Sur la dérivation numérique par approche algébrique

09/12/2016
Publication e-STA e-STA 2015-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2015-2:17677
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Sur la dérivation numérique par approche algébrique

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1 Sur la dérivation numérique par approche algébrique Ahmed CHAABANE Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis LA.R.A BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie ahmed.chaabane@enit.rnu.tn Lilia SIDHOM Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis LA.R.A BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie lilia.sidhom@gmail.com Résumé— Cet article présente une étude détaillée d'une méthode de dérivation numérique basée sur un calcul algébrique. Contrairement à d'autres types d'approches, l’intérêt majeur de cette méthode est qu’elle nécessite une connaissance minime sur le bruit et le signal à dériver. Différentes versions de dérivateurs algébriques sont présentées où l'influence des réglages paramétriques de chacune des versions est analysée. En se basant sur certains critères imposés ainsi que les résultats de simulations réalisées, une étude comparative est alors présentée. Mots-clés— Algorithme de dérivation numérique, approche algébrique, simulations. I. INTRODUCTION Ces dernières décennies, différentes communautés de chercheurs et d'automaticiens se sont intéressées à la dérivation numérique en ligne qui représente un problème important touchant différents domaines tels que le traitement du signal et l’automatique. L’importance de cet axe de recherche est justifiée par rapport à la large plage d’applications que ce soit académique ou industrielle telles que l’automobile, l’aéronautique, la robotique médicale. En effet, l’utilisation de la dérivation numérique peut jouer voire remplacer, dans certaines configurations, le rôle d’un capteur logiciel. Cela peut se présenter dans différents cas, comme par exemple en présence d'une panne d'un capteur physique ou pour éviter des problèmes d’encombrement et d'adaptation dans une installation. Pour cela, l’utilisation de la dérivation numérique en ligne s'impose donc comme une bonne alternative car elle peut être utilisée pour les problèmes de diagnostique où le fonctionnement du capteur logiciel est déclenché en cas de défaillance de capteur physique. En outre, elle sert à réduire le nombre de pannes au niveau des installations ainsi que le coût de leurs maintenances, à réduire le nombre des capteurs et à augmenter leur fiabilité dans le cas de défaut du capteur. Le défi majeur relatif au problème de la dérivation numérique d’un signal mesuré est la présence du bruit. En effet, la dérivée d'un signal bruité entraine automatiquement l’amplification de celui-ci au niveau du signal dérivé, et par conséquent, une dégradation remarquable de la qualité du signal recherché. En présence d'un bruit haute fréquence par rapport au signal utile , il est possible d'éliminer ces composantes hautes fréquences du bruit en plaçant en amont du dérivateur un filtre passe-bas. Le réglage de la constante de coupure de ce filtre doit être fixé en ayant une connaissance d’avance de certaines propriétés du bruit ainsi que le signal utile. Cette solution peut ainsi fournir des résultats satisfaisants en terme de réduction du bruit au niveau du signal estimé nécessitant toutefois, la résolution d’un problème de déphasage qui subsiste. Ce problème représente un grand souci dans les applications temps réel et pour le résoudre, différentes méthodes ont été abordées dans la littérature. Ces méthodes peuvent être classées en deux approches: approche modèle et approche signal. La première repose sur l’utilisation du modèle du système physique, et donc sur les observateurs. En effet, pour estimer la dérivée d'un signal donné, cette approche se base sur une représentation mathématique d'un système où ce signal satisfait certaines équations différentielles ou représente une sortie de certaines dynamiques connues .A titre d'exemple, citons les observateurs à grand gain qui se basent sur la théorie de stabilité de Lyapunov pour adapter les techniques développées dans le cas linéaire, cette méthode exige que l'entrée soit toujours bornée et souffre d'une grande sensibilité aux bruits [11-12]. De plus, citons l'observateur de Luenberger qui repose essentiellement sur des techniques de placement de pôles mais il faut noter qu'en présence de bruits, l'erreur devient très sensible et l'étude de gain fréquentiel permet de quantifier l'influence des bruits sur l'erreur d'observation [15]. Afin d’éviter la dépendance à un modèle mathématique donné, une deuxième approche existe, dite approche signal. On utilise dans ce cas, le terme de différentiateur au lieu d’observateur. Parmi les méthodes les plus classiques, dans ce cadre, sont celles qui se basent sur les opérateurs de différences finies, [18]. Sauf qu’en présence du bruit dans le signal à dériver, ces opérateurs ne sont pas robustes. Pour assurer l’aspect de la robustesse par rapport aux bruits, il existe dans la littérature, les différentiateurs basés sur la technique du mode glissant, [13-14]. A ce propos, différents travaux peuvent être cités [16-17]. Sans se baser sur un modèle donné du signal à dériver et/ou du bruit, une autre solution alternative à celle du mode glissant existe, c'est la dérivation algébrique qui a pour mission d'approcher le signal bruité par des polynômes et d'identifier les coefficients de ces polynômes algébriquement [9], [19]. En fait, ces estimateurs, sont originalement introduits par Fliess, Mboup et Sira Ramirez. Ainsi, une diversité de travaux [1], [4-5] a été utilisée avec succès dans diverses applications telles que la compression, la commande [7], la 2 détection des ruptures et même le dé-bruitage des signaux monodimensionnels et bidimensionnels [6]. L’intérêt de cette approche est qu’elle nécessite une connaissance minime sur le bruit et le signal d'entrée. Dans ce papier, nous nous intéressons à étudier trois différentes versions de dérivateurs algébriques dont le but est de les analyser et de les comparer pour un objectif de mise en œuvre pratique. La première partie de ce papier présente le principe de base ainsi que le développement mathématique générique relatif aux trois versions des dérivateurs algébriques pour présenter ensuite le développement approprié à chacune des versions. Ensuite, une phase de validation sera réalisée en effectuant différents tests de simulation. Ces simulations permettront aussi d’analyser l’influence des paramètres de réglage de chaque algorithme sur le résultat obtenu. Ces travaux seront clôturés par une comparaison entre les trois versions étudiées afin de dégager les points forts et les inconvénients de chacune de ces versions. II. ETUDE DES DERIVATEURS ALGEBRIQUES A. Principe de base Fliess et ses collaborateurs ont développé trois versions basées sur des manipulations algébriques simples [1-3]. L’hypothèse à considérer pour ce type de dérivateur est que le signal doit être C  . Par conséquent, un développement en série de Taylor de ce signal peut être fourni. Le principe des dérivateurs algébriques se base sur la troncature de ce développement de Taylor permettant alors d’approcher le signal à dériver par un polynôme dont l’ordre est égal à l’ordre de troncature. Par passage au domaine opérationnel, des manipulations algébriques ainsi que des dérivations opérationnelles adéquates seront appliquées sur la transformée de Laplace du modèle obtenu. Par la suite et par passage au domaine temporel, une obtention des coefficients du développement de Taylor est alors effectuée et qui représentent les différentes valeurs des dérivées recherchées. Soit la fonction: ( ) :y t R R  , supposée C  dont on souhaite estimer les valeurs numériques des dérivées. Par développement en série de Taylor, la fonction peut être représentée par: ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! j j j t t y t y t j      (1) où 0t t et ( ) 0( )j y t représente la dérivée ème j de la fonction ( )y t par rapport au temps. Par troncature à l'ordre N et en choisissant la notation ( )y t pour l'approximant de ( )y t autour de l'instant 0t , l'expression de ( )y t s'écrit donc comme suit: ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! jN j i t t y t y t j    (2) Afin de simplifier le calcul, nous illustrons le cas de 1N  , nous obtenons alors 0 0 0( ) ( ) ( )( )y t y t y t t t    . Ceci permet d'obtenir, et par dérivations successives de 0( )y t , le système suivant: 0 0 0 0 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 y t y t dy t dy t dt dt d y t dt                      (3) Ce système nous permet de généraliser pour obtenir un nouveau système décrit ci-dessous: 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 N N d y t d y t dt dt d y t dt                     (4) tel que 0,1,..., N  . Remarquons qu'au niveau de ce système, nulle valeur est connue à part 0( )y t entre autres 0( )y t alors que toutes les autres valeurs sont inconnues mais à estimer. La transformée de Laplace de la deuxième équation de ce dernier système généralisé s'écrit comme suit. 1 1 01 1 1 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 0 N N N N N N N N N d y t L s Y s s y t dt dy t d y t d y t s s dt dt dt                         (5) Cette dernière s'évolue pour donner: 1 1 0 0 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) N N N N N N N dy t s Y s s y t s dt d y t d y t s dt dt              (6) Nous constatons que l’équation (6) fait apparaître les dérivées successives du signal d’entrée tronqué. Afin d’extraire ces estimées des dérivées, différentes méthodes sont proposées où chacune de ces méthode définit une version de dérivateurs algébriques. Donc en partant de l’équation (6) et en effectuant des manipulations algébriques adéquates, trois versions ont été proposées pour les dérivateurs algébriques [2-3], [8-9]. B. Dérivateur Algébrique: Première version Le développement de la première version débute par dériver l'équation (6) à l'ordre 1N  ce qui entraine l'obtention de l'équation suivante: 1 1 1 ( ( )) 0 N N N d s Y s ds     (7) Il est clair que cette équation est indépendante de toutes les conditions initiales inconnues. 3 En multipliant cette dernière équation par l'opérateur de Laplace de puissance négative, l'équation suivante est obtenue: 1 1 1 ( ( )) 0 N j N N d s s Y s ds      (8) tel que , 1,...,1j N N  . Cette équation permet alors d'écrire un système triangulaire d'équations linéaires à partir desquelles, il est possible de calculer les dérivées successives approximées de ( )y t , par passage au domaine temporel. L'idée consiste à adopter ces signaux obtenus comme des approximations des dérivées réelles du signal d'origine ( )y t . Pour alléger le calcul, il vaut mieux illustrer le développement décrit ci-dessus en considérant le cas où 3N  . Avec ce choix, l'équation suivante est donnée: 4 4 4 ( ( )) 0 d s Y s ds  (9) Le développement de cette dernière nous permet d'obtenir 2 2 2 3 4 3 4 3 4 ( ) ( ) 24 ( ) 96 72 ( ) ( ) 16 0 dY s d Y s Y s s s ds ds d Y s d Y s s s ds ds           (10) Pour estimer la dérivée première du signal d'entrée, il suffit de calculer l'expression suivante: 4 3 4 4 ( ( )) 0 d s s Y s ds   (11) La multiplication d’un opérateur de Laplace de puissance -3 permet d’extraire la dérivée désirée. Ainsi, nous obtenons: 2 3 2 1 2 3 4 3 4 ( ) ( ) 24 ( ) 96 72 ( ) ( ) 16 0 dY s d Y s s Y s s s ds ds d Y s d Y s s ds ds              (12) En revenant au domaine temporel tout en remplaçant y par y et considérons 0 0t  pour alléger l'écriture, on obtient: 3 2 2 (3) (2) 3 4 24 ( ) 96 ( ) 72 ( ) 16 ( ) ( ( )) 0 y t dt ty t dt t y t dt d t y t t y t dt         (13) Cette équation nous permet d'extraire l'expression de la première dérivée de y(t) en fonction des intégrales itérées du signal d'entrée, cette expression est donnée par: 3 4 (3) 2 2 3 (2) 1 ( ) ( 24 ( ) 96 ( ) 72 ( ) 12 ( )) estimée dy y t dt dt t ty t dt t y t dt t y t         (14) Par la suite, pour estimer la dérivée seconde de ( )y t , il suffit de calculer l'expression suivante: 4 2 4 4 ( ( )) 0 d s s Y s ds   (15) Cette estimée relative à la dérivée seconde de ( )y t est donnée par: 2 2 2 4 (2) 2 3 1 ( ) ( 24 ( ) ( ) 96 ( ) 36 ( ) 8 ( ) ) estimée estimée d y y t dt dt t dy t ty t dt t y t t dt        (16) Cette dernière dépend donc de ( ) ( )estimée dy t dt ce qui entraine un système triangulaire. Nous remarquons que les deux équations obtenues présentent un problème à 0t  . Donc ce problème doit être pris en compte au niveau de l’implémentation. Posons: 3 2 2 (3) (2) 2 (2) 1 24 ( ) 96 ( ) 72 ( ) 2 24 ( ) 96 ( ) 3 24 ( ) z y t dt ty t dt t y t dt z y t dt ty t dt z y t dt                           (17) Ce qui entraine l'obtention du système suivant: 2 1 2 72 ( ) 2 3 96 ( ) 3 24 ( ) z z t y t dt z z ty t dt z y t                      : Equations décrivant un système dynamique linéaire variant dans le temps. (18) Ainsi, nous obtenons: 4 3 3 4 2 2 2 ( ) 10 12 ( ) 28 36 ( ) ( ) estimée estimée dy zt t y tdt zt t d y t y t dt                             (19) Le système présenté ci-dessous utilise le calcul des intégrales itérées, pour le simplifier nous remplaçons les différentes intégrales itérées par des intégrales de convolution. Ainsi, les signaux estimés peuvent être mis sous la forme générale suivante:   ( ) 4 0 1 ( ) ( ) ( ) 1,2 t i estimée i iy P y d Q t t oùi       (20) Avec 2 2 1 2 12( ) 96( ) 72 24( ) 96 P t t P t                     et 3 1 2 3 2 12 ( ) 36 ( ) 8 ( )estimée Q t y t dy Q t y t t dt             4 De même que le calcul décrit précédemment, nous traitons un autre cas où 4N  et après le développement, les signaux estimés sont mis sous la forme suivante:   ( ) 5 0 1 ( ) ( ) ( ) 1,2,3 t i estimée i iy P y d Q t t oùi       (21) Avec 3 2 2 3 1 2 2 2 3 20( ) 300( ) 420( ) 200 60( ) 600( ) 420 120( ) 600 P t t t P t t P t                                   et 4 1 2 3 2 2 2 3 4 3 2 30 ( ) ( ) 80 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 180 ( ) 20 ( ) 20 ( ) estimée estimée estimée Q t y t dy t Q t y t t dt dy t d y t Q t y t t t dt dt                       C. Dérivateur Algébrique: Deuxième Version Cette version consiste à dériver l'équation (6) à un ordre m tel que 0..m N et en la multipliant par s  où 2N   : (ce qui assure un système strictement propre), nous aurons: 1 1 1 1 (0) (0) ... ( ( )) (0) (0) N N m m N m m N N N N dy s y s d d dt s s Y s s ds ds d d s y y dt dt                         (22) Pour obtenir l'estimation des dérivées, il suffit de retourner au domaine temporel pour avoir un système triangulaire à éléments diagonaux non nuls. Notons T la fenêtre d'estimation et nous nous retrouvons ensuite avec la forme suivante : 1 1 10 ( 1) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( ) (0) (0) T N N y y P T Q y d y y                           (23) où les éléments non nuls de la matrice triangulaire ( )P T sont donnés pour 0..i N et 0,..,j N i  , sachant que 1 ( )! ( ) ( )!( 1)! N i j ij N j T P T N i j N i j                et 2 , 1 1 0 ( ) ( ) i N l i l i i l l Q T q T           Avec , ( 1)! ( 1) ( 1 )!( 2 )! i l i l i N q l N l N l               où ! !( )! l i i i C l l i l        Il est clair que tous les termes de ( )ijP T ne dépendent que de la taille de la fenêtre d'estimation T et cela permet d'éviter le problème posé à 0t  déjà rencontré à la première version en présence d’intégrales itérées. Pour valider cette méthode, nous avons recours à développer au début un exemple avec 2N  et 4  et obtenir par la suite, et après avoir effectué les calculs, le système triangulaire suivant: 2 3 3 2 1 1 1 10 2 2 3 1 1 1 1 2 6 (0) 1 0 (0) 3( ) ( ) 6 (0) 3( ) 6( ) 0 0 3 T T T T y T T y T y d y T T T                                                 (24) Après normalisation de l'intégrale entre  0,1 , les différentes estimations sont alors décrites par: 1 2 2 0 1 0 1 2 20 (0) 3 3(1 ) 6(1 ) ( ) 6 3 6 (0) 3(1 ) ( ) (0) 4 6 3 6 (0) ( ) (0) (0) T T T y y d y y d y T T y y d y y T T T                                                (25) où  0,1  et Ty est le signal y considéré dans la fenêtre d'estimation de taille T . Pour tous les exemples traités, et pour assurer cette normalisation, il suffit d'effectuer un changement de variable tel que 1 T  . D. Dérivateur Algébrique :Troisième version Il s'est avéré que la matrice ( )P T de la version précédente est mal conditionnée et entraine de pauvres estimations surtout en présence de bruit. La solution de ce problème est d'obtenir un estimateur indépendant pour chaque ordre de dérivation. [9] En effet pour synthétiser des estimateurs individuels d'ordre N , l'idée de base consiste à estimer uniquement le coefficient ( ) (0)n y du développement de Taylor de ( )y t . Pour 0 0t  l'équation (2) devient: 0 ( ) (0) ! iN i i t y t y i   (26) Quelques manipulations algébriques sur l'équation (6) permettent d'éliminer tous les autres termes où i n , il est possible d'isoler la dérivée désirée. En appliquant la transformée de Laplace sur (26) pour obtenir: 5 1 0 (0) ( ) iN i i y Y s s     (27) Il est clair que chaque dérivée est divisée par différents exposants de l'opérateur de Laplace . Pour isoler la dérivée désirée et anéantir les coefficients restants de (0)i y tel que i n , il suffit de multiplier l'équation (27) par 1N s  pour obtenir dans une première étape: 1 0 ( ) (0) N N i N i i s Y s y s     (28) Soit l'opérateur différentiel linéaire ayant la forme suivante[8]: , 1n k N n N n n k N nk d d ds s ds      : Opérateur choisi pour son effet annihilateur. En considérant l'équation (28) et pour i n , on a N n N i  . Ceci permet d'obtenir 0 ( )! N n N n i N n N n N n d d s et s N n ds ds          .Cela permet de conclure que le terme N n N n d ds   sert à annihiler tous les coefficients de (0)i y ayant i n . Ensuite, par multiplication de 1 s , on obtient 1 ( ) ( )! (0)n N n s y  et par multiplication par n k n k d ds   qui sert à annihiler les coefficients ayant i n . En appliquant cet opérateur différentiel linéaire à l'équation (28), l'expression obtenue est donnée par: , 1 ( ) 1 ( 1) ( )!( )! ( ( )) (0) n k N n N n n kk N n n k s Y s y s         (29) Pour assurer le caractère strictement propre à la famille d’estimateurs, une multiplication par s  aux deux membres de l’équation (28) est imposée, avec: 1N    , où 0  . Ceci est surtout lié au premier membre de (28) puisqu’en dérivant, des termes en ( )Y s vont apparaître. Le passage au domaine temporel en exprimant l’estimateur dans une fenêtre de taille T permet d’obtenir l’équation suivante : ,1 1 ( ) 1 ( ( )) ( 1) ( )! (0) ( )!( )! N n N k n k n n k L s Y s s n k y N n n k T                    (30) Nous obtenons par la suite et par calcul d'intégrale de convolution, la dérivée ( ) (0, , )ième n Nn y k  qui est estimée en 0 et paramétrée par k et et dont le calcul a été effectué pour un développement de Taylor à l'ordre N . ( ) 1 1 10 ( 1) ( )! (0, , ) ( ) ( ) ( )!( )! n k T n N n k n k y k y d N n n k T                (31) avec: 1 0 2 1 1 0 ( 1)! ( ) ( 1)! ( ) ( )( 1)! ( 1 )! ( 2)! N n i k j i jN k j N n N i N i n k Tn j j k k j                                     Pour illustrer le développement précédent nous exprimons la dérivée première d'un signal d'entrée en choisissant les valeurs des paramètres tels que 1, 3, 5 1n N et k    Après calcul et normalisation de l'intégrale de  0,T à  0,1 où  0,1  , nous sommes amenés à l'équation suivante: 8 7 2 1 3 0 6 3 5 4 40 50 (1 ) (1 ) 11! 336 42 (0) ( ( ) 145!(4 ) (1 ) (1 ) 6 N Ty y d T                              (32) Gardons les mêmes paramètres déjà fixés mais cette fois-ci avec 2n  , nous estimons la dérivée seconde: 8 7 2 1 3 2 0 6 3 5 4 30 50 (1 ) (1 ) (12!) 336 42 (0) ( ( ) 135!(6 ) (1 ) (1 ) 6 N Ty y d T                              (33) III. RÉSULTATS DES SIMULATIONS A. Critères de validation Soit ( ) cos(2 )y t t le signal d'entrée pour toutes les simulations étudiées. L’analyse des résultats de simulation sera effectuée en se basant sur un certain nombre de critères. Les critères choisis sont l’erreur en termes d’amplitude et de déphasage maxe . Cette erreur représente la différence entre la sortie de l'algorithme et la dérivée analytique. Ainsi, pour évaluer la robustesse par rapport au bruit, considérons le même signal d'entrée ( )y t mais en ajoutant un bruit blanc gaussien de moyenne nulle et d'écart-type égale à 0,05 (voir Figure 1). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 temps(s) signal d entree bruite Figure 1: Signal d'entrée bruité. La robustesse par rapport au bruit s'évalue par le calcul de l'indice Rapport au Bruit RB tel que : entrée sortie RSB RB RSB  (34) où RSB est une quantité mesurée en décibels désignant le rapport entre l'information utile et le signal du bruit qui sert à renseigner sur le taux de dégradation du signal de sortie par 6 rapport au signal d'entrée. L'équation qui calcule cet indice est donnée par: 2 10 2 10log ( ) ii ii y RSB w    (35) où 2 ii w représente la variance du bruit et iy sont les échantillons du signal d'entrée ( )y t . En fait, une valeur de RSB positive signifie un taux d'atténuation de bruit élevé alors qu'une valeur RSB faible ou négative signifie que le signal est fortement bruité. Cela permet de déduire d'après l'équation (34) qu'un RB faible impose un sortieRSB élevé. Ainsi, les dérivées estimées subissent un très bon taux d'atténuation lorsque la valeur de RB est proche de 1 ou même inferieur à 1. B. Tests des simulations Pour toutes les simulations, le pas d'échantillonnage est fixé: 3 10 seceT onde  . Ainsi, pour l'implémentation de l'algorithme, nous avons recours à la méthode des trapèzes pour calculer des valeurs approximées de l'intégrale. Les algorithmes sont implémentés sous MATLAB dont les résultats sont présentés ci-après. 1 - Tests de simulation: Version 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 temps(s) Estimation dérivée première Dérivée première analytique (a) Estimation la première dérivée. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 temps(s) Estimation dérivée seconde Dérivée seconde analytique (b) Estimation de la deuxième dérivée. Figure 2: Pour un signal d'entrée non bruité - Version1 - Intégrale Itérée - 3N  . Tableau 1: Erreur et déphasage- Première version-Intégrales itérées- Signal d'entrée non bruité - 3N  . Méthode basée sur les intégrales itérées Critères Dérivée première Dérivée seconde maxe 0.23 37 Déphasage(°) 0.31 1.56 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 temps(s) Estimation dérivée première Dérivée première analytique (a) Estimation de la première dérivée. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 temps(s) Estimation dérivée seconde Dérivée seconde analytique (b) Estimation de la deuxième dérivée. Figure 3: Pour un signal d'entrée bruité -Version1 - Intégrales Itérées - 3N  . Le tableau 2 rapporte des valeurs très importantes de RB et de RSB surtout pour l'estimation de la dérivée deuxième. Tableau 2 : Critères de comparaison pour la robustesse par rapport au bruit- Première version - Intégrales itérées - Signal d'entrée bruité - 3N  . Critères Dérivée première Dérivée seconde RSB(dB) 0.0031 4 1.9*10 RB 9.79 158.83 Tableau 3 : Erreur et déphasage- Première version-Intégrales itérées - Signal d'entrée bruité - 3N  . Méthode basée sur les intégrales itérées(entrée bruitée) Critères Dérivée première Dérivée seconde maxe 2.68 322.1 Déphasage(°) 1.2 4.62 La valeur de l'erreur maximale de la dérivée seconde par rapport au signal d'entrée donnée dans le tableau 3 est énorme ce qui illustre les limitations de cet algorithme implémenté selon les intégrales itérées. De plus, l'ajout du bruit au signal d'entrée a amplifié les valeurs de l'erreur absolue et du déphasage. 7 Pour les cas étudiés ci-après, le signal d'entrée est toujours considéré comme celui défini sur la Figure 1 car ce signal ne montre aucune modification par rapport aux courbes données dans le cas d'un signal d'entrée non bruité. En fait, la variance du bruit imposé au signal d'entrée utilisé n'a aucune influence sur les signaux de sortie. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 temps(s) Dérivée analytique Estimation de la dérivée première (a) Estimation de la première dérivée. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 temps(s) Dérivée analytique Estimation de la dérivée seconde (b) Estimation de la deuxième dérivée. Figure 4: Pour un signal d'entrée bruité - Version1 - Produit de convolution - 3N  . Pour évaluer la figure 4, les tableaux 4 et 5 ont été établis: Tableau 4 : Critères de comparaison pour la robustesse par rapport au bruit- Première version - Produit de convolution - Signal d'entrée bruité 3N  . Critères Dérivée première Dérivée seconde RSB(dB) 0.171 0.0323 RB 10.34 54.75 Tableau 5 : Erreur et déphasage- Première version-Produit de convolution - N=3. Méthode basée sur la convolution (entrée bruitée) Critères Dérivée première Dérivée seconde maxe 3 4.8 Déphasage (°) 19.61 26.5 L'implémentation par produit de convolution a amélioré remarquablement les valeurs de RSB et de RB au niveau de la dérivée première et seconde. Ainsi, la valeur de l'erreur maximale relevée lors de l'implémentation par produit de convolution (voir Tableau 4) s'est réduite plus que 67 fois que celle relevée lors de l'implémentation par intégrales itérées (voir Tableau 5). Or, cette méthode souffre d'une avance de phase entre la dérivée estimée et la dérivée analytique qui peut être expliquée par la dépendance (relation récursive) entre les estimées. 2 - Tests de simulation: Version 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 temps(s) Dérivée analytique Estimation de la dérivée première (a) Estimation de la première dérivée. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 temps(s) Dérivée analytique Estimation de la dérivée seconde (b) Estimation de la deuxième dérivée du signal. Figure 5: Résultats - Version2 - Produit de convolution - 2 4N et   . Les valeurs quantitatives de l' erreur maxe et du déphasage obtenues pour chaque estimées sont résumées dans le tableau6. Tableau 6 : Erreur et déphasage- Deuxième version. 2 , 4N   Critères Signal d'entrée Dérivée première Dérivée deuxième maxe 0.07 0.52 3.45 Déphasage(°) 4.2 15.75 37.12 Nous constatons d'après le Tableau 6 que l'estimée du signal d'entrée présente les valeurs les plus faibles en erreur et en déphasage par rapport aux estimées des dérivées. Pour la deuxième estimée, les valeurs d'erreur maximale et de déphasage sont importantes ce qui est inadmissible pour des applications temps réel. Ces valeurs inacceptables sont dues à la relation récursive entre les différentes estimées. 8 3 - Tests de simulation: Version3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 temps(s) Estimation dérivée première Dérivée première analytique (a) Estimation de la première dérivée. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 temps(s) Estimation dérivée seconde Dérivée seconde analytique (b) Estimation de la deuxième dérivée. Figure 6: Résultats - Version3- Produit de convolution - 0.5 , 3, 5, 1 2T s N k et n     . Pour l'implémentation par produit de convolution, il est indispensable de remarquer que le filtrage dépend de la taille de la fenêtre. En effet, plus la taille de la fenêtre est grande, meilleur sera le filtrage. Or , une fenêtre de grande taille impose une erreur de troncature plus au moins élevée. Pour cela, il devient nécessaire d'assurer un compromis entre le filtrage du bruit et l'erreur de troncature. Donc, la taille de la fenêtre d'estimation joue un rôle primordial touchant aux trois versions implémentées par produit de convolution. 4 - Etude comparative D'après le tableau 8, il est clair qu'il existe une différence remarquable entre les trois versions en termes de précision, de déphasage et de robustesse par rapport au bruit. La première version est caractérisée par une complexité particulière de calcul car il faut dériver la fonction 1 ( ( ( ))N s Y s jusqu'à l'ordre 1N  pour obtenir les estimées de la ème N dérivée. En effet, cette version peut être implémentée de deux manières, la première est basée sur les intégrales itérées dont elle dépend de trois paramètres à régler: l'ordre de troncature N , le nombre de points à éliminer et les instants de réinitialisation. Comme il est indiqué dans le tableau 8, cette implémentation est la moins robuste par rapport au bruit à cause des pics considérables au niveau de chaque réinitialisation (voir Figure 3) et des valeurs de RB et RSB (voir Tableau2). Tableau 8: Etude comparative Algorithme Précision en amplitude Déphasage Robustesse par rapport au bruit Paramètres de réglages Première version Intégrales Itérées - +++ -- 3 paramètres Produit de convolution + + +++ 2 paramètres Deuxième version (Produit de convolution) + + +++ 3 paramètres Troisième version (Produit de convolution) ++ ++ +++ 5 paramètres Nous rappelons que l'évolution des estimées sont les mêmes dans le cas non bruité ce qui explique le bon filtrage qui apporte cette version. Ainsi, la valeur de l'erreur maximale s'est affaiblie énormément par rapport à celle donnée dans les versions précédentes (voir Tableau 7). Tableau 7: Erreur et déphasage- Troisième version - 0.5 , 3, 5, 1T s N k    Critères Dérivée première-n=1 Dérivée seconde-n=2 maxe 0.13 0.37 Déphasage(°) 5.8 6.75 La deuxième implémentation de cette version est basée sur le produit de convolution qui est paramétré de l'ordre de troncature N et la taille de la fenêtre d'estimation T et qui a résolu le problème de réinitialisation des fenêtres en utilisant des fenêtres glissantes. Ainsi, le tableau 8 montre que toute version implémentée par le produit de convolution assure une robustesse importante par rapport au bruit. Or, la dépendance entre les différentes estimées représente un inconvénient considérable qui assure des valeurs d'erreur et de déphasage inacceptables. Ainsi, un problème relatif aux conditions initiales et d'indétermination de l'algorithme à 9 0t  , pour l'implémentation basée sur les intégrales itérées. Pour la deuxième version possédant comme paramètres de réglages: l'ordre de troncature ,N  et la taille de la fenêtre d'estimation; elle a résolu le problème de réinitialisation des fenêtres qui est déjà rencontré au niveau de l'implémentation avec les intégrales itérées de la première version, en utilisant des fenêtres glissantes. Néanmoins, la relation récursive entre les différentes estimées subsiste, ce qui explique les valeurs d'erreur entre le signal estimé et le signal analytique. Enfin, la troisième version était capable de remédier aux problèmes évoqués dans les deux versions précédentes de façon que les valeurs d'erreurs en amplitude et en déphasage ont été minimisées et affaiblies remarquablement, ce qui conduit à une bonne estimation de la dérivée désirée. D’après le tableau 8, cette version nécessite quand même le nombre de paramètres de réglage le plus élevé. IV. CONCLUSION La qualité de la dérivation numérique en ligne joue un rôle primordial dans diverses applications touchant différents domaines. Dans ce papier, , nous nous sommes intéressés aux dérivateurs type "signal", autrement dit, très peu voire aucune connaissance sur la dynamique du signal et du système n’est à priori nécessaire. Une étude détaillée pour les trois versions de l'approche algébrique a été menée nous a permis de conclure que la troisième version présente les résultats les plus satisfaisants en termes de précision et de robustesse, comparant aux autres versions. Pour cela, parmi les perspectives envisageables pour ces travaux, l'implémentation de cette troisième version dans une boucle de commande d'un système physique. V. RÉFERENCES [1] H. Sira Ramirez, M. Fliess, "On the output feedback control of a synchronous generator", 43rd IEEE Conference on Decision and Control, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, December, pp.14-17, 2004. [2] M. Mboup, C. Join, M. 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