Critère LMI de stabilité asymptotique globale des systèmes non linéaires polynomiaux

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-1:17229
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Résumé

Critère LMI de stabilité asymptotique globale des systèmes non linéaires polynomiaux

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	    <date dateType="Created">Wed 3 Aug 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Wed 3 Aug 2016</date>
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Critère LMI de stabilité asymptotique globale des systèmes non linéaires polynomiaux Mohamed Moez BELHAOUANE, Riadh MTAR, Hela BELKHIRIA AYADI Naceur BENHADJ BRAIEK Résumé—Dans ce travail nous proposons un critère d’analyse de la stabilité des systèmes non linéaires polynomiaux. Une première condition de stabilité asymptotique globale est établie en utilisant la méthode directe de Lyapunov et un développement analytique élaboré. Cette condition est ensuite formulée en terme d’un problème d’optimisation convexe sous contraintes LMIs. Mots-clés— Systèmes non linéaires polynomiaux, Méthode directe de Lyapunov, Stabilité asymptotique globale, ap- proche LMI. I. Introduction L’analyse de la stabilité est une phase nécessaire à la conception d’un processus asservi. Cette phase nécessite, notamment pour les systèmes complexes, l’utilisation des méthodes applicables sur le modèle d’état, sans nécessiter la détermination de ses trajectoires. A cet effet plusieurs travaux ont été proposés dans la littérature [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Cependant, les approches proposées se limitent à des classes particulières des systèmes non linéaires, vu qu’il n’existe pas de méthodes générales pour l’étude des systèmes non linéaires quelconques. Dans ce sens, se justifie le recours aux systèmes poly- nomiaux qui permettent d’approcher avec une précision satisfaisante tout système non linéaire analytique et donc d’assurer la description mathématique d’un large ensemble de processus physiques. Le choix du modèle sous la forme de polynômes vectoriels faisant intervenir la puissance du vecteur état au sens de Kronecker [7], a été considéré dans plusieurs travaux et différentes approches de modélisation, d’analyse et de synthèse ont été développées [8], [9], [10], [11], [12], [13]. En particulier, différents types de critères d’étude de la stabilité globale des systèmes polynomiaux ont été établis et ce en considérant des fonctions de Lyapu- nov quadratiques [14], [15] ou des fonctions de Lyapunov polynomiales [16]. Dans ce travail nous nous intéressons à développer d’avantage l’étude de la stabilité asymptotique globale des systèmes polynomiaux dans le sens d’élabora- tion d’un critère pratique simple à implanter en utilisant les outils numériques disponibles. Dans ce sens, notre contribu- tion dans cet article consiste en la formulation d’une condi- tion de stabilité asymptotique globale en terme d’un pro- blème d’optimisation convexe sous contraintes LMIs [17], [18]. Nous montrerons que des techniques de séparation et d’élimination [19], [20] seront utilisées pour transformer le M. M. BELHAOUANE, R. MTAR, H. BELKHIRIA AYADI et N. BENHADJ BRAIEK chercheurs au Laboratoire d’Etude et Com- mande Automatique de Processus - LECAP, École Polytechnique de Tunis (EPT), BP.743, 2078 La Marsa, Tunis, Tunisie. E-mails : naceur.benhadj@ept.rnu.tn hela.ayadi@ept.rnu.tn moez.belhaouane@ept.rnu.tn mtarriadh@yahoo.fr problème traité d’une inégalité matricielle bilinéaire (BMI) à une inégalité matricielle linéaire (LMI). Cet article est organisé comme suit : après la présente introduction nous présentons la description des systèmes étudiés et quelques notations utiles dans la section II. Dans la section III, nous énonçons une première forme bilinéaire du critère d’analyse de la stabilité asymptotique globale des systèmes polynomiaux. La section IV sera consacrée à la formulation du critère de stabilité en terme de LMI. Enfin un exemple d’application permettant de valider l’approche proposée sera présenté dans la cinquième et dernière section. II. Description des systèmes étudiés et notations On considère les systèmes non linéaires polynomiaux décrits par l’équation : ˙X = f (X) (1) où f est une fonction polynomiale du vecteur d’état X. f (X) = r i=1 AiX[i] = r i=1 ˜Ai ˜X[i] (2) avec : X = [x1, . . . , xn]T ∈ Rn Ai,i=1,...,r ∈ Rn×ni (resp. ˜Ai ∈ Rn×ni ) sont des matrices constantes. X [i] i=1,...,r ∈ Rni est la puissance d’ordre i au sens de Kro- necker du vecteur X définie de la façon suivante [7] : X[0] = 1 X[i] = X[i−1] ⊗ X = X ⊗ X[i−1] pour i ≥ 1 (3) où ⊗ désigne le produit de Kronecker [7]. Le degré polynomial r est considéré impair : r = 2s − 1, avec s ∈ N∗ . ˜X [i] i=1,...,r ∈ Rni , ni = n + i − 1 i est la puissance non redondante du vecteur X définie par : ˜X[1] = X[1] = X ∀i ≥ 2 ˜X[i] = xi 1 , xi−1 1 x2, · · · , xi−1 1 xn, xi−2 1 x2 2 · · · xi−2 1 x2x3, · · · , xi−2 1 x2xn, (4) · · · xi−2 1 x2 n, · · · , xi−3 1 x3 2, · · · , xi n T La relation entre la puissance redondante et celle non redondante du vecteur d’état X peut s’exprimer sous la forme : e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 50 - 54 ∀i ∈ N ∃ ! Ti ∈ Rni ×ni ; X[i] = Ti ˜X[i] (5) Une méthode de construction de la matrice Ti est donnée dans [21]. Il est à remarquer que la classe des systèmes non linéaires considérés permet de décrire un large ensemble de proces- sus physiques tels que les machines électriques et les robots manipulateurs. Pour le système polynomial (1), où la fonction f(.) est dé- finie dans (2), on associe l’ensemble des matrices M(f) défini par : M(f) = {Mλ(f) ∈ Rυ×υ ; λij ∈ R} (6) avec Mλ(f) vérifiant : Mλ(f) =            λ11M11 λ12M12 ... λ1kM1k ... λ1sM1s λ21M21 λ22M22 ... λ2kM2k ... λ2sM2s ... ... ... ... ... ... λk1Mk1 λk2Mk2 ... λkkMkk ... λksMks ... ... ... ... ... ... λs1Ms1 λs2Ms2 ... λskMsk ... λssMss            (7) υ = n + n2 + ... + ns où : – pour k = 1, ..., r = 2s − 1 – pour j = gk, ..., hk où gk = sup(1, k +1−s) et hk = inf(s, k) on a : Mk+1−j,j =      mat(nk−j ,nj ) A1T k mat(nk−j ,nj ) A2T k ... mat(nk−j ,nj ) AnT k      (8) Ai k désigne la ime ligne de la matrice Ak : Ak =      A1 k A2 k ... An k      (9) La fonction mat(p,q) (·) est définie dans l’annexe A.1. Notons que pour tous entiers i et j tels que 1 ≤ i, j ≤ s, il existe k ∈ N∗ tels que 1 ≤ k ≤ 2s − 1, i = k + 1 − j et gk ≤ j ≤ hk. λij sont des réels arbitraires vérifiant : hk j=gk λk+1−j,j = 1 (10) III. Critère d’analyse de la stabilité asymptotique globale des systèmes polynomiaux Dans cette section nous énonçons une condition suffi- sante de stabilité asymptotique globale des systèmes poly- nomiaux. Considérons le système non linéaire (1) où f(.) est une fonc- tion vectorielle polynomiale s’exprimant par la relation (2). Pour étudier la stabilité asymptotique de l’état d’équilibre (X = 0), on considère la méthode directe de Lyapunov [22] avec la fonction quadratique V (X) = XT PX. Une condi- tion de stabilité asymptotique globale du système (1-2) est alors donnée par le théorème suivant : Théorème III.1: [23] Soit le système non linéaire polynomial (1-2) où le nombre entier r est impair : r = 2s − 1. S’il existe : – une matrice (s×s) λ = [λij] vérifiant hk j=gk λk+1−j,j = 1 ; – une matrice (n × n) symétrique définie positive P ; – des paramètres arbitraires µi,i=1,...,β ∈ R ; tels que la matrice symétrique Q, de dimension (η × η) définie par : Q = −τT 1 (DS(P)Mλ(f) + Mλ(f)T DS(P))τ1 + β i=1 µimat(η,η)(Ci) (11) avec : Ds(P) =      P 0 P ⊗ In ... 0 P ⊗ Ins−1      (12) τ1 =        T1 T2 0 T3 0 ... Ts        (13) et η = s j=1 nj = s j=1 n + j − 1 j soit définie positive, alors l’équilibre (X = 0) du système considéré est globalement asymptotiquement stable. L’entier β et les vecteurs colonnes Ci sont définies dans l’annexe A.2. Éléments de démonstration. Pour la preuve complète de ce théorème, on peut se référer à [8], [23]. Nous nous limitons ici à en rappeler les éléments fondamentaux, on considère la fonction de Lyapunov quadratique V (X) = XT PX. On peut montrer que : dV (X) dt = −XT QX (14) où : X est le vecteur de dimension η défini par X = XT X[2]T · · · X[s]T T et Q la matrice définie dans (11) avec les notations précédentes et les notations données dans l’annexe A.2. Nous nous intéressons dans ce travail à la formulation de la condition de stabilité énoncée dans le théorème III.1, sous forme d’inégalités matricielles linéaires (LMIs) que l’on peut implanter facilement en utilisant l’outil de CAO en Automatique MATLAB. Ceci fait l’objet de la section suivante. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 50 - 54 IV. Formulation LMI de la condition de stabilité établie Dans cette section, nous nous proposons de formuler la condition de stabilité proposée dans le théorème III.1, en termes d’inégalités matricielles en exploitant l’approche LMI. En effet, le problème considéré consiste à trouver : • des réels λij ∈ R vérifiant la relation (10) ; • des paramètres µi,i=1,...,β ; • une matrice P de dimension n × n ; tels que :    P > 0 τT 1 (DS(P)Mλ(f) + Mλ(f)T DS(P))τ1 − β i=1 µimat(η,η)(Ci) < 0 (15) La deuxième inégalité du système (15) étant bilinéaire (bilinéarité due au produit entre les inconnus P et λij), il s’agit alors de procéder à la transformation du problème pour le ramener à un problème linéaire. Pour cela un développement exploitant deux outils relatifs au inégalités matricielles ; le complément de Schur [17] et le lemme de Finsler [24] rappelé en annexe A.3, a été élaboré comme suit : La deuxième contrainte de l’équation (15) : τT 1 (DS(P)Mλ(f) + Mλ(f)T DS(P))τ1 − β i=1 µimat(η,η)(Ci) < 0 peut être écrite sous la forme : 1 2 [((DS(P) + Mλ(f))τ1)T ((DS(P) + Mλ(f))τ1)− ((DS(P) − Mλ(f))τ1)T ((DS(P) − Mλ(f))τ1)]− β i=1 µimat(Ci) < 0 (16) ce qui est équivalent à : −2 β i=1 µimat(Ci) − ((DS(P) − Mλ(f))τ1)T ((DS(P)− Mλ(f))τ1) − ((DS(P) + Mλ(f))τ1)T (−I)((DS(P)+ Mλ(f))τ1) < 0 (17) Soit : W = (DS(P) − Mλ(f))τ)T ((DS(P) − Mλ(f))τ1) (18) L’application du complément de Schur à l’inégalié (17) conduit à l’inégalié matricielle suivante :   −2 β i=1 µimat(Ci) − W ((DS(P) + Mλ(f))τ1)T ((DS(P) + Mλ(f))τ1) −I   < 0 (19) qui peut être écrite de la manière suivante :   −2 β i=1 µimat(Ci) ((DS(P) + Mλ(f))τ1)T ((DS(P) + Mλ(f))τ1) −I   + −I 0 W 2 I 0 + I 0 W 2 −I 0 < 0 (20) En utilisant le lemme de Finsler, l’existence de la matrice W vérifiant (20) est équivalente à l’existence des variables DS(P), Mλ(f) et un réel α > 0 tels que :   −2 β i=1 µimat(Ci) − αI ((DS(P) + Mλ(f))τ1)T ((DS(P) + Mλ(f))τ1) −I   < 0 (21) Ainsi, on vient de séparer les paramétres inconnus recher- chés P, λij et µi. La nouvelle inégalité obtenue est linéaire en fonction des variables recherchées, il vient alors le théo- rème suivant : Théorème IV.1: L’équilibre (X = 0) du système (1-2) est globalement asymptotiquement stable, s’il existe : – un réel α > 0 ; – des réels λij ∈ R vérifiant hk j=gk λk+1−j,j = 1 ; – une matrice P de dimension n × n ; – des paramètres arbitraires µi,i=1,...,β ; tels que : P > 0 (22) et   −2 β i=1 µimat(Ci) − αI ((DS(P) + Mλ(f))τ1)T ((DS(P) + Mλ(f))τ1) −I   < 0 (23) et si les solutions obtenues α, λij, P et µi remplacées dans la matrice W (relation (18)) vérifient l’inégalité (20). L’avantage de ce théorème est qu’il conduit à une condition facile à implanter sur l’environnement MATLAB. V. Exemple Pour valider l’approche proposée pour l’analyse de la stabilité des systèmes polynomiaux, on considère le système polynomial du second ordre suivant :    ˙x1 = −0.46x1 − 0.10x2 − 0.33x2 1 − 0.612x1x2 − 0.94x2 2 − 0.65x3 1 − 1.01x2 1x2 − 1.01x1x2 2 − 0.30x3 2 ˙x2 = −0.11x1 − 1.43x2 − 1.35x2 1 − 1.482x1x2 − 2.33x2 2 − 0.20x3 1 − 1.25x2 1x2 − 1.08x1x2 2 − 1.88x3 2 (24) L’équation d’état de ce système peut s’écrire sous la forme : ˙X = F1X + F2X[2] + F3X[3] avec : F1 = −0.46 −0.10 −0.11 −1.43 F2 = −0.33 −0.61 0 −0.94 −1.35 −1.48 0 −2.33 F3 = −0.65 −1.01 0 −1.01 0 0 0 −0.30 −0.20 −1.25 0 −1.08 0 0 0 −1.88 e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 50 - 54 La résolution du problème d’optimisation convexe sous contraintes LMIs donné par le théorème IV.1, conduit à :    µ1 = −0.233 µ2 = −0.141 µ3 = −1.110 λ12 = 0.472 λ21 = 0.528 α = 57.191 P = 1.99 −0.06 −0.06 2.15 et on montre bien que l’inégalité (21) est aussi vérifiée. L’équilibre (X = 0) du système polynomial considéré est donc globalement asymptotiquement stable. VI. Conclusion Dans ce travail, un critère pratique d’analyse de la stabi- lité asymptotique globale des systèmes polynomiaux a été proposé. Ce critère est présenté sous la forme d’inégalités linéaires matricielles (LMIs) facile à implanter dans l’envi- ronnement numérique MATLAB. Ce critère est conduit à partir de conditions matricielles bilinéaires (BMIs) de sta- bilité établies en exploitant la méthode directe de Lyapunov avec une fonction quadratique. L’utilisation de techniques de séparation particulières et d’élimination de variables a permis la transformation de la condition BMI en un critère LMI. La validité du nouveau critère établi a été testée sur un exemple de système non linéaire polynomial. Annexe A.1. Fonction mat(n,m) (·) On définit La fonction mat(n,m) (·) de la manière suivante : Si V est un vecteur défini comme suit : V =      V1 V2 ... Vm      , Vi ∈ Rn alors : M = mat(n,m)(V ) est une matrice de dimension (n × m) tel que : M = V1 ... V2 ... ... ... Vm A.2. Notations relatives au théorème III.1 : L’entier β et les vecteurs Ci,i=1,...,β intervenant dans l’équation (11) du théorème III.1 sont définis à partir des matrices et relations suivantes : (i) On définit la matrice de permutation notée Un×m par : Un×m = n i=1 m k=1 en i · (em k )T ⊗ em k · (en i )T avec : eq k : le vecteur unitaire où tous ses éléments sont nuls sauf le kème élément qui vaut 1. Cette matrice est carrée et elle admet un seul 1 dans chaque ligne et dans chaque colonne. (ii) On définit la matrice R par : R = τ +[2] 1 · U · H · τ2 avec τ1 définie dans (13), τ2 =      T2 0 T3 ... 0 T2s      U =      Un×η0 0 Un2×η0 ... 0 Uns×η0      H =        Iη1 0 0η2×n2 Iη2 0η3×(n2+n3) Iη3 ... ... 0ηs×(n2+n3+...+ns) Iηs        pour j = 1, ....., s, : ηj = nj · s i=1 ni et τ+ 1 est une pseudo-inverse à gauche de τ1. (iii) Γ la matrice définie par : Γ = Iη2 + Uη×η R+T RT − Iη2 avec R+ est une pseudo-inverse à droite de R. β = rang(Γ) et Ci, i=1,...,β sont les β premières vecteurs colonnes linéairement indépendantes de Γ. A.3. Lemme de Finsler : [24] Soient P ∈ Rn × (n + m) et M = M11 M12 MT 12 M22 avec : M11 ∈ Rn×n , M22 ∈ Rm×m . Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes : (1) ∃ X ∈ Rn×n tel que : M + In 0m×n XP + PT XT In 0n×m < 0 (2) M22 < 0 et ∃ α > 0 tels que M − αPT P < 0 Références [1] P. Borne et J.C. Gentina. On the stability of large nonlinear systems. Joint Aut. Cont. Conf. Austin, Texas, 1974. [2] S. Boyd et Q. Yang. Structured and simultaneous Lyapu- nov functions for system stability problems. Int.J.Control, 49(6) :2215–2240, 1989. [3] S.P. Banks et Z. YI. On the stability analysis of nonlinear systems. Journal of Mathematical Control and Information, 8(3) :275–285, 1991. [4] N. Sing Kiong et M. FU. Global quadratic stabilization of a class of nonlinear systems. Int.J. 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