Commande CRONE de systèmes multi-entrées multi-sorties non-carrés retardés

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-1:17225
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Résumé

Commande CRONE de systèmes multi-entrées multi-sorties non-carrés retardés

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Commande CRONE de systèmes multi- entrées multi-sorties non-carrés retardés1 DOMINIQUE Nelson Gruel, PATRICK Lanusse, ALAIN Oustaloup Université de Bordeaux - Laboratoire IMS - UMR 5218 CNRS 351 cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France TEL : +33 (0)540.003.627 dominique.nelson@ims-bordeaux.fr 1 Cet article a été publié à la conférence Internationale Francophone d’automatique IEEE CIFA’08 Bucarest Résumé— La commande robuste d’ordre non-entier (CRONE) est ici étendue aux systèmes multivariables non-carrés et retardés. La méthodologie proposée est basée sur la préparamétrisation non-entière complexe de la matrice de boucle ouverte nominale. Cette matrice est choisie diagonale pour le nominale, une optimisation de ses éléments permet d’assurer le découplage des sorties pour l’ensemble des procédés reparamétrés et donc d’obtenir la boucle ouverte fractionnaire idéale, β0(s). Finalement, le régulateur entier défini à partir du produit G† (s).β0(s) ou G† (s) est l’inverse généralisée, est obtenu par identification fréquentielle. Dans notre cadre d’étude, l’inverse généralisée de G0(s) possède des termes en exponentielles qui, si ils ne sont pas pris en compte entraineraient l’instabilité et la non réalisabilité du régulateur. Il est donc nécessaire dés la préparamétrisation de la boucle ouverte d’intégrer certains éléments de G0(s) et G† (s) de manière à rendre le régulateur stable et réalisable. Un exemple illustre cette approche Mots clés— CRONE, multivariable, non-carré, retard pur. I. INTRODUCTION Nous vous proposons ici d’étendre la Commande Robuste d’Ordre Non-Entier aux systèmes multi-entrées multi-sorties retardés (MIMO retardés). Ce type de système peut avoir plus d’entrées (n) que de sorties (m) ou plus de sorties que d’entrées ; le cas ou le nombre d’entrées est égal au nombre de sorties (m=n) étant un cas particulier. Les systèmes MIMO sont très présents dans le milieu industriel chimique et ont fait l’objet de nombreuses études. Ces études peuvent être regroupées en trois catégories: 1) Les approches basées sur la recherche d’une matrice découplante, D(s) placée entre le régulateur K(s) et le procédé G(s). Cette matrice permet de simplifier la forme du régulateur et donc sa conception. En effet, en découplant certaines sorties par rapport a certaines entrées, des éléments de la matrice de transfert du régulateur peuvent être mis à zéro. 2) Les approches basées sur la suppression d’une entrée ou d’une sortie afin de rendre le système carré. Il a été montré que rendre un système MIMO carré entrainait un surcoût lors de l’implémentation et imposait une limitation des performances [1 et 8]. 3) Les approches basées sur l’utilisation de l’inversion généralisée ou inversion de Moore-Penrose pour rechercher le régulateur K(s) [1, 4 et 7]. Le but de la stratégie CRONE pour la commande des systèmes MIMO est de rendre robuste les performances dynamiques de la matrice de boucle fermée à travers le maintien des facteurs d’amortissements ou de résonances [5]. Pour ce faire elle utilise l’opérateur intégro-différentiel d’ordre non-entier, s-α avec α complexe, pour définir la matrice de transfert en boucle ouverte nominale, β0(s)=G(s).K(s) (figure 1): y(t) N (t)m u(t) - + β0(s) + d (t)u + d (t)y + (t) G(s)K(s) ydes Fig.1: Schéma fonctionnel de la commande CRONE multi- entrées multi-sorties K(s) est ensuite défini par le produit G† (s).β0(s) ou G† (s) est l’inverse généralisée de G(s). La méthodologie proposée fait donc partie de la troisième catégorie. Chaque élément de K(s) est finalement synthétisé par identification fréquentielle. En complément des approches standards de commande des systèmes multivariables, l’approche CRONE permet une synthèse de régulateurs robustes prenant en compte les incertitudes portant sur le système à commander sans aucune surévaluation. Cet article est organisé de la manière suivante : la section 2 présente la théorie mathématique de l’inversion généralisée, la section 3 présente l’extension de la stratégie CRONE aux systèmes non-carrés retardés. La quatrième section est constituée d’un exemple d’application. II. UN PEU DE MATHEMATIQUE Soit l’équation: (1)C,C,Cavec xnmnm AybAyb ∈∈∈= Moore (1920) et Penrose (1955) ont montré qu’il existait une solution à cette équation de la forme y=A† b où A† est la matrice pseudo-inverse de Moore-Penrose. Dans le cas où m=n et A non singulière, A† =A-1 et pour, m≠ n le thèorème de Wiberg [9] permet d’affirmer l’unicité de la solution. Théorème 1[9]: Soit l’équation (1), définissant y0=A† b. Soit y1∈{y | ||Ay-b||2≥ ||Ay0-b||2 et y≠ y0} si ||Ay1-b||2=||Ay0-b||2 alors ||y1||2>||y0||2. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 21 - 28 Quand m>n (plus de sortie que d’entrée) la solution de l’équation (1) est l’unique A† qui minimise ||b-Ay||. En effet ayant plus de degré de liberté que d’équation il est impossible de trouver une solution exacte. A† est la matrice qui permet d’avoir Ay la plus proche, au sens des moindres carrés, de la valeur de b désirée. Quand m