Modèles bond graphs pour l’étude des sensibilités et de la robustesse - Comparaison de deux approches

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-1:17228
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Modèles bond graphs pour l’étude des sensibilités et de la robustesse - Comparaison de deux approches

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Mod`eles bond graphs pour l’´etude des sensibilit´es et de la robustesse – Comparaison de deux approches W. BORUTZKY1 , C. S. KAM2 , G. DAUPHIN-TANGUY3 1Universit´e des Sciences Appliqu´ees Bonn-Rhein-Sieg, D-53754 Sankt Augustin, Allemagne 2 IUT de Rodez, F-12000 Rodez, France 3 Ecole Centrale de Lille, BP 48, F-59651 Villeneuve d’Ascq Cedex, France borutzky@uni-koeln.de, casimir.kam@libertysurf.fr, gdt@ec-lille.fr R´esum´e— Une approche par bond graph incr´emental (graphe `a liens incr´emental) a ´et´e propos´ee pour d´eterminer des sensibilit´es param´etriques et en mˆeme temps une approche bond graph a ´et´e pr´esent´ee dans la litt´erature pour l’´etude de la robustesse des mod`eles avec des param`etres incertains. Dans ce papier, nous montrons que les r´esultats de l’une ap- proche peuvent ˆetre aussi d´eduits par l’autre approche. Mots-cl´es—Sensibilit´e param´etrique, robustesse, bond graph incr´emental, mod`ele bond graph avec des param`etres incertains. I. INTRODUCTION Dans la litt´erature bond graph, plusieurs auteurs utilisent un pseudo bond graph dans lequel les variables d’un lien ne sont pas des variables de puissance mais des sensibilit´es d’effort et de flux par rapport `a un param`etre [1], [2]. Par contre Borutzky et Granda ont propos´e de d´eduire d’un bond graph initial un bond graph incr´emental pour des variations des variables de puissance caus´ees par des petits changements des param`etres [3, 4]. En outre, Borutzky et Dauphin-Tanguy ont montr´e que le bond graph incr´emental peut servir comme une base pour ´etablir des ´equations pour l’´etude de robustesse [5]. D’un autre cˆot´e, Dauphin-Tanguy et Kam ont propos´e une approche bond graph qui emploie des vraies variables de puissance et qui per- met de calculer des ´equations pour l’´etude de robustesse [6–8]. En consid´erant l’approche bond graph incr´emental et l’approche bond graph pour l’´etude de robustesse on peut identifier des as- pects communs. Ci-dessous nous montrons que sous des hypoth`eses raison- nables et peu restrictives l’approche bond graph incr´emental permet de d´eterminer des ´equations approch´ees au premier ordre pour l’´etude de robustesse. A l’inverse, l’approche bond graph pour l’´etude de robustesse peut ˆetre utilis´ee pour d´eterminer des sensibilit´es. Ce papier est structur´e de la mani`ere suivante. En section II les deux m´ethodes sont rappel´ees bri`evement. En- suite nous montrons que les deux approches peuvent mener aux mˆemes r´esultats sous quelques hypoth`eses raisonnables. Finale- ment les deux m´ethodes sont appliqu´ees sur un exemple. II. PR ´ESENTATION DES M ´ETHODES A. D´etermination des sensibilit´es d’un bond graph incr´emental Cette approche d´emarre du fait qu’une perturbation d’un param`etre entraˆıne des variations des variables de puissance. Par exemple, consid´erons un ´el´ement r´esistif lin´eaire 1 port avec la r´esistance nominal Rn. A cause d’une perturbation ∆R ind´ependante du temps, la relation caract´eristique eR0(t) = Rn · fR0(t) (1) devient eR0(t) + ∆eR(t) = (Rn + ∆R) · (fR0(t) + ∆fR(t)) (2) En observant l’´equation (1), on obtient apr`es multiplication des deux sommes ∆eR(t) = Rn · ∆fR(t) + fRn(t) · ∆R (3) si le produit ∆fR·∆R du deuxi`eme ordre est n´eglig´e. L’´equation (3) peut ˆetre repr´esent´ee par le bond graph incr´emental de la fi- gure 1. La causalit´e dans le sous-mod`ele bond graph incr´emental ¨¨ ∆eR ∆fR 1 ¨¨ R : R ee MSe : −fR(t) · ∆R Fig. 1 BOND GRAPH INCR ´EMENTAL AU PREMIER ORDRE D’UN ´EL ´EMENT R ´ESISTIF LIN ´EAIRE 1 PORT d’un ´el´ement r´esistif n’est pas affect´ee parce que le mod`ele a la mˆeme structure pour des ´el´ements r´esistifs avec causalit´e r´esistance et causalit´e conductance. En outre, comme le montre la figure 1, une des deux d´eviations de variables de puissance ne peut pas ˆetre calcul´ee sans connaˆıtre le flux fR(t) qui provient du bond graph initial. C’est pourquoi la source n´egative est une source modul´ee. Comme pour une r´esistance, on peut d´evelopper facilement un sous-mod`ele bond graph incr´emental pour tous les ´el´ements bond graphs. La seule diff´erence entre l’´el´ement bond graph et le mod`ele incr´emental correspondant est une source n´egative at- tach´ee `a une jonction. Les mod`eles incr´ementaux des ´el´ement TF et GY ont deux sources n´egatives. Parce que les jonctions 1 et 0 sont lin´eaires, le mod`ele incr´emental correspondant est identique `a l’´el´ement, de mˆeme qu’un bond graph dans le- quel tous les ´el´ements sont remplac´es par leur sous-mod`ele incr´emental a la mˆeme structure que le bond graph initial. Seules e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 44 - 49 les sources et leur localisation sont diff´erentes. Evidemment une source ind´ependante disparaˆıt dans le bond graph incr´emental. Soient x(t, Θ) le vecteur d’´etat du system avec des pa- ram`etres incertains Θ et ∆x la variation de x `a cause des in- certitudes des param`etres. Par cons´equence x0(t) := x(t, Θn) est le vecteur des variables d’´etat dans le bond graph initial aux param`etres nominaux Θn et le vecteur des variables d’´etat dans le bond graph incr´emental est ∆1x (approximation au premier ordre du variation ∆x). Si le mod`ele initial est lin´eaire et d´ecrit par les equations ˙x0(t) = A0 x0(t) + B0 u(t) (4.a) y0(t) = C0 x0(t) + D0 u(t) (4.b) avec des matrices A0, B0, C0, D0 de dimensions convenables d´ependantes du vecteur Θn des param`etres et avec u regrou- pant les entr´ees du syst`eme, les ´equations pour les variations des variables de puissance sont sous la forme ∆1 ˙x(t) = A0 ∆1x + ˜B(x0(t), u(t), Θn) ∆Θ (5.a) ∆1y(t) = C0 ∆1x + ˜D0(x0(t), u(t), Θn) ∆Θ (5.b) parce que en comparaison avec le bond graph initial dans le bond graph incremental seulement les sources sont diff´erentes. Les matrices ˜B0(x0(t), u(t), Θn) et ˜D0(x0(t), u(t), Θn) sont obte- nues par diff´erentiation par rapport au vecteur Θ des param`etres. Parce que les deux matrices d´ependent des vecteurs x0(t) et u(t), elles d´ependent du temps t. ˜B(t) = ∂ ∂Θ (A(Θ)x(t) + B(Θ)u(t)) θ=θn (6.a) ˜D(t) = ∂ ∂Θ (C(Θ)x(t) + D(Θ)u(t)) θ=θn (6.b) A partir d’un bond graph incr´emental construit syst´ematiquement de cette mani`ere, les ´equations pour les variations au pre- mier ordre des variables de puissance peuvent ˆetre d´eduites de mani`ere standard comme pour tout bond graph. La variation d’une variable de puissance est exprim´ee par une somme de termes qui sont compos´es d’une sortie d’une source n´egative modul´ee multipli´ee par un facteur. Parce que la sortie d’une source n´egative modul´ee est par nature la perturbation d’un pa- ram`etre, les facteurs sont justement les sensibilit´es demand´ees. Si les ´equations sont soumises `a la transformation de Laplace, en g´en´eral les facteurs ont une valeur complexe. Si ∆v repr´esente la variation au premier ordre d’une variable de puissance v, la d´eduction des ´equations du bond graph incr´emental donne L∆1v = r ν=1 ∂Lv ∂Θν · ∆Θν (7) Dans le cas lin´eaire g´en´eral on obtient L∆1y = [C0 (sI − A0)−1 L˜B + L˜D] ∆Θ (8) Supposant des petites perturbations ∆Θ la matrice dans l’´equation (8) est justement la matrice de sensibilit´es demand´ee. S := ∂Ly/∂Θ = C0 (sI − A0)−1 L˜B + L˜D (9) Parce que les matrices ˜B et ˜D d´ependent des vecteurs x0 et u, il faut les d´eterminer `a partir du bond graph initial avant que les sensibilit´es puissent ˆetre d´etermin´ees du bond graph incr´emental. Les coefficients de la matrice S sont des fonctions de trans- fert. Elles peuvent ˆetre d´etermin´ees sous la forme symbolique par la transformation des ´equations d’´etat ou par la r`egle de Ma- son appliqu´ee directement au bond graph incr´emental en suivant des boucles causaux. La premi`ere option peut ˆetre suivie en utili- sant les logiciels CAMP-G/MATLAB [3]. La r`egle de Mason est ex´ecut´ee dans le logiciel ARCHER [9]. L’approche bond graph incr´emental est expliqu´ee en plus grand d´etail dans [4]. L’appli- cation de la r`egle de Mason `a un pseudo bond graph pour des sensibilit´es est pr´esent´ee dans [10]. B. D´etermination des ´equations pour l’´etude de robustesse `a base d’un vrai bond graph Le but de cette approche est de d´eduire d’un bond graph modifi´e pour un syst`eme lin´eaire `a coefficients incertains les ´equations sous la forme canonique. ˙x = [A0 + ∆A] x + [B0 + ∆B]u (10.a) y = [C0 + ∆C] x + [D0 + ∆D]u (10.b) avec des matrices de dimensions convenables. Les matrices A0, B0, C0, D0 contiennent des param`etres nominaux, les matrices ∆A, ∆B, ∆C, ∆D d´ependent des param`etres incertains et des param`etres nominaux. L’id´ee est de repr´esenter les incertitudes par des ´el´ements suppl´ementaires. Encore une fois, consid´erons un ´el´ement r´esistif lin´eaire 1 port avec la r´esistance R. Si R est partag´e entre une r´esistance nominale Rn et une incertitude ∆R (∆R > 0), c’est `a dire R = Rn +∆R, on peut ajouter une r´esistance de va- leur ∆R `a une jonction 1. La structure du sous-mod`ele figure 2 ¨¨ eR fR 1 ¨¨ R : Rn ¡¡ R : ∆R Fig. 2 PARTAGE D’UNE R ´ESISTANCE AVEC UN PARAM `ETRE INCERTAIN EN DEUX ´EL ´EMENTS reste la mˆeme quelle que soit la causalit´e de la r´esistance. C’est pourquoi les liens n’ont pas de trait causal. Noter la similarit´e de ce sous-mod`ele avec le sous-mod`ele incr´emental (figure 1). Pour les autres ´el´ements bond graphs on peut d´evelopper aussi faci- lement un sous-mod`ele. Afin d’assurer que l’ordre du mod`ele n’est pas augment´e, l’´el´ement suppl´ementaire d’un ´el´ement de stockage doit avoir une causalit´e d´eriv´ee. De cette fac¸on, on ob- tient un bond graph avec des ´el´ements de stockage d´ependants `a param`etres nominaux (In, Cn) et des ´el´ements de stockage d´ependants `a param`etres incertains (∆I, ∆C). Les r´esistances sont aussi partag´ees en ´el´ements `a param`etre nominal Rn et ´el´ements `a param`etre incertain (∆R). Les expressions formelles des matrices contenues dans l’´equation canonique (10.a et 10.b) sont d´eduites du bond graph, en s’appuyant sur la repr´esentation g´en´erale donn´ee figure 3 et e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 44 - 49 Fig. 3 REPR ´ESENTATION G ´EN ´ERALE DU BOND GRAPH AVEC INCERTITUDES SUR LES ´EL ´EMENTS R,C,I `a l’aide du calcul des gains des chemins causaux et boucles cau- sales. On supposera ici, dans un but de clart´e de la pr´esentation, qu’il n’y pas d’´el´ements en causalit´e d´eriv´ee, ni de boucles entre des ´el´ements R dans le mod`ele bond graph sans incertitudes. Les ´el´ements TF et GY sont aussi suppos´es sans incertitude sur leur module. Tous les ´el´ements passifs sont 1-port. La relation entr´ee -sortie de la structure de jonction s’´ecrit : s0 = Ssi avec les vecteurs sortie et entr´ee correspondants s0 := [ ˙xn ∆Zd Di ∆Di y]T et si := [Zn ∆ ˙xd D0 ∆D0 u]T Le vecteur d’´etat global x s’exprime en fonction de xn par x = Txn, T donn´ee par (12.a), on obtient alors : A0 = [S11 + S13LS31]Fn (11.a) B0 = [S15 + S13LS35] (11.b) C0 = [S51 + S53LS31]Fn (11.c) D0 = [S55 + S53LS35] (11.d) d´eduites du bond graph sans incertitudes et W = T−1 = [I − S12(∆Fd)−1 S21Fn]−1 (12.a) Γ = [S14 + S13LS34]∆L[I − S43LS34∆L]−1 ·[S41 + S43LS31]Fn (12.b) Λ = [S54 + S53LS34]∆L[I − S43LS34∆L]−1 ·[S41 + S43LS31]Fn (12.c) ∆A = A0(W − I) + ΓW (13.a) ∆B = [S14 + S13LS34]∆L[I − S43LS34∆L]−1 ·[S45 + S43LS35] (13.b) ∆C = C0(W − I) + ΛW (13.c) ∆D = [S54 + S53LS34]∆L[I − S43LS34∆L]−1 ·[S45 + S43LS35] (13.d) III. LIENS ENTRE LES DEUX APPROCHES A. D’un bond graph incr´emental aux ´equations pour l’´etude de robustesse Rappelons que tous les mod`eles incr´ementaux des ´el´ements bond graphs sont une approximation au premier ordre et que c’est pourquoi l’´equation (5.a) d´eduite du bond graph incr´emental donne une approximation au premier ordre ∆1x de ∆x. Observant l’´equation (6.a) le terme ˜B(x0, u, Θ) ∆Θ en ´equation (5.a) peut ˆetre ´ecrit sous la forme ˜B(x0, u, Θ) ∆Θ = ∂ ∂Θ (Ax + Bu) θ=θn · ∆Θ = ∆1(Ax) + ∆1(Bu) = (∆1A)x0 + A0(∆1x) = + (∆1B)u (14) Par cons´equent, on obtient pour l’approximation x1 de x l’ex- pression suivante. ˙x1 = ˙x0 + ∆1 ˙x = A0x0 + B0u + (∆1A)x0 + A0∆x1 + (∆1B)u = [A0 + ∆1A]x0 + A0∆x1 + [B0 + ∆1B]u (15) L’´equation (15) est une approximation au premier ordre de l’´equation (10.a). Les coefficients dans les matrices ∆1A et ∆1B peuvent ˆetre calcul´es pratiquement de la mani`ere suivante. D’abord les ma- trices C et D sont d´eduites (automatiquement) du bond graph initial. Celles variables du bond graph initial qui modulent les sources n´egatives du bond graph incr´emental sont des compo- santes du vecteur y. Ainsi elles peuvent ˆetre exprim´ees par des lignes ci et di des matrices C et D respectivement. Si ∆zi est la sortie d’une source n´egative dans le bond graph incr´emental modul´ee par la variable yi, on peut ´ecrire ∆zi = ((cix) + (diu)) ∆Θi/ki (16) La constante ki d´epend du type d’´el´ement bond graph remplac´e par son bond graph incr´emental. (En cas d’un ´el´ement R on a ∆Θi = ∆R, ki = 1, pour une capacit´e il faut ´ecrire ∆Θi = ∆C, ki = C. Les matrices A et B∗ dans l’´equation ∆ ˙x = A∆x + B∗ ∆z (17) sont d´eduites automatiquement du bond graph incr´emental. En substituant les composantes de ∆z par l’´equation (16) on peut exprimer les coefficients demand´es des matrices ∆A et ∆B par des coefficients des matrices B∗ , C et D. Les relations peuvent ˆetre programm´ees par exemple en MATLAB. B. De la forme canonique aux sensibilit´es A cause de la forme diagonale des matrices L, ∆L,Fn,∆F−1 d , on construit simplement une approximation au premier ordre e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 44 - 49 des matrices de la forme canonique en n´egligeant tous les termes du type ∆L∆F−1 d : W ≈ W1 = [I + S12(∆Fd)−1 S21Fn] (18.a) Γ ≈ Γ1 = [S14 + S13LS34]∆L ·[S41 + S43LS31]Fn (18.b) Λ ≈ Λ1 = [S54 + S53LS34]∆L ·[S41 + S43LS31]Fn (18.c) ∆A ≈ ∆1A = A0S12∆F−1 d S21Fn + Γ1 (19.a) ∆B ≈ ∆1B = [S14 + S13LS34]∆L ·[S45 + S43LS35] (19.b) ∆C ≈ ∆1C = C0S12∆F−1 d S21Fn + Λ1 (19.c) ∆D ≈ ∆1D = [S54 + S53LS34]∆L ·[S45 + S43LS35] (19.d) En posant x1 = x0 + ∆1x et y1 = y0 + ∆1y avec x0, y0 les va- riables d’´etat et de sortie du mod`ele nominal et x1, y1, ∆1x, ∆1y les approximations au premier ordre des mˆemes variables et des incertitudes associ´ees, on obtient ˙x1 = [A0 + ∆A1]x1 + [B0 + ∆B1]u (20.a) y1 = [C0 + ∆C1]x1 + [D0 + ∆D1]u (20.b) ou encore ∆1 ˙x = A0∆1x + ˆB(x0, u, Θn, ∆Θ) (21.a) ∆1y = C0∆1x + ˆD(x0, u, Θn, ∆Θ) (21.b) avec, en effectuant les approximations ∆1A∆1x ≈ 0 et ∆1C∆1x ≈ 0, ˆB(x0, u, Θn, ∆Θ) = ∆1Ax0 + (∆1B)u (22.a) ˆD(x0, u, Θn, ∆Θ) = ∆1Cx0 + (∆1D)u (22.b) Cette expression est `a rapprocher de l’´equation (eq :equality). Elle peut se r´e´ecrire sous la forme suivante ˆB(x0, u, Θn, ∆Θ) = ˜B(x0, u, Θn)∆Θ (23.a) ˆD(x0, u, Θn, ∆Θ) = ˜D(x0, u, Θn)∆Θ (23.b) ce qui conduit `a la matrice de sensibilit´e S := ∆y1 ∆Θ (s) = C0(sI − A0)−1 ˜B(s) + ˜D(s) (24) IV. EXEMPLE Pour illustrer que les deux approches m`enent au mˆeme r´esultat, consid´erons le simple exemple d’un circuit (figure 4) et son bond graph associ´e (figure 5). Du bond graph de la figure 5 l’´equation d’´etat est facilement d´eduite. ˙p ˙q ˙x =     − R1 L − 1 C 1 L − 1 R2C     A p q x + 1 0 B [E(t)] u (25)   E(t) L R1 s R2 s C Fig. 4 REPR ´ESENTATION CIRCUIT D’UN SYST `EME D’ORDRE DEUX MSeE(t) : ¨¨ 1 ¡¡ R : R1 ee˙p I : L ¨¨ 0 ¡¡ R : R2 ¨¨˙q eC C : C f2 fL Fig. 5 BOND GRAPH ASSOCI ´E AU CIRCUIT Premi`ere approche : Le bond graph incr´emental correspondant est donn´e dans la fi- gure 6. Du bond graph incr´emental les ´equations d’´etat sont d´eduites d’une mani`ere standard. ∆ ˙p ∆ ˙q ∆1 ˙x =     − R1n Ln − 1 Cn 1 Ln − 1 R2nCn     A0 ∆1p ∆1q ∆1x +    −R1n −1 0 −1 1 0 1 R2n − 1 R2n    B∗           − fL0 Ln ∆L fL0∆R1n f20∆R2n − eC0 Cn ∆C           ∆z (26) (Rappelons que les composantes du vecteur ∆z sont les sor- ties des source n´egatives modul´ees.) Le produit B∗ ∆z peut ˆetre ´ecrit sous les formes     R1n fL0 Ln −fL0 0 eC0 Cn − fL0 Ln 0 eC0 R2 2 n eC0 R2nCn     ˜B     ∆L ∆R1 ∆R2 ∆C     ∆Θ = e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 44 - 49 Se0 : ¨¨ 1 ¨¨ 0 ¨¨ 1 ¨¨ C : C ¡¡ 1 ¡¡ R : R1 ¨¨Se−fL · ∆R1 : ee 0¨¨Sf fL L · ∆L : ee I : L ¡¡ 1 ¡¡ R : R2 rr Se : - f2 · ∆R2 ¡¡ Se : eC C · ∆C ∆ ˙p ∆fL ∆eC ∆ ˙q Fig. 6 BOND GRAPH INCR ´EMENTAL D’EXEMPLE Fig. 7 BOND GRAPH INCERTAIN     R1n ∆L L2 n − ∆R1 Ln ∆C C2 n − ∆L L2 n ∆R2 R2 2 nCn + ∆C R2nC2 n     ∆1A p0 q0 x0 (27) avec q0 = Cnec0 et p0 = LnfL0. En calculant symboliquement la variation au premier ordre de la matrice A, on obtient la mˆeme matrice ∆1A. La matrice ∆1B disparaˆıt, parce que la matrice B est constante dans cet exemple. Deuxi`eme approche : La figure 7 montre le bond graph nominal augment´e des ´el´ements associ´es aux incertitudes. Les matrices associ´ees `a la repr´esentation de la figure 7 sont : xn = pn qn , ∆xd = p∆L q∆C , Zn = fLn eCn , ∆Zd = f∆L e∆C , T = 1 + ∆L/Ln 0 0 1 + ∆C/Cn , Fn = 1/Ln 0 0 1/Cn , (∆Fd)−1 = ∆L 0 0 ∆C , Di = fR1n eR2n , Do = eR1n fR2n , ∆Di = f∆R1 f∆R2 , ∆Do = e∆R1 e∆R2 , L = R1n 0 0 1/R2n , ∆L = ∆R1 0 0 ∆R2 , u = E, y = eCn Les sous-matrices non nulles de S sont : S11 = 0 −1 1 0 , S12 = −1 0 0 −1 , S13 = −1 0 0 −1 , S14 = −1 0 0 0 , S15 = 1 0 , S21 = S31 = 1 0 0 1 , S41 = 1 0 0 0 , S34 = 0 0 0 −1 , S43 = 0 0 0 1 , S51 = 0 1 . En remplac¸ant les matrices par leurs expressions dans les ´equations (19.a - 19.d), on obtient la matrice ∆1A comme donn´ee par equation (27) et ∆1B = 0, ∆1C = 0 − ∆R2 C2 n , ∆1D = 0 ce qui permet d’´ecrire, avec x0 = p0 q0 le vecteur d’´etat du bond graph sans incertitude, ˆB(x0, u, Θn, ∆Θ) = e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 44 - 49    R1 p0 L2 n − p0 Ln 0 q0 C2 n − p0 L2 n 0 q0 R2 2Cn q0 R2C2 n    ˜B(x0)     ∆L ∆R1 ∆R2 ∆C     ∆Θ De mˆeme ˆD(x0, u, Θn, ∆Θ) = ∆C1x0 s’exprime par ˆD(x0, u, Θn, ∆Θ) = 0 0 − q0 C2 n 0 ˜D(x0) ∆Θ Ces deux expressions sont identiques `a celles obtenues dans (23.a, 23.b). CONCLUSION Dans cet article nous avons d´emontr´e que l’approche bond graph incr´emental pour la d´etermination des sensibilit´es (sec- tion II-A) peut ˆetre aussi employ´ee pour ´etablir une approxi- mation au premier ordre de la forme canonique utilis´ee dans l’´etude de robustesse. A l’inverse l’approche bond graph d´edi´ee au calcul des coefficients des matrices dans la forme canonique `a partir du bond graph (section III-A) permet d’obtenir aussi des ´equations (5.a), (5.b) pour les variations de variables de puis- sance. Ainsi avec cette approche aussi des sensibilit´es peuvent ˆetre d´etermin´ees. Le point commun est l’´egalit´e donn´ee dans l’´equation (14). Dans l’approche bond graph incr´emental des produit du deuxi`eme ordre, par exemple ∆e · ∆f, sont n´eglig´es. C’est pourquoi de cette fac¸on on peut trouver seulement une ap- proximation d’ordre premier de la forme canonique. A l’inverse pour obtenir l’´equation (5.a) en suivant l’approche bond graph d´edi´ee `a la forme canonique il faut n´egliger le produit ∆A · ∆x et des termes d’ordre > 1 dans le d´eveloppement d’une ma- trice (I−M)−1 en s´erie. Comme d´emontr´e, les ´equations (5.a), (5.b) sont le point de d´epart pour d´eterminer des sensibilit´es sous forme symbolique. R´EF ´ERENCES [1] J. M. 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