Synthèse de lois de commande prédictive pour la stabilisation d’un pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

09/12/2016
Publication e-STA e-STA 2016-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2016-2:17686
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Synthèse de lois de commande prédictive pour la  stabilisation d’un pendule inversé stabilisé par volant  d’inertie

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Synthèse de lois de commande prédictive pour la stabilisation d’un pendule inversé stabilisé par volant d’inertie Nahla Touati Laboratoire de Recherche L.A.R.A Automatique, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis (ENIT), BP37, 1002, Tunis le Belvédère – Tunisie nahla.karmani@gmail.com Ahmed Chemori Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier (LIRMM), université Montpellier2-CNRS, 161 rue Ada, Montpellier –France Ahmed.Chemori@lirmm.fr Résumé— Dans cet article, deux approches de commande prédictive sont proposées pour la stabilisation d’un système sous actionné : le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie. Les lois de commande proposées sont la commande prédictive non linéaire et généralisée. Elles doivent assurer la stabilisation de ce système rapide autour de sa position d'équilibre instable et de le maintenir dans cet état. L’efficacité et les performances des approches de commande proposées sont illustrées au travers des résultats de simulation sur le prototype du système en question. Mots-clés— commande prédictive ; système sous actionné ; pendule inversé stabilisé par volant d’inertie ; commande prédictive non linéaire ; généralisée ; stabilisation ; équilibre instable. I. INTRODUCTION La commande prédictive est née vers la fin des années 1970 et s’est considérablement développée depuis, à la fois dans la communauté de recherche en automatique et dans l’industrie. Elle a été prouvée comme une technique de commande efficace pour la stabilisation des processus, en présence de non-linéarités et des contraintes [3,10]. Le concept de base de la commande prédictive consiste à utiliser explicitement un modèle du système pour prédire son évolution future, et à calculer à chaque instant d’échantillonnage, une séquence de commande optimale sur un horizon de prédiction visant à minimiser une certaine fonction coût qui exprime l’objectif de la commande. Cette approche a été initialement conçue pour répondre aux besoins industriels en termes de commande de procédés lents, notamment en industrie pétrochimique, en métallurgie, etc. Ceci est dû particulièrement au problème de son implémentation temps réel. En effet, la résolution en ligne d’un problème d’optimisation, généralement non convexe et sous contraintes, devient délicate dans le cas des modèles non linéaires à cause du temps de calcul. Dans le cas où le modèle du procédé est linéaire, la solution analytique du problème d’optimisation existe et simple à calculer et les performances peuvent être meilleures du moment où l’optimum global est atteint [3,10,11]. Parmi les approches de commande prédictive qui, peuvent être appliquées, notamment aux systèmes à dynamique rapide comme ceux de la robotique ou de la mécatronique, on peut citer la commande prédictive non linéaire et la commande prédictive généralisée (GPC) objets de cet article. La commande prédictive non linéaire [1, 3, 4] est appliquée essentiellement dans le cas des systèmes non linéaires. Son principe de base consiste à utiliser le concept de la linéarisation par bouclage ainsi que l’optimisation des trajectoires sur les coordonnées linéarisées de telle sorte qu’une propriété de stabilité sur la dynamique des zéros soit satisfaite. Quant à la commande prédictive généralisée (GPC) [3], une linéarisation du modèle dynamique lagrangien du système est primordiale. La spécificité de la GPC réside dans l’existence d’une solution optimale analytique de la commande. Dans cet article, ces deux approches sont appliquées pour la stabilisation d’un système mécatronique rapide à dynamique non linéaire et instable : le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie. Le système est, du fait qu’il a moins d’actionneurs que de degrés de liberté, un système mécanique sous-actionné. Par ailleurs il est, à cause de sa dynamique interne instable, à non minimum de phase. Le plan de cet article est le suivant : La section ІI est principalement consacrée à la description et la modélisation du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie. Dans la section III, on introduira le principe de la commande prédictive non linéaire et son application sur le pendule inversé. La GPC fera l’objet de la section IV. Quant à la section V, elle sera consacrée aux résultats de simulation obtenus par application des approches prédictives. Une conclusion générale sera présentée dans la section VI. II. LE PENDULE INVERSE STABILISE PAR VOLANT D’INERTIE A. Description et fonctionnalité du système Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie (cf. Fig. 1) [12] est un système constitué d’un bâti qui supporte le pendule à travers une liaison passive (pivot). Le corps du pendule supporte un volant d’inertie actionné par un moteur à courant continu. En effet la rotation du volant d’inertie provoque, par les effets dynamiques qu’elle induit, la rotation du pendule autour de sa liaison passive. Le pendule inversé présente deux points d’équilibre : -Le point d’équilibre stable : qui correspond à l’état dans lequel le corps du pendule est dirigé vers le bas. En l’absence d’une quelconque force de contrôle, le système reste naturellement dans cet état. -Le point d’équilibre instable : qui correspond à l’état dans lequel le corps du pendule est pointé vers le haut. Ce point d’équilibre est dit instable car en l’absence d’une force de contrôle, le pendule, sous l’effet d’une quelconque perturbation liée à son environnement, est incapable de rester dans cette position. B. Récapitulatif des variables de système Le Tableau 1 regroupe l’ensemble des notations qui seront utilisées dans la modélisation du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie: Tableau1. Récapitulatif des variables utilisées dans la modélisation Variable Description Unité Position angulaire du pendule rad Vitesse angulaire du pendule rad/s Accélération angulaire du pendule rad/ Position angulaire du volant rad Vitesse angulaire du volant rad/s Accélération angulaire du volant rad/ Couple perturbateur N.m Couple appliquée du volant sur le pendule N.m Le Tableau 2 regroupe l’ensemble des paramètres géométriques et dynamiques du système: Tableau2. Paramètres géométriques et dynamiques du système Paramètre Description Valeur Unité Masse du pendule 3.30810 Kg Masse du volant 0.33081 Kg Distance pivot/ centre de gravité du pendule 0.06 m Distance pivot/ centre de gravité du volant 0.044 m Moment d’inertie du pendule 0.0314683 . Moment d’inertie du volant 0.0004176 . g Accélération de la pesanteur 9.81 . C. Modélisation dynamique et représentation d’état 1) Modélisation dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie Le système considéré est constitué de trois corps comme le montre le schéma de la Figure 2 : un bâti (0), une tige rigide ou pendule (1) et un volant d’inertie (2). Afin de calculer le modèle dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, les hypothèses suivantes sont considérées : - Hypothèse 1 : Les masses du pendule et de la roue d’inertie sont considérées comme étant des masses ponctuelles situées à leur centre de gravité (respectivement G1 et G2). - Hypothèse 2 : L’étude de la dynamique du pendule inversé est réalisée en négligeant les phénomènes mécaniques liés aux frottements. - Hypothèse 3 : La dynamique du moteur actionneur associée au volant d’inertie n’est pas prise en compte dans le cadre de la modélisation du système. En appliquant le formalisme de Lagrange, on peut montrer la façon dont la partie actionnée (volant d’inertie) agit sur l’angle du pendule afin de l’asservir en position verticale. Le formalisme d’Euler Lagrange est le suivant : − = [1] Fig.1. Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie inclinomètre corps du pendule volant d’inertie articulation active articulation passive base Fig.2. Schéma du principe avec : - L : le lagrangien. - : vecteur des coordonnées généralisées ; - : vecteur des vitesses généralisées ; - : vecteur des forces généralisées. Dans le cas du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie : = . Le Lagrangien L dépend des énergies cinétiques et potentielles des composants du système en termes de coordonnées généralisées. = − [2] avec ; - T : l’énergie totale du système (pendule et volant d’inertie) ; - : l’énergie potentielle des forces conservatives (pesanteur). L’énergie cinétique totale du système : = !" + $%"& ( ) [3] avec : - !" = ( + + ) , avec + = ; - $%"& ( ) = ( + + ) , avec +