Synthèse LQ pour le contrôle en vitesse d’un actionneur synchrone autopiloté accouplé directement à une charge mécanique incertaine

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-1:17227
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Résumé

Synthèse LQ pour le contrôle en vitesse d’un actionneur synchrone autopiloté accouplé directement à une charge mécanique incertaine

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1 Synth`ese LQ pour le contrˆole en vitesse d’un actionneur synchrone autopilot´e accoupl´e directement `a une charge m´ecanique incertaine S. Carri`ere∗†, S. Caux∗, M. Fadel∗ ∗Universit´e de Toulouse ; LAPLACE ; CNRS, INPT, UPS ; 2 rue Camichel, 31071 Toulouse Cedex France Email : carriere, caux, fadel@laplace.univ-tlse.fr †Auteur de liaison : carriere@laplace.univ-tlse.fr, +335 61 58 83 61 Abstract— Cet article pr´esente le contrˆole par retour d’´etat de la vitesse d’un actionneur synchrone entraˆınant une charge m´ecanique ´elastique incertaine sans r´educteur m´ecanique. Une approche physique pour la synth`ese de la commande mini- misant un crit`ere Lin´eaire Quadratique (LQ) est pr´esent´ee. Diff´erentes approches de calcul des coefficients sont expos´ees. Une solution utilisant certains degr´es de libert´e pour placer les pˆoles dominants et certains autres pour l’optimisation du crit`ere est d´etaill´ee. Des essais exp´erimentaux sur un banc test mettent en jeu non seulement le pilotage de la charge mais aussi l’auto-pilotage en courant de l’actionneur au travers de son convertisseur pilot´e en Modulation de Largeur d’Impulsion (MLI). Mots cl´es : Actionneur Synchrone, Charge ´elastique, Va- riation d’inertie, Contrˆole LQ, Placement de Pˆoles, Accouple- ment direct. I. INTRODUCTION L’actionneur synchrone est de plus en plus utilis´e aujour- d’hui puisque les structures `a aimants permanents au rotor lui conf`erent une solidit´e, une simplicit´e de maintenance int´eressante, une puissance massique ´elev´ee et surtout une grande pr´ecision en positionnement et en vitesse lorsque les courants sont li´ees avec la position du rotor. Des applica- tions pour la robotique, les machines outils, les enrouleurs, mais aussi des moteurs de traction pour v´ehicules ´electriques hybrides imposent de faire la synth`ese de la loi de com- mande en prenant en compte des profils de vitesse variables, des variations param´etriques (principalement inertielles ici) et l’entraˆınement direct de la charge pr´esentant toutefois un accouplement ´elastique. La dynamique de la r´eponse d´epend du syst`eme accoupl´e `a ce moteur et, si les param`etres de la charge varient, il y aura fatalement des variations de performance de la r´eponse. Il est donc n´ecessaire de trouver des lois de commande qui soient les moins sensibles possibles aux variations de param`etres et qui permettent de piloter, par l’interm´ediaire d’un convertisseur un actionneur synchrone [5], [7]. Depuis le d´ebut des ann´ees 70, plusieurs th´eories ont vu le jour pour atteindre ce but. Aujour- d’hui, dans le domaine de la commande robuste, nous pouvons lister quelques m´ethodes qui sont particuli`erement utilis´ees, la commande H∞, les techniques LPV (Lin´eaire `a Param`etres Variants), la commande CRONE (Commande Robuste d’Ordre Non Entier) et la commande Lin´eaire Quadratique (LQ) [2], [3], [6]. N´eanmoins, il s’agit souvent d’obtenir une robustesse en stabilit´e et non pas une robustesse en performance. Dans le cas ´etudi´e, nous devons, certes maintenir la stabilit´e du syst`eme asservi quelles que soient les variations d’inerties, mais de plus, obtenir un minimum de variation du temps de r´eponse et du d´epassement de la vitesse de la charge que nous cherchons `a imposer. La m´ethode H∞ ´etudi´ee en [3] est utilis´ee pour r´eduire la sensibilit´e du syst`eme aux bruits ext´erieurs via l’optimisation d’un r´egulateur. Cette m´ethode a ´et´e adapt´ee au contrˆole robuste en observant l’´evolution de fonctions de transfert sur la plage de variation du param`etre du syst`eme et en minimisant ses effets. Cette m´ethode permet d’obtenir de bons r´esultats mais n´ecessite une manipulation des ´equations et des connaissances math´ematiques approfondies pour ˆetre mise en œuvre. De plus, avec l’utilisation d’un algorithme d’optimisation, le concepteur de la loi de commande n’a que tr`es peu d’anticipation sur le r´esultat du point de vue des performances (temps de r´eponse, d´epassement...). Cette m´ethode travaille en fr´equentiel et cela ne permet pas de r´epondre pr´ecis´ement au crit`ere de contrˆole du transitoire du proc´ed´e. Depuis, avec l’utilisation des LMI (Linear Matrix Inequality) dans la m´ethode H∞, les recherches ont permis de g´en´eraliser l’utilisation de la m´ethode. Ces travaux ont permis de rajouter des contraintes aux syst`emes sur le placement des pˆoles via des ´equations de Lyapunov afin de restreindre la possibilit´e de placement dans certaines r´egions du plan com- plexe. Cela permet de contourner l’inconv´enient cit´e ci-dessus. Par contre, la complexit´e math´ematique pour la r´esolution en devient plus grande. Un des principaux d´efauts sur un syst`eme d’entraˆınement ´elastique, est que cette m´ethode ne fournit que des r´egulateurs d’ordre ´elev´e et des coefficients amenant des commandes dˆıtes ’`a grand gain’. Ce constat peut ˆetre fait ´egalement pour la commande CRONE [2]. La m´ethode LPV [8] est une transformation math´ematique du syst`eme afin de prendre en compte les effets des variations sur le syst`eme comme une perturbation ext´erieure d´ependante du temps. Ensuite, pour trouver un r´egulateur, nous pouvons soit appliquer la m´ethode H∞ avec les d´efauts d´ecrits ci- dessus, soit utiliser comme r´egulateur, un retour d’´etat qui mi- nimise un crit`ere. La complexit´e des outils `a mettre en œuvre en plus de ceux d´ecrits pr´ec´edemment fait que cette m´ethode n’est utilis´ee que pour des syst`emes complexes, on´ereux et e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 36 - 43 2 critiques. Par exemple dans le domaine de l’a´eronautique o`u la variation de masse du mobile impacte sur le com- portement du syst`eme asservi. Ne voulant pas d´eplacer le probl`eme de synth`ese du correcteur robuste vers une d´efinition math´ematique lourde et la mise en place d’algorithmes d’opti- misation ou de r´esolution de syst`emes d’´equations, nous allons privil´egier une m´ethode par minimisation d’un crit`ere d’erreur dont nous chercherons `a r´egler au mieux les param`etres pour satisfaire en plus, les conditions de robustesse en performance [1], [9]. Nous allons donc pr´esenter dans la partie II, la commande par retour d’´etat bas´ee sur la minimisation LQ. Dans la partie III nous allons pr´esenter diff´erentes m´ethodes de r´eglage pour obtenir la robustesse souhait´ee. Puis nous pr´esentons le banc test dans la partie IV avant de commenter les r´esultats obtenus pour l’immunit´e `a une perturbation et les r´eponses temporelles exp´erimentales en partie V. Enfin, des conclusions de cette ´etude seront donn´ees en partie. VI. II. COMMANDE PAR RETOUR D’´ETAT La commande Lin´eaire Quadratique assure pour un syst`eme `a son point nominal, de minimiser un crit`ere J exprim´e par (1) grˆace `a un retour d’´etat, o`u K est calcul´e par (2). J = ∞ 0 (XT QX + TT mRTm) · dt (1) K = R−1 B3 T augP (2) La minimisation du crit`ere se fait en r´esolvant l’´equation de Riccati `a coefficients constants (3). Cette r´esolution fait appel `a des m´ethodes relativement mieux connues et mieux ´etablies, y compris dans le milieu industriel. La r´esolution par Matlab c est facilit´ee par la pr´esence des fonctions de r´esolution lqg() ou lqr(). PA3aug + A3 T augP − PB3augR−1 B3 T augP + Q = 0 (3) La r´esolution se fait en choisissant les poids correspondants aux matrices Q et R et elle a besoin des param`etres connus du syst`eme (A3aug, B3aug constantes). Ce n’est donc pas une m´ethode robuste mais la minimisation de ce crit`ere permet d’obtenir de bonnes performances en marge de phase [1]. A. Mod`ele et structure de contrˆole m´ecanique Dans la phase de simulation nous avons mod´elis´e l’en- traˆınement ´elastique, Fig. 1, par le mod`ele `a deux-masses : l’une repr´esente la m´ecanique du moteur seul (indice m), l’autre la charge m´ecanique (indice l) reli´ees par un couple ´elastique Ksh, agissant en fonction de la diff´erence de posi- tion entre les 2 axes. Ce mod`ele ne pr´esente que les ´equations li´ees `a la m´ecanique que nous pouvons ´ecrire dans l’espace d’´etat de dimension 3 comme en (4) avec X = ωm ωl ∆θ T Tm ωm 1 Jms + − fm 1 s ∆θ Ksh fl 1 Jls Tl ωl + − − + − − Fig. 1: Le mod`ele 2-masses (m=moteur, l=charge) + − e u y + + + − x˙xxi KT c Ki B A C Maquette Fig. 2: Sch´ema de commande par retour d’´etat et int´egrale    ˙X =   −fm Jm 0 −Ksh Jm 0 −fl Jl Ksh Jl 1 −1 0   A X +   1 Jm 0 0   B Tm y = 0 1 0 C X (4) Nous cherchons `a piloter la vitesse de la charge en contrˆolant le couple qui lui est fournit. Nous devons donc ajouter une action int´egrale afin d’annuler l’erreur de r´egime permanent inh´erent `a la commande par retour d’´etat afin d’´etablir le sch´ema de commande complet de la Fig. 2 Dans ce cas nous avons bien entendu rajout´e une dimension et nous devons ´ecrire le syst`eme augment´e d’une dimension li´e `a l’int´egration Xi comme (5) :    X3aug = ωm ωl ∆θ Xi T ˙X3aug = A3 0 0 −1 0 0 A3aug X3aug + B3 0 B3aug Tm y = C3 0 C3aug X3aug (5) B. Mod`ele et structure de contrˆole complet Nous ne devons pas oublier que le couple est fourni `a vitesse variable pour un actionneur synchrone si les courants sont contrˆol´es, en amplitude et en phase quelle que soit la position. C’est l’alimentation en courant de la machine qui rend cela possible en pilotant le convertisseur. Nous choisissons une commutation par Modulation de Largeur d’Impulsion (MLI) les r´ef´erences de commutation ´etant fournies par une boucle interne de r´egulation des courants (Fig. 3). e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 36 - 43 3 ωref ωl Iq Onduleur MASAP Contrˆole de courant Position du rotor + − + − Iqref Tm Contrˆoleur de vitesse Contrˆoleur de courant G´en´eration MLI Mod`ele 2-masses Fig. 3: Boucles imbriqu´ees pour la r´egulation de vitesse Nous voyons donc apparaˆıtre des contraintes qui vont im- pacter sur les performances et sur les possibilit´es offertes pour la synth`ese du r´egulateur de vitesse. En effet, les tensions mais aussi les courants vont ˆetre limit´es en amplitude et en fr´equence du fait de la dynamique impos´ee dans cette boucle interne. Nous devons donc faire la synth`ese du r´egulateur de vitesse tout en respectant ces contraintes physiques de l’actionneur (couple limit´e et dynamique de variation limit´ee). La boucle de courant est r´egul´ee par un simple Proportion- nel Int´egral r´egl´e afin d’obtenir une bande passante de 210 Hz. La fr´equence de l’algorithme de commande est de 5kHz. La bande passante de la boucle de courant peut ˆetre augment´ee jusqu’`a 1500 Hz, mais de trop forts bruits de d´ecoupage nous conduisent `a une fr´equence plus basse. Lors de la synth`ese du r´egulateur, afin de choisir rapide- ment les coefficients, nous utiliserons en premier le mod`ele m´ecanique. Ensuite, un test sera effectu´e avec le mod`ele complet afin de valider le r´egulateur et de v´erifier le bon d´ecouplage des modes. Ici, la partie m´ecanique ne doit pas avoir une bande passante sup´erieure `a 20 Hz. Comme ´enonc´e pr´ec´edemment, la principale difficult´e est de trouver les bonnes pond´erations `a utiliser dans les matrices Q et R pour que cela donne au syst`eme la dynamique et la robustesse escompt´ees. Ces matrices, avec ce mod`ele, seront d’ordre 4 pour Q et R sera scalaire. III. SYNTH `ESE LQ ROBUSTE Les points essentiels pour juger les r´egulateurs sont : leur robustesse en termes de performance (temps de r´eponse, d´epassement), leur facilit´e de synth`ese et la complexit´e in- trins`eque du r´egulateur pour sa programmation sur un syst`eme r´eel. La commande lin´eaire quadratique nous a paru la can- didate id´eale, mais, afin de trouver les coefficients optimaux de pond´eration, plusieurs m´ethodes sont mises en place. Elles sont tr`es h´et´erog`enes, allant de la plus simple par it´eration, LQ3 (lorsque nous savons quel comportement en particulier am´eliorer), jusqu’`a l’utilisation d’algorithmes d’optimisation sur crit`ere ´energ´etique, NRG. D’autres m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´ees pour contourner ce probl`eme soit en d´efinissant un temps de mont´ee [4] o`u en plac¸ant directement les pˆoles, LQP. A. Crit`ere `a 3 degr´es de libert´e - LQ3 En premier lieu, nous nous int´eresserons `a un r´egulateur qui ne dispose que de trois param`etres de r´eglages. Ceci afin de pouvoir le comparer avec un PID disposant du mˆeme nombre de degr´e de libert´e. L’autre effet est de diminuer le nombre de degr´e de libert´e `a notre disposition et ainsi diminuer le nombre d’it´eration n´ecessaire pour obtenir les performances d´esir´ees. Plage de d´eplacement autoris´ee Variation de Jlmin vers Jlmax Fig. 4: D´eplacement des pˆoles en fonction de Jl Cela permet de voir l’influence des coefficients sur la r´eponse et l’apport d’une telle loi de commande par retour d’´etat `a un r´egulateur polynˆomial. Cette synth`ese utilisera donc seulement une infime partie des coefficients disponibles (2+1 au lieu de 16 + 1). Nous conservons ici un degr´e de libert´e sur l’int´egrale {β} (r´egime permanent), un contrˆole proportionnel sur la grandeur de la vitesse de la charge {α} et un dernier sur la sollicitation de la commande {γ} pour obtenir (6). R = γ Q =     0 0 0 0 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β     (6) Dans un premier temps, nous regarderons l’´evolution d’un param`etre par rapport aux autres (principe de la variable unique). Nous fixerons pour cela tous les coefficients `a la mˆeme valeur puis le param`etre ´etudi´e variera afin de mesurer l’effet de sa variation sur toute la plage d’inertie. Dans un second temps, nous fixerons un ´ecart entre deux co- efficients et le troisi`eme variera, nous chercherons `a constater par ces tests, l’influence d’un ratio entre deux variables sur les performances. Cette ´etude par it´eration assist´ee par ordinateur est facilit´ee par la dimension raisonnable du syst`eme et les performances actuelles de l’informatique de simulation. Des valeurs num´eriques sont donn´ee, elles sont normalis´ees, c’est `a dire que les autres valeurs valent 1. Nous pouvons a posteriori conclure : – Le param`etre γ correspond `a la commande, comme nous nous y attendions, si la valeur de γ est faible, la r´eponse peut ˆetre plus rapide car nous autorisons la commande `a avoir de fortes amplitudes. Nous pouvons remarquer que le pˆole dominant bouge peu. Nous en d´eduisons que la variation de ce coefficient ne modifie que l´eg`erement la r´eponse du syst`eme. Par contre l’augmentation de ce coefficient, d´eplace l’ensemble des pˆoles vers l’origine, le syst`eme peut devenir instable si un de ces pˆoles passe dans le demi-plan droit (Fig. 4). Le pˆole dominant devient de plus en plus lent aussi. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 36 - 43 4 – Le param`etre α est celui li´e `a la vitesse de la charge. Lorsque ce param`etre grandit, nous diminuons la dyna- mique de la vitesse de la charge. Pour avoir un temps de r´eponse acceptable, il convient donc de prendre ce coefficient petit. Lorsque ce coefficient `a une valeur normalis´eeinf´erieure `a 0, 14 ici, nous pouvons remarquer que le syst`eme devient oscillant et moins robuste. Pour le cas o`u nous ne voulons pas de d´epassement, il faut prendre une valeur entre 0, 14 et 0, 3, ceci d´ependant de la robustesse souhait´ee. En conclusion : diminuer ce coefficient rend le syst`eme plus rapide mais aussi moins robuste. – Le param`etre β est li´e `a l’int´egrateur rajout´e dans le retour d’´etat afin d’annuler l’erreur en r´egime permanent. Quantitativement, c’est le param`etre qui influe le plus sur la r´eponse tout en la gardant stable. Ce param`etre doit ˆetre grand pour acc´el´erer le syst`eme. Une faible valeur de ce param`etre rend le syst`eme robuste mais le ralentit ´enorm´ement. Pour notre maquette et avec les param`etres choisis, il ne faut pas avoir βnormalis´e > 51 car le syst`eme devient oscillant et nous avons une grande perte de robustesse. Les valeurs comprises entre 15 et 51 permettent d’avoir une r´eponse du type premier ordre (sans d´epassement) avec une robustesse variable suivant la rapidit´e voulue. Avoir γ petit permet de ne pas p´enaliser le syst`eme au niveau du temps de r´eponse et rend le syst`eme plus robuste par rapport aux variations de l’inertie. Vers γnormalis´e = 5, 2, le syst`eme peut devenir oscillant. Nous pouvons aussi noter que la diminution de l’inertie d´eplace les pˆoles complexes conjugu´es de grand module vers le cot´e `a partie r´eelle positive du plan. Pour ´eviter que le syst`eme ne devienne instable avec la variation de l’inertie, le calcul des r´egulateurs sera fait pour l’inertie minimale. De plus, nous pouvons mettre en ´evidence les relations sp´ecifiques `a notre syst`eme en tenant compte de la dynamique de la boucle interne sur les courants (7) :    α γ < 50 β γ < 20000 (7) R = 10 Q =     0 0 0 0 0 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30000     KT = 0.426 1.662 122.872 −54.772 (8) Apr`es cette synth`ese relativement longue, le contrˆoleur obtenu (8) est implant´e et la r´eponse `a un ´echelon de vitesse ainsi que sa fonction de sensibilit´e sont compar´ees aux per- formances obtenues avec les autres contrˆoleurs (cf Fig. 7,8,9 et Table. II,III) : B. Crit`ere ´energ´etique - NRG Le r´egulateur lin´eaire quadratique minimise un crit`ere que nous pouvons assimiler `a l’´energie (9) en mettant cette ´equation sous forme matricielle. J = 1 2 (3LcI2 + Jmω2 m + Jlω2 l + Kt∆θ2 ) (9) Avant de comparer les r´egulateurs calcul´es pour assurer des performances temporelles, trouvons le retour d’´etat qui, pour un mˆeme temps de r´eponse (0.1s), minimise l’´energie mise en jeu sur Xaug et U. Dans ce cas, la matrice Q devra ˆetre l’image des ´energies cin´etiques et potentielles du syst`eme et la matrice R l’image de l’´energie magn´etique li´ee au couple. L’int´egrateur n’est pas un ´etat physique du syst`eme donc, il n’entre pas en jeu dans la consommation d’´energie. C’est lui par contre, qui impose le temps de r´eponse. Ce coefficient reste le seul coefficient `a trouver, la d´etermination se fait par it´erations successives. Nous obtenons les matrices et les gains de retour d’´etat (10) : R = 3Lc 2 Q =     Jm 0 0 0 0 Jlmin 0 0 0 0 KT 0 0 0 0 6     KT = 1.116 1.184 525.558 −62.702 (10) Le principe de la commande LQ est de minimiser un crit`ere quadratique qui s’apparente dans notre cas `a la somme des ´energies v´ehicul´ees par chaque variable d’´etat. Minimiser toutes les ´energies de transfert de l’entr´ee vers la sortie am`ene dans ce cas, une r´eponse n’assurant pas vraiment la robustesse recherch´ee (Table. II,III). N´eanmoins, les transferts d’´energies ´etant minimis´es, la puissance instantan´e maximale est la plus petite possible. Cela assure un dimensionnement r´eduit des pr´eactionneurs et ´evite une dissipation importante lors d’un arrˆet d’urgence. Cependant, les performances sont uniquement fix´ees par le coefficient sur l’int´egrale Xi donc, l’obtention d’une m´ethode plus souple avec plus de degr´es de libert´e permet de mieux param´etrer la r´eponse (cf. section. III-A). La m´ethode suivante permet en plus de connaˆıtre a priori le temps de r´eponse ainsi que le d´epassement au point nominal par une d´efinition sp´eicfique de la matrice Q. C. Crit`ere par placement des pˆoles - LQP Dans cette section, les matrices Q et R sont d´efinies par une proc´edure avec un placement de pˆole dominant (placement de pˆole et gestion de l’actionneur). Cette nouvelle th´eorie m´elange les avantages de maintien des performances du crit`ere Lin´eaire Quadratique avec un placement de pˆole dont la majorit´e des ing´enieurs se servent. Le grand avantage est de connaˆıtre au point nominal la forme de la r´eponse afin d’acc´el´erer la synth`ese de la commande. Cette m´ethode est th´eoriquement prouv´ee dans [1] et utilis´ee dans le cadre d’un syst`eme de positionnement en [6], elle se met en œuvre avec les calculs suivants : En premier lieu, les matrices sont de la forme (11). R = 1 and Q = ρddT (11) e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 36 - 43 5 Avec les hypoth`eses du r´egulateur LQ, pc and p0 ´etant les polynˆomes de la boucle ferm´ee et ouverte, impliquant : 1 − KT (sI − A3aug)−1 B3aug = pc(s) p0(s) (12) L’´equation de Riccati (3) est modifi´ee avec (2), (12) et est pr´e et post multipli´ee par BT 3aug(−sI − AT 3aug)−1 et (sI − A3aug)−1 B3aug donnant : 1 + BT 3aug(−sI − AT 3aug)−1 ρddT (sI − A3aug)−1 = [I − BT 3aug(−sI − AT 3aug)−1 K] [I − KT (sI − A3aug)−1 B3aug] (13) Les d´eductions suivantes d´ecoulent de (12) et de l’optimisation LQ : pc(s) p0(s) ≥ 1 ⇐⇒ pc(−s)pc(s) − p0(−s)p0(s) ≥ 0 (14) La quantit´e des membres de gauche est l’´evaluation d’un polynˆome e(s) sur le plan complexe avec e(s) = e(−s) (14). Pour un tel polynˆome, toute valeur donnant un r´esultat nul est sym´etriquement positionn´ee par rapport `a l’axe r´eel. En cons´equence, il est possible de prouver que e(s) = ±m(s)m(−s) avec m(s) ayant des coefficients r´eels et ses racines dans le demi plan complexe gauche. Nous en d´eduisons (15) : pc(−s)pc(s) p0(−s)p0(s) = 1 + m(−s)m(s) p0(−s)p0(s) (15) pc et p0 sont des polynˆomes moniques de degr´e n si n = dim(A3aug). Alors, e(s) peut simplement avoir un degr´e 2n− 2 et m(s), n − 1. Finalement, m(s)/p0(s) est propre. Donc, un vecteur d existe r´esolvant l’´equation (16) : m(s) p0(s) = dT (sI − A3aug)−1 B3aug (16) En m´elangeant (16) et (12) dans (15), (13) est reconstruite d´emontrant la m´ethode. Si le coefficient ρ est pris en condition, (15) est modifi´ee et devient (17) : pc(−s)pc(s) = p0(−s)p0(s) + ρm(−s)m(s) (17) Maintenant, deux cas surviennent suivant la valeur de ρ : – ρ → 0 : Le polynˆome tend vers celui de la boucle ouverte. N´eanmoins, une chose est int´eressante, KT (sI− A3aug)−1 B3aug → 0 ⇒ K = 0. Cela implique des coefficients de retour d’´etat faible. – ρ → ∞ : Dans ce cas les pˆoles tendent vers ceux de m(s), donc ceux d´esir´es. Cependant, un pˆole est laiss´e libre et tend vers −∞. Bien sˆur, ce pˆole ne change pas la dynamique mais le vecteur K contient des gains de plus en plus grands, sensibilisant le syst`eme aux bruits ou le rendant non lin´eaire en saturant l’actionneur. Suivant cette th´eorie une m´ethode de synth`ese est d´eduite : 1) En premier, les (n − 1) pˆoles de la boucle ferm´ee sont choisis. 2) Ensuite, le vecteur d est calcul´e avec (16) et Q est d´eduite de (11) D´etecteur de positionMASAP Charge Accouplement - Inertie variable - Frein Fig. 5: La maquette - MASAP et charge complexe entraˆın´ee 3) Ensuite, ρ varie pour atteindre les performances voulues. ρ est assez grand pour correspondre au cahier des charges et pour assurer une valeur dix fois plus grande au pˆole tendant vers l’infini (maintien de la dynamique). ρ est aussi limit´e en valeur haute par les gains de la commande. La dynamique du syst`eme en boucle ouverte limite le pˆole dominant `a −30 rd.s−1 pour ´eviter de trop grand gains ou une trop forte diff´erence de r´eponse dans l’espace de variation consid´er´ee. Apr`es avoir choisi une valeur de ρ permettant le placement d’un pˆole dominant et du d´ecouplage avec le pˆole tendant vers l’infini, le contrˆoleur prend les valeurs donn´ees dans (18) : R = 1 ρ = 4960 Q =     28e−4 −0.11 −3.82 3.33 −0.11 4.72 159.67 −13.8e5 −3.82 159.67 5394 −4661 3.30 −137.97 −4661 4027     KT = 0.523 1.796 183.515 −63.464 (18) En plus de choisir la dynamique par le pˆole dominant et de converger rapidement vers le r´esultat, L’optimisation LQ procure `a la m´ethode une marge de phase minimale permettant de garder les performances constantes sur une plage de variation (voir Fig. 7,8,9 et Table. II,III). Un autre avantage est l’augmentation des gains avec ρ donnant un crit`ere de limitation de plus `a la m´ethode facilitant la synth`ese. IV. SP ´ECIFICATION DE LA MAQUETTE Avant d’exploiter les r´esultats, la maquette montr´ee Fig. 5 est d´ecrite. Elle a ´et´e construite de mani`ere `a r´eagir comme les syst`emes pris en exemple en introduction, avec les param`etres cit´es dans la Table. I. De gauche `a droite, un moteur synchrone `a aimants permanents (MASAP) est accoupl´e directement `a la charge au travers de l’accouplement souple. Deux roues d’inerties amovibles ainsi qu’un frein `a poudre composent la charge variable. Le moteur est aliment´e par un onduleur triphas´e poss´edant une fr´equence de d´ecoupage de 15 kHz. La proc´edure exp´erimentale est contrˆol´ee via une in- terface DSpace. Les programmes sont r´ealis´es grˆace `a MATLAB/Simulink c donnant simplicit´e, facilit´e et rapidit´e de programmation par adaptation des fichiers de simulation e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 36 - 43 6 Param`etre de la MASAP Rs = 0.6 Ω Kc = 0.83 N A Lc = 1.9 mH fm = 6 · 10−5 Nm.s rd pp = 4 (paires de pˆoles) Jm = 74 · 10−5 kg.m2 Param`etres de la charge fl = 8.5 · 10−3 Nm.s rd Ksh = 2000 Nm rd Jlmin = 0.006 kg.m2 Jlmax = 0.038 kg.m2 PI (contrˆoleur de courant) Kp = 1.533 Ti = 0.0024 TABLE I: Param`etres de la maquette + − e u y Wu Wy Contrˆoleur Syst`eme+ − + − Fig. 6: Sch´ema bloc de l’´etude de sensibilit´e `a l’exp´erimentation. Deux boucles (courant et vitesse) sont programm´ees pour d´ecoupler le syst`eme ; pour ´eviter le sur ou sous-´echantillonnage, deux p´eriodes d’´echantillonnage sont choisies : l’une de 1.34 µs pour le contrˆole de courant et l’autre `a 1.067 ms pour la boucle m´ecanique. Cinq capteurs ”autorisent” les mesures : – Un capteur de tension du bus continu pour le calcul du rapport cyclique. – Deux capteurs de courant de ligne pour le contrˆole en couple. – Un r´esolver pour la position de l’axe moteur d’une pr´ecision de 12 bits pour l’auto-pilotage du moteur. – Un codeur incr´emental de 3600 points par tour pour la mesure de la position de la charge. Les capteurs de courant et de tension sont branch´es sur un convertisseur 10 bits. Les vitesses sont d´eriv´ees des positions. Les bruits imposent de filtrer par une moyenne glissante sur sept mesures. Cependant, les r´eponses du syst`eme corres- pondent aux simulations v´erifiant l’hypoth`ese de non effet du retard. N´eanmoins, la vitesse utilis´ee est toujours bruit´ee et ne permet pas d’implanter la m´ethode NRG dont le coefficient sur l’´ecart de position (K∆θ = 525) d´estabilise la boucle ferm´ee. V. R´ESULTATS Dans cette section, chaque m´ethode est compar´ee dans une ´etude fr´equentielle (sensibilit´e aux bruits) et une ´etude temporelle (r´eponse `a un ´echelon de vitesse et `a un couple de perturbation) ´etablissant les avantages et les inconv´enients de chacune. A. Sensibilit´e `a une perturbation Comme montr´e sur Fig. 6, trois fonctions de sensibilit´e peuvent ˆetre ´etudi´ees : y u , y wu , y wy . Une premi`ere ´etude r´ev`ele que uniquement y u autorise une comparaison critique. La sensibilit´e est compar´ee pour l’inertie minimale. Les sch´emas auraient ´et´e identiques avec des r´esonances moins fortes. La figure 7 diff´erencie deux secteurs : -80 -60 -40 -20 0 20 40 100 101 102 103 104 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 LQ3 LQP NRG PID Frequence (rd.s−1 ) Gain(dB)Phase Fig. 7: Diagramme de Bode de la vitesse charge sous pertur- bation avec l’inertie minimale – en basse fr´equence (entre 10 et 70 rd.s−1 ) correspondant au plus grand gain des pˆoles dominants de la partie dynamique. – `a plus haute fr´equence, o`u le comportement est due `a l’in- teraction des deux masses avec l’accouplement ´elastique. Cette r´esonance ´evolue avec la raideur. Plus celle-ci est basse, plus la fr´equence de r´esonance sera faible. Sur le syst`eme pr´esent´e, cette fr´equence est trop grande pour avoir un effet notable. La figure 7 permet de valider le fait que tous que les r´egulateurs `a base de retour d’´etat ont la mˆeme r´eponse fr´equentielle r´eduisant les bruits. A contrario, le PID amplifie les bruits et devra ˆetre pr´ecautionneusement synth´etis´e pour des syst`emes sous perturbation ´electromagn´etique. En haute fr´equence, deux r´egulateurs se diff´erencient des autres. Le PID poss`ede la plus grande r´esonance et est donc plus sensible aux bruits, contrairement au r´egulateur NRG o`u cette r´esonance est annul´ee. Cet effet est engendr´e par le choix du crit`ere. En effet, celui-ci repr´esente les variations d’´energie cin´etique et potentielle. En cons´equence, une grosse r´esonance am`enerait des oscillations de grande amplitude p´enalisant ce crit`ere. N´eanmoins, cet effet demande de grands gains de commande et rend ce r´egulateur instable sur la maquette. Mais, ceci pourrait ˆetre int´eressant pour des syst`emes `a raideur moins importante o`u cela engendrerait des gains plus faibles et annulerait l’effet n´efaste de cette r´esonance. B. Comparaison temporelle Dans ce chapitre, toutes les m´ethodes seront exp´erimentalement test´ees (sauf NRG dont les coefficients empˆechent le test). Avant comparaison, nous pouvons noter qu’une oscillation `a 50 Hz est observable pour l’inertie minimale (Fig. 9). Cette perturbation est cr´e´ee par la modulation MLI et non filtr´ee par le syst`eme m´ecanique. La fr´equence de coupure avec l’inertie maximale permet par contre le filtrage de ce bruit. Deux tests diff´erents sont accomplis, chacun avec l’iner- tie minimale et maximale. Les r´egulateurs sont donc compl`etement d´efinis : e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 36 - 43 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 5 10 15 20 25 PID LQ3 LQP Vitessecharge(rd.s−1) Time (s) Perturbation de 5Nm Fig. 8: R´eponse exp´erimentale avec l’inertie minimale `a un ´echelon de vitesse puis un ´echelon de couple `a 0, 4s – ´Echelon de vitesse. Le temps de r´eponse et le d´epassement sont identifi´es. – ´Echelon de couple de perturbation. La qualit´e du rejet de perturbation est v´erifi´e En premier, les r´eponses sont compar´ees `a inertie minimale. Le PID est plus rapide que les retours d’´etat (2,5 fois) Fig. 9, mais donne un d´epassement de 10% dˆu `a une saturation de la commande alors que les retours d’´etat restent dans le domaine lin´eaire. Le LQ3 est le plus lent. Compar´e aux autres, le coefficient sur l’int´egrateur est plus faible ce qui explique cette cons´equence. N´eanmoins, le gain `a forte fr´equence est plus ´elev´e pour LQP provoquant une oscillation `a 50 Hz plus importante. Sur Fig. 9, `a 0, 4s, un ´echelon de couple de perturbation est soumis au syst`eme. Le PID a les plus mauvaises performances (erreur de vitesse 2 fois plus grande) et met en avant un des avantages des retours d’´etat ; Ils sont moins sensibles aux perturbations ext´erieures. Maintenant, les mˆemes essais sont r´ealis´es pour l’inertie maximale Fig. 8. Les retours d’´etat am`enent aux mˆeme commentaires, LQ3 est plus lent. Le PID est maintenant le plus lent mais maintient un d´epassement ´egal `a celui des retours d’´etat. L’entr´ee de contrˆole est toujours satur´ee durant le transitoire. En fait, les retours d’´etat pourraient ˆetre acc´el´er´es puisqu’ils restent en r´egime lin´eaire quelle que soit l’inertie. Le couple est limit´e `a 16 Nm, deux fois le couple nominal de la machine, donc, cette non saturation implique une consommation d’´energie moins importante pour de meilleures performances. Les r´eponses `a un ´echelon de couple Fig. 8 am`ene aux mˆemes commentaires. L’erreur est juste moins importante. L’inertie ´etant plus grande, elle peut stocker plus d’´energie et ainsi mieux lisser la r´eponse. En r´esum´e, la Table. II montre les performances de chaque m´ethode sous variation d’inertie. En d´epit de son temps de r´eponse plus rapide, le PID poss`ede de moins bonnes performances sous variation que les autres r´egulateurs. Les retours d’´etat sont pratiquement similaires entre eux. LQP poss`ede globalement les meilleures performances. Une grande diff´erence provient de leur synth`ese (difficult´e, temps requis, valeur des gains). Ces comparaisons sont moins quantifiables, cependant, la Table. III donne des notes `a chacun d’eux ( 1 - Bien, 2 - Moyen, 3 - Insuffisant ). NRG a une mauvaise note pour ses gains car leur trop forte valeur amplifie les bruits 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 5 10 15 20 25 PID LQ3 LQP Vitessecharge(rd.s−1) Temps (s) Perturbation de 5Nm Fig. 9: R´eponse exp´erimentale avec l’inertie maximale `a un ´echelon de vitesse puis un ´echelon de couple `a 0, 4s Temps de r´eponse minimal (ms) Variation du temps de r´eponse (%) D´epas- sement maximal (%) Erreur de pertur- bation (%) Variation de l’erreur (%) PID 40 120 8.3 21.8 2.8 LQ3 73 92 5 7.5 0.5 NRG LQP 70 63 5 7.5 1.2 TABLE II: Performance et des contrˆoleurs de mesures. Le temps de synth`ese est plus grand pour les contrˆoleurs avec de nombreux degr´es de libert´e (D.D.L.)(LQ3, PID). Au final, LQP et NRG ont les meilleures notes car leur synth`ese avec soit des ´el´ements du mod`ele soit un placement de pˆole est plus ais´e. VI. CONCLUSION Ce travail d´ecrit trois synth`eses simples, robustes avec comparaison des performances de retours d’´etat sur un syst`eme souple avec des variations d’inertie entraˆın´e directement par une machine synchrone `a aimants permanents. Identiquement aux autres ´etudes, le PID ne maintient pas les performances. La mod´elisation avec les espaces d’´etat permet la synth`ese de r´egulateurs plus performants tel que la synth`ese lin´eaire quadratique qui poss`ede des caract´eristiques int´eressantes en terme de robustesse. De plus elle maintient une implantation simple sur syst`eme r´eel. La premi`ere m´ethode (LQ3) a un temps de d´eveloppement cons´equent et ne m`ene pas `a un optimum. La minimisation de l’´energie du syst`eme (NRG) est avantageuse pour l’annulation des oscillations dues `a la raideur mais ne laisse pas d´ecider de la dynamique du syst`eme. Par contre, la derni`ere m´ethode (LQP) est plus adapt´ee `a Perfor- mance D.D.L. Valeur des gains Temps de synth`ese Total PID 3 3 2 3 11 LQ3 1 3 1 3 8 NRG 2 1 3 1 7 LQP 1 3 1 1 5 TABLE III: Notation des contrˆoleurs (1 Bonne, 2 Moyenne, 3 Insuffisante)(Un total faible procure un bon contrˆoleur) e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 36 - 43 8 l’industrie car elle atteint rapidement les crit`eres fix´es tant en performance qu’en robustesse. De plus, l’utilisation d’un placement de pˆole fr´equemment utilis´e par les ing´enieurs pour obtenir les matrices Q et R lui conf`ere un avantage de plus donnant une m´ethode utilisant les outils industriels actuels avec une optimisation apportant plus de robustesse au syst`eme. REFERENCES [1] B. Anderson and J. Moore. Optimal Control - Linear quadratic methods. Prentice Hall, 1989. [2] S. Caux, D. Alejo, and M. Fadel. Crone speed controller for synchronous drives. Speedam, Symp. on Power, Electronics, Electrotech., Autom. and Motion, 2000, Ischia, Italy. [3] Mahmoud Chiali and Pascal Gahinet. 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