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Etude d’un régulateur PID à action intégrale floue  de systèmes dynamiques

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            <title>Etude dâun régulateur PID à action intégrale floue  de systèmes dynamiques</title></titles>
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        <publicationYear>2016</publicationYear>
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	    <date dateType="Created">Fri 9 Dec 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Fri 9 Dec 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Sat 16 Sep 2017</date>
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Etude d’un régulateur PID à action intégrale floue de systèmes dynamiques Mohamed Amine BEN BRAHIM#1 , Afef ABDELKRIM#2 # LA.R.A Automatique, Université Tunis El Manar Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie 1 mohamedamine.benbrahim@enit.rnu.tn 2 afef.a.abdelkrim@ieee.org Résumé— Cet article traite la détermination d’un régulateur Proportionnel, Intégral et Dérivé (PID) partiellement fuzzifié pour conférer aux processus ainsi commandé Lorsque seul le paramètre intégral est fuzzifié, les résultats montrent que la méthode est efficace et peut être suffisante pour imposer la robustesse du système en boucle fermée. Ce dernier est appliqué à un système de suspension de bus afin de tester sa robustesse. Keywords— Système linéaire ; Régulateur PID ; Régulateur flou; Partiel PD-I; Robustesse I. INTRODUCTION Il existe plusieurs types de commande qui diffèrent par leurs principes et leurs mises en œuvre. En contre partie, plusieurs paramètres doivent être pris en compte tels que: la précision, la stabilité, le temps de réponse, la fiabilité et la robustesse [3]. La commande d’un système doit être robuste en grande partie, assurant un bon fonctionnement du processus même en présence d’erreurs de modélisation ou de perturbations. Le critère de robustesse est fixé par le concepteur. Les commandes classiques, les plus utilisées, peuvent être groupées en deux classes: commande optimale et commande non optimale. La commande optimale permet de vérifier des conditions initiales et finales données, de satisfaire diverses contraintes et d’optimiser certain critère choisi tels que: temps, énergie, consommation... Pour la commande non optimale, plusieurs techniques peuvent se présenter en boucle ouverte (BO) ou en boucle fermée (BF). Dans la plupart des cas, la régulation en boucle fermée est la plus utilisée c’est à dire lorsque la sortie du processus est prise en compte pour calculer l’entrée. Il est bien connu que, jusqu'à présent, un contrôleur de type classique proportionnelle intégrale et dérivée (PID) est le plus utilisé dans l'industrie en raison de sa structure de contrôle simple, sa conception facile, et son coût très faible. Toutefois, le contrôleur de type PID ne peut pas donner une bonne performance de commande si le système commandé est non linéaire ou incertain. Il est intéressant d'utiliser, pour ce genre de systèmes, des techniques de contrôle non conventionnelles en particulier la logique floue pour obtenir des performances élevées en termes de robustesse [12]. La technique de contrôle par la logique floue a été appliquée avec succès dans de nombreux secteurs de l'ingénierie [13]. L'idée principale de cet article est de combiner des techniques conventionnelles et non conventionnelles pour la conception de contrôleur PID. Cette combinaison consiste en un contrôleur PD classique pour stabiliser le système commandé et un contrôleur intégral flou I pour améliorer les performances de contrôle essentiellement la précision. Cette méthode est comparée avec une méthode de régulation PID classique. L’intérêt d’utilisation de ce contrôleur c’est la combinaison des avantages de deux méthodes : conventionnelle et non conventionnelle. Le terme (P) a un rôle important dans l'amélioration de dépassement et d'accélérer le temps de réponse. Le terme intégral (I) flou non conventionnel réduit l'erreur à l'état stable, et le D conventionnel est responsable de la stabilité [15]. Comme il ne dispose que d'un paramètre supplémentaire à ajuster selon le régulateur PID original, il est facile à concevoir et le contrôleur flou PD+ I conserve la structure simple du régulateur PID. Il n’est pas nécessaire de modifier les pièces matérielles du système de commande d'origine pour la mise en œuvre [1] [2] [6]. Dans la première section, la commande des systèmes par différentes approches est présentée. Dans la deuxième section, la commande d’un système du troisième ordre par régulateur classique PID est détaillée. Un contrôleur PID à action intégral floue est réalisé et appliquée un système pratique de suspension d’un bus dans la troisième section. La robustesse du régulateur proposé est testée. Enfin le rapport signal sur bruit est calculé. II. COMMANDE DE SYSTEMES COMPLEXES -POSITION DU PROBLEME D’après plusieurs recherches dans la littérature, il n’existe pas réellement de systèmes linéaires et tous les systèmes dynamiques sont non linéaires de nature [4]. Les théories et les méthodes utilisées pour l’analyse et la conception de systèmes de contrôle non linéaires, constituent un objectif très complexe. Pour remédier à cette complexité, il faut bien choisir la méthode la plus adaptée. Prenons l’exemple de la commande classique PID : En cas de présence de fluctuation des paramètres la commande classique devient non robuste. Cependant, il est nécessaire d’utiliser des commandes de type robuste conventionnel. Différentes commandes convent- ionnelle robustes sont à considérer. La commande H permet de garantir la stabilité et un niveau de performance acceptable pour les systèmes commandés malgré des incertitudes sur les paramètres et/ou des dynamiques négligées du processus [9]. Dans la commande par modèle interne, le système de commande comprend un modèle interne qui est un modèle explicite du processus à commander, un régulateur qui peut être choisi l’inverse de ce modèle et, si nécessaire, un filtre de robustesse [15] [16]. Le but de la commande par mode glissant est premièrement d'attirer les états du système dans une région convenablement sélectionnée, puis de concevoir une loi de commande qui maintiendra toujours le système dans cette région. Il existe également des commandes robustes non conventionnelles comme la commande par logique floue qui présente une solution pertinente pour conférer au système complexe étudié un comportement dynamique désiré tel que le temps de réponse et le dépassement. Elle fait appel au savoir-faire de l’opérateur humain qui manipule habituellement le processus pour la construction de systèmes de commande simples et performants [3] [4] [5]. La commande par réseaux de neurones tente d’émuler les facultés d’apprentissage et de restitution des connaissances que possède le cerveau humain [10] [2]. Cette capacité est exploitée pour la commande de processus complexes afin de construire des systèmes de commande capables de s’adapter aux conditions de fonctionnement du système à commander [4]. Le principal avantage des régulateurs neuronaux réside dans le fait qu’il n’est pas nécessaire d’effectuer une analyse mathématique du processus. L’orientation des travaux c’est l’étude de l’influence du choix d’un régulateur partiellement flou: PID pouvant avoir l’action proportionnelle floue ou / et l’action dérivée floue ou/et l’action intégrale floue. Dans cet article, seul l’action intégrale floue est envisagée. III. SUR LA COMMANDE DES PROCESSUS PAR REGULATEUR PID La commande des processus par régulateur PID est l’une des commandes classiques conventionnelles. Ce type de régulateur est caractérisé par une commande u déduite à partir du signal de l’erreur e . La loi de commande, dans ce cas, est de la forme : ( ) ( ) ( )p i du K e t K e t dt K y t   pK étant le gain proportionnel, iK le temps d’intégration et dK le temps de dérivation Le premier montage de la figure 1 représente la régulation en boucle fermée par un régulateur PID. La détermination des paramètres du régulateur par différentes approches par linéarisation avec un choix des paramètres du PID en fonction des performances souhaitées et adaptés pour les dynamiques optimales ou non optimales, ou bien par placement de pôles, ou bien la méthode de Ziegler et Nichols. Dans ce cas on utilise méthode de Ziegler et Nichols, on choisit un système oscillant donné par la fonction de transfert suivante : 1 2 3 7 ( ) (1 )(1 )(1 ) H s T s T s T s     avec 1 2 3100 ms, 10 ms et 2 ms.T T T   SystèmepK iK  dK d dt e(t) u(t)++-+- y(t) Figure 1 : Régulation avec un PID Les paramètres du régulateur PID obtenus sont : 3,35 25 0,02p i dK K K   La réponse du système à un échelon unitaire est donnée par la figure 2. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t(s) Y Figure 2 : Evolution de la sortie de système Le signal de commande PID est représenté par la figure 3. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 t(s) U Figure 3 : Evolution du signal de commande Les résultats de simulation montrent que la réponse du système présente un temps de réponse de 0.03s et un dépassement de l’ordre de 5.6%. Pour tester la robustesse du régulateur on effectue des fluctuations de 1% du paramètre T2 du système. La réponse du système fluctué est comparée avec la première réponse donnée par la figure 4. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t(s) Amplitude Yf Y Figure 4 : Evolution de la sortie du système initial et du système fluctué En comparant les deux sorties on observe un changement de sorties dès une légère fluctuation des paramètres, donc la méthode classique du PID se révèle ainsi non robuste. Pour corriger ce problème, la logique floue est utilisée et elle sera combinée avec la commande conventionnelle. IV.COMMANDE PAR PID A ACTION INTERGRALE FLOUE PROPOSEE D’après la figure 4 la méthode conventionnelle montre que le régulateur PID est considéré comme non robuste. Le temps de réponse du système fluctué est 0.03s par contre le temps de réponse avec PID est 0.3s : le système devient lent. Pour adapter le régulateur aux exigences de fonctionnement souhaitées, rapidité et précision une combinaison d’une technique classique de régulation et une technique non conventionnelle est envisagée [7] [8] [16]. Cette combinaison consiste à utiliser un contrôleur PD classique et un contrôleur intégral flou I pour améliorer les performances du système étudié. Ce contrôleur utilise un contrôleur de logique floue à la place du terme intégral, tandis que les deux termes proportionnel et dérivé sont gardés inchangés. Pour tester la robustesse du régulateur proposé, ce dernier est appliqué à un système de suspension du bus. Les nombreuses possibilités de formulation des fonctions d’appartenance et des règles d’inférences conduisent évidemment à une grande diversité de ces caractéristiques [3]. Dans cette partie, la formulation du contrôleur est élargie avec deux variables d’entrée e et de, la figure 5 et une sortie u, figure 6. Dans ce cas, on suppose que les variables sont normalisées dans un univers de discours [-1,1]. Le type de régulateur est comparé avec le régulateur PID. Les fonctions d’appartenance du contrôleur proposé sont de types trapézoïdal ou triangulaire comme le montre les figures 5, 6. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 e(k),de(k) N Z P Figure 5 : Fonctions d’appartenance de l’erreur e et la variation de l’erreur de -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 U(k) N Z P Figure 6 : Fonctions d’appartenance de la sortie u Dans cette étude, chaque variable est divisée en trios sous ensembles, aboutissant aux neuf règles d’inférences présentes dans le table I: TABLE I. REGLES D’INFERENCES e de N Z P N N N Z Z N Z P P Z P P Pour la défuzzification, la méthode d’inférence utilisée est Max-Min. Le schéma de la figure 7 présente la régulation en boucle fermée par un régulateur PID à action intégrale floue. pK e(t) +- Système dK d dt u(t) y(t) d dt RLF iK  -+ + Figure 7 : Régulation avec un PID à action intégrale floue V. APPLICATION DU REGULATEUR PROPOSE A UN SYSTEME DE SUSPENSION D’UN BUS La réponse du système de suspension d’un bus est achevée, afin de démontrer l'efficacité et la robustesse du contrôleur flou PD+I proposée, par des simulations numériques. En négligeant la raideur et le coefficient d’amortissement dus aux pneus. m bk X w Figure 8 : Suspension d’un bus k et b sont respectivement la raideur et le coefficient d’amortissement de la suspension et m la masse du quart du bus. L’entrée ( )w t représente la déformation de la chaussée. L’étude des mouvements du châssis du bus ( )x t en fonction du signal ( )w t . Le système, figure 8, est régi par l’équation différentielle suivante : ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))mx t b x t w t k x t w t     avec les données numériques suivantes : 2500m Kg , 1 80000 .k N m  et 1 350 . .b N s m  La réponse du système est oscillante, figure 9. De plus, elle est néfaste pour l’actionneur et peut le détériorer. Pour effectuer la régulation de ce système avec le régulateur proposé, on procède à chercher les différents gains du régulateur PID 4,42, 4, 0.98p i dK K K   . La réponse du système avec le régulateur proposé et le régulateur PID ainsi que les deux signaux de commande sont données dans les figures 10 et 11. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 t(s) Amplitude Figure 9 : Réponse du système en régime libre 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 t(s) Amplitude Y-P I* D Y-PID Figure 10 : Evolution de la sortie du système avec le régulateur PI*D et PID 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t(s) Amplitude Commande P I* D Commande PID Figure 11 : Evolution du signal de commande des deux régulateurs L’emploi du régulateur PID à action intégrale floue présente une très bonne performance de régulation par rapport au régulateur PID classique. Le temps de réponse à 95% pour le cas du PI*D est 0.17s et il est de 0.66 pour le PID. Pour tester la robustesse du régulateur hybride un changement du point de consigne et des perturbations à l'entrée est effectué. L’asservissement lorsqu’on cherche à rejeter les perturbations qui peuvent affecté la mesure. Sa performance est définie par le taux de rejet de la perturbation dans ce moment oùla mesure ne sort pas de la plage acceptable autour du point de consigne. Comme le rejet de perturbation est un objectif important pour toute méthode de contrôle, nous appliquons des perturbations instantanées sur le système en 2s de durée 0.5s. La figure 12 représente les évolutions des sorties du système associé à un régulateur PI*D, PID et la consigne représnt »es respectivement par un trait plein (-), par un trait pointillé (..) et un trait gras. La simulation montre que le régulateur a réussi à maintenir la sortie dans la trajectoire désirée, figure 12, la consigne appliquée au système étant représentée comme suit: ( ) 0.1 0 2 ( ) 0 2 2,5 ( ) 0,2 2,5 5 c c c y t pour t y t pour t y t pour t            Après régulation le système arrive à suivre la référence et les points de consigne. La figure 12 montre que le régulateur hybride est plus robuste lorsque le point de consigne est appliqué, 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t(s) Amplitude P I* D PID Consigne Figure 12 : Evolution de la sortie de système 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(s) Amplitude Commande P I* D Commande PID Figure 13 : Evolution de signal de commande VI.ESTIMATION DU MINIMUM DU RAPPORT SIGNAL SUR BRUIT Dans le cas de bruits blancs, le comportement du régulateur change de radicalement, le rapport signal sur bruit (SNR) est donc utilisé pour évaluer l'influence du bruit sur le système de sortie. Dans ce cas, nous allons discuter l'estimation du minimum du rapport signal sur bruit donné par : 2 10 2 SNR= 10log         où  est la moyenne du signal et  la déviation standard du bruit. Afin de tester la robustesse de la régulation proposée, plusieurs tests sont effectués par l'addition d'un bruit blanc gaussien au signal de sortie. Pour le bruit ajouté de 10% du signal d'entrée nous obtenons le SNR minimum est de 21.76 db pour le cas d’un bruit de 30% du signal d'entrée, figures 14 et 15. 0 1 2 3 4 5 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 t(s) Amplitude Y PI* D Figure 14 : Evolution de la sortie du système avec un bruit de 10% 0 1 2 3 4 5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t(s) Amplitude Y- PI*D Figure 15 : Evolution de la sortie du système avec un bruit de 30% VII. CONCLUSION Cet article traite de la synthèse d'un régulateur PID flou partiel (PD+I). Dans le dispositif de commande proposé, le terme I du PID classique est remplacé par un contrôleur flou incrémental. Puis, les deux contrôleurs, classiques et (PD+I), sont comparés et testées sur un système de suspension de bus. Un des buts du contrôleur PD + I flou proposé est d'améliorer les performances de contrôle des systèmes qui sont déjà contrôlées par des régulateurs de type PID. Ces résultats montrent l'efficacité et la robustesse du régulateur proposé. Cette robustesse est testée par un changement de consigne et un ajout de perturbation à l’entrée. Il est intéressant de généraliser l'approche proposée pour les applications industrielles. REFERENCES [1] W. Li, ‘’Design of a Hybrid Fuzzy Logic Proportional Plus Conventional Integral-Derivative Controller’’, IEEE, Transactions on Fuzzy Systems, vol. 6, n°4, November 1998. [2] M. Benrejeb, A. El Abed-Abdelkrim et M. Sano,’’Sur l’étude du processus d’écriture à la main. Approches classiques et non conventionnelles’’, Revue Electronique e-STA, Vol 3 no.1, Premier trimestre 2006. [3] P. 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