Commande sans modèle et commande à modèle restreint

10/12/2016
Publication e-STA e-STA 2008-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2008-4:17708
DOI :

Résumé

Commande sans modèle et commande à modèle restreint

Métriques

44
14
1.5 Mo
 application/pdf
bitcache://d87ef3e28971900ccd4a69fe7ee48b906d127ba3

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2008-4/17708</identifier><creators><creator><creatorName>Michel Fliess</creatorName></creator><creator><creatorName>Cédric Join</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Commande sans modèle et commande à modèle restreint</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2016</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sat 10 Dec 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 10 Dec 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Wed 19 Sep 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">d87ef3e28971900ccd4a69fe7ee48b906d127ba3</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>30228</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Commande sans modèle et commande à modèle restreint Michel FLIESS1, 2 , Cédric JOIN1, 3 1INRIA-ALIEN 2LIX (UMR-CNRS 7161) École polytechnique, 91128 Palaiseau, France 3CRAN (UMR-CNRS 7039) Nancy-Université, BP 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France Michel.Fliess@polytechnique.edu, Cedric.Join@cran.uhp-nancy.fr Résumé— On propose une commande sans modèle, ou à mo- dèle restreint, pour des systèmes complexes, de dimension finie. Cette commande peut être vue comme une contribu- tion à des correcteurs PID « intelligents », dont le réglage devient facile, même avec des non-linéarités et/ou des ins- tationnarités sévères. L’outil essentiel est un dérivateur nu- mérique, récemment mis au point. L’algèbre différentielle permet de poser le cadre théorique. Plusieurs expérimenta- tions numériques valident notre démarche. English title: No-model-based control and restricted-model-based control Abstract— We are introducing a model-free control and a control with a restricted model for finite-dimensional com- plex systems. This control design may be viewed as a contri- bution to “intelligent” PID controllers, the tuning of which becomes quite easy, even with highly nonlinear and/or time- varying systems. Our main tool is a newly developed nume- rical differentiator. Differential algebra provides the theore- tical framework. Our approach is validated by several nu- merical experiments. Mots-clés— Systèmes linéaires, systèmes non linéaires, com- mande sans modèle, commande à modèle restreint, com- mande prédictive, systèmes à retards, correcteurs PID, commande universelle, robustesse, diagnostic, systèmes de grande dimension, anti-emballement, dérivateurs numé- riques, frottements, déphasage non minimal, algèbre diffé- rentielle. Key words— Linear systems, nonlinear systems, model-free control, control with a restricted model, predictive control, delay systems, PID controllers, universal control, robust- ness, diagnosis, large-scale systems, anti-windup, numerical differentiators, frictions, non-minimum phase systems, dif- ferential algebra. I. Introduction Décrire des machines par des équations differentielles simples et fiables est une gageure : comment, en plus de la complexité inhérente, prendre en compte frottements, effets thermiques, vieillissement, dispersion des caractéris- tiques due à la fabrication en série, . . . ? D’où la difficulté d’imposer au monde industriel la plupart des techniques d’automatique « moderne », trop souvent basées sur des modélisations mathématiques aussi précises que possible. Cet article1 tente de pallier cette situation fâcheuse grâce à des méthodes nouvelles d’estimation rapide2 . Il traite deux cas, à la frontière floue : 1. La commande sans modèle repose sur une modélisation locale, sans cesse réactualisée, à partir de la seule connais- sance du comportement entrée-sortie. Elle se distingue des identifications de type « boîte noire », telles qu’on les trouve dans la littérature (voir, par exemple, [38], [57]), où l’on re- cherche un modèle valide sur une plage de fonctionnement aussi large que possible3 . Résumons à grands traits notre démarche dans le cas monovariable. À l’équation différen- tielle inconnue, décrivant le comportement entrée-sortie, supposé de dimension finie, linéaire ou non, E(y, ˙y, . . . , y(a) , u, ˙u, . . . , u(b) ) = 0 (1) on substitue le modèle « phénoménologique », valable sur un court laps de temps, y(ν) = F + αu (2) L’ordre de dérivation ν, en général 1 ou 2, et le paramètre constant α sont fixés par l’opérateur ; ν n’est pas néces- sairement égal à l’ordre de dérivation a de y en (1). On déduit la valeur de F à chaque instant de celles de u et de y(ν) . Nos dérivateurs numériques, qui ont permis des progrès considérables en non-linéaire [25], utilisent les re- marquables avancées de [44]. On obtient le comportement désiré, si, par exemple, ν = 2 en (2), grâce au correcteur, 1Voir [24], [21] et [20] pour des versions préliminaires. La commande sans modèle, ou à modèle restreint, qui peut être exploitée pour les systèmes hybrides [10], a déjà vu plusieurs illustrations concrètes dans des domaines variés [33], [37], [59], [60]. D’autres, y compris au niveau industriel, sont en cours. 2Voir [30], [31] pour leur début, qui s’est fait dans un cadre d’iden- tification paramétrique pour systèmes linéaires. Voir la bibliographie de [25] pour de nombreuses références supplémentaires, y compris en traitement du signal. Renvoyons aussi à [25] pour l’atténuation de perturbations inconnues dans la commande de systèmes connus. 3D’où notre terminologie « commande sans modèle », plutôt que « commande boîte noire ». e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 ou régulateur, ou encore asservissement, PID intelligent4 , ou, en abrégé, i-PID, u = − F α + ¨y∗ α + KP e + KI e + KD ˙e (3) où – y∗ est la trajectoire de référence de la sortie, obtenue selon les préceptes de la commande par platitude (voir [26], [43], [51], [56]) ; – e = y − y∗ est l’erreur de poursuite ; – KP , KI, KD sont les gains de réglage5 . Remarque 1 On pourrait qualifier le correcteur (3) de com- mande universelle et ce qui précède de commande prédictive sans modèle6 . 2. On connaît assez bien un modèle de base, défini, par exemple, par (1). On remplace, alors, (1) par la modélisa- tion restreinte, ou incomplète7 , E(y, ˙y, . . . , y(a) , u, ˙u, . . . , u(b) ) + G = 0 où G résume l’ensemble des facteurs inconnus8 . Lorsque le sous-modèle connu, correspondant à E = 0, est plat ([26], [43], [51], [52], [56]), on adapte ce qui précède de manière à construire un correcteur intelligent, ou i-correcteur, qui élimine aussi les effets inconnus. Le § II rappelle brièvement, grâce à l’algèbre différen- tielle, comment – obtenir les équations différentielles du comportement entrée-sortie ; – définir le déphasage, minimal ou non. Le § III examine l’estimation des dérivées d’un signal bruité, déjà souvent utilisée (cf. [25]). On pose au § IV les principes essentiels de notre commande sans modèle. Plu- sieurs expérimentations numériques9 pour des systèmes li- néaires10 ou non, monovariables ou non, sont menées11 au § V. On aborde brièvement l’anti-emballement12 au § V-D.2. On passe aux modèles restreints au § VI, qui traite deux exemples, dont l’un est à déphasage non minimal, question que nous ne savons pas résoudre si le modèle est complète- ment inconnu13 . 4On trouve déjà cette terminologie dans la littérature (voir, par exemple, [3]), mais avec d’autres sens. 5Tuning, en américain. 6La commande prédictive suppose dans sa version actuelle la connaissance d’un modèle mathématique, d’où sa dénomination amé- ricaine : model-based predictive control. Renvoyons à [27] et à [15], [16] pour une approche par platitude. 7Ayant rejeté plus haut la terminologie « boîte noire », on ne peut, ici, adopter celle de « boîte grise ». 8Toute modélisation mathématique, en ingénierie comme en phy- sique, est incomplète. On traite, alors, le terme G comme une dy- namique négligée, d’amplitude « faible ». Cette hypothèse n’est pas nécessaire, ici. 9Toutes ces expérimentations numériques seraient, bien entendu, impossibles sans modèles mathématiques donnés a priori. 10Comme le souligne la remarque 11, les critères mathématiques usuels de commande robuste deviennent sans objet. 11Tous les programmes, pour la commande sans modèle, ou à mo- dèle restreint, sont disponibles auprès de l’un des auteurs (C.J.), à l’adresse électronique : Cedric.Join@cran.uhp-nancy.fr. 12Anti-windup, en américain. 13Cette question du déphasage non minimal est, sans doute, le point théorique le plus important laissé en suspens dans cet article. La com- mande des systèmes à déphasge minimal, y compris avec un modèle mal connu, est, par contre, trivialisée par notre travail. Remarque 2 Connaître un modèle restreint, surtout s’il est plat (voir [26], [43], [51], [56]), facilite le calcul d’une sor- tie et d’une commande nominales en boucle ouverte. C’est ainsi que nous traitons le déphasage non minimal. Les simulations numériques des § V-A et VI-B dé- montrent la supériorité de nos correcteurs par rapport aux PID classiques14 . Diverses conséquences sont évoquées, au § VII, en guise de conclusion. Remarque 3 Seul le § II est écrit dans un langage algé- brique abstrus. Pour comprendre la suite, et, en particu- lier, les principes généraux de notre commande, il suffit d’admettre les représentations entrée-sortie (1)et (4), ainsi que les fondements de la platitude ([26], [43], [51], [56]). II. Représentation des systèmes non linéaires A. Corps différentiels Tous les corps sont de caractéristique nulle. Un corps différentiel15 K est un corps commutatif, muni d’une dé- rivation d dt , c’est-à-dire une application K → K telle que, ∀ a, b ∈ K, – d dt (a + b) = ˙a + ˙b, – d dt (ab) = ˙ab + a˙b. Une constante c ∈ K est un élément tel que ˙c = 0. L’en- semble des constantes est le sous-corps des constantes. Une extension de corps différentiels L/K consiste en la donnée de deux corps différentiels K, L, telles que : – K ⊆ L, – la dérivation de K est la restriction à K de celle de L. Notons K S , S ⊂ L, le sous-corps différentiel de L engen- dré par K et S. Supposons L/K finiment engendré, c’est- à-dire L = K S , où S est fini. Un élément ξ ∈ L est dit différentiellement algébrique par rapport à K si, et seule- ment si, il satisfait une équation différentielle algébrique P(ξ, . . . , ξ(n) ) = 0, où P est un polynôme sur K en n + 1 indéterminées. L’extension L/K est dite différentiellement algébrique si, et seulement si, tout élément de L de différen- tiellement algébrique par rapport à K. Le résultat suivant est important : L/K est différentiellement algébrique si, et seulement si, son degré de transcendance est fini. Un élément de L non différentiellement algébrique par rapport à K est dit différentiellement transcendant par rap- port à K. Une extension L/K non différentiellement al- gébrique est dit différentiellement transcendante. Un en- semble {ξι ∈ L | ι ∈ I} est dit différentiellement algé- briquement indépendant par rapport à K si, et seulement si, aucune relation différentielle non triviale par rapport à K n’existe : Q(. . . , ξ (νι) ι , . . . ) = 0, où Q est un polynôme sur K, implique Q ≡ 0. Deux ensembles maximaux d’élé- ments différentiellement algébriquement indépendants ont même cardinalité, c’est-à-dire même nombre d’éléments : c’est le degré de transcendance différentiel de l’extension 14Nous avons conscience des objections que peut susciter une telle comparaison, en raison de la littérature considérable sur les PID depuis l’article, souvent cité, de Ziegler & Nichols [66] (voir, par exemple, [2], [4], [8], [12], [17], [32], [36], [41], [42], [47], [55], [61], [62], [64], et leurs bibliographies) : on peut toujours invoquer la mé- connaissance d’une méthode existante. Seuls le temps et l’effort de bien des ingénieurs permettront de confirmer notre point de vue. 15Voir [11], [40] pour plus de details et, en particulier, [11] pour des rappels sur les corps usuels, c’est-à-dire non différentiels. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 L/K. Un tel ensemble est une base de transcendance diffé- rentielle. Enfin, L/K est différentiellement algébrique si, et seulement si, son degré de transcendance différentielle est nulle. B. Systèmes non linéaires B.1 Définitions générales Donnons-nous un corps différentiel de base k. Un sys- tème16 est une extension différentiellement transcendante de K/k, finiment engendrée. Soit m son degré de transcen- dance différentielle. Un ensemble de commandes (indepen- dantes) u = (u1, . . . , um) est une base de transcendance dif- férentielle de K/k. L’extension K/k u est donc différentiel- lement algébrique. Un ensemble de sorties y = (y1, . . . , yp) est un sous-ensemble de K. Soit x = (x1, . . . , xn) une base de transcendance de K/k u , de degré de transcendance n. Il en découle la re- présentation d’état généralisée : Aι( ˙xι, x, u, . . . , u(α) ) = 0 Bκ(yκ, x, u, . . . , u(β) ) = 0 où Aι, ι = 1, . . . , n, Bκ, κ = 1, . . . , p, sont des polynômes sur k. La représentation entrée-sortie suivante résulte du fait que y1, . . . , yp sont différentiellement algébriques par rap- port à k u : Φj(y, . . . , y( ¯Nj ) , u, . . . , u( ¯Mj ) ) = 0 (4) où Φj, j = 1, . . . , p, est un polynôme sur k. B.2 Inversion entrée-sortie Venons-en à l’inversibilité entrée-sortie : – Le système est dit inversible à gauche si, et seulement si, l’extension17 k u, y /k y est différentiellement al- gébrique. C’est dire que l’on peut récupérer l’entrée à partir de la sortie grâce à un système différentiel. Alors, m ≤ p. – Il est dit inversible à droite si, et seulement si, le degré de transcendance différentielle de k y /k vaut p. C’est dire que les sorties sont différentiellement algébrique- ment indépendantes par rapport à k. Alors, p ≤ m. Le système est dit carré si, et seulement si, m = p. Alors, inversibilités à gauche et à droite coïncident. On dit, si ces propriétés sont vérifiées, que le système est inversible. B.3 Déphasage Le corps de base k est désormais le corps R des réels. Supposons notre système inversible à gauche. Le compor- tement stable, ou non, de (4), considéré comme système d’équations différentielles en u, y étant donné, permet de définir le déphasage, minimal ou non (comparer avec [35]). III. Dérivateurs numériques Renvoyons à [25] pour plus de détails et de références. On trouve en [44] des compléments théoriques précieux pour la mise en pratique. 16Voir, aussi, [13], [14], [25], [26], qui fournissent des références sup- plémentaires sur l’emploi de l’algèbre différentielle en automatique non linéaire. 17Cette extension k u, y /k y est appelée dynamique résiduelle, ou dynamique des zéros (commparer avec [35]). A. Principes généraux A.1 Signaux polynômiaux Réécrivons la fonction polynômiale de degré N xN (t) = N ν=0 x(ν) (0) tν ν! où t ≥ 0, selon les notations usuelles du calcul opérationnel (cf. [63]) : XN (s) = N ν=0 x(ν) (0) sν+1 (5) Utilisons d ds , parfois appelé dérivation algébrique. Mul- tiplions les deux membres de (5) par dα dsα sN+1 , α = 0, 1, . . . , N. Les quantités x(ν) (0), ν = 0, 1, . . ., N, qui sa- tisfont le système triangulaire d’équations linéaires, à élé- ments diagonaux non nuls, dα sN+1 XN dsα = dα dsα N ν=0 x(ν) (0)sN−ν (6) sont linéairement identifiables [30], [31]. On élimine les dé- rivées temporelles sµ dι XN dsι , µ = 1, . . . , N, 0 ≤ ι ≤ N, en multipliant les deux membres de (6) par s− ¯N , ¯N > N. Remarque 4 On revient au domaine temporel en utilisant la correspondance entre dα dsα et la multiplication par (−t)α (cf. [63]). A.2 Signaux analytiques Un signal est dit analytique si, et seulement si, son dé- velppement de Taylor est convergent. On se ramène à ce qui précède en tronquant ce développement. B. Bruits Les bruits, que l’on considère comme des fluctuations ra- pides, sont atténués par des filtres passe-bas, dont les inté- grales itérées sont un exemple élémentaire18 . IV. Bases de la commande sans modèle Il est, bien entendu, impossible de fournir ici un cata- logue complet pour la mise en œuvre19 . De nombreuses applications devraient conduire, nous l’espérons, à des ma- nuels d’utilisation, accessibles à tous les ingénieurs. A. Modélisation locale 1. On suppose le système inversible à gauche. Si le nombre de sorties est strictement supérieur à celui des entrées, c’est-à-dire p m, on choisit m sorties pour obtenir un système carré inversible. Si, comme il est loisible de le sup- poser, ce sont les m premières sorties, on généralise (2), en posant : y (n1) 1 = F1 + α1,1u1 + · · · + α1,mum . . . y (np) p = Fm + αm,1u1 + · · · + αp,mum (7) 18Voir [19] pour un théorie mathématique précise, basée sur l’ana- lyse non standard. 19C’est aussi valable pour la commande à modèle restreint, étudiée au § VI. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 où – nj ≥ 1, j = 1, . . . , p, et, le plus souvent, nj = 1, ou 2 ; – αj,i ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p, sont des paramètres constants non physiques, choisis par le praticien de sorte que les αj,iui et les Fj aient même ordre de grandeur. 2. La valeur numérique de Fj, égale à y (nj) j −αj,1u1 −· · ·− αj,mum est obtenue, de façon à éviter toute boucle algé- brique, grâce à l’échantillonnage Fj(κ) = [y (nj) j (κ)]e − m i=1 αj,iui(κ − 1) où [•(κ)]e désigne l’estimée à l’instant κ. 3. Le choix de trajectoires de référence pour les yj se fait de façon analogue à celle adoptée en commande par platitude (voir [26], [43], [51], [56]). Remarque 5 Pour éviter des boucles algébriques, il faut, en (4), que ∂Φj ∂y (nj) j ≡ 0, j = 1, . . . , p On en déduit nj ≤ ¯Nj Des instabilités numériques peuvent apparaître si ∂Φj ∂y (nj ) j est proche de zéro20 . Remarque 6 Avec des systèmes à déphasage non minimal, nos procédures peuvent conduire à des valeurs divergentes des uj pour t grand, et, donc, à des valeurs numériquement inadmissibles des Fj. Nos techniques ne s’appliquent pas, en l’état actuel, au déphasage non minimal. Remarque 7 Comme l’on ignore les équations (1) et (4), les vérifications exigées par les deux remarques précédentes doivent être faites expérimentalement dans le domaine de fonctionnement de la machine. B. Correcteurs Pour simplifier l’écriture, restreignons-nous aux systèmes monovariables21 . Si ν = 2 en (2), le correcteur PID intelli- gent a été défini par (3). Si ν = 1 en (2), on remplace (3) par le correcteur PI intelligent, oi i-PI, u = − F α + ˙y∗ α + KP e + KI e (8) Remarque 8 Nous n’avons jamais dû prendre jusqu’à pré- sent ν 2 en (2). On étendrait aisément, si nécessaire, les correcteurs propotionnels-intégraux généralisés, ou GPI, de [28] aux correcteurs proportionnels-intégraux générali- sés intelligents, ou i-GPI. 20Ces phénomènes, qui pourraient entraîner des difficultés de mise au point de la commande sans modèle, n’apparaissent ni dans les exemples ci-dessous, ni dans ceux, plus concrets, étudiés en [33], [37]. Aussi formulons-nous l’hypothèse qu’ils sont rares en pratique. 21La généralisation au multivariable est immédiate. Voir § V-C. Remarque 9 Il peut être profitable, pour améliorer les per- formances, de remplacer en (3) ou en (8) le terme KI e par une somme finie d’intégrales itérées KI1 e + KI2 e + · · · + KIΛ . . . e où – . . . e désigne l’intégrale itérée d’ordre Λ, – les KIλ , λ = 1, . . . , Λ, sont des gains. On obtient, si KIΛ = 0, un PIΛ D ou un PIΛ intelligent, soit, en abrégé, un i-PIΛ D ou un i-PIΛ . Détaillons quelques avantages par rapport aux correc- teurs PID classiques : – Aucun besoin d’une procédure d’identification car toute l’information structurelle est contenue dans le terme F de (2), qui est éliminé en (3). – La trajectoire de référence, choisie comme pour la com- mande par platitude ([26], [43], [51], [52], [56]), est beaucoup plus flexible que les trajectoires utilisées, en général, dans l’industrie. On évite ainsi, dans une large mesure, les dépassements22 , si dommageables en pra- tique. V. Exemples de commande sans modèle23 A. Un système linéaire monovariable stable Soit le système linéaire stable, de fonction de transfert (s + 2)2 (s + 1)3 (9) A.1 Un correcteur PID classique On applique la méthode bien connue de Broïda (cf. [17]) en approchant (9) par le système à retard Ke−τs (T s + 1) On détermine K = 4, T = 2.018, τ = 0.2424 par des méthodes graphiques. On en déduit (cf. [17]) les coefficients du PID : KP = 100(0.4τ+T ) 120Kτ = 1.8181, KI = 1 1.33Kτ = 0.7754, KD = 0.35T K = 0.1766. A.2 i-PI. On utilise ˙y = F + u. Soit l’i-PI u = −[F]e + ˙y⋆ + PI(e) où – [F]e = [ ˙y]e − u, – y⋆ est une trajectoire de référence, – e = y − y⋆ , – PI(e) est un PI usuel. 22Overshoots, en américain. 23On ajoute un bruit additif, blanc, gaussien et centré, de variance 0.01, afin de tester la robustesse de toutes les simulations numériques de ce travail. On utilise un filtre passe-bas usuel avec un PID standard, et les principes du § III-B avec un i-PID. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −3.5 −3.0 −2.5 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Time (s) (a) Commande i-PI 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Time (s) (c) Commande PID 0 5 10 15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Time (s) (d) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 1: Système linéaire monovariable stable figure A.3 Simulations numériques La figure 1 montre que le comportement de l’i-PI est lé- gèrement meilleur que celui du PID classique. En tenant compte du vieillissement et d’une panne, la situation de- vient très favorable à l’i-PID : – La figure 2 montre la nette supériorité de l’i-PID si le vieillissement se traduit par un pôle non plus égal à 1, mais à 1.5, et si l’on ne recommence pas l’identification graphique précédente. – Il en va de même, comme on le voit sur la figure 3, avec une défaillance de l’actionneur, se traduisant par une perte de puissance de 50%. Remarque 10 Nul besoin d’après cet exemple, que l’on pourrait multiplier à l’infini, d’introduire des systèmes à retard de type T (s)e−Ls , T ∈ R(s), L ≥ 0 (10) si courant dans le réglage des PID classiques, en dépit de leur identification délicate. Rappelons que – la structure et la commande des systèmes de type (10) ont été étudiés en [29], – leur identification, selon des techniques issues, elles aussi, de [30], [31], a été entreprise en [5], [6], [7], [48], [53]. Remarque 11 Cet exemple démontre que les critères ma- thématiques usuels de commande robuste deviennent sans objet. Il est clair que cette robustesse dépend avant tout des conditions d’utilisation pratique : – qualité des capteurs et, donc, des mesures, plus ou moins brouillées par des bruits divers, – cadence d’échantillonnage24 , – puissance du calculateur numérique embarqué. Établir un cadre théorique rigoureux pour ces notions semble un défi. Ajoutons, néanmoins, que la commande sans modèle nous ramène toujours, ici, à un intégrateur, simple ou double, pour lequel les méthodes fréquentielles classiques (voir, par exemple, [4], [32], [41]) gardent un possible intérêt. Remarque 12 Cet exemple démontre aussi que l’i-PID prend naturellement en compte certaines pannes, sans avoir recours à une théorie du diagnostic25 . 24Voir le § VII-B. 25Voir [22], [25] pour une théorie du diagnostic avec modèles connus, aux incertitudes paramétriques près. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Time (s) (a) Commande i-PI 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Time (s) (c) Commande PID 0 5 10 15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Time (s) (d) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 2: Système linéaire monovariable stable, modifié figure B. Un système linéaire monovariable à large spectre Pour le système de fonction de transfert, à large spectre, s5 (s + 1)(s + 0.1)(s + 0.01)(s − 0.05)(s − 0.5)(s − 5) on utilise (2) sous la forme ˙y = F + u. Un correcteur de type i-PI assure la stabilisation autour de la trajectoire de référence. La figure 4 montre une poursuite presque parfaite de cette trajectoire. C. Un système linéaire multivariable Pour le système de matrice de transfert s3 (s+0.01)(s+0.1)(s−1)s 0 s+1 (s+0.003)(s−0.03)(s+0.3)(s+3) s2 (s+0.004)(s+0.04)(s−0.4)(s+4) on utilise, après quelques essais, (7) sous la forme décou- plée : ˙y1 = F1 + 10u1 ¨y2 = F2 + 10u2 La stabilisation autour d’une trajectoire de référence (y∗ 1, y∗ 2) est assurée par l’i-PID multivariable : u1 = 1 10 ˙y∗ 1 − F1 + KP 1e1 + KI1 e1 + KD1 ˙e1 u2 = 1 10 ¨y∗ 2 − F2 + KP 2e2 + KI2 e2 + KD2 ˙e2 où – e1 = y∗ 1 − y1, e2 = y∗ 2 − y2 ; – KP 1 = 1, KI1 = KD1 = 0, KP 2 = KI2 = 50, KD2 = 10. Les performances reportées sur les figures 5 et 6 sont ex- cellentes. A titre indicatif, le résultat pour une commande obtenue en posant F1 = F2 = 0 est présenté figure 6-(b) : il faut comparer les figures 6-(a) et 6-(b). Remarque 13 La commande de systèmes tels ceux des § V-B et V-C est souvent abordée par réduction de modèle (voir, par exemple, [1], [46]). D. Un système non linéaire monovariable et instable D.1 i-PID Pour le le système non linéaire ˙y − y = u3 , on utilise (2) sous la forme ˙y = F + u. La stabilisation autour de la trajectoire de référence y∗ est assurée par l’i-PI u = −F + ˙y⋆ + KP e + KI e (11) On a choisi KP = −2 et KI = −1. Les simulations de la figure 7 sont excellentes. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Time (s) (a) Commande i-PI 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Time (s) (c) Commande PID 0 5 10 15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Time (s) (d) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 3: Système linéaire monovariable stable, avec défaillance de l’actionneur figure D.2 Anti-emballement La commande u doit maintenant vérifier −2 ≤ u ≤ 0.4. D’après la figure 8 les performances sont médiocres si l’on n’adjoint pas d’anti-emballement à la partie classique de l’i-PI. Notre anti-emballement est élémentaire26 : dès satu- ration de la commande, on fixe l’intégrale e de (11) à la valeur atteinte. La figure 9 montre, alors, que l’actionneur est sous-dimensionné27 . E. La bille sur la barre La bille sur la barre de la figure 10, en américain ball and beam, sont commandées par l’angle u = θ et vérifient28 ¨y = By ˙u2 − BG sin u. Comme ce système, qui n’est pas linéarisable par bouclage statique, est non plat (cf. [26], [43], [51], [52], [56]), il est difficile à piloter29 . 26C’est un sujet classique auquel la plupart des traités sur les PID consacrent des développements plus ou mloins longs. Mentionnons [9], [34], [50]. 27Il faudrait, selon les enseignements de la platitude ([26], [43], [51], [52], [56]), modifier la trajectoire de référence. 28Dans l’équation suivante apparaît la fonction sinus qui n’est pas différentiellement algèbrique et ne satisfait donc pas à la théorie pré- sentée au § II. Cette difficulté est facilement contournée en utilisant tg u 2 (cf. [26]). 29Une abondante littérature lui a été consacrée (voir, par exemple, [18], [39], [54] pour des techniques d’automatique non linéaire, et [65] y u θ Fig. 10: La bille sur la barre figure Nous avons choisi, selon (2), ¨y = F + 100u. Afin de sa- tisfaire au mieux des conditions expérimentales, la com- mande est saturée de manière à satisfaire −π/3 < u < π/3 et −π < ˙u < π. Pour deux types de trajectoires (poly- nômes de Bézier et fonction sinusoïdale : figures 11 et 12), le comportement du système en terme de suivi est très bon. On utilise un i-PID. Les figures 11-(b), 12-(b), 11-(c), 12-(c) présentent respectivement les commandes et les estimations de F dans le cas sans bruit. Les performances de poursuites de trajectoires sont à comparer avec celles obtenues dans le cas de signaux entachés de bruits (figures 11-(d) et 12-(d)). pour des réseaux de neurones). e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 2 4 6 8 10 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time (s) (a) Référence (- -) et sortie 0 2 4 6 8 10 −10 −5 0 5 10 15 20 25 Time (s) (b) Commande 0 2 4 6 8 10 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 Time (s) (c) Estimation de F 0 2 4 6 8 10 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Time (s) (d) Estimation de ˙y Fig. 4: Système linéaire monovariable à large spectre figure F. Les trois cuves pompe 1 pompe 2 u1 u2 cuve 1 cuve 2cuve 3 S S S Sp, µ1 Sp, µ2Sp, µ3 x1 x2x3 Fig. 13: Les trois cuves figure Le système des trois cuves de la figure 13, très populaire en diagnostic30 , vérifie les équations :    ˙x1 = −C1sign(x1 − x3) |x1 − x3| + u1/S ˙x2 = C3sign(x3 − x2) |x3 − x2| −C2sign(x2) |x2| + u2/S ˙x3 = C1sign(x1 − x3) |x1 − x3| −C3sign(x3 − x2) |x3 − x2| y1 = x1 y2 = x2 y3 = x3 où Cn = (1/S).µn.Sp √ 2g, n = 1, 2, 3 ; S = 0.0154 m (section des cuves) ; Sp = 5.10−5 m (section des tuyaux inter-cuves) ; g = 9.81 m.s−2 (accélération de la pesanteur) ; µ1 = µ3 = 0.5, µ2 = 0.675 (coefficients de viscosité). Selon les recommandations du § IV-A, on construit (7), dé- couplé comme au § V-C : ˙yi = Fi +200ui, i = 1, 2. La figure 30Renvoyons à [23] pour plus de détails et quelques références bi- bliographiques. Que l’on nous permette de rappeler que [23] propose, sans doute pour la première fois, le diagnostic, la commande et la re- configuration d’un système non linéaire à paramètres incertains. Voir [25] pour un exposé récent, plus complet. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 14-(a) fournit le suivi de trajectoires. L’estimation des déri- vées (figure 14-(b)) est excellente en dépit du bruit additif de mesure. L’utilisation, comme souvent en pratique, d’une commande bloquée ne dégrade pas les performances. Les commandes nominales (figure 14-(c)) sont assez proches de celles que nous aurions calculées en utilisant la platitude (voir [23]). Elles sont complétées par des i-PI ui = 1 200 „ ˙y∗ i − Fi + 10ei + 2.10−2 Z ei « i = 1, 2 où y∗ i est la trajectoire de référence, ei = y∗ i − yi. Pour évaluer ei nous utilisons yi débruité (voir figure 14-(d)) selon les techniques du § III. VI. Commande à modèle restreint A. Bases A.1 Platitude On suppose le système (4) carré, c’est-à-dire m = p, plat ([26], [43], [51], [52], [56]), de sortie plate y = (y1, . . . , ym), c’est-à-dire ¯Mj = 0, j = 1, . . . , m. Il vient, localement, uj = Ψj(y, . . . , y( ¯Nj ) ), j = 1, . . . , m (12) Choisissons, selon les prescriptions de la platitude, une tra- jectoire de référence y⋆ à laquelle correspond la commande en boucle ouverte u⋆ , définie par (4)-(12). Soit e = y − y⋆ l’erreur de poursuite. Supposons l’existence d’un correcteur ufeedback(e) tel que u = u⋆ + ufeedback(e) (13) stabilise autour de la référence. A.2 Correcteurs intelligents On remplace (4) par Φj(y, . . . , y( ¯Nj ) , u, . . . , u( ¯Mj ) ) + Gj = 0 (14) où les Gj, j = 1, . . . , m, résument les effets non modélisés. Alors, (12) devient uj = Ψj(y, . . . , y( ¯Nj ) ) + Hj, j = 1, . . . , m (15) où les Hj diffèrent, en général, des Gj. Grâce à (15), les Hj sont estimés comme le sont, en [25], les pannes et les perurbations inconnues. Reprenons y⋆ et u⋆ tels qu’ils sont définis plus haut. Le correcteur intelligent, ou i-correcteur, défini, à partir de (13), par u = u⋆ +    H1 ... Hm    + ufeedback(e) stabilise autour de la référence. Remarque 14 Il est toujours loisible de se ramener à un i- PID, même si le système restreint n’est pas linéaire d’ordre 2, en éliminant convenablement les Ψj de (15). B. Frottements et non-linéarités Une masse ponctuelle m, fixée à l’extrémité d’un ressort de longueur y, obéit à l’équation m¨y = −K(y) + F( ˙y) − d ˙y + Fext (16) où – Fext = u est la commande ; – d est l’amortissement, – K(y) = k1y + k3y3 est la force de rappel, avec une non-linéarité cubique de type Duffing ; – F( ˙y) est le frottement. On suppose connu m = 0.5 ; k1 = 3 l’est avec une erreur de 33%, puisque l’on utilise ˆk1 = 2 ; d et k3, inconnus, valent 5 et 10 dans les simulations numériques. Quant au frotte- ment31 , nous avons choisi, pour les simulations, le modèle bien connu de Tustin [58], dont la représentation en la fi- gure 15-(a) fait ressortir le caractère « violent » lors d’un changement de signe de la vitesse. B.1 Un PID classique On règle le PID à partir du modèle partiel, connu, m¨y = −ˆk1y + u. On détermine ses coefficients pour que tous les pôles soient égales à −3 : KP = −ˆk1 + 27m, KI = −27m, KD = 9m. B.2 i-PID Donnons-nous, selon les prescriptions de la platitude, une trajectoire de référence y⋆ . Posons u⋆ = m¨y⋆ + ˆk1y⋆ L’i-PID est, alors, Fext = u = u⋆ − [G]e + PID(e) (17) où – G = F( ˙y) − (k1 − ˆk1)y − k3y3 − d ˙y qui regroupe l’en- semble des effets ignorés (amortissement, frottement, non-linéarité) qu’il est tout à fait inutile d’isoler pour la commande, est estimé grâce à [G]e = m[¨y]e + ˆk[y]e − Fext déduit de (16) ([y]e et [¨y]e désignent la sortie et sa dérivée seconde débruitées – voir figures 15-(d,f)) ; – le correcteur PID(e), e = y − y⋆ , est choisi tel que −3 soit un pôle triple. B.3 Simulations numériques Les performances de l’i-PID (17), reportées dans les fi- gures 15-(c,d), sont excellentes. La comparaison avec les figures – 15-(e,f), où l’on utilise – la platitude, pour déterminer trajectoire et com- mande nominales, – un PID classique, ignorant les effets inconnus ; – 15-(g,h), où l’on utilise un PID classique, sans plati- tude, ignorant les effets inconnus ; est éloquente. L’avantage de l’i-PID croît avec le frotte- ment. 31Sans insister sur la complexité bien connue de la tribologie. on se contente, ici, de citer deux études récentes, [49] et [45], reliées à l’automatique. Notre approche évite toute tentative de modélisation. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 C. Déphasage non minimal Soit le système linéaire de fonction de transfert s − a s2 − (b + c)s + bc a, b, c ∈ R sont respectivement le zéro et les deux pôles. Il est à déphasage non minimal si a > 0. La représentation d’état commandable et observable    ˙x1 = x2 ˙x2 = (b + c)x2 − bcx1 + u y = x2 − ax1 (18) démontre que z = x1 est une sortie plate. Ce n’est donc pas la sortie mesurée, comme supposée au § VI-A.1. Les modifications à apporter sont exposés au § suivant. C.1 Commande du modèle exact À une sortie plate nominale32 , c’est-à-dire donnée, z⋆ correspondent une commande nominale u⋆ = ¨z⋆ − (b + c) ˙z⋆ + bcz⋆ et une sortie nominale y⋆ = ˙z⋆ − az⋆ (19) Introduisons le correcteur GPI [28], c’est-à-dire un PID gé- néralisé, u = u⋆ + γ (u − u⋆ ) + KP (y − y⋆ ) +KI (y − y⋆ ) + KII (y − y⋆ ) (20) où les coefficients γ, KP , KI, KII ∈ R sont choisis de ma- nière à stabiliser la dynamique d’erreur e = z − z⋆ . Les figures 16-(a) et (b), avec déphasage non minimal et dy- namique instable, où a = 1, b = −1, c = −0.5, attestent d’excellentes performances, même avec du bruit. On trouve la trajectoire nominale y⋆ dans les figures 16-(c) et (d) : on obtient z⋆ en intégrant (19) en sens rétrograde. C.2 Effets non modélisés Réécrivons la deuxième ligne de (18) sous la forme ˙x2 = (b + c)x2 − bcx1 + u + ̟ où ̟ représente des effets non modélisés, comme une dé- faillance d’actionneur ou un frottement. La commande no- minale u⋆ du § VI-C.1 est remplacée par u⋆ pert = u⋆ − [̟]e où [̟]e est l’estimée de ̟ fournie par [̟]e = − [¨y]e − (b + c)[ ˙y]e + bc[y]e − [ ˙u]e a + u avec [ ˙u]e = ˙u⋆ + γ(u − u⋆ ) + KP ([ ˙y]e − ˙y⋆ ) +KI([y]e − y⋆ ) + KII ([y]e − y⋆ ) 32Ce § reprend des développements de [27], [28], afin de faciliter la lecture du § VI-C.2. déduit de (20). Commençons par les figures 17 et 18, où ̟ = −0.5, a = 1, b = −1, c = −0.5. Les graphiques 17-(b), sans changement de commande nominale, et 17-(e), avec chan- gement de commande nominale, démontrent la supériorité de notre approche, même avec du bruit. Le changement de commande nominale est illustré en la figure 17-(d) : l’es- timation de la perturbation 17-(c) permet le passage de u⋆ ((- -) à u⋆ pert ((. .)). Les résultats de la figure 18 sont comparables : z⋆ y est obtenu en intégrant (19) en sens rétrograde, ce qui permet plus de souplesse, grâce à l’utili- sation, par exemple, de courbes de Bézier (voir les figures 18-(b) et (e)). Pour la figure 19, ̟ n’est plus supposé constant, mais égal à −0.1 ˙y. On pose, pour les simulations, a = 2, b = −1 c = 1. Le graphique 19-(b) démontre une grosse influence sur la poursuite effectuée sans estimer ̟, malgré une am- plitude faible. En estimant ̟, on arrive à d’excellents ré- sultats (voir figure 19-(e)), même avec du bruit. VII. Conclusion A. PID et i-PID De Larminat écrit à la page 25 de l’excellent traité [41] : « Les PID présentent un avantage irremplaçable : leur mise au point peut être effectuée par des personnels (ingénieurs ou techniciens) qui peuvent tout ignorer de l’automatique ou des mathématiques, jusqu’au concept d’intégrale. » Il poursuit à la page 48 : « La standardisation et la lisibilité des PID sont telles que l’architecte d’un contrôle-commande ne voudra les aban- donner qu’en dernier recours. . . . En limite d’optimalité des PID, un gain de performances, obtenus par des mé- thodes plus raffinés, ne sera-t-il pas payé au prix fort par une moindre facilité de réglage ? Ou par la nécessité de recourir à un personnel plus qualifié pour la conception ? Ou par des difficultés ultérieures de révision et de mainte- nance ? » Les résultats déjà obtenus à propos de nos PID intelli- gents font espérer qu’ils auront les mêmes avantages, avec des performances très supérieures dans un champ d’appli- cations industrielles encore bien plus vaste. En effet, – le réglage des coefficients de l’i-PID est facile puisqu’il – élimine la partie inconnue, – réduit la commande à celle d’un intégrateur, ici simple ou double ; – les techniques d’identification pour la mise en œuvre, aujourd’hui, des PID, souvent imprécises, lourdes et malcommodes, deviennent obsolètes. Empressons-nous d’ajouter que pour parvenir à une com- mande efficace il faudra, évidemment, avoir une vue claire des possibilités de la machine. B. Échantillonnage Il existe des situations concrètes où l’on ne peut atteindre les cadences d’échantillonnage indispensables pour les cap- teurs logiciels du § III fournissant la dérivation numérique. De prochaines études aborderont ce point crucial. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 C. Modéliser ou non ? La commande sans modèle, ou à modèle restreint, nous semble mettre en cause les principes mêmes de toute modé- lisation mathématique en science appliquée, du moins lors- qu’on désire commande une machine : la partie mal connue, non nécessairement « petite », comme on le supposait jus- qu’à maintenant, est écartée. La modélisation obéirait-elle, ainsi, à des nécessités différentes, voire antagonistes, selon que le système est piloté, ou non ? Ce sont des questions « épistémologiques », nouvelles semble-t-il, qu’il faudra dé- battre. Remerciements. Les auteurs expriment leur reconnaissance à O. Gibaru (INRIA-ALIEN – École des Arts & Métiers ParisTech, Lille), à H. Mounier (IEF (CNRS - Université Paris-Sud)) et à W. Perru- quetti (INRIA-ALIEN – LAGIS (CNRS - École Centrale de Lille)) pour des conversations utiles. Ces mêmes auteurs, n’en déplaise aux esprits chagrins et autres pisse-froid, n’auraient pu mener cette re- cherche sans le soutien, irremplaçable et bienveillant, d’innombrables cigarillos et cigarettes. Grâce soit rendue à Monsieur Nicot ! Références [1] A.C. Antoulas, Approximation of Large-Scale Dynamical Sys- tems, SIAM, 2005. [2] K.J. Åström, T. Hägglund, Advanced PID Control, Instrument Soc. Amer., 2006. [3] K.J. Åström, C.C. Hang, P. Persson, W.K. Ho, « Towards intel- ligent PID control », Automatica, t. 28, p. 1-9, 1992. [4] K.J. Åström, R.M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008. [5] L. Belkoura, J.-P. Richard, M. Fliess, « On-line identification of systems with delayed inputs », Proc. 17th Symp. Math. Theory Networks Systems (MTNS 2006), Kyoto, 2006. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00068435/fr/. [6] L. Belkoura, J.-P. Richard, M. Fliess, « Real time identifi- cation of delay systems », Proc. 7th IFAC Workshop Time- Delay Systems (TDS 2007), Nantes, 2007. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00159773/fr/. [7] L. Belkoura, J.-P. Richard, M. Fliess, « Parameters estimation of systems with delayed and structered entries », Automatica, à paraître. Bientôt accessible sur http://hal.inria.fr. [8] A. Besançon-Voda, S. Gentil, « Régulateurs PID analogiques et numériques », Techniques de l’Ingénieur, R7416, 1999. [9] C. Bohn, D.P. Atherton, « An analysis package comparing PID anti-windup strategies », IEEE Control Syst. Magaz., t. 15, p. 34-40, 1995. [10] R. Bourdais, M. Fliess, C. Join, W. Perruquetti, « To- wards a model-free output tracking of switched nonli- near systems », Proc. 7th IFAC Symp. Nonlinear Control Systems (NOLCOS 2007), Pretoria, 2007. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00147702/fr/. [11] A. Chambert-Loir, Algèbre corporelle, Éditions École Polytech- nique, 2005. Traduction anglaise : A Field Guide to Algebra, Springer, 2005. [12] A. Datta, M.T. Ho, S.P. Bhattacharyya, Structure and Synthesis of PID Controllers, Springer, 2000. [13] E. Delaleau, « Algèbre différentielle », in J.-P. Richard (Ed) : Mathématiques pour les systèmes dynamiques, t. 2, chap. 6, p. 245-268, Hermès, 2002. [14] E. Delaleau, « Classical electrical engineering questions in the light of Fliess’s differential algebraic framework of non-linear control systems », Int. J. Control, t. 81, p. 380-395, 2008. [15] E. Delaleau, V. Hagenmeyer, « La commande prédictive non li- néaire fondée sur la platitude différentielle », in P. Boucher, D. Dumur (Eds.) : La commande prédictive : avancées et perspec- tives, p. 197-228, Hermès, 2006. [16] E. Delaleau, V. Hagenmeyer, « Continuous-time non-linear flatness-based predictive control: an exact feedforward lineari- zation with an induction drive example », Int. J. Control, 2008. [17] D., Dindeleux, Technique de la regulation industrielle, Eyrolles, 1981. [18] I. Fantoni, R. Lozano, Non-linear control for underactuated me- chanical systems, Springer, 2002. [19] M. Fliess, « Analyse non standard du bruit », C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I, t. 342, p. 797-802, 2006. [20] M. Fliess, C. Join, « Intelligent PID controllers », Proc. 16th Medit. Conf. Control Automat., Ajaccio, 2008. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00273279/fr/. [21] M. Fliess, C. Join, M. Mboup, H. Sira-Ramírez, « Vers une commande multivariable sans modèle », Actes Conf. Fran- coph. Automat. (CIFA 2006), Bordeaux, 2006. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00001139/fr/. [22] M. Fliess, C. Join, H. Sira-Ramírez, « Residual generation for linear fault diagnosis: an algebraic setting with examples », Int. J. Control, t. 77, p. 1223-1242, 2004. [23] M. Fliess, C. Join, H. Sira-Ramírez, « Closed-loop fault-tolerant control for uncertain nonlinear systems », in T. Meurer, K. Grai- chen, E.D. Gilles (Eds.) : Control and Observer Design for Non- linear Finite and Infinite Dimensional Systems, Lect. Notes Control Informat. Sci., vol. 322, p. 217-233, Springer, 2005. [24] M. Fliess, C. Join, H. Sira-Ramírez, « Complex conti- nuous nonlinear systems: their black box identification and their control », Proc. 14th IFAC Symp. System Identif. (SYSID 2006), Newcastle, Australie, 2006. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00000824/fr/. [25] M. Fliess, C. Join, H. Sira-Ramírez, « Non-linear estimation is easy », Int. J. Modelling Identification Control, t. 3, 2008. Ac- cessible sur http://hal.inria.fr/inria-00158855/fr/. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 [26] M. Fliess, J. Lévine, P. Martin, P. Rouchon, « Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples », Int. J. Control, t. 61, p. 1327-1361, 1995. [27] M. Fliess, R. Marquez, « Continuous-time linear predictive control and flatness: a module-theoretic setting with examples », Int. J. Control, t. 73, p. 606-623, 2000. [28] M. Fliess, R. Marquez, E. Delaleau et H. Sira-Ramírez, « Cor- recteurs proportionnels-intégraux généralisés », ESAIM Control Optim. Calc. Variat., t. 7, p. 23-41, 2002. [29] M. Fliess, R. Marquez, H. Mounier, « An extension of predic- tive control, PID regulators and Smith predictors to some delay systems », Int. J. Control, t. 75, p. 728-743, 2002. [30] M. Fliess, H. Sira-Ramírez, « An algebraic framework for linear identification », ESAIM Control Optim. Calc. Variat., t. 9, p. 151-168, 2003. [31] M. Fliess, H. Sira-Ramírez, « Closed-loop parametric identi- fication for continuous-time linear systems via new algebraic techniques », in H. Garnier, L. Wang (Eds.): Identification of Continuous-time Models from Sampled Data, p. 363-391, Sprin- ger, 2008. [32] G.F. Franklin, J.D. Powell, A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 4th ed., Prentice Hall, 2002. [33] P.-A. Gédouin, C. Join, E. Delaleau, J.-M. Bourgeot, S.A. Chirani, S. Calloch, « Model-free control of shape memory alloys antagonistic actuators », Proc. 17th IFAC World Congress (WIFAC-2008), Seoul, 2008. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00261891/fr/. [34] P. Hippe, Windup in Control - Its Effects and Their Prevention, Springer, 2006. [35] A. Isidori, Nonlinear Control Systems II, Springer, 1999. [36] M.A. Johnson, M.H. Moradi (Eds.), PID Control : New Identi- fication and Design Methods, Springer, 2005. [37] C. Join, J. Masse, M. Fliess, « Étude préliminaire d’une com- mande sans modèle pour papillon de moteur », J. europ. syst. automat., t. 42, p. 337-354, 2008. [38] G. Kerschen, K. Worden, A.F. Vakakis, J.-C. Golinval, « Past, present and future of nonlinear system identification in structu- ral dynamics », Mech. Systems Signal Process., t. 20, p. 505-592, 2006. [39] J. Hauser, S. Sastry, P. Kokotović, « Nonlinear control via approximate input-output linearization: The ball and beam example », IEEE Trans. Automat. Control, t. 37, p. 392-398, 1992. [40] E.R. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, Aca- demic Press, 1973. [41] P. de Larminat, Automatique appliquée, Hermès, 2007. [42] D. Lequesne, Régulation P.I.D. : analogique - numérique - floue, Hermès, 2006. [43] P. Martin, P Rouchon, « Systèmes plats de dimension finie », in F. Lamnabhi-Lagarrigue, P. Rouchon (Eds.) : Commandes non linéaires, chap. 3, p. 114-167, Hermès, 2003. [44] M. Mboup, C. Join, M. Fliess, « A revised look at nu- merical differentiation with an application to nonlinear feedback control », Proc. 15th Mediterrean Conf. Control Automation (MED’2007), Athènes, 2007. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00142588/fr/. [45] W. Nuninger, W. Perruquetti, J.-P. Richard, « Bilan et en- jeux des modèles de frottements : tribologie et contrôle au service de la sécurité des transports », Actes 5e Jour- nées Europ. Freinage (JEF’2006), Lille, 2006. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00192425/fr/. [46] G. Obinata, B.D.O. Anderson, Model Reduction for Control Sys- tems, Springer, 2001. [47] A. O’Dwyer, Handbook of PI and PID Controller Tuning Rules, 2nd ed., Imperial College Press, 2006. [48] F. Ollivier, S. Moutaouakil, B. Sadik, « Une méthode d’identi- fication pour un système linéaire à retards », C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I, t. 344, p. 709-714, 2007. [49] H. Olsson, K. J. Åström, C. Canudas de Wit, M. Gäfvert, P. Li- schinsky, « Friction models and friction compensation », Europ. J. Control, t. 4, p.176-195, 1998. [50] Y. Peng, D. Vrancic, R. Hanus, « Anti-windup, bumpless, and conditioned transfer transfer techniques for PID controllers », IEEE Control Syst. Magaz., t. 16, p. 48-57, 1996. [51] F. Rotella, I. Zambettakis, « Commande des systèmes par pla- titude », Techniques de l’ingénieur, S7450, 2007. [52] J. Rudolph, Beiträge zur flacheitsbasierten Folgeregelung linea- rer und nichtlinearer Syteme endlicher und undendlicher Di- mension, Shaker Verlag, 2003. [53] J. Rudolph, F. Woittennek, « Ein algebraischer Zugang zur Pa- rameteridentifkation in linearen unendlichdimensionalen Syste- men », at–Automatisierungstechnik, t. 55, p. 457-467, 2007. [54] S. Sastry, Nonlinear Systems, Springer, 1999. [55] F.G. Shinskey, Process Control Systems - Application, Design, and Tuning, 4th ed., McGraw-Hill, 1996. [56] H. Sira-Ramírez, S. Agrawal, Differentially Flat Systems, Marcel Dekker, 2004. [57] J. Sjöberg, Q. Zhang, L. Ljung, A. Benveniste, B. Delyon, P.-Y. Glorennec, H. Hjalmarsson, A. Juditsky, « Nonlinear black-box modeling in system identification: a unified overview », Automa- tica, t. 31, p. 1691-1724, 1995. [58] A. Tustin, « The effect of backlash and of speed dependent fric- tion on the stability of closed-cycle control systems », J. Instit. Elec. Eng., t. 94, p. 143-151, 1947. [59] J. Villagra, B. d’Andréa-Novel, S. Choi, M. Fliess, H. Mounier, « Robust stop-and-go control strategy: an algebraic approach for nonlinear estimation and control », Int. J. Vehicle Autonomous Systems, à paraître. Bientôt accessible sur http://hal.inria.fr. [60] J. Villagra, B. d’Andréa-Novel, M. Fliess, H. Mounier, « Estima- tion of longitudinal and lateral vehicle velocities: an algebraic ap- proach », Proc. Amer. Control Conf. (ACC-2008), Seattle, 2008. Accessible sur http://hal.inria.fr/inria-00263844/fr/. [61] A. Visioli, Practical PID Control, Springer, 2006. [62] Q.-J. Wang, 2. Ye, W.-J. Cai, C.-C. Hang, PID Control for Mul- tivariable Processes, Springer, 2008. [63] K. Yosida, Operational Calculus: A Theory of Hyperfunctions, Springer, 1984 (translated from the Japanese). [64] C.C. Yu, Autotuning of PID Controllers, Springer, 1999. [65] Y. Zhang, D. Jiang, J. Wang , « A recurrent neural network for solving Sylvester equation with time-varying coefficients », IEEE Trans. Neural Networks, t. 13, p. 1053-1063, 2002. [66] J.G. Ziegler, N.B. Nichols, « Optimum settings for automatic controllers », Trans. ASME, t. 64, p. 759-768, 1942. e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Time (s) (a) Bruits de sortie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Time (s) (b) Estimation de ˙y1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Time (s) (c) Estimation de ˙y2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Time (s) (d) Estimation de ¨y2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -11 -7 -3 1 5 9 13 17 21 25 Time (s) (e) Estimation de F1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -200 -100 0 100 200 300 Time (s) (f) Estimation de F2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2.5 -2.1 -1.7 -1.3 -0.9 -0.5 -0.1 0.3 0.7 1.1 1.5 Time (s) (g) Commande u1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Time (s) (h) Commande u2 Fig. 5: Système linéaire multivariable figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 Time (s) (a) i-PID : références (- -) et sorties 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 Time (s) (b) PID : références (- -) et sorties Fig. 6: Système linéaire multivariable figure 0 5 10 15 −3 −2 −1 0 1 2 3 Time (s) (a) Estimation de ˙y 0 5 10 15 −1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Time (s) (b) Commande 0 5 10 15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Time (s) (c) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 7: Système non linéaire monovariable instable figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 5 10 15 −1.4 −1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Time (s) (a) Commande 0 5 10 15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 8: Système non linéaire instable : commande saturée sans anti-emballement figure 0 5 10 15 −1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Time (s) (a) Commande 0 5 10 15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 9: Système non linéaire instable : commande saturée avec anti-emballement figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 2 4 6 8 10 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time (s) (a) Référence (- -) et sortie 0 2 4 6 8 10 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time (s) (b) Commande 0 2 4 6 8 10 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 Time (s) (c) Estimation de F 0 2 4 6 8 10 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Time (s) (d) Référence (- -) ; sortie pour la cas bruité Fig. 11: Trajectoire polynomiale pour la bille sur la barre figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 2 4 6 8 10 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Time (s) (a) Référence (- -) ; sortie 0 2 4 6 8 10 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Time (s) (b) Commande 0 2 4 6 8 10 −150 −100 −50 0 50 100 150 Time (s) (c) Estimation de F 0 2 4 6 8 10 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Time (s) (d) Référence (- -) ; sortie pour la cas bruité Fig. 12: Trajectoire sinusoïdale pour la bille sur la barre figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 100 200 300 400 500 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15 0.19 0.23 0.27 0.31 Time (s) (a) Références (- -) ; sorties 0 100 200 300 400 500 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 Time (s) (b) Estimation des dérivées ˙y1 (-) et ˙y2 (- -), décalé de 0.02 0 100 200 300 400 500 0.0e+00 2.0e-05 4.0e-05 6.0e-05 8.0e-05 1.0e-04 1.2e-04 1.4e-04 1.6e-04 1.8e-04 2.0e-04 Time (s) (c) Commandes u1 (-) et u2 (- -) 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 Time (s) (d) Gros plan sur le débruitage Fig. 14: Simulations pour les trois cuves figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −6 −4 −2 0 2 4 6 Speed (m/s) (a) Loi du frottement 0 5 10 15 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 Time (s) (b) Frottement F( ˙y) (–) ; Estimation de l’ensemble [G( ˙y)]e des effets inconnus (- -) 0 5 10 15 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 Time (s) (c) Commande i-PID 0 5 10 15 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (d) i-PID : sortie (–), référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 Time (s) (e) Commande par platitude + PID classique 0 5 10 15 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (f) Platitude + PID classique : sortie (–), référence (- -), sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 Time (s) (g) Commande PID sans platitude 0 5 10 15 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (h) PID sans platitude : sortie (–), référence (- -), sortie débruitée (. .) Fig. 15: Ressort avec non-linéarité, frottement et amortissement inconnus figure 0 5 10 15 −0.40 −0.35 −0.30 −0.25 −0.20 −0.15 −0.10 −0.05 0.00 0.05 Time (s) (a) u (–) ; u⋆ (- -) 0 5 10 15 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −0.35 −0.30 −0.25 −0.20 −0.15 −0.10 −0.05 −0.00 Time (s) (c) u (–) ; u⋆ (- -) 0 5 10 15 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (d) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 16: Système à déphasage non minimal figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 5 10 15 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Time (s) (a) u (–) ; u⋆ (- -) 0 5 10 15 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 −0.0 Time (s) (c) Perturbation (- -) ; perturbation estimée (–) 0 5 10 15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Time (s) (d) u (–) ; u⋆ (- -) ; u⋆ pert(. .) 0 5 10 15 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (e) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 17: Système à déphasage non minimal avec premier effet non modélisé figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 5 10 15 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Time (s) (a) u (–) ; u⋆ (- -) 0 5 10 15 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 5 10 15 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 −0.0 Time (s) (c) Perturbation (- -) ; perturbation estimée (–) 0 5 10 15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Time (s) (d) u (–) ; u⋆ (- -) ; u⋆ pert(. .) 0 5 10 15 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (e) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 18: Système à déphasage non minimal avec premier effet non modélisé figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 Time (s) (a) u (–) ; u⋆ (- -) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Time (s) (b) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.025 −0.020 −0.015 −0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 Time (s) (c) Perturbation (- -) ; perturbation estimée (–) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Time (s) (d) u (–) ; u⋆ (- -) ; u⋆ pert(. .) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time (s) (e) Sortie (–) ; référence (- -) ; sortie débruitée (. .) Fig. 19: Système à déphasage non minimal avec second effet non modélisé figure e-STA copyright 2008 by SEE Volume 5, N°4, pp 1-23