff´erentes valeurs de y2 en fonction de la charge m´ecanique mL de la A. Gensior und H. G¨uldner: TU Dresden, Elektrotechnisches Institut, Professur Leistungselektronik J. Rudolph: TU Dresden, Institut f¨ur Regelungs- und Steuerungstheorie machine. Pour la synth`ese d’une commande, qui est le sujet de la section IV, le syst`eme est scind´e en deux parties : la machine avec le convertisseur du cˆot´e du rotor, d’une part, et le convertisseur du cˆot´e du r´eseau avec le condensateur de la liaison `a courant continu, d’autre part. La synth`ese de la commande est bas´ee sur une m´ethode r´ecursive, connue sous le nom de ≪ integrator backstepping ≫ dans la litt´erature anglophone. D’abord, on d´eveloppe la commande pour la machine, en commenc¸ant par (35), o`u une partie additive int´egrale pour la vitesse du rotor est incluse. Elle peut ˆetre interpr´et´ee comme un observateur du couple de charge mL. Dans cette ´etape, l’amplitude du flux rotorique est consid´er´ee comme une entr´ee, qui doit satisfaire (37). Cette commande ne peut pas ˆetre appliqu´ee r´eellement au syst`eme. Ainsi une erreur est prise en compte dans l’´etape suivante. On notera que dans (40) une erreur ≪ naturelle ≫ est choisie — en vue du caract`ere non lin´eaire du syst`eme. Dans les ´etapes suivantes, les trajectoires des autres variables du premier sous-syst`eme sont stabilis´ees, l’une apr`es l’autre, jusqu’`a ce que, dans (50), l’entr´ee de commande ≪ r´eelle ≫ uR apparaisse. Cette entr´ee d´epend de ¨y4 et y (3) 4 , et, en substituant la commande conc¸ue et ses d´eriv´ees, on obtient (53) et (54). La synth`ese de la commande du second sous-syst`eme suit le mˆeme cheminement et est donn´ee dans (55)–(63). Pour v´erifier l’efficacit´e de la commande, des r´esultats de simulation sont pr´esent´es dans la figure 4. Un r´egime d’op´eration comportant six phases a ´et´e choisi ; il inclut une acc´el´eration de la machine (phase II), une transition d’un r´egime stationnaire, non optimal, `a un autre, optimal par rapport aux pertes consid´er´ees (phase IV), et un changement brusque du couple de charge (phase VI). EXTENDED ABSTRACT A doubly-fed induction generator with two powerelectronic converters is considered, as depicted in Fig. 1 (Abbildung 1). The rotor of the machine is fed by a first converter while a second converter is connected to the grid. Both converters share the same dc-link. This configuration is used especially in wind energy plants because it enables both the generation of reactive power and a variable speed of the machine. Due to the ability of the machine and the grid-side converter to deliver reactive power to the grid this freedom can be used to minimize the energy dissipation in the system. The main focus of the paper lies on the exploitation of the flatness of e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 2 the model for the optimization task mentioned, and for control design. In Section II the flatness of the model (2) is shown. Use of the flat output y = (y1, y2, y3, y4) with components (4a)– (4d) is suggested. All system variables can be expressed by the flat output and a finite set of its derivatives as provided by (9)–(22). Section III focusses on the minimization of the power losses in the system. A desired operating regime with fixed values (stationary trajectories) for the speed of the machine, the dc- link voltage and the amount of reactive power delivered to the grid fix the trajectories of y1, y2, and y3. The remaining component y4 can be used for the minimization of the energy dissipation in the system. The current power losses (averaged over a period of the grid voltage or rotor voltage, respectively) can be calculated using (23)–(32). Recall, that by (9)–(22) the system variables can be expressed by the flat output, thus, the total power dissipation (33) is a function of the flat output as well. In order to find a value y4 which solves the optimization problem the solution of (34) is required. A numerical solution is suggested. Fig. 2 shows the reactive power sharing between machine and grid-side converter (upper diagram) and the corresponding power losses (lower diagram) over y4. Fig. 3 shows the reactive power sharing and the total power loss for different values y2 over the load mL of the machine. For the control design, which is presented in Section IV, the system is splitted into the part of the machine with the rotor-side converter on the one hand and, into the grid-side converter with the dc-link capacitor on the other hand. The control design makes use of a recursive approach (integrator backstepping). First, the controller for the machine is develo- ped starting with (35) where an additional integral part for the speed of the machine is included. It can be interpreted as an observer for the load torque mL. In this step the amplitude of the rotor flux is considered as an input which has to satisfy (37). This control action cannot be applied to the system. Thus, the error is taken into consideration in the subsequent step. Note, that in (40)—in view of the nonlinear character of the system—a ‘natural’ choice of the error is made. In the following steps the remaining system variables of the first subsystem are (step by step) stabilized until in (50) the ‘real’ control input uR appears. This input depends on ¨y4 and y (3) 4 which itself are functions of that input. By substitution of the control input the unknown derivatives can be calculated which leads to (53) and (54). The control design for the other subsystem proceeds in a similar way and is given by (55)–(63). For a verification of the controller performance simulations are presented in Fig. 4. An operating regime is used which consists of six phases, including an increase of the speed of the machine (phase II), a transfer from a non-optimal operating point to an optimal operating point with respect to the power losses (phase IV), and a change of the load torque (phase VI). I. EINLEITUNG Doppeltgespeiste Asynchronmaschinen werden heute haupt- s¨achlich in Windenergienanlagen verwendet, wobei die Sta- torwicklung direkt mit dem Netz verbunden ist und die Rotorwicklung ¨uber Umrichter gespeist wird. Durch diese Konfiguration ergeben sich folgende Vorteile: • Es ist m¨oglich, die Drehzahl der Maschine in einem gewissen Bereich zu variieren. Dadurch kann die Anlage bei verschiedenen Windverh¨altnissen in einem aerodyna- misch g¨unstigen Drehzahlbereich betrieben werden. • Das System kann zur Erzeugung von Blindleistung ge- nutzt werden. • Die Umrichter m¨ussen nur f¨ur einen Teil der Anlagen- leistung, typischerweise 25 %, ausgelegt werden [1]. Flachheitsbasierte Entwurfsmethoden f¨ur den Steuerungs- und Regelungsentwurf elektrischer Maschinen werden bei- spielsweise in [2]–[8] genutzt. In [7] wird insbesondere f¨ur den Fall, dass Rotor- und Statorspannung als Stellgr¨oßen verwendet werden, ein flacher Ausgang f¨ur das Modell einer doppeltgespeisten Asynchronmaschine angegeben. Bei dem vorliegenden System spielt die Statorspannung jedoch die Rolle eines Parameters, so dass nur die Rotorspannung als Stellgr¨oße der Maschine zur Verf¨ugung steht. Hier soll das Hauptaugenmerk auf einer flachheitsbasier- ten Minimierung der Energieverluste1 liegen. Dazu wird die Tatsache ausgenutzt, dass sowohl die Maschine, als auch der netzseitige Umrichter in der Lage sind, Blindleistung bereitzu- stellen. Es kann dann die Verteilung der Blindleistung auf bei- de Teilsysteme als Wahlm¨oglichkeit aufgefasst werden, die zur Minimierung der Energieverluste genutzt werden kann. In [9] wird eine Verteilung vorgeschlagen, welche die Anschaffungs- kosten der Anlage minimiert. Diese Betrachtung f¨uhrt dazu, dass zur Entlastung des Netzkonverters die Blindleistung allein von der Maschine bereitgestellt wird. Dabei wurde nur der Fall betrachtet, dass kein Blindstrom erzeugt wird. In [10] wird eine energieverlustoptimale Verteilung vorgeschlagen, wobei nur die ohmschen Verluste in der Maschine Ber¨ucksichtigung finden. Dieser Ansatz wird in [11] erweitert, indem zus¨atzlich die Energieverluste in den Umrichtern ber¨ucksichtigt werden. In Abschnitt II wird zun¨achst ein Modell angegeben und dessen Flachheit gezeigt. Anschließend werden in Ab- schnitt III eine flachheitsbasierte Minimierung der Energie- verluste diskutiert und in Abschnitt IV ein Regelungskonzept vorgeschlagen sowie dessen Funktionst¨uchtigkeit simulativ ¨uberpr¨uft. II. MODELLBILDUNG UND FLACHHEIT DES MODELLS A. Modellbildung In Abb. 1 ist das Ersatzschaltbild einer doppeltgespeisten Asynchronmaschine und zweier ¨uber einen Gleichspannungs- zwischenkreis gekoppelter Umrichter zu sehen. Der maschi- nenseitige Umrichter ist mit der Rotorwicklung verbunden, w¨ahrend sowohl die Statorwicklung der Maschine als auch der netzseitige Umrichter direkt mit dem Netz verbunden sind. Das Modell setzt sich aus jenen eines gepulsten Gleich- richters ([12]) und einer symmetrischen elektrischen Maschine ([6], [13]) zusammen. Die Darstellung erfolgt mit Hilfe der Transformation zdq0 = z123Tdq0 (1) 1Darunter wird in den folgenden Betrachtungen die Energie verstanden, die in Folge der Verwendung ” realer“ Bauelemente in W¨arme umgesetzt wird. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 3 -zN1  U1 -zS1 zR1LSRS L LR RR -zN2  U2 -zS2 zR2 -zN3  U3 -zS3 zR3 ? zc Abbildung 1. Ersatzschaltbild einer doppeltgespeisten Asynchronmaschine mit den zur Speisung des Rotors verwendeten Umrichtern. Die Bezeichnung der Parameter wurde der ¨Ubersichtlichkeit halber nur f¨ur einen Strang ausgef¨uhrt. mit Tdq0 = 2 3   cos(ωt + ϕ) − sin(ωt + ϕ) 1/2 cos(ωt − γ + ϕ) − sin(ωt − γ + ϕ) 1/2 cos(ωt + γ + ϕ) − sin(ωt + γ + ϕ) 1/2   , wobei zdq0 = (zd, zq, z0) die Gr¨oßen im mit der Frequenz ω rotierenden, z123 = (z1, z2, z3) die Gr¨oßen im raumfesten Koordinatensytem, γ = 2π/3 und ϕ der Phasenwinkel des Mitsystems der Spannung2 sind. Unter Verwendung der kom- plexen Schreibweise zN = zNd + jzNq f¨ur die Str¨ome zNi, i = 1, 2, 3 im netzseitigen Umrichter sowie analog f¨ur die anderen ” strangbezogenen“ Gr¨oßen lautet das Modell L˙zN = U − zc 2 sN − jωLzN (2a) C ˙zc = 3 4 Re {zN s∗ N } − 3 4 Re {zRs∗ R} (2b) ΨS = LSzS + MzR (2c) ΨR = LRzR + MzS (2d) U = RSzS + ˙ΨS + jωΨS (2e) zc 2 sR = RRzR + ˙ΨR + j(ω − npωm)ΨR (2f) J ˙ωm = 3 2 npM Im {zSz∗ R} − mL. (2g) Dabei handelt es sich um ein ¨uber eine Schaltperiode gemittel- tes Modell, wobei die Schaltfrequenz gegen unendlich strebt. Die komplexen Gr¨oßen zN , zS und zR sind die Str¨ome durch die Netzdrosseln, bzw. die Stator- und die Rotorwicklung der Maschine. Desweiteren stehen sN und sR f¨ur die Schalterstel- lungen des netz- bzw. des rotorseitigen Konverters, mit sNi ∈ [−1, 1] und sRi ∈ [−1, 1], i = 1, 2, 3. Dabei entsprechen sNi = 1 bzw. sRi = 1, i = 1, 2, 3 ” nach oben“ und sNi = −1 bzw. sRi = −1 ” nach unten“ geschlossenen Schaltern – 2Prinzipiell kann ϕ arbitr¨ar gew¨ahlt werden, jedoch bewirkt diese Ausrich- tung, dass bei einem symmetrischen Netz Uq = 0 ist. Damit entspricht zq dem als Blindstrom bezeichneten Anteil des Stroms, der einen Phasenversatz von π/2 gegen¨uber der Spannung aufweist. Bei einem asymmetrischen Netz ist durch diese Ausrichtung gew¨ahrleistet, dass der Mittelwert von Uq Null ist. siehe Abb. 1. Die komplexen Gr¨oßen ΨS und ΨR sind die Flussverkettungen im Stator und im Rotor. Die reelle Gr¨oße zc > 0 bezeichnet die Zwischenkreisspannung. Der komplexe Parameter U repr¨asentiert die Spannungen des Versorgungs- netzes. Wurde die Ausrichtung des dq0-Koordinatensystems so gew¨ahlt, dass bei einem symmetrischen Netz Im{U} = 0 gilt, so werden die Imagin¨arteile von zN und zS als Blindstr¨ome bezeichnet. Der Parameter C beschreibt die Kapazit¨at des Zwischenkreiskondensators und L die Induktivit¨at der Hoch- setzstellerdrosseln des netzseitigen Konverters. Die Gr¨oßen LS und LR bezeichnen die Selbstinduktivit¨aten des Stators und des Rotors, M die Koppelinduktivit¨at und RS und RR die Widerst¨ande der Stator- und Rotorwicklung. Es ist J das Tr¨agheitsmoment, mL das Lastmoment, np die Polpaarzahl der Maschine und j = √ −1. Komplexe Gr¨oßen oder Ab- bildungen in die Menge der komplexen Zahlen werden mit einem Unterstrich und konjugiert komplexe Gr¨oßen zus¨atzlich mit einem hochgestellten Stern gekennzeichnet. Die Gleichung (2a) ist die Maschengleichung des Netzkon- verters, (2b) die Knotengleichung am Zwischenkreiskonden- sator. Die Flussverkettungen in der Maschine sind durch (2c) und (2d) gegeben. Die Gleichungen (2e) und (2f) beschreiben das elektrische und (2g) das mechanische Teilsystem der Maschine. B. Flachheit des Modells Schreibt man die Verkettung des Statorflusses in exponen- tieller Schreibweise, also ΨS = ρejθ , (3) und definiert y1 = 3 4 LzN z∗ N + 1 2 Cz2 c (4a) y2 = Im {zN + zS} (4b) y3 = ωm (4c) y4 = θ, (4d) so kann y = (y1, y2, y3, y4) als ein flacher Ausgang des Mo- dells (2) angegeben werden. Die erste Komponente von y ent- spricht der Summe der in den Netzdrosseln und im Zwischen- kreiskondensator gespeicherten Energie, die zweite beschreibt (bei entsprechender Ausrichtung des dq-Koordinatensystems gegen¨uber dem st¨anderfesten Koordinatensystem) den Blind- strom des gesamten Systems, die dritte die Winkelgeschwin- digkeit des Rotors der Maschine und die vierte Komponen- te das Argument der Statorflussverkettung, d. h. den Win- kel der Statorflussverkettung bez¨uglich der d-Achse des dq- Koordinatensystems. Diese Wahl ist insofern naheliegend als daf¨ur auf bekannte flache Ausg¨ange der beiden Teilsysteme zur¨uckgegriffen werden konnte, siehe [12] f¨ur den netzseiti- gen gepulsten Gleichrichter und [4]3 f¨ur eine symmetrische elektrische Maschine. 3In [4] wird das Argument der Rotorflussverkettung als Komponente des flachen Ausgangs f¨ur eine Asynchronmaschine mit K¨afigl¨aufer vorgeschlagen, hier wird, da der Rotor gespeist wird, das Argument der Statorflussverkettung verwendet. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 4 F¨uhrt man f¨ur die Netzspannung U die exponentielle Dar- stellung U = δejγ (5) ein, so gilt unter Verwendung von (2c), (2e), (2g), (4c) und (4d) bei Ber¨ucksichtigung von (3) aρ2 + bρ + c = 0 (6) mit a( ˙y4) = 3np 2RS ( ˙y4 + ω) b(y4) = 3npδ 2RS sin(y4 − γ) c( ˙y3) = mL + J ˙y3. F¨ur den Betrag der Statorflussverkettung ergeben sich so die beiden L¨osungen ρ =    Q+ ρ (y4, ˙y3, ˙y4) = −b(y4) + b2(y4) − 4a( ˙y4)c( ˙y3) 2a( ˙y4) Q− ρ (y4, ˙y3, ˙y4) = −b(y4) − b2(y4) − 4a( ˙y4)c( ˙y3) 2a( ˙y4) . (7) Wie man im station¨aren Betrieb ( ˙θ = ˙ωm = 0) der Maschine leicht sieht, liefert nur die L¨osung Q+ ρ sowohl im Generator- als auch im Motorbetrieb positive Werte ρ und kann somit als physikalisch sinnvolle L¨osung von (6) angesehen werden. F¨ur ω > 0 und | ˙y4| < ω muss f¨ur positive Werte ρ außerdem (y4 − γ) ∈ [0, −π] gelten. F¨ur reelle L¨osungen ρ muss die Diskriminante von (6) positiv semidefinit sein. Dies ist immer dann erf¨ullt, wenn (unter der gleichen Voraussetzung bez¨uglich ω und ˙y4) 3npδ 8RS sin2 (y4 − γ) ˙y4 + ω ≥ J ˙y3 + mL (8) gilt. Diese Ungleichung kann so interpretiert werden, dass es ein maximales Drehmoment gibt, welches die Maschine zur Verf¨ugung stellen kann. Da mit (7) der Betrag der Statorflussverkettung bekannt ist, kann man schreiben ΨS = QΨS (y4, ˙y3, ˙y4) = Q+ ρ ejy4 . (9) Mit (2e) folgt damit4 zS = QzS (y4, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4) = 1 RS U − ˙QΨS (y4, . . . , ¨y4) − jωQΨS (y4, ˙y3, ˙y4) , (10) so dass mit Hilfe von (2c) zR = QzR (y4, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4) = 1 M QΨS (y4, ˙y3, ˙y4) − LSQzS (y4, . . . , ¨y4) (11) 4Zur Verk¨urzung der Schreibweise werden die Argumente einer Funktion Q nur an der Stelle ihres ersten Auftretens vollst¨andig ausgeschrieben. Die Argumente der Ableitungen von Q ergeben sich aus den Argumenten der Funktion, wobei f¨ur jede Komponente von y, die ein Argument von Q ist, eine weitere Ableitung hinzukommt. berechnet werden kann. Durch (2d) ist nun auch die Stator- flussverkettung festgelegt: ΨR = QΨR (y4, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4) = LRQzR (y4, . . . , ¨y4) + MQzS (y4, . . . , ¨y4). (12) Aus (10) und (4) folgt f¨ur den Imagin¨arteil des Stromes zN Im{zN } = QzNq (y2, y4, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4) = y2 − Im{QzS (y4, . . . , ¨y4)}. (13) Aus (2f) l¨asst sich die den Rotor speisende Spannung uR berechnen: uR = zcsR 2 = QuR y3, y4, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 = RRQzR (y4, . . . , ¨y4) + ˙QΨR (y4, . . . , y (3) 4 ) + j(ω − npy3)QΨR (y4, . . . , ¨y4). (14) Leitet man (4a) einmal nach der Zeit ab, so erh¨alt man die Leistungsbilanz im netzseitigen Konverter, ˙y1 = 3 2 Re{U z∗ N } − 3 2 Re{uRz∗ R}, (15) so dass sich mit (11), (13) und (14) die d-Komponente des Netzstroms berechnen l¨asst: Re{zN } = QzNd y2, y3, y4, ˙y1, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 = 1 Ud Re QuR y3, . . . , y (3) 4 Q∗ zR (y4, . . . , ¨y4) + 2 ˙y1 3Ud − Uq Ud QzNq (y2, . . . , ¨y4). (16) Damit gilt f¨ur den Netzstrom in komplexer Darstellung zN = QzN y2, y3, y4, ˙y1, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 = QzNd y2, . . . , y (3) 4 + jQzNq (y2, . . . , ¨y4) . (17) Aus (4a) und (17) folgt f¨ur die Zwischenkreisspannung zc = Qzc y1, y2, y3, y4, ˙y1, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 = y1 C − 3L 2C QzN y2, . . . , y (3) 4 Q∗ zN y2, . . . , y (3) 4 , (18) so dass die Schalterstellungen des rotorseitigen Konverters mit (14) sR = QsR y1, y2, y3, y4, ˙y1, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 = 2QuR y3, . . . , y (3) 4 Qzc y1, . . . , y (3) 4 (19) lauten. Differenziert man (15), gelangt man zu ¨y1 = 3 2 Re{ ˙U z∗ N + U ˙z∗ N − ˙uRz∗ R − uR ˙z∗ R}. (20) Setzt man nun die Beziehungen (11), (13) und (14) sowie die Modellgleichung (2a) ein und l¨ost nach dem Realteil der e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 5 Schalterstellung des netzseitigen Konverters auf, so erh¨alt man sNd = QsNd y1, y2, y3, y4, ˙y1, ˙y2, ˙y3, ˙y4, ¨y1, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 , y (4) 3 , y (4) 4 = 2L UdQzc y1, . . . , y (3) 4 U2 d L + UdωQzNq (y2, . . . , ¨y4) − 2¨y1 3 + Uq ˙QzNq y2, . . . , y (3) 4 + Re ˙UQ∗ zN y2, . . . , y (3) 4 − Re QuR y3, . . . , y (3) 4 ˙Q ∗ zR y4, . . . , y (3) 4 − Re ˙QuR y3, . . . , y (4) 4 Q∗ zR (y4, . . . , ¨y4) (21) und mit (16) sowie der Modellgleichung (2a) sNq = QsNq y2, y3, y4, ˙y1, ˙y2, ˙y3, ˙y4, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 = 2 Qzc y1, . . . , y (3) 4 Uq − L ˙QzNq y2, . . . , y (3) 4 − ωLQzNd y2, . . . , y (3) 4 . (22) Der Ausgang y mit den Komponenten nach (4) ist also ein flacher Ausgang des Modells (2a)–(2g). III. FLACHHEITSBASIERTE MINIMIERUNG DER ENERGIEVERLUSTE In [2], [3] wurde die durch die Flachheit gegebene Parame- trierbarkeit der Systemvariablen durch einen flachen Ausgang zur ” Prognose“ der Energieverluste und damit im Rahmen einer geeigneten Trajektorienplanung zu deren Minimierung genutzt. In [2] wird eine Regelung f¨ur eine fremderregte Gleichstrommaschine vorgestellt, durch welche die Verluste in den Wicklungswiderst¨anden der Maschine minimiert werden. Dabei fungieren die Ankerspannung und die Erregerspannung als Stellgr¨oßen. In [3] erfolgt die Anwendung auf eine Asyn- chronmaschine mit Kurzschlußl¨aufer, die Stellgr¨oße ist dort die St¨anderspannung. Im vorliegenden Fall sind bereits durch Vorgabe von Trajek- torien f¨ur y1, y2 und y3 die Drehzahl der Maschine, die Zwi- schenkreisspannung und die Blindleistung des Gesamtsystems festgelegt. Mit der verbleibenden Komponente y4 kann die Verteilung der Blindleistung zwischen Maschine und netzsei- tigem Umrichter beeinflusst werden. Um die einem verlustop- timalen Betrieb entsprechende Trajektorie y4 zu berechnen, ist es zun¨achst notwendig, die auftretende Verlustleistung durch den flachen Ausgang zu parametrieren. Von den im Folgenden aufgelisteteten Verlusten lassen sich einige nicht mit dem Modell (2a)–(2g) erkl¨aren. Auf diese Problematik wird im Anschluss eingegangen, sie wird f¨ur die Berechnung der einzelnen Verluste zun¨achst außen vor gelassen. a) Verluste in der Maschine: Von den in der Maschine auftretenden Energieverlusten werden hier nur die Verluste in den Wicklungswiderst¨anden des Stators und des Rotors betrachtet, die wie folgt berechnet werden k¨onnen: Pr,S = 3 2 RSRe {zSz∗ S} (23) Pr,R = 3 2 RRRe {zRz∗ R} . (24) b) Verluste in den Umrichtern: Die Verluste in Folge der (im Modell (2a)–(2g) nicht ber¨ucksichtigten) Wicklungs- widerst¨ande RN der Hochsetzstellerdrosseln betragen analog zu (23) und (24) Pr,N = 3 2 RN Re {zN z∗ N } . (25) F¨ur die Berechnung der Energieverluste in den leistungs- elektronischen Schaltern soll von einem Spannungsabfall mit einem konstanten und einem linear vom Strom abh¨angigen Anteil ¨uber den Ventilen ausgegangen werden. Es seien UI und UD jeweils die Flussspannungen sowie RI und RD die Widerst¨ande der verwendeten (IGBT-)Schalter und Dioden. F¨ur die Verlustleistung im Zweig i ∈ {1, 2, 3} des netzseitigen Konverters gilt somit Pl,Ni = zNi sgn(zNi) UI + UD 2 − sNi UI − UD 2 + z2 Ni RD + RI 2 + sgn(zNi)sNi RD − RI 2 . (26) Auf Grund der Zeitabh¨angigkeit erscheint es zweckm¨aßig, an Stelle der momentanen Verlustleistung deren Mittelwert ¨uber eine Netzperiode f¨ur ein station¨ares Arbeitsregime zu betrachten. Aus Symmetriegr¨unden ist es f¨ur diese Betrachtung ausreichend, die Berechnung nur f¨ur einen Zweig auszuf¨uhren, so dass gilt Pl,N = 3ω 2π 2π ω 0 Pl,N1(t)dt. (27) Rotorseitig gilt f¨ur die momentane Verlustleistung im Zweig i ∈ {1, 2, 3} wegen der entgegengesetzten Z¨ahlpfeilrichtung der Str¨ome (siehe Abb. 1) Pl,Ri = zRi sgn(zRi) UI + UD 2 + sRi UI − UD 2 + z2 Ri RD + RI 2 − sgn(zNi)sNi RD − RI 2 . (28) Da die Rotorgr¨oßen in einem rotorfesten Koordinatensystem betrachtet werden, weisen sie im station¨aren Betrieb der Ma- schine eine Frequenz von ω − npωm auf. F¨ur die mittlere Verlustleistung gilt daher analog zu (27) Pl,R = 3(ω − npωm) 2π 2π ω−npωm 0 Pl,R1(t)dt. (29) e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 6 Die ” momentanen“ (¨uber eine Schaltperiode gemittelten) Schaltverluste im Zweig i ∈ {1, 2, 3} werden f¨ur den netz- seitigen Konverter durch Ps,Ni = |zNi| zccsfs (30) modelliert. Dabei repr¨asentieren fs die Schaltfrequenz und cs einen konstanten Parameter. Mittelt man die Verlustleistung in allen drei Zweigen im station¨aren Betrieb ¨uber eine Periode, so folgen Ps,N = 6 π |zN | zccsfs (31) und analog dazu f¨ur den rotorseitigen Konverter Ps,R = 6 π |zR| zccsfs. (32) Nachdem die Berechnung der zu betrachtenden Verlustleis- tungen dargelegt wurde, erscheinen dazu zwei Bemerkungen angebracht: • Die zu ber¨ucksichtigenden Verlustleistungen wurden hier der besseren Lesbarkeit halber als Funktionen der Zwi- schenkreisspannung, der Str¨ome und der Schalterstellun- gen angegeben. Es ist jedoch klar, dass diese jederzeit mit Hilfe der in Abschnitt II erarbeiteten Beziehungen in y und seinen Ableitungen ausgedr¨uckt werden k¨onnen. Im Speziellen bedeutet dies, dass f¨ur die Gesamtverlust- leistung Pg ein Ausdruck der Art Pg = Pr,S +Pr,R+Pr,N +Pl,N +Pl,R +Ps,N +Ps,R = QPg y1, y2, y3, y4, ˙y1, ˙y2, ˙y3, ˙y4, ¨y1, ¨y3, ¨y4, y (3) 3 , y (3) 4 , y (4) 3 , y (4) 4 (33) existiert. F¨ur die einzelnen Verlustleistungen ergeben sich entsprechend ¨ahnliche Darstellungen. • Im Modell (2) wurden der Widerstand der Netzdrosseln, die Flussspannung der Ventile sowie die Schaltverlust- leistung nicht ber¨ucksichtigt. Dies ist dem Bem¨uhen geschuldet, ein zum Zwecke der Regelung m¨oglichst ” einfaches“ und dennoch hinreichend ” genaues“ Modell zu erhalten. Es wird also davon ausgegangen, dass die vernachl¨assigten Elemente dessen Verhalten nicht maß- geblich ver¨andern und diese Effekte durch den Einsatz ei- nes geeigneten Folgereglers ausgeglichen werden k¨onnen. Um den gesuchten Wert f¨ur y4 zu bestimmen, f¨ur welchen die Energieverluste minimal werden, kann f¨ur den station¨aren Betrieb die Beziehung d dy4 QPg (y1,d, y2,d, y3,d, y4, 0, . . . , 0) = 0 (34) nach y4 aufgel¨ost werden, wobei y1,d, y2,d und y3,d die f¨ur den gew¨unschten Arbeitspunkt erforderlichen Werte (station¨aren Trajektorien) sind. Da die L¨osung von (34) nicht in einfa- cher Weise berechenbar erscheint, wird dem eben skizzierten L¨osungsweg an dieser Stelle eine numerische L¨osung des Problems vorgezogen. Dabei wird die Verlustleistung f¨ur be- stimmte Werte y4 aus einem vorgegebenen Intervall bestimmt und jener Wert verwendet, f¨ur welchen diese minimal ist. −4 −2 0 2 4 6 Str¨omeinA − 51 100 π −π 2 − 49 100 π y4 0 50 100 150 200 250 300 VerlustleistungeninW − 51 100 π −π 2 − 49 100 π y4 Fall 1 Fall 2 Abbildung 2. Einfluss der Komponente y4 auf die Str¨ome im Stator der Maschine und im netzseitigem Konverter (oben) und auf die Verlustleistung (unten). Die zum Stator geh¨origen Gr¨oßen sind rot, die zum netzseitigen Konverter blau und die zum Rotor geh¨origen gr¨un gezeichnet. Im oberen Diagramm entsprechen die durchgezogenen Linien jeweils der q-Komponente und die gestrichelten Linien der d-Komponente der Str¨ome. Die schwarze Linie markiert den Verlauf der Gr¨oße zSd + zNd. Die durchgezogenen farbigen Linien im unteren Diagramm stellen jeweils die ohmschen Verluste, die gestrichelten Linien die Verluste in den Ventilen (Schalt- und Leitverluste) und die schwarze Linie die Gesamtverlustleistung P g dar. In Abb. 2 sind die Verteilung der Blindleistung zwischen Maschine und netzseitigem Umrichter und die dazu korrespon- dierende Verlustleistung ¨uber y4 aufgetragen. Darin sind zwei Betriebsf¨alle hervorgehoben: Im Fall 1 wird die Blindleistung allein von der Maschine bereitgestellt, w¨ahrend die Verteilung der Blindleistung im Fall 2 verlustoptimal gew¨ahlt wurde. F¨ur die Maschine wurden die Parameter aus [11] verwendet: LS = 148 mH, LR = 141 mH, M = 139 mH, RS = 1,54 Ω, RR = 0,9 Ω und J = 0,045 kg m2 . Die Konverter sind wie folgt parametriert: L = 4 mH, C = 1 mF, RN = 0,5 mΩ, UI = 1,5 V, UD = 0,9 V, RI = 15 mΩ, UD = 5,6 mΩ, fs = 10 kHz und cs = 2,15 · 10−6 s, und f¨ur das Netz wurde eine Spannung von Ud = √ 2 230 V und Uq = 0 bei einer Frequenz von ω = 50 Hz verwendet. Als nominelle station¨are Trajektorien wurden y2,d = 2 A und y3,d = 136,1 s−1 gew¨ahlt, was dem Betrieb der Anlage bei einer Drehzahl von 1300 min−1 entspricht. Die station¨are Trajektorie y1,d wurde stets so gew¨ahlt, dass mit einer Zwischenkreisspannung von zc = 700 V gearbeitet wird. Das Lastmoment betr¨agt mL = −10 Nm, die Maschine arbeitet also im generatorischen Betrieb. In Abb. 3 sind f¨ur die zwei ausgewiesenen F¨alle jeweils die Verteilung des Blindstroms zwischen Maschine und netzseiti- gem Konverter und die dazu korrespondierende Verlustleistung in Abh¨angigkeit der Belastung der Maschine dargestellt. In dieser Abbildung wird der resultierende Blindstrom y2,d als Parameter verwendet. Offensichtlich erweist sich die ver- e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 7 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 −4 −2 0 2 4 6 zNq,zSqinA mL in Nm −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 0 100 200 300 400 500 PginW mL in Nm Abbildung 3. Blindstromverteilung bei verlustoptimalem Betrieb (Fall 2) (oben) und Vergleich der Verlustleistung mit Fall 1 (unten). Die Farben sind jeweils unterschiedlichen Werten f¨ur y2,d zugeordnet: y2,d = −2 A (gr¨un), y2,d = 0 (rot) und y2,d = 2 A (blau). Im oberen Diagramm veranschaulichen die gestrichelten Linien den Strom zNq und die durchgezogenen Linien den Strom zSq. Im unteren Diagramm ist der Fall 1 gestrichelt und der Fall 2 mit durchgehenden Linien gekennzeichnet. lustoptimierte Betriebsweise vor allem dann als besonders wirkungsvoll, wenn gegen¨uber dem Versorgungsnetz ein ka- pazitives Verhalten des gesamten Systems gefordert wird. IV. REGLERENTWURF Prinzipiell kann eine Folgeregelung sofort durch eine quasi- statische Zustandsr¨uckf¨uhrung realisiert werden, indem f¨ur den Folgefehler beispielsweise eine lineare Dynamik vorgegeben wird. Da die Dynamik des Folgefehlers f¨ur die Gr¨oßen y3 und y4 jedoch vierter Ordnung ist, erschwert dies die Wahl der Reglerparameter. Da sich das System sehr gut in zwei Teilsysteme, die Maschine mit dem rotorseitigen Umrichter einerseits und den netzseitigen Konverter andererseits, aufspalten l¨asst, erscheint es zweckm¨aßig, die Regelung der zwei Teilsysteme getrennt vorzunehmen. In [14] wird dazu ein Verfahren vorgestellt, das f¨ur die Regelung der Maschine auf die Methode der soge- nannten feldorientierten Regelung zur¨uckgreift. Dazu wird der Rotorwicklung der Maschine mittels unterlagerter Regler ein Strom eingepr¨agt, wobei die Tatsache ausgenutzt wird, dass bei Vern¨achl¨assigung des Statorwiderstands im station¨aren Betrieb die Wirkungen der d- und der q-Komponente dieses Stromes voneinander entkoppelt sind. Dies l¨asst sich leicht nachvollziehen, wenn man in (2e) RS = 0 und ˙ΨS = 0 setzt.5 Daraus folgt unmittelbar U = jωΨS, was bedeutet, dass die Statorflussverkettung vom Arbeitsregime der Maschine unabh¨angig ist. Die Entkopplung wird besonders leicht ersicht- lich, wenn man das dq-Koordinatensystem an der Netzspan- nung ausrichtet, so dass Uq = 0 gilt. Dann folgen ΨSd = 0 und ΨSq = Ud/ω. Betrachtet man nun (2g), so lautet diese unter 5In diesem Falle w¨are (4) jedoch kein flacher Ausgang mehr, da θ ein konstanter Parameter w¨are. Verwendung von (2c) J ˙ωm = 3npM ΨSqzRd/(2LS) − mL. Offenbar ist die d-Komponente des Rotorstroms dem von der Maschine bereitgestellten Drehmoment proportional. An- dererseits gilt mit (2c) ΨSq = LSzSq + MzRq, was zeigt, dass der von der Maschine generierte Blindstrom ¨uber die q- Komponente des Rotorstroms gestellt werden kann. Da der Nachweis der Stabilit¨at f¨ur das in [14] vorgestellte Verfahren f¨ur instation¨aren Betrieb und bei RS = 0 schwierig erscheint, wird hier ein alternatives Regelungskonzept ver- wendet. In [15] wird ein rekursives Verfahren (integrator backstepping) vorgestellt, welches f¨ur die Regelung der beiden Teilsysteme herangezogen werden soll; in [16] wird diese Form der Stabilisierung speziell f¨ur flache Mehrgr¨oßensysteme diskutiert. F¨ur die folgenden Ausf¨uhrungen werden die nominellen Trajektorien der Komponenten des flachen Ausgangs mit dem zus¨atzlichen Index d (desideratum) gekennzeichnet. Zun¨achst erfolgt der Regelungsentwurf f¨ur die Maschine, wobei zur Beseitigung station¨arer Abweichungen der Drehzahl ein I- Anteil eingef¨uhrt wird, der auch als Beobachter f¨ur das Lastmoment interpretiert werden kann. Ausgangspunkt ist die (positiv definite) Funktion 2VM,0 = λy3 J(y3 − y3,d)2 + λmL ( ˆmL − mL)2 (35) mit den positiven Konstanten6 λy3 und λmL sowie der Varia- blen ˆmL, die dem gesch¨atzten Lastmoment entspricht. Unter Verwendung des Modells ˙mL = 0 folgt f¨ur deren Ableitung ˙VM,0 = λy3 (y3 − y3,d) −aρ2 − bρ − ˆmL − J ˙y3,d + ( ˆmL − mL) λy3 (y3 − y3,d) + λmL ˙ˆmL . (36) Damit ˙VM,0 negativ semidefinit wird, bietet es sich an, ˙VM,0 = −ky3 λy3 (y3 − y3,d)2 mit der positiven Konstanten ky3 zu fordern. Um dies zu erreichen, m¨ussen, wenn man ρ als Eingangsgr¨oße dieses Teilsystems betrachtet, f¨ur deren Referenz ρr(y3, y4, ˙y4) aρ2 r + bρr + J ˙y3,d − k3(y3 − y3,d) + ˆmL = 0 (37) und ˙ˆmL = − λy3 λmL (y3 − y3,d) (38) gelten. Die asymptotische Stabilit¨at des Punktes (y3 − y3,d, ˆmL − mL) = (0, 0) folgt aus dem Invarianzprinzip von LaSalle. Mit (37) entsteht die folgende Referenzgr¨oße f¨ur die Statorflussverkettung: ΨS,r(y3, y4, ˙y4) := ρr(y3, y4, ˙y4)ejy4,d . (39) Da die Trajektorie der Statorflussverkettung ΨS aber eine L¨osung des unterlagerten Systems ist, entsteht bez¨uglich ihrer Referenz ΨS,r ein Fehler, der durch die Funktion 2VM,1 = 2VM,0 + ρ ρr − 1 2 + (y4 − y4,d)2 (40) 6Diese, wie auch die im Folgenden mit λ bezeichneten Konstanten werden zum Zwecke der Anpassung der Einheiten eingef¨uhrt, so dass die mit V bezeichneten Funktionen einheitenlos werden. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 8 ber¨ucksichtigt wird. F¨ur deren Ableitung gilt unter Verwen- dung von ΨM = ΨR/ΨS ˙VM,1 = − λy3 ky3 (y3 − y3,d)2 + λy3 (y3 − y3,d)R˙y3 + ρ ρr − 1 ρ ρr Re U ΨS − RSM LRLS − M2 LR M − Re (ΨM ) − ˙ρr ρr + (y4 − y4,d) Im U ΨS + RSM LRLS − M2 Im (ΨM ) − ω − ˙y4,d (41) mit R˙y3 (y3, y4, ˙y3, ˙y4) = − ρ(y4, ˙y3, ˙y4) − ρr(y3, y4, ˙y4) a( ˙y4)(ρ(y4, ˙y3, ˙y4) + ρr(y3, y4, ˙y4)) + b(y4) , (42) wobei a und b die Koeffizienten der quadratischen Gleichung (6) sind. W¨ahlt man nun die R¨uckf¨uhrung ΨM ! = LR M + LSLR − M2 RSM − U ΨS + ˙ρr ρr − kρρr ln ρ ρr + λy3 ρ2 r ρ (y3 − y3,d)(a(ρ + ρr) + b) + j ω + ˙y4,d − ky4 (y4 − y4,d) =: ΨM,r(y3, y4, ˙y3, ˙y4, ¨y4) (43) mit den positiven Konstanten ky4 und kρ, so folgt ˙VM,1 = − λy3 ky3 (y3 − y3,d)2 − kρ (ρ − ρr) ρ ρr ln ρ ρr − ky4 (y4 − y4,d)2 . (44) Die Ableitung ˙VM,1 ist negativ semidefinit, die asymptotische Stabilit¨at folgt wiederum aus dem Invarianzprinzip von LaSal- le. Um den Fehler ΨM − ΨM,r zu ber¨ucksichtigen, wird 2VM,2 = 2VM,1 + (ΨM − ΨM,r)(ΨM − ΨM,r)∗ (45) verwendet. Die Ableitung von VM,2 entlang der Trajektorien des Systems lautet ˙VM,2 = − λy3 ky3 (y3 − y3,d)2 − kρ ρ ρr − 1 ρ ρr ln ρ ρr − ky4 (y4−y4,d)2 + ρ ρr − 1 R ˙ρ + (y4 − y4,d)R˙y4 + Re (ΨM − ΨM,r)( ˙ΨM − ˙ΨM,r)∗ , (46) wobei ˙ΨM = uR ΨS − U ΨS ΨM + jnpy3ΨM − (RRLS − RSLR)ΨM + RSMΨ2 M − RRM LRLS − M2 (47) sowie R ˙ρ(y3, y4, ˙y3, ˙y4, ¨y4) = RSM LSLR − M2 ρ ρr Re ΨM − ΨM,r (48) R˙y4 (y3, y4, ˙y3, ˙y4, ¨y4) = RSM LSLR − M2 Im ΨM − ΨM,r . (49) W¨ahlt man uR/ΨS zu uR ΨS = U ΨS ΨM − jnpy3ΨM + ˙ΨM,r + (RRLS − RSLR)ΨM,r + RSMΨ2 M − RRM LRLS − M2 − kdRe ΨM − ΨM,r − ρ ρr − 1 ρ ρr RSM LRLS − M2 − jkqIm ΨM − ΨM,r − j(y4 − y4,d) RSM LRLS − M2 (50) mit den positiven Konstanten kd und kq, so ist ˙VM,2 = − λy3 ky3 (y3 − y3,d)2 − kρ (ρ − ρr) ρ ρr ln ρ ρr − ky4 (y4 − y4,d)2 − Re ΨM − ΨM,r 2 kd + RRLS − RSLR LRLS − M2 − Im ΨM − ΨM,r 2 kq + RRLS − RSLR LRLS − M2 . (51) Wie man aus (43) und (50) sieht, kann der Imagin¨arteil des ” Eingangs“ uR/ΨS sofort berechnet werden. Anders sieht dies jedoch f¨ur dessen Realteil aus. Dieser h¨angt von ˙ρr ab, zu dessen Berechnung ¨y4 und y (3) 4 ben¨otigt werden. Mit (3) und (2e) gilt ˙y4 = Im U ΨS + RSM LRLS − M2 Im (ΨM ) , (52) woraus unter Ber¨ucksichtigung von (47) folgt, dass ¨y4 vom Imagin¨arteil des ” Eingangs“ abh¨angt. Durch Einsetzen dessen erh¨alt man ¨y4 = ¨y4,d − ky4 ( ˙y4 − ˙y4,d) − RSM LRLS − M2 kq + RRLS − RSLR LRLS − M2 Im ΨM − ΨM,r + RSM LRLS − M2 (y4 − y4,d) . (53) Durch Differentiation gelangt man zu y (3) 4 = y (3) 4,d − ky4 + RRLS − RSLR LRLS − M2 + kq (¨y4 − ¨y4,d) − ky4 RRLS − RSLR LRLS − M2 + kq + RSM LRLS − M2 2 ( ˙y4 − ˙y4,d), (54) so dass nun auch der Realteil von uR/ΨS berechnet werden kann. Die Schalterstellung f¨ur den rotorseitigen Konverter kann schließlich mit sR = 2uR/zc berechnet werden. Nachdem so ein Regler f¨ur die Maschine entworfen wurde, erfolgt nun der Reglerentwurf f¨ur den netzseitigen Konverter. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°3, pp 1-11 9 Dazu wird die (positiv definite) Funktion VK,0 = λy1 2 (y1 − y1,d)2 (55) mit der Konstanten λy1 > 0 betrachtet. Deren Ableitung lautet mit (15) ˙VK,0 = λy1 (y1 − y1,d) 3 2 (UdzNd + UqzNq) − PR − ˙y1,d , (56) wobei PR = Re{uRz∗ R} die in den Rotor der Maschine eingespeiste Leistung ist. Um ˙VK,0 = −ky1 λy1 (y1 − y1,d)2 mit der positiven Konstanten ky1 zu erreichen, muss zNd ! = 2 3Ud ( ˙y1,d − ky1 (y1 − y1,d) + PR) − Uq Ud zNq =: zNd,r (y1, y2) (57) gelten. Der Referenzstrom im netzseitigen Konverter lautet damit zN,r (y1, y2) := zNd,r (y1, y2) + jzNq,r. (58) Dabei ist zNq,r = QzNq (y2,d, . . . , ¨y4,d) der nominel- le Blindstrom des netzseitigen Konverters nach (13). Zur Ber¨ucksichtigung des Fehlers zN −zN,r wird nun die Funktion VK,1 = VK,0 + λzN L 2 (zN − zN,r)(zN − zN,r)∗ (59) definiert. Die Ableitung lautet ˙VK,1 = − λy1 ky1 (y1 − y1,d)2 + λy1 (y1 − y1,d)R˙y1 + λzN (zNd − zNd,r) Ud − zc 2 sNd + ωLzNq − L ˙zNd,r + λzN (zNq − zNq,r) Uq − zc 2 sNq − ωLzNd − L ˙zNq,r (60) mit R˙y1 (y1, y2, ˙y1) = 3 2 Ud(zNd − zNd,r). (61) W¨ahlt man die Stellgr¨oße zu sN = 2 zc U − jωLzN − L˙zN,r + kzNd (zNd − zNd,r) + jkzNq (zNq − zNq,r) + 3λy1 2λzN (y1 − y1,d)Ud , (62) so gilt ˙VK,1 = − ky1 λy1 (y1 − y1,d)2 − λzN (kzNd (zNd − zNd,r)2 + kzNq (zNq − zNq,r)2 ). (63) Zusammenfassend kann also festgehalten werden, dass bei diesem Regelungskonzept die beiden Teilsysteme, die Ma- schine mit dem rotorseitigen Konverter einerseits und der netzseitige Konverter andererseits, voneinander getrennt be- trachtet werden. F¨ur jedes dieser beiden Systeme werden dann schrittweise deren Teilsysteme stabilisiert, wobei jeweils mit dem vom jeweiligen Eingang ” am weitesten entfernten“ Teilsystem begonnen wird. Dazu werden bestimmte Systemva- riablen tempor¨ar als (Pseudo)eing¨ange verwendet, die jedoch auch als Ausg¨ange der unterlagerten Teilsysteme aufgefasst werden k¨onnen. Fehler, die bei der Realisierung der fiktiven R¨uckf¨uhrung entstehen, werden jeweils im nachgelagerten Entwurfsschritt ber¨ucksichtigt. Man beachte, dass in (40) bei der Wahl des Fehlermaßes f¨ur die Statorflussverkettung an Stelle einer Differenz, dem nichtlinearen Charakter des Sys- tems entsprechend, ” nat¨urlicher“ erscheinende Fehler gew¨ahlt wurden. F¨ur eine ausf¨uhrliche Diskussion ¨uber die Wahl der Folgefehler zur Erreichung einer bez¨uglich gewisser Transfor- mationen invarianten Fehlerdynamik siehe [17], [18]. Zur simulativen ¨Uberpr¨ufung der Stabilit¨at des geschlos- senen Regelkreises wird ein aus sechs Phasen bestehen- des Regime verwendet. W¨ahrend der gesamten Zeit wurde y2,d = 2 A und y1,d so gew¨ahlt, dass die Zwischenkreiss- pannung zc = 700 V betr¨agt. Zur Simulation wurde ein Modell verwendet, in welchem die in Abschnitt III disku- tierten Verlustleistungsmechanismen wirksam sind, es wurde dieselbe Parametrierung des Modells wie zur Erzeugung der Abb. 2 verwendet, siehe S. 6. F¨ur die zur Anpassung der Einheiten verwendeten Parameter wurde λy3 = 1 s2 , λy1 = 1 (VAs)−2 und λzN = 1 (VAs)−1 verwendet. Der Parameter λmL = 10−4 (VAs)−1 dient als Beobachterparameter. Die Reglerparameter wurden wie folgt gew¨ahlt: ky3 = 50 s−1 , kρ = 9000 (Vs2 )−1 , ky4 = 900 s−1 , kd