Synthèse géométrique du cycle limite hybride optimal et de la commande d’une classe de systèmes dynamiques à commutation

10/12/2016
Publication e-STA e-STA 2008-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2008-4:17710
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Résumé

Synthèse géométrique du cycle limite hybride optimal et de la commande d’une classe de systèmes dynamiques à commutation

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Synthèse géométrique du cycle limite hybride optimal et de la commande d’une classe de systèmes dynamiques à commutation J. BEN SALAH, H. JERBI, C. VALENTIN et C. Z. XU Résumé—Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode de synthèse de commande des systèmes dynamiques à commutation dont l’espace d’état à valeurs réelles est de dimension deux de même que l’espace d’état discret. L’objectif est de développer un algorithme permettant de commander le système d’un état initial vers un cycle limite hybride déterminé de manière optimale autour d’un état de fonctionnement du système et qui respecte des contraintes physiques de comportement. Pour cela une condition nécessaire et suffisante d’existence et de stabilité d’un cycle limite hybride composé d’une séquence de deux modes de fonctionnement est présentée. Une méthode de commande stabilisante est développée pour atteindre ce cycle limite hybride et y rester. La méthode proposée est illustrée sur le convertisseur d’énergie Buck-Boost alimentant une charge résistive. Mots-clefs—Systèmes à commutation, stabilité, cycle limite hybride, état hybride, commande optimale I. INTRODUCTION Les systèmes dynamiques à commutations (SDC) constituent une classe importante de systèmes dynamiques hybrides dans lesquels plusieurs modes de fonctionnement se succèdent de manière autonome ou commandée. Il s’agit de systèmes dynamiques classiquement constitués d’un processus dans lequel peuvent avoir lieu des commutations autonomes (provoquées par des diodes, des chocs,...) ou contrôlée (provoquées par des transistors, relais,...). La commande est discrète ou séquentielle. Les domaines d’application où l’on retrouve ce type de systèmes sont nombreux : transport, systèmes embarqués, électronique de puissance, aérospatial, industrie chimique, pharmaceutique, .... Ces applications font apparaître des interactions entre des phénomènes discrets (événements) et continus donnant lieu à des comportements dynamiques complexes qui ne peuvent être maîtrisés correctement que si le phénomène hybride continu-discret est pris en compte [1]. Des progrès importants ont été réalisés au niveau de l’analyse de stabilité et de la synthèse de commande pour J. BEN SALAH, C. VALENTIN et C. Z. XU, Laboratoire d’Automa- tique et de Génie des Procédés, Bât308G CPE Lyon UMR CNRS5007 43 boulevard du 11 Novembre 1918, 69622 villeurbanne cedex, France {bensala, valentin, xu}@lagep.univ-lyon1.fr H. JERBI, Département des Mathématiques, Faculté des Sciences de Sfax, Route de la Soukra km 4 - Sfax - 3038, Tunisie hjerbi@voila.fr des classes spécifiques de systèmes dynamiques hybrides (systèmes linéaires par morceaux, systèmes à commutation, ...). Mais la synthèse de lois de commande avec ou sans contraintes reste un domaine largement ouvert (robustesse, performances, retard, saturations, etc) [1], [5]–[8], [15]. Plusieurs résultats importants de stabilité et de stabilisation des systèmes dynamiques à commutation sont présentés dans [2], où les auteurs ont clarifié les propriétés de stabilité (stabilité totale, stabilité uniforme et stabilité conditionnelle) ainsi que les notions et outils classiques de ce domaine (solution hybride, temps de séjour, fonction de Lyapunov commune, fonctions multiples de Lyapunov,...). Puis des méthodes de stabilisation sont données dans le cas linéaire et non linéaire (stabilisation uniforme). Une famille très étudiée de systèmes à commutation est celle des convertisseurs d’énergie électrique, mais il est difficile de synthétiser une loi de commande directe des interrupteurs à cause des évolutions rapides du système. La méthode la plus utilisée dans l’industrie pour ces systèmes est la modulation de largeur d’impulsion (MLI) connue par sa simplicité de mise en oeuvre (comparaison du signal de référence à une porteuse triangulaire). En contre-partie, cette méthode manque de fiabilité dans certains cas. Par exemple, dans [3] les auteurs illustrent l’instabilité du convertisseur multicellulaire (ou multiniveaux) à nombre non premier de cellules, commandé par MLI et proposent une commande directe et rapide basée sur une approche géométrique en respectant un cycle limite de commutation optimal à fréquence de commutation imposée par les caractéristiques des semi-conducteurs et qui peut être synthétisée pour un nombre quelconque de cellules. Une autre loi de commande est proposée pour ce même convertisseur dans [4]. Elle est basée sur des surfaces de commutation calculées par une méthode issue de Lyapunov qui force l’énergie du système à décroître continûment dans le temps. L’objectif du travail présenté ici est le développement d’un algorithme permettant de commander un système dynamique à commutations (SDC) d’un état initial vers un cycle limite hybride déterminé de manière optimale autour d’un état de fonctionnement désiré du système et qui respecte des contraintes physiques de comportement définies par des hypersurfaces (de dimension un) ou des contraintes de temps (durée minimum entre deux commutations, ...). Les hypersurfaces pourront être aussi des surfaces de commutation pour que les contraintes soient respectées. C’est une nouvelle approche, issue de l’étude des propriétés géométriques des champs de vecteurs, qui apporte un point de vue complémentaire sur la manière d’aborder ce type 1e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 de problème. Deux étapes sont nécessaires : tout d’abord, trouver le cycle limite hybride optimal stable autour du point de fonctionnement désiré xd (en terme de respect des contraintes et de commandabilité) puis trouver une séquence de commande hybride optimale (en temps, énergie, ...) qui permette d’atteindre ce cycle. Des solutions exactes ont été proposées pour effectuer la deuxième étape dans le cas de systèmes du génie des procédés à dynamiques assez lentes [15]. La méthode présentée en [7] pour traiter cette étape est applicable à une classe de systèmes dynamiques à commutation dont l’espace d’état à valeurs réelles est de dimension deux. La commande est donc constituée d’une séquence temporisée de plusieurs champs de vecteurs. Cette séquence sera aussi appelée séquence hybride. Elle est composée d’une séquence de modes discrets associés chacun à une durée de séjour. Pour que cette commande soit réalisable en pratique, il est nécessaire que le système soit commandable de l’état initial vers le cycle limite hybride final et qu’un nombre fini d’événements discrets ait lieu dans un temps fini (système non zéno). L’étude de commandabilité consiste à montrer qu’il existe au moins une séquence de commutation hybride qui permette d’atteindre la région finale depuis l’état initial. Elle est réalisée analytiquement par inférence arrière dans l’espace d’état continu [7], [15]. II. STABILITÉ ET CYCLE LIMITE HYBRIDE Proposition 2.1: la classe des systèmes considérés dans ce papier est composée des systèmes dynamiques à commuta- tions (SDC) autonomes ou commandées avec mémoire dont l’espace d’état à valeurs réelles est de dimension deux de même que l’espace d’état discret et dont les sous-systèmes correspondant aux deux modes de fonctionnement ont des représentations d’état explicites continues linéaires ou non li- néaires. Les conditions de commutations dépendent de l’état présent, des états précédents et du point de fonctionnement désiré xd, c’est-à-dire que l’espace d’état à valeurs réelles n’est pas partitionné. Notons qu’il est possible de rendre stable un système dynamique à commutations composé de sous-systèmes instables et inversement [1]. On considère le SDC temps invariant (les champs de vecteur ne dépendent pas explicitement du temps t) ˙x = f(x, li) avec i = {1, 2} et x ∈ 2 . Il est composé de deux modes de fonctionnement l1 et l2 dont les champs de vecteurs f(x, l1) et f(x, l2) sont supposés lipchitziens dans 2 (∀ u, v ∈ 2 , ∃ l ≥ 0 / f(u, li) − f(v, li) ≤ l u − v , ∀i ∈ {1, 2}). La méthode présentée consiste à synthétiser une loi de commutation ou fonction de transition qui stabilise le SDC sur un cycle limite hybride autour du point de fonctionnement désiré xd. Cette loi de commutation ne fait donc pas partie du modèle du SDC a priori comme on peut le voir dans certaines références (par exemple [13] ou [14]). L’étude de la stabilité d’un SDC consiste à déterminer s’il existe au moins un cycle limite hybride stable autour du point de fonctionnement désiré xd. La méthode la plus utilisée pour l’étude de la stabilité et de la stabilisation des systèmes en général, y compris les systèmes à commutation, est celle de Lyapunov [1], [2], [9], [10], [13], [14]. Par contre, la construction de ces fonctions est et a toujours été une tâche difficile surtout dans le cas des systèmes non linéaires. Des résultats de construction des fonctions de Lyapunov quadratiques par morceaux pour des systèmes linéaires par morceaux ont été proposés, par exemple, dans [11], [12]. Dans sa thèse Gonçalves [13] définit des conditions d’existence et de stabilité des cycles limites pour des systèmes linéaires par morceaux (PLS) à partir de surfaces de commutation connues. L’approche présentée ici concerne la synthèse de commande donc les surfaces de commutation ne sont pas connues a priori. Une nouvelle méthode, issue de l’étude des propriétés géométriques des champs de vecteurs est présentée dans ce papier. Cette méthode est applicable à tous les SDC de la classe définie dans la proposition 2.1, linéaires ou non linéaires, formés par des sous-systèmes stables ou instables. L’état d’un système dynamique à commutations est hybride (continu discret) : (x, lj) ∈ 2 × L avec L = {lj, j ∈ {1, 2}}. On note (x0, f(x, li), δ) la solution de l’équation différentielle ˙x = f(x, li) après un temps écoulé δ, avec i ∈ {1, 2} et avec la condition initiale, x(0) = x0. C’est le point de l’espace d’état à valeurs réelles atteint par le système au bout d’une durée δ avec la dynamique du mode de fonctionnement li et depuis l’état initial x0. Par exemple, si chacun des deux modes de fonctionnement, l1 et l2 ont un point d’équilibre xe1 et xe2 (égaux ou différents) et qu’ils soient globalement asymptotiquement stables au sens de Lyapunov, tel que, quelque soit x0 ∈ 2 et i ∈ {1, 2}, limδ→∞(x0, f(x, li), δ) = xei et si xd = xe1 ou xd = xe2 alors le point de fonctionnement désiré pourra être atteint asymptotiquement, donc xd sera un point d’équilibre pour le SDC. Si xd = xe1 et xd = xe2 ou si l’un ou les deux sous-systèmes sont instables, on cherche un cycle limite hybride stable le plus proche de xd. Définition 2.1: Soient xc1 et xc2 deux points de 2 tels que xc1 = xc2. CC(xc1, xc2) est le cycle limite hybride du SDC ˙x = f(x, li), avec i ∈ {1, 2}, entre les points de commutation xc1 et xc2, si et seulement si, il existe (δc1, δc2) ∈ +∗2 tel que : xc1 = (xc2, f(x, l1), δc1) et xc2 = (xc1, f(x, l2), δc2). On peut écrire CC(xc1, xc2) = {(xc2, f(x, l1), δ) / 0 ≤ δ ≤ δc1} ∪ {(xc1, f(x, l2), δ) / 0 ≤ δ ≤ δc2}. Notons f(., li) l’ensemble des trajectoires ayant pour équation d’évolution ˙x = f(x, li). CC(xc1, xc2) est unimodal [14] car il ne contient que deux commutations entre les deux modes de 2 e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 fonctionnement. Un cycle limite hybride tel que ∀x ∈ CC(xc1, xc2), f(x, l1) = −f(x, l2) est un lacet dans 2 (c’est à dire qu’il peut être défini par une aplication continue injective sur [a, b], γ : [a, b] −→ 2 , t −→ γ(t) telle que γ(a) = γ(b)). Comme xc1 = xc2, un tel cycle limite hybride est non dégénéré en un point. Si ∀x ∈ CC(xc1, xc2), f(x, l1) = −f(x, l2), le cycle limite hybride est composé de deux trajectoires opposées et se réduit à un arc de courbe, la trajectoire effectuant un aller-retour entre les deux points de commutation, et δc1 = δc2. Un exemple de cycle limite hybride pour lequel ∀x ∈ CC(xc1, xc2), f(x, l1) = −f(x, l2) est donné figure 3. Remarquons qu’un cycle limite hybride est une trajectoire fermée composée de deux dynamiques contrairement à une orbite périodique dans l’espace d’état qui est générée par une seule dynamique continue (une seule représentation d’état temps invariant ˙x = f(x) avec x ∈ 2 ). Une trajectoire du SDC depuis un état hybride initial (x0, li) avec i ∈ {1, 2} jusqu’à un état hybride (xc, lk) appartenant au cycle limite hybride CC(xc1, xc2) est définie de la manière suivante : x0 −→ (x0, f(x, li), δ1) −→ (x1, f(x, lj), δ2) −→ (x2, f(x, li), δ3) · ·· −→ xc = (xc−1, f(x, lk), δc−1) avec (i, j, k) ∈ {1, 2}3 , xc ∈ CC(xc1, xc2) et δc−1 la durée pendant laquelle le SDC reste dans le dernier mode de fonctionnement de la séquence. Cette trajectoire continue est composée d’une succession de trajectoires continues ayant des dynamiques différentes. Il y a donc discontinuité du champ de vecteur aux instants de commutation. La durée totale pour atteindre le cycle limite hybride CC(xc1, xc2) est donc de : tc = δ1 + δ2 + · · · + δc−1. Définition 2.2: L’intérieur d’un lacet Lγ défini par l’ap- plication continue injective γ est l’ouvert borné délimité par ce lacet. Il est noté Int(Lγ). Un exemple est donné figure 1. Figure 1. Exemple d’intérieur d’un lacet Lγ. Définition 2.3: E = {z ∈ 2 / det(f(z, l1), f(z, l2)) = 0 et f(z, l1)|f(z, l2) < 0} est l’ensemble de points pour lesquels les champs de vecteurs f(x, li), i ∈ {1, 2} sont colinéaires et de sens opposés. Théorème 2.1: Considérons le cycle limite hybride CC(xc1, xc2) avec xc1 = xc2 et tel que ∀x ∈ CC(xc1, xc2), f(x, l1) = −f(x, l2). Si son intérieur, Int(CC(xc1, xc2)), ne contient aucun des points d’équi- libre des deux modes de fonctionnement l1 et l2, il existe un ensemble non vide de points z de 2 , tels que z ∈ E Int(CC(xc1, xc2)). Autrement dit, E Int(CC(xc1, xc2)) = φ. Démonstration : Considérons la fonction ϕ(t) = det(f(z(t), l1), f(z(t), l2)) avec z(t) = (xc2 , f(x, l1), t) et 0 ≤ t ≤ δc1. ϕ est continue puisque les deux champs de vecteurs sont continus dans la classe de systèmes qui nous intéresse et que, si t −→ [f(z(t), l1), f(z(t), l2)] est une fonction de classe Ck à valeurs dans les matrices carrées d’ordre 2, alors ϕ : t −→ det([f(z(t), l1), f(z(t), l2)]) est également de classe Ck . On peut raisonner de la façon suivante. Dans le cycle, on fixe la trajectoire (xc2 , f(x, l1), t) avec 0 ≤ t ≤ δc1} puis à l’intérieur du cycle CC(xc1, xc2) on trace toutes les trajectoires de f(., l2) qui forment des cycles hybrides avec des points de commutation appartenant à la trajectoire fixée. On a donc une famille d’ensembles qui ont pour frontière un cycle limite hybride. Ces ensembles sont emboités l’un à l’intérieur de l’autre et sont ordonnés par inclusion. D’après le lemme de Zorn [16] (tout ensemble ordonné inductif non vide admet au moins un élément minimal), cette famille admet un élément minimal qui ne peut pas être un cycle, puisqu’à l’intérieur d’un cycle on peut toujours trouver un autre cycle (continuité des deux champs), mais un point, z. L’intersection entre la trajectoire fixée {(xc2 , f(x, l1), t) avec 0 ≤ t ≤ δc1} et la trajectoire de f(., l2) qui passe par z est réduite à ce point z, donc det(f(z, l1), f(z, l2)) = 0. De plus, f(z, l1)|f(z, l2) > 0 autour de z signifierait qu’il n’y a pas de cycle autour de z ce qui est en contradiction avec le fait que c’est l’élément minimal, donc f(z, l1)|f(z, l2) < 0. La figure 2 illustre le cas où ϕ(0)ϕ(δc1) > 0. Figure 2. Exemple de cycle limite hybride d’un SDC du second ordre à deux modes de fonctionnement, cas où ϕ(0)ϕ(δc1) > 0. Remarque : Si ϕ(0) < 0 et ϕ(δc1) > 0, la démonstration est beaucoup plus simple. Dans ce cas la continuité de la fonction ϕ(t) implique qu’il existe un point z(t0) avec 0 ≤ t0 ≤ δc1} tel que ϕ(t0) = 0. Ce cas est illustré sur la figure 3. Figure 3. Exemple de cycle limite hybride d’un SDC du second ordre à deux modes de fonctionnement, cas où ϕ(0) < 0 et ϕ(δc1) > 0. La partie hachurée est l’intérieur du cycle. Théorème 2.2: Pour tout point z ∈ E = φ, 3 e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 il existe un cycle limite hybride CC(xc1, xc2) tel que z ∈ Int(CC(xc1, xc2)) CC(xc1, xc2) i.e. z ∈ Int(CC(xc1, xc2)). Démonstration : Pour z ∈ E, on a f(z, l1) = αf(z, l2) avec α < 0. Les figures 4.a et 4.b montrent les deux formes possibles de trajectoires solutions de f(z, l1) et f(z, l2) qui passent par ce point z. Tout point sur une trajectoire solution de f(z, l1) ou f(z, l2) est un point ordinaire (pas de point d’inflexion, ni de point de rebroussement). Figure 4. trajectoires associées à f(z, l1) et f(z, l2) passant par z ∈ E Sachant que les deux champs de vecteurs f(z, l1) et f(z, l2) sont continus, il s’ensuit que les trajectoires issues de ces deux champs dans l’espace d’état ont une des deux formes données par les figures 5.a et 5.b dans un voisinage de z. Donc autour du point z, s’il existe, on peut toujours construire un cycle limite hybride. Figure 5. Motivation géometrique du théorème 2.2 Il existe un nombre infini de cycles limites hybrides autour de chaque point de E. Donc, si xd ∈ E, alors il existe un cycle limite hybride entre deux points de commutations différents, sur lequel le SDC peut être stabilisé. Si xd n’appartient pas à E, il suffit de trouver le point de l’ensemble E, non vide, le plus proche de xd et de déterminer un cycle limite hybride sur lequel se stabilise le système en régime permanent, qui inclut xd et qui respecte les contraintes physiques imposées par le système (durée minimale entre deux commutations, valeurs limites de l’état à ne pas dépasser, ...). Rappelons aussi que CC(xd, xd) est un cycle stable dégénéré en un point qui n’a de sens physique que si xd = xe1 ou xd = xe2. Sinon, le fonctionnement du SDC est alors zéno c’est-à-dire qu’il y a un nombre infini de commutations à un temps donné car la durée du cycle devient nulle. III. ATTEIGNABILITÉ Soit Ω, le domaine global de fonctionnement composé des contraintes globales du système. Il est représenté par les n inégalités linéaires suivantes : ∀ k ∈ {1, ..., n}, Ckx + dk ≤ 0 avec Ck de dimension 2 et dk étant une constante. Définition 3.1: Soit le cycle limite hybride CC(xc1, xc2). On définit : A1 = {(z, −f(x, l1), δ) ∈ Ω, ∀z ∈ CC(xc1, xc2) et δ ≥ 0} B1 = {(z, −f(x, l2), δ) ∈ Ω, ∀z ∈ CC(xc1, xc2) et δ ≥ 0} ... Ai+1 = {(z, −f(x, l1), δ) ∈ Ω, ∀z ∈ Bi et avec δ ≥ 0} Bi+1 = {(z, −f(x, l2), δ) ∈ Ω, ∀z ∈ Ai et avec δ ≥ 0} ... Ce sont les ensembles de trajectoires qui définissent toutes les inférences arrières suivant les flux des champs de vecteurs à partir du cycle limite hybride CC(xc1, xc2). Il est à noter que l’ensemble de ces Ai et Bi ne définit pas nécessairement une partition de l’espace d’état. Une condition nécessaire et suffisante d’atteignabilité d’un SDC commutant entre deux champs de vecteurs dans 2 est donnée dans le théorème 3.1 suivant : Théorème 3.1: Soit D = ( i≥1 Ai) ( i≥1 Bi) ⊆ 2 , le domaine global d’atteignabilité du système. Si x0 ∈ D, il existe une séquence avec un nombre fini de commutations, qui amène l’état du système du point x0 au cycle limite hybride CC(xc1, xc2). Démonstration : soit un point x0 ∈ D, alors il existe un entier J ≥ 1 tel que x0 ∈ AJ et x0 = (zJ , −f(x, l1), δJ ) avec zJ ∈ BJ−1 et zJ = (zJ−1, −f(x, l2), δJ−1) avec zJ−1 ∈ AJ−2 · · · Par inférence on trouve : x0 = ((a ∈ CC(xc1, xc2)), −(f(x, li) ◦ f(x, lj) ◦ f(x, li) ◦ · · · ◦ f(x, li)), J k=1 δk) avec (li, lj) ∈ {l1, l2}2 Par conséquent : a = ((x0 ∈ D), f(x, li) ◦ f(x, lj) ◦ f(x, li) ◦ · · · ◦ f(x, li), J k=1 δk) avec δk, le temps de séjour du système dans le mode qui correspond à la ki`eme phase. Après un choix du cycle limite hybride CC(xc1, xc2), sont tracées toutes les trajectoires possibles par inférences arrière à partir de ce cycle suivant la définition 3.1, en respectant le domaine global de fonctionnement Ω. Ces trajectoires s’arrêtent dès que la solution vérifie une égalité Ckx+ dk = 0. Si D couvre la totalité de Ω, alors, pour tout point x0 de Ω, le cycle limite hybride est atteignable par commutation à partir de ce point. Sinon, il faut que le point initial x0 soit dans D ⊂ Ω pour qu’il existe au moins une séquence de 4 e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 commutation possible qui amène le SDC de ce point x0 au cycle limite hybride CC(xc1, xc2). Une fois que la condition d’appartenance de x0 à D est remplie, on obtient les séquences de commande possibles inclues dans D, ou autrement dit, les séquences des modes admissibles qui peuvent amener le système de l’état initial x0 à un état final qui fait partie du cycle limite hybride CC(xc1, xc2). L’analyse de commandabilité est détaillée dans la thèse de Manon [15] sous certaines hypothèses : 1) Il n’y a que deux variables d’états réelles, x ∈ 2 . 2) Les champs de vecteurs associés à chaque phase sont linéaires de la forme ˙x = Aix + bi. 3) Les équations différentielles décrivant la dynamique de chaque phase doivent être localement de type lipchit- zien par rapport à x, avec A diagonalisable. 4) Les valeurs propres de A doivent être réelles néga- tives, distinctes ou non (solution convergente et pas de champ de vecteurs tournant). 5) Les contraintes sur les variables d’états sont linéaires, donc les régions de l’espace décrites par ces contraintes sont monotones. Cette analyse consiste à construire l’ensemble des régions de l’espace d’état depuis lesquelles la région finale peut être atteinte depuis l’état initial, en respectant les contraintes globales de fonctionnement, Ω. La construction de cet ensemble est terminée dès que le point initial est inclu dans l’une de ces régions, ce qui signifie qu’il existe au moins une séquence de commutation hybride qui permet d’atteindre la région finale depuis l’état initial. Cette construction est réalisée analytiquement par inférence arrière dans l’espace d’état continu. Elle est détaillée dans [7], [15]. La seule hypothèse commune aux travaux de Manon [15] et aux nôtres est la première. Le théorème 3.1 est donc une extension des résultats de Manon. IV. OPTIMISATION DE LA SÉQUENCE D’ATTEIGNABILITÉ Soit S une séquence de phases (modes) obtenue par commutations entre deux champs de vecteurs f(x, li) avec i ∈ {1, 2} et qui définit une trajectoire, TS, d’un état hybride initial (x0, li) à un état hybride final (xf , lf ) ∈ CC(xc1, xc2) du SDC du second ordre. nS est la longueur de la séquence S ou le nombre de commutations dans la séquence de commande S. f(x, lsk ), avec 1 ≤ sk ≤ nS, est le champ de vecteurs actif pendant le ki`eme mode lsk de la séquence S pendant un temps δsk appelé temps de séjour dans le mode lsk ∈ {l1, l2}. x0 et xf sont respectivement l’état réel initial et l’état réel final du SDC. Le problème d’optimisation consiste à commander le système selon cette séquence de commande S en minimisant le critère suivant : tc = min S ( nS k=1 δsk ) Avec tc le temps total que met le système pour atteindre l’état hybride final (xf , lf ) à partir de son état hybride initial (x0, li). Le critère coût à minimiser tc dépend des temps de séjours δsk . Les contraintes sur les vecteurs d’état doivent être respectées. Les contraintes d’égalités à respecter en fin de trajectoire assurent que la trajectoire, TS, aboutit sur le cycle limite hybride CC(xc1, xc2), c’est à dire que (x0, f(x, lnS ), tc) ∈ CC(xc1, xc2). La minimisation se fait donc en respectant les contraintes suivantes : – xf = (x0, f(x, ls1 ) ◦ f(x, ls2 ) ◦ f(x, ls3 ) ◦ · · · · · · ◦ f(x, lsns ), nS k=1 δsk ) ∈ CC(xc1, xc2) – TS ⊂ D. D étant le domaine global d’atteignabilité du SDC. Après avoir trouvé un cycle limite hybride optimal sur lequel le système se stabilise, avoir effectué l’étude d’atteignabilité et le choix du critère d’optimisation, on peut maintenant donner l’algorithme de la commande des SDC du second ordre. V. DIFFÉRENTES ÉTAPES DE L’ALGORITHME DE SYNTHÈSE L’algorithme de synthèse d’une commande stabilisante d’un SDC de la classe définie par la proposition 2.1 comporte six étapes : 1) Ecrire le modèle du SDC sous la forme : ˙x = f(x, li) avec i ∈ {1, 2}. 2) Déterminer l’ensemble E : – Si E = φ, alors un cycle limite hybride existe et le SDC est stabilisable. Passer à l’étape 3. – Si E = φ, le SDC n’est pas stabilisable. 3) Déterminer xdE le point de E autour duquel sera construit le cycle limite hybride CC(xc1, xc2). Pour cela, fixer le point de fonctionnement désiré xd : – Si xd ∈ E, alors xdE = xd. – Sinon, xdE ∈ E est tel que d(xdE, xd) = minz∈E d(z, xd). 4) Déterminer le cycle limite hybride CC(xc1, xc2) autour de xdE qui respecte le cahier des charges. Par définition, on peut toujours construire au moins un cycle limite hybride dont l’intérieur inclut xdE. On cherche le cycle pour lequel la plus petite durée entre deux commutations est égale à la durée minimum imposée par les contraintes technologiques et qui respecte les contraintes sur l’état, ...). Si ce cycle existe, passer à l’étape 5. Sinon, relacher une contrainte de fonctionnement ou choisir un autre point xdE. 5) Déterminer l’ensemble des régions depuis lesquelles le cycle limite hybride CC(xc1, xc2) peut être atteint, par inférence arrière suivant la définition 3.1 jusqu’à ce 5e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 que le point initial soit inclu dans une région, ceci en respectant les contraintes globales de fonctionnement. On aura donc les séquences de commutation possible qui commandent le système d’un état hybride initial jusqu’au cycle limite hybride désiré. 6) Déterminer les instants de commutation par optimisation (en temps, en énergie, ...) de la séquence d’atteignabilité trouvée dans l’étape précédente. Cet algorithme de synthèse d’une commande stabilisante nous permet de déterminer un cycle limite hybride du fonctionnement du système qui réponde aux contraintes de temps et d’état, d’établir les régions de l’espace d’état réel pour lesquelles un point du cycle est atteignable et de synthétiser une commande stabilisante. VI. APPLICATION AU CONVERTISSEUR D’ÉNERGIE BUCK-BOOST Dans cette partie, l’algorithme de synthèse de commande présenté dans la section précédente est appliqué à la com- mande du convertisseur d’énergie électrique DC-DC, Buck- Boost qui est une alimentation à découpage qui convertit une tension continue en une autre tension continue de plus faible ou plus grande valeur mais de polarité inverse. Le schéma classique de ce convertisseur est donné figure 6. T et D sont les interrupteurs du système (électriquement ce sont des semi-conducteurs) fonctionnant en tout ou rien. D est une diode à commutation autonome et T est un transistor (ou thyristor) commandé. Le fonctionnement d’un convertisseur Buck-Boost peut être divisé en deux configurations suivant l’état de l’interrupteur T. Dans l’état passant, l’interrupteur T est fermé, conduisant ainsi à une augmentation de l’énergie stockée dans l’inductance (L). Dans l’état bloqué, l’interrup- teur T est ouvert donc l’inductance est reliée seulement à la charge et à la capacité et il en résulte un transfert de l’énergie accumulée dans l’inductance vers la capacité et la charge. La tension de sortie du Buck-Boost est de polarité inverse de celle d’entrée et peut varier de 0 à ∞ (pour un convertisseur idéal). Pour que ce système puisse fonctionner en mode de fonctionnement continu (flux ou courant dans la bobine non nuls), le cas où les deux interrupteurs sont ouverts est éliminé et seulement deux modes de fonctionnement du SDC sont utilisés : le mode l1 représente T fermé et D bloquée (abrégé T=1 et D=0) et le mode l2 représente T ouvert et D passante (abrégé T=0 et D=1). Le but est de définir un cycle limite hybride pour ce système qui reste le plus proche possible d’un point désiré xd ainsi qu’une trajectoire pour atteindre ce cycle qui respecte toutes les contraintes de fonctionnement. Figure 6. convertisseur d’énergie Buck-Boost Appliquons maintenant l’algorithme de synthèse de commande stabilisante décrit dans la section précédente sur le circuit Buck-Boost ayant les caractéristiques suivantes : U = 24V , L = 100µH, C = 220µF, R = 20Ω. Le système est décrit par le modèle ˙x = f(x, li) suivant, avec i ∈ {1, 2} et x = [V i]T = [x1 x2]T    ˙x = f(x, l1) = A1x + B =   − 1 RC 0 0 0   x +   0 U L   ˙x = f(x, l2) = A2x =   − 1 RC − 1 C 1 L 0   x (1) Ce SDC est linéaire par morceaux (PLS : Piecewise Linear System) et fait bien partie de la classe définie par la proposition 2.1. Il faut signaler aussi que le mode 1 est instable, puisque le courant augmente linéairement au cours du temps quand T est fermé, tandis que le mode 2 (T ouvert) est stable à l’origine. Déterminons donc l’ensemble E = {z ∈ 2 / det(f(z, l1), f(z, l2)) = 0 et f(z, l1)|f(z, l2) < 0}    det(f(z, l1), f(z, l2)) = 0 ⇔ z2 = z1 R (z1 U − 1) f(z, l1)|f(z, l2) < 0 ⇔ z1( z2 1 R2C2U + U L2 ) < 0 Donc E = {z ∈ 2 / z2 = z1 R (z1 U − 1) et z1 < 0}. E est l’ensemble des points autour desquels peut être construit un cycle limite hybride stable pour ce système. La figure 7 donne, en simulation, les dynamiques des deux modes de fonctionnement du Buck-Boost associées aux champs de vecteurs f(x, l1) (champ instable monotone, courbes noires) et f(x, l2) (champ tournant stable, courbes rouges) ainsi que l’ensemble E (courbe bleue). On peut vérifier intuitivement les propriétés des points de E données dans les théorèmes 2.1 et 2.2. 6 e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 Figure 7. Dynamiques du Buck-Boost et ensemble E Si xd n’appartient pas à l’ensemble E, xdE est déterminé tel que d(xdE, xd) = minz∈E d(z, xd). Le cycle limite hybride CC(x12, x21) sera déterminé tel que : – δc1 > δmin et δc2 > δmin, (δmin, durée minimum entre deux commutations). – Le temps de cycle, δc1 + δc2, est borné. – maxx∈CC(x12,x21) d(x, xd) < valeur admissible technologique. Sinon, il est nécessaire de changer un ou plusieurs composants du système, car le comportement désiré ne peut pas être obtenu. D’après les équations (1) on a : x12 = (x21, f(x, l1), δc1) = eA1δc1 x21 + δc1 0 eA1(δc1−t) Bdt x21 = (x12, f(x, l2), δc2) = eA2δc2 x12 Avec δc1 et δc2 les temps de séjour dans le cycle limite hybride en mode l1 et l2 respectivement. Les points de commutations sont donc :    x12 = (I − e(A1δc1+A2δc2) )−1 A−1 1 (eA1δc1 − I)B x21 = eA2δc2 x12 Pour un temps de séjour δc2 dans le mode l2 et en partant d’un point x12 on peut, en respectant le théorème 2.2, construire un CC(xc1, xc2) telle que xdE soit dans ce cycle. Pour un δc1 et δc2 fixés on a un seul cycle qui passe par les points fixes x12 et x21 définis explicitement par les relations ci-dessus. Si le point de fonctionnement désiré est xd = [−42V 6A]T /∈ E, le point xdE ∈ E le plus proche de xd est xdE = [−42.05 5.78A]T (étape 3 de l’algorithme). Le choix de δc1 + δc2 = 20µs et δc1 δc2 = 1.75 permet de former un cycle autour de xdE qui donne les points de commutation x12 = [−41.98V 7.3A]T et x21 = [−42.1V 4.25A]T . Puis, le domaine global d’atteignabilité D est déterminé par inférence arrière (méthode présentée définition 3.1) et en respectant le domaine global de fonctionnement Ω = {x ∈ 2 / − 50V ≤ x1 ≤ 0V et 0A ≤ x2 ≤ 30A} du système. Pour cela, toutes les régions Ai et Bi sont calculées jusqu’au moment, à la Nime itération, où on a AN+1 = BN . Alors, D = ( i≥1 Ai) ( i≥1 Bi) = AN+1 = BN . Les 4 premières Ai, les 4 premières Bi et le domaine global d’atteignabilité D (toute la partie colorée de Ω) sont représentées figure 8. On remarque que les régions Ai et Bi s’élargissent petit à petit (Ai−1 ⊂ Ai et Bi−1 ⊂ Bi). D’après le théorème 3.1, on peut conclure que le système est contrôlable pour tout x0 choisi dans D, et qu’il existe des séquences de commutation pour amener le système de son état initial x0 au cycle limite hybride CC(x12, x21). Les séquences de commande possibles qui amènent le SDC d’un point initial x0 ∈ D quelconque à un point final xf ∈ CC(x12, x21) sont de la forme (l1, l2)k , (l1, l2)k l1, (l2, l1)k et (l2, l1)k l2 avec k ∈ IN. L’optimisation sous contrainte de la séquence de commutation (séquence et temps de séjour dans chaque mode de fonctionnement) qui permet d’atteindre le cycle limite hybride CC(x12, x21) à partir de l’état de repos du système x0 = [0 0]T ∈ D, est faite en temps, en respectant les contraintes imposées par Ω. L’état final atteint sur le cycle est xf = [−42V 6.55A]T et appartient à (x21, f(x, l1), δ) avec 0 < δ < δc1. Cela donne la séquence de commande en temps minimal (l1, l2)6 . Remarquons que toute séquence plus courte ne permet pas d’atteindre le cycle depuis l’état de repos, en respectant les contraintes de fonctionnement, et que toute séquence plus longue donne une durée totale d’atteignabilité plus grande. Les résultats de synthèse et de simulation sont présentés figure 8. Les temps de séjour dans chaque mode sont δs1 = 125.0µs, δs2 = 152.5µs, δs3 = 59.76µs, δs4 = 80.98µs, δs5 = 71.46µs, δs6 = 68.54µs, δs7 = 78.90µs, δs8 = 65.24µs, δs9 = 89.23µs, δs10 = 42.21µs, δs11 = 64.15µs, δs12 = 58.12µs, soit tc = 956.1µs. La trajectoire du SDC commandé, à partir de son état de repos jusqu’au cycle limite hybride choisi est donnée figure 9. 7 e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 Figure 8. Résultats de synthèse du cycle limite hybride et du domaine d’atteignabilité D du convertisseur Buck-Boost 8 e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 33-41 Figure 9. Trajectoire pour atteindre le cycle limite hybride du Buck-Boost VII. CONCLUSION Un algorithme de synthèse d’une commande stabilisante a été présenté pour la classe de systèmes à commutations du second ordre donnée dans la proposition 2.1. Deux étapes sont nécessaires : tout d’abord, trouver le cycle limite hybride optimal stable autour du point de fonctionnement désiré xd (en terme de respect des contraintes sur l’état dans 2 et sur la durée entre deux commutations) puis trouver une séquence de commande hybride optimale (en temps, énergie, ...) qui permette d’atteindre ce cycle. Une condition nécessaire et suffisante d’existence et de stabilité d’un cycle limite hybride composé d’une séquence de deux modes de fonctionnement est présentée. Le théorème 3.1 est une extension des résultats de Manon pour trouver une séquence de commande hybride optimale en temps qui permette d’atteindre un cycle limite hybride. Nos pespectives sont d’étendre cette méthode de commande à des systèmes avec des champs de vecteurs de dimension supérieure à deux. VIII. REMERCIEMENTS Les auteurs remercient le groupe de travail sur les Sys- tèmes Dynamiques Hybrides du GDR MACS du CNRS, de la SEE (Société des Electriciens et Electroniciens) et du Club EEA animé par les Professeurs Jamal Daafouz et Hervé Gueguen pour les nombreux échanges d’idées constructives. REFERENCES [1] D. Liberzon, "Switching in Systems and Control", Volume in series Systems and Control : Foundations and Applications. ISBN 0-8176- 4297-8, Birkhauser Boston, Jun 2003. [2] R. Bourdais, L. Hetel, J. Daafouz, W. Perruquetti, "Stabilité et sta- bilisation d’une classe de systèmes dynamiques hybrides", Journal Européen des Systèmes Automatisés, vol. 41, n˚ 7-8/2007, pp. 819- 853. [3] O. Bethoux, J-P. Barbot, "Commande permettant le contrôle du convertisseur multicellulaire série à nombre non premier de cellules", in e-STA, vol. 4, 2007, pp. 44-49. [4] D. Pinon, M. Fadel, T. 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