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Stabilité et stabilisation  de systèmes discrets à retard

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	    <date dateType="Created">Fri 9 Dec 2016</date>
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            <date dateType="Submitted">Sat 16 Sep 2017</date>
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1 Stabilité et stabilisation de systèmes discrets à retard Mezlini Sahbi, Bemri H’mida, Soudani Dhaou et Benrejeb Mohamed Université de Tunis-El Manar Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis Laboratoire de Recherche en Automatique (LA.R.A) BP 37, le Belvédère, Tunis 1002, Tunisie. mezlini.sahbi@yahoo.fr; bemrihmida@gmail.com;dhaou.soudani@enit.rnu.tn;mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Résumé–Ce papier porte sur l’étude de systèmes discrets à retard, les critères de stabilité et de stabilisation étant exprimés sous forme d'inégalité matricielle linéaire (LMI). La méthode efficace transformant une inégalité matricielle bilinéaire (BMI) en une inégalité matricielle linéaire (LMI) a été à la base de l’élaboration d’un compensateur par retour d'état non retardé. Un exemple illustratif est traité pour illustrer l'efficacité de l’approche proposée. Mots-clés–Stabilité asymptotique; systèmes en temps discret, fonctionnelle de Lyapunov, Inégalités matricielles linéaires (IML), Inégalités matricielles bilinéaires (IMB). I. INTRODUCTION Le temps de retard affecte généralement les performances des systèmes dynamiques. Il peut même, entraîner l'instabilité d'un système si la présence d'un tel retard n’est pas prise en compte au cours des phases de conception. C’est pour cela qu’un intérêt croissant à la modélisation et l’analyse des systèmes linéaires à retard est paru au cours des deux dernières décennies. En effet de nombreux résultats dans la littérature sur les systèmes qui présentent un retard en l'état ou en la commande ou en les deux à la fois [4,7,10,11] sont actuellement disponibles. Cependant, la plupart des résultats obtenus sont concentrés sur les systèmes linéaires en temps continu à retard. La stabilité et la stabilisation de ces systèmes ont été étudiés et de nombreux résultats sont disponibles dans la littérature[3,5,12,17]. Cependant, quelques résultats ont été rapportés dans la littérature pour les systèmes linéaires à temps discret avec un temps de retard en l’état et/ou en la commande. Le temps de retard est fréquemment rencontré dans de nombreux domaines de l'ingénierie de systèmes, tels que les systèmes de fabrication, de transport, les systèmes de télécommunications, les systèmes économiques et les systèmes d'ingénierie chimique. Ce retard; surtout lorsqu’il est en l’état est généralement considéré parmi les principales sources d’instabilité et de mauvaises performances de systèmes commandés[8,15,17]. Par conséquent, les problèmes de l'analyse de stabilité et la stabilisation des systèmes à retard sont d’une grande importance, et sont d’un grand intérêt pour de nombreux chercheurs. Les approches pour l’analyse des systèmes à retards peuvent être classées en deux chemins; un premier pour le retard dépendant [1,2,16],et pour lesquels la modélisation contient des informations sur la taille des retards, et le deuxième pour des modélisations des systèmes à retard indépendants et qui sont applicables à des retards de tailles arbitraires. En raison du développement dans le domaine de la microélectronique, les contrôleurs analogiques cèdent leurs places à des contrôleurs numériques. En effet, et en donnant de l'importance à ces systèmes de contrôle, nous utilisons des méthodes et des modèles numériques pour analyser et / ou pour contrôler des processus industriels pouvant contenir ou non des retards en l’état et/ou en la commande. Dans la majorité des systèmes analogiques ne contenant pas des retards en la commande leurs équivalents discrétisés à travers des échantillonneurs bloqueurs d’ordre zéro présentent généralement des retards en la commande, ce retard est au minimum d’une période d’échantillonnage, ce qui peut poser des problèmes d’instabilité de ces systèmes commandés en boucle fermée. Deux types de représentation sont disponibles pour modéliser un système dynamique continu ou discret à savoir la représentation externe qui utilise les relations d'entrée-sortie (fonction de transfert) ou la représentation interne du système dynamique qui est basée sur le concept de l'état. La commande numérique de systèmes physiques nécessite généralement le développement de modèles discrets. Plusieurs stratégies de modélisation, développées dans la littérature reflétant une description significative des systèmes dynamiques a été étudiée et conduit à des modèles mathématiques plus ou moins compliqués. Généralement ces modèles peuvent être linéaires ou non-linéaires avec ou sans retards dont le comportement peut être plus ou moins proche des systèmes réels [13,14,18]. Ces modèles sont décrits par les relations entre les variables d'entrée et les variables de sortie qui peuvent être modifiées par des entrées considérées comme secondaires (perturbations) qui existent toujours en pratique. 2 La modélisation initiale d'un système discret à retard peut conduire à l’écriture d’une équation récurrente entre les différents termes de séquences d'entrée et de sortie. Cette formulation de l'équation récurrente est souvent adaptée pour le calcul numérique. Le comportement temporel du système peut être défini et l'équation récurrente peut être résolue si les conditions initiales sur les entrées et les sorties sont bien définis. L'analyse de la stabilité des systèmes à retards a été menée dans la littérature par de nombreuses recherches fondamentales qui dépendent du type de systèmes considérés et de ses propriétés. Les nombreuses méthodes d’étude de la stabilité de systèmes discrets à retard peuvent être classées en deux catégories principales l’étude fréquentielle utilisant la notion des équations caractéristiques et l’étude temporelle basée sur la théorie de Lyapunov. Ce papier est organisé comme suit: dans la section 2, nous présentons le problème et la formulation de l'objectif du travail présenté. Le problème de stabilité pour de systèmes discrets à retard est examiné dans la section 3. Nous continuons à la section 4, pour étudier le problème de la stabilité de cette classe de systèmes dynamiques dans du retard dépendant et/ou indépendant. Un exemple numérique est donné dans la section 5 pour illustrer les résultats théoriques proposés. II. FORMULATION DU PROBLÈME ET PRÉLIMINAIRE Notations : R : vecteur d'espace réel, * ( ) n n ijF f R= ∈ :Matrice réelle, T F : Transposée de la matrice F, > 0F : Matrice définie positive, 0F ≥ :Matrice semi-définie positive, ( )Fλ : Valeur propre de la matrice F, ( ) || F||Fσ = : Valeur singulière de la matrice, max|| F || ( )T F Fλ= : Norme euclidienne de la matrice F. Considérons le système discret à retard décrit par l'équation d’état (1) suivante: 0 1( 1) ( ) ( ) ( )x k A x k A x k q Bu k+ = + − + (1) où ( ) n x k R∈ est le vecteur état à l'instant k, { }x( ) ( ), , 1,..,0q qθ ψ θ θ= ∈ − − + représente la condition initiale sur le vecteur état. *n n iA IR∈ (i=0,1) sont des matrices constantes de tailles appropriées. 1,2,...,q n= est un entier positif représentant le retard existant dans le système. Le but de ce travail est d'établir des conditions suffisantes qui garantissent la stabilité de la classe du système (1). Sur la base de ces conditions de stabilité, le problème de stabilisation des systèmes pouvant être décrit par l’équation (1) est traité, ainsi une loi de commande est définie par la forme d’un retour d'état non retardé: u(k)=-Lx(k) (2) où L est le vecteur gain de commande à calculer pour stabiliser le système discret à retard. III. ANALYSE DE LA STABILITÉ La stabilité des systèmes a reçu beaucoup d'attention dans les dernières années [1,6,7,9]. Des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité pour les systèmes discrets à retard sont énoncées. Sur la base de ces résultats, des conditions de stabilité nécessaires et suffisantes pour les systèmes avec retards à temps discret peuvent être obtenus. Dans cette section, l'analyse de la stabilité des systèmes à retards dépendant ou indépendant est basée sur l'utilisation des inégalités matricielles linéaires (LMI). Le résultat suivant donne des conditions suffisantes pour garantir que le système (1)en régime autonome ( ) 0, 0u k k= ≥ est asymptotiquement stable. Lemme 1: Pour tout scalaire positif α et pour tous vecteurs x et y, l'inégalité suivante est vérifiée [12]: 1T T T T x y y x x x y yα α− + ≤ + (3a) { }/n V x R xδ δ= ∈ < (3b) Lemme 2: [18] Le système (1) est asymptotiquement stable s’il existe une fonction vectorielle V(x(k)définie positive sur ( ( )) : n V x k R R+ → ,sachant que pour tous réel ρ, > 0ρ elle vérifie la relation suivante(4) : 2 ( ( )) ( ( 1)) ( ( )) || ( ) ||V x k V x k V x k x kρ∆ = + − ≤ − (4) L'inégalité (4) est vraie tout au long de l’évolution temporelle du système linéaire discret à retard; si la condition (4) est valable pour tous ( )x k Vδ∈ , avec Vδ définie par (3b). Lemme3: [19] Pour toute matrice symétrique à coefficients constants: * , > 0n n T M R M M∈ = et pour tous scalaires { }/ 0γ + ∈Z , toute fonction vectorielle [ ]: 0,γ → n W R , on a l'inégalité suivante: ( ) 1 1 1 0 0 0 (i) (i) (i) (i) γ γ γ γ − − − = = =     ≤        ∑ ∑ ∑ T T i i i w M w w M w (5) Dans la suite, nous allons présenter deux cas d’études pour la stabilité des systèmes échantillonnés à retard en l’état, à savoir la stabilité asymptotique dépendante du retard et la stabilité asymptotique indépendante du retard. A- Stabilité asymptotique dépendante du retard Dans le cas où on a une information sur la taille du retard, on peut utiliser des techniques appropriées pour l’analyse de stabilité asymptotique de ces systèmes discrets à retard, et c’en utilisant le théorème1 suivant et les lemmes déclarés précédemment, ainsi nous pouvons déterminer la stabilité asymptotique du système linéaire discret décrit par l'équation d’état (1). Théorème 1: Le système discret (1) est asymptotiquement stable pour tout retard, si pour réel q>0, ils existent des matrices symétriques définies positives > 0T P P= , > 0T G G= et > 0T W W= qui peuvent satisfaire l’inégalité matricielle (6) suivante: 3 1 (1,1) 0 0 0 (2, 2) 0 0 0 0 (3,3) ψ     = <      (6) sachant que: 2 0 0 0 0(1,1) A PA A P A G W PT T qα= + + + − (7) 1 1 1 1 1(2,2) P WT T A A A Aα − = + − (8) (3,3) Gq= − (9) Preuve: Considérons la fonction de Lyapunov définie par: 1 2 3( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))V y k V y k V y k V y k= + + (10) avec: 1 ( ( )) ( ) ( )T V y k x k P x k= × × (11) ( ) 1 2 ( ( )) (i) (i) k T i k q V y k q k i x G x − = − = − + × × ×∑ (12) 1 3 ( ( )) (i) (i) k T i k q V y k x W x − = − = × ×∑ (13) [ ]( ) ( ), ( )y k x k x k q= − (14) > 0T P P= , > 0T G G= et > 0T W W= des solutions symétriques définies positives de (6) et [ ]( ) ( ), ( )y k x k x k q= − .Ensuite ; l’écart d’évolution de ( )( ( ))V y k∆ au long du trajet de la solution (4) est donnée par: 1 2 3( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))V y k V y k V y k V y k∆ = ∆ + ∆ + ∆ (15) avec: [ ] [ ] 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 ( ( )) ( ( 1)) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T T T V y k V x k V x k A x k A x k q P A x k A x k q x k Px k x k A PA P x k x k A PA x k q x k q A PA x k x k q A PA x k q ∆ = + − = + − + − − = − + − + + − + − −    (16) ( ) 2 2 2 1 1 ( ( )) ( ( 1)) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k T i k q k T T i k q V y k V x k V x k q k i x i Gx i qx k Gx k x i Gx i − = − − = − ∆ = + −   = ∆ − +    = − ∑ ∑ (17) 3 3 3 1 ( ( )) ( ( 1)) ( ( )) ( ) W ( ) ( ) W ( ) ( ) W ( ) k T i k q T T V y k V x k V x k x i x i x k x k x k q x k q − = − ∆ = + −   = ∆     = − − − ∑ (18) Par application dulemme1,pour l'équation (16), une nouvelle expression peut être obtenue par l’inégalité (19): 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T x k A PAx k q x k q A PAx k x k A P Ax k x k q A Ax k qα α− − + − + − − ≤ (19) Il vient: 2 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T V y k x k A PA A P A P x k x k q A PA A A x k q α α−  ∆ ≤ + − +   + − + −  (20) Ainsi, l'expression (15)peut être réécrite par l’inégalité suivante (21): 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )W ( ) ( )W ( ) T T T T T T T k T T T i k q V y k x k A PA A P A P x k x k q A PA A A x k q qx k Gx k x i Gx i x k x k x k q x k q α α− − = −         ∆ ≤ + − + + − + − + − + − − −∑ (21) Ce qui est équivalent à : 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T k T i k q V y k x k A PA A P A qG W P x k x k q A PA A A W x k q x i Gx i α α − − = −  ∆ ≤ + + + − +   + − + − −  − ∑ (22) De même, en utilisant le lemme 3, on obtient l'inégalité (23) suivante: 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T k k k T i k q i k q i k q x i qG x i x i G x i q q − − − = − = − = −     ≤        ∑ ∑ ∑ (23) Il en résulte que: 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) W ( ) T T T T T T k T T i k q T T V y k x k A PA A P A P x k x k q A PA A A x k q qx k Gx k x i Gx i x k x k x k q x k q α α − − = −  ∆ + − +   + − + − +  + − + + − − − ≤ ∑ (24) Par application du lemme 1, nous pouvons transformer l’inégalité (24) en l’inégalité (25) définie comme suit: 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T k T i k q A A V y k x k A PA A P A qG W P x k x k q PA A W x k q x i Gx i α α− − = −         ∆ + + + − + + − + − − + − ≤ ∑ (25) En utilisant le lemme2, l'inégalité (25) devient: 1 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1( ( )) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T k k i k q i k q T T T T T T V y k x i qG x i q q x k A PA A P A qG W P x k x k q A PA A A W x k q α α − − = − = − − ∆ −     + + + − +     ≤ + − + − − − =                   Ω ∑ ∑ (26) et (26) peut être réécrite comme suit: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ), ( ), ( ) (1,1) 0 0 0 (2, 2) 0 0 0 (3, 3) T T T T T T T k k i k q i k q o o o o T k T T i k q x k A PA A P A qG W P x k x k q A PA A A W x k q x i qG x i q q x k x k q x i q x α α − − − = − = − − = − + + + − + + − + − − + −                       − ×          × ×      Ω = = ∑ ∑ ∑ 1 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) k i k q T k x k q x i q y k y kψ − = −        −             = × × ∑ (27) Ce qui permet d’avoir une forme quadratique nous permettant de conclure à la stabilité du système (1). 4 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) k i k q x k y k x k q x i q − = −        = −             ∑ (28) avec : 0( ( )) ( ) ( )T V y k y k y kψ∆ ≤ (29) Ainsi, la condition de stabilité définie par le théorème 1 définie par l’inégalité (6) est aussi satisfaite, alors ( ( ))V y k∆ <<<<0, quel que soit x(k)≠0, ce qui nous permet de conclure que le système défini par (1) est asymptotiquement stable. Enfin, nous pouvons conclure que la fonction vectorielle ( ( ))v y k∆ est définie négative; puisqu’il existe toujours un nombre réel ρ,ρ>0ρ>0ρ>0ρ>0telle que 2 ( ( )) ( )v y k y kρ∆ ≤− et, par conséquent, la stabilité asymptotique du système discret(1) suit immédiatement du lemme 2. B- Stabilité asymptotique indépendante du retard Dans le cas où on n’a pas d’informations sur la taille du retard, on peut utiliser d’autres techniques pour l’analyse de stabilité asymptotique de ces systèmes discrets à retard. En général, il est très difficile d'estimer la taille des retards, surtout s’ils sont variables dans le temps et / ou dépendants de l'état. Les critères de stabilité énoncés précédemment ne peuvent pas être appliqués judicieusement; ainsi on peut avoir recours dans ces cas, au théorème (2) suivant: Théorème 2: Le système discret à retard (1) est asymptotiquement stable, s’il existe des matrices N et S telles que : > 0T N N= et > 0T S S= symétriques définies positives qui doivent satisfaire l’inégalité matricielle suivante[18] : 0 2 1 0 1 0 0 0 T T T T N S A S N A S A S A S S ψ  −   = −      < − . (30) Preuve. Soit le fonctionnelle de Lyapunov suivante: 1 ( ( )) ( ) Sx( ) ( ) ( ) q T T j V x k x k k x k j Nx k j = = + − −∑ (31) avec : > 0T N N= et > 0T S S= . On définit la différence ( ( ))V y k∆ par: ( ( )) ( ( 1)) ( ( ))V y k V y k V y k∆ = + − (32a) Cette équation (32a) peut être réécrite sous la forme matricielle (32b) suivante: 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S ( ) ( )N ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T T T x k x k A SA S N A SAx k x k A SA A SA N y k P y k V y k A x k Ax k q S A x k Ax k q x k x k N x k q x k q x k q x k q +       + −  − +         −      = ∆ + − + − − − − = − − = (32b) Où la matrice P est donnée par : 0 0 0 1 0 1 1 1 T T T T A SA S N A SA P A SA A SA N  − + =   −   (33a) L’analyse de stabilité du système (1) consiste à vérifier que P est dénie négative, telle que : 0 0 0 1 0 1 1 1 0 T T T T A SA S N A SA A SA A SA N  − +   −   < (33b) Cette inégalité (33b) peut être transformée en (34): [ ] 0 0 0 0 0 10 1 0 1 0 1 1 11 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 T T TT T T TT T T A SA S N A SA A SAA SA N S NA SA A SA A SAA SA N N S N A S A A A − + − = + −− − − = <+                          (34) En utilisant le complément de Schur [5], il est facile de voir que l’inégalité(34) est équivalente à l’inégalité (35) suivante: 0 1 1 0 1 0 0 0 T T T T N S A S N A S A S A S S−  −   −      < − (35) Cette inégalité ne vérifie pas la forme d’une inégalité linéaire matricielle, simple à résoudre, puisqu’elle contient à la fois des termes en (S) et des termes en (S-1 ), ce qui la rend très délicate à résoudre. Pour simplifier la résolution de cette inégalité, on multiplie à droite et à gauche par une matrice bloc diagonale de la forme {I, I, S }. Ainsi cette transformation nous conduit à une matrice de la forme (30) plus simple à résoudre, ce qui nous permet de conclure à la stabilité asymptotique indépendant du retard du système (1). Enfin, nous pouvons conclure que : (y( ))v k∆ exprimée par (32a) est définie négative, sachant qu’il existe un nombre β >0tel que 2 (y( )) ( )v k y kβ∆ ≤− .Par conséquent, la stabilité asymptotique indépendante du retard du système (1) suit immédiatement le théorème 2. IV. STABILISATION Apres avoir développé les démarches permettant de conclure à la stabilité du système (1), nous considérons dans cette section le problème de stabilisation du système linéaire discret dépendante du retard. Une méthode de conception d’un contrôleur par retour d'état retardé ou non peut être conçue dans ce qui suit. Ainsi, dans le cas d’un retard du système (1) connu, la commande par retour d’état retardé choisie est la suivante: ( ) ( )u k L x k q= − − (36) Définition: Le système (1) est stabilisable, si pour tout état initial, il existe une commande par retour d'état (36) avec un gain L de sorte que la boucle fermée résultante du système est stable [14]. En remplaçant la commande ( )u k par son expression donnée par l'équation (36) dans le système (1), nous obtenons l’expression suivante : 0 1 0 1 0 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) + = + − + = + − + − − = + − − x k A x k A x k q Bu k A x k A x k q B L x k q A x k A BL x k q (37) 5 Ainsi, on cherche à déterminer le compensateur d’état retardé qui permet de satisfaire les conditions de stabilité par les inégalités matricielles précédemment énoncées. Théorème 3: Le système discret (1) est asymptotiquement stable pour tout retard > 0q , s’il existe: 1 1 > 0T P P= , 1 1 > 0T G G= et 1 1 > 0T W W= des matrices symétriques définies positives satisfaisant l’inégalité matricielle suivante: 3 (1,1) 0 0 0 (2, 2) 0 0 0 0 (3,3) ψ     = <      (38) avec: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1.1) (A ) P (A ) (A ) P (A ) G W P ε= − − + − − + + + − T T BL BL BL BL q (39) 1 0 1 0 0 0 1(2.2) A P A A A Wε − = − −T T (40) 1(3.3) qG= − (41) Nous constatons que le terme (1.1) vérifie une forme d’une inégalité matricielle bilinéaire (BMI) en deux matrices variablesP1 et L. -A1et Bsont des matrices données. Le problème de stabiliser le système (1) avec un retour sur l’état retardé peut être effectué en suivant les étapes suivantes: -Trouver P1 et L telle que l'inégalité (38) soit satisfaite (problème de faisabilité). Les procédures de calcul de P1 et L sont détaillées dans les paragraphes suivants. A partir d’un changement de variable, X=BL, on peut résoudre l’équation (39) et comme B est connu on peut retrouver L. Le problème BMI peut être reformulé en un problème LMI. Néanmoins, dans certains cas, il est possible d'introduire des règles de transformation qui peuvent réécrire le problème d'optimisation BMI en un problème d'optimisation LMI sous contrainte équivalente de telle sorte qu’on peut utiliser soit : • un changement de base. • un changement de variable. • des éliminations de variables. • soit par introduction de variables supplémentaires (variables fictives). Plusieurs méthodes de résolution, avec différentes variantes sont possibles. Nous nous concentrons sur une seule. Pour résoudre le problème présenté dans ce travail, nous nous sommes intéressés seulement à la méthode basée sur le changement de variable. Par des modifications appropriées de variables que nous pouvons utiliser pour transformer un BMIen une LMI. Grâce à une série de transformations qui portent sur des changements de variables, nous pouvons obtenir une contrainte LMI équivalente. Ainsi le développement de l’équation (1,1) donnée par (39) peut aboutir à (42): 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1.1) A PA PA A P P (A P A P A A P P ) qG ε = − − + + + − − + + + + − T T T T T T T T T T T T L B BL L B BL L B BL L B BL W P (42) En considérant le changement de variable : X BL= , nous obtenons une nouvelle inégalité matricielle de variable bilinéaire, et non-linéaire. Ainsi on obtient l’inégalité (43). 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1.1) A P A P A A P P (A P A P A A P P ) qG ε = − − + + + − − + + + + − T T T T T T T T X X X X X X X X W P (43) De même, en considérant le deuxième changement de variable: 1Y P X= ,alors la variable X peut être exprimée à partir de 1 1X P Y− = . L'expression (43) sera réécrite comme suit: 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1.1) A P A A A (A P A P A A P ) qG ε = − − + + + − − + + + + − T T T T T T T T Y Y X Y Y Y Y Y W P (44) A la fin un troisième changement de variables de la forme: T Z X Y= , 1V PY= , 1 T T V Y P= , 1 1Y P V− = est exploité. Enfin, ces transformations nous conduisent à une inégalité matricielle linéaire (LMI), possible avec de nouvelles variables qui couvrent: 1 1Y P V− = , 1V PY= , T Z X Y= , qui eux même permettent de définir la variable X, donc le compensateur de gain L: 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (1.1) A P A A A (A P A A A ) qG ε = − − + + + − − + + + + − T T T T T T T Y Y Z V V Y Y W P (45) 1 0 1 0 0 0 1(2.2) P Wε − = + −T T A A A A (46) 1(3.3) Gq= − (47) De l’expression de V est tiré Y, de Y est tiré X et finalement vient l'expression de L. V. EXEMPLE NUMERIQUE Pour illustrer la faisabilité et la simplicité des études précédentes, nous donnons un exemple numérique d’un système discret à retard en l’état [14], défini par l'équation suivante(37) : 0.1 0.02 0.1 0.01 0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 0.1 0.15 0.2 0.2 1 x k x k x k u k       + = + − +      −      (37) avec: 0 0.1 0.02 0.1 0.15 A   =   −  , 1 0.1 0.01 0.2 0.2 A   =     and 0 1 B =       A-En appliquant le théorème 1 sur le système (37) et en utilisant la relation (6), les matrices symétriques définies positives P, W et G qui peuvent satisfaire la condition suffisante de stabilité dépendante du retard pour ce système sont obtenue par leurs expressions comme suit: 3.2162 0.0172 0.0172 3.1592 P =       , 1.0696 0.0055 0.0055 1.0555 G − − =       et 1.1628 0.0712 0.0712 1.1295 W =       B- En appliquant le théorème 2 sur le système (37), les inégalités qui permettent de conclure à la stabilité asymptotique indépendante du retard définies par la relation (30), nous permettent de retrouver les matrices symétriques définies positives N et S qui peuvent satisfaire ces conditions suffisantes de stabilité asymptotique indépendante du retard sont définies par: 0.1158 1.2007 1.2007 1.0573 N   =     et 0.6163 1.6801 1.6801 1.0583 S   =     6 C-Nous pouvons utiliser l'algorithme de conception d’un gain par retour d’état non retardé. Le théorème 3, nous permet de vérifier les conditions de stabilité pour le système (37). Pour les différentes matrices du système (37), on peut retrouver les matrices de LMI,P1, G1 et W1 définies par : 1 0.5063 1.3012 2.5009 0.5063   =   −  P , 1 2.0341 0.6708 2.0245 2.0341− = −      G , 1 0.0407 2.0108 0.0092 0.0407 =       W En effectuant les transformations détaillées précédemment on peut retrouver: 1.3847 -2.7799 3.1504 -6.3248   = ⇒    V 1 1Y P V− = 1.3674 -2.7453 -0.5321 1.0682   = ⇒    Y 1 1X P Y− = 0 0 -1.0509 2.1098   = ⇒    X X BL= Ce qui nous permet de tirer les valeurs des gains du compensateur 1 2( )L L L= , avec : ( )1.0509 2.1098= −L d’une façon simple et aisée montrant la facilité de mise en œuvre de la méthode proposée. VI. CONCLUSION Dans ce papier, nous avons développé en première partie de l'étude des procédures d’analyse la stabilité des systèmes échantillonnés à retard en l’état, dans le cas de la stabilité asymptotique dépendante ou indépendante du retard. Dans la deuxième partie de l'étude, on développé des transformations des inégalités bilinéaires matricielles (BMI) en des inégalités linéaires matricielles (LMI) plus faciles à résoudre pour chercher le vecteur gain du retour d'état assurant la stabilité asymptotique. De même nous avons présenté des exemples numériques pour illustrer premièrement la validité et la simplicité de notre approche d’analyse de la stabilité asymptotique et deuxièmement la facilité de la synthèse par retour d’état non retardé. Il serait intéressant de développer d’autres approches de synthèse par retour d’état retardé et/ou non retardé pour la classe de systèmes échantillonnés à retard en l’état et/ou en la commande. REFERENCES [1] Gao H., Lam J., Wang C., Wang Y.. 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