Synthèse d’une Commande Stabilisante par Retour d’Etat de Systèmes Linéaires à Retard

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-1:17224
DOI :

Résumé

Synthèse d’une Commande Stabilisante par Retour d’Etat de Systèmes Linéaires à Retard

Auteurs

Sur l’étude du processus d'écriture à la main. Approches classiques et non conventionnelles
Sur l’étude du processus d'écriture à la main. Approches classiques et non conventionnelles
Sur l’unicité de la réponse d’un réseau d’énergie électrique en régime de défauts
Optimisation multicritère par Pareto-optimalité de problèmes d’ordonnancement en tenant compte du coût de la production
Stabilités Comparées de Systèmes Non Linéaires et Linéarisés Basées sur une Description Redondante
Les réseaux de neurones. Application à la modélisation et à la commande des processus
Les réseaux de neurones. Classification
Les réseaux de neurones. Présentation
Stabilité et stabilisation de systèmes discrets à retard
Sur la commande par mode glissant d’un convertisseur multicellulaire série
Recherche automatique de l’architecture d’un réseau de neurones artificiels pour le credit scoring
Chiffrement Partiel des Images Basé sur la Synchronisation de Systèmes Hyperchaotiques en Temps Discret et la Transformée en Cosinus Discrète
Synthèse d’une Commande Stabilisante par Retour d’Etat de Systèmes Linéaires à Retard
Stratégies de Commande de Systèmes Manufacturiers à Contraintes de Temps Face aux Perturbations Temporelles
Etude de la Stabilité d’une Classe de Systèmes de Commande Floue de type Mamdani
Nouvelles conditions suffisantes de stabilisabilité de processus échantillonnés non linéaires
Modélisation multi-physiques d’un actionneur linéaire incrémental pour la motorisation d’une pousse-seringue
Performances comparées de méthodes de commandes par mode de glissement et par platitude d’un papillon motorisé
Etude des Incertitudes dans les Ateliers Manufacturiers à Contraintes de Temps
Modèles discrétisés du système d’écriture à la main par la transformation d’Euler et par RLS
Technique proposée pour le déchiffrage dans un système de transmission sécurisée
Stabilisation de systèmes à retard par un régulateur du premier ordre
Détermination d’attracteurs emboîtés pour les systèmes non linéaires
Modélisation par Réseaux de Petri d’une ligne de traitement de surfaces mono-robot/multi-produits
Domaine de stabilité indépendante du retard d'un système linéaire à commande retardée
Sur le credit scoring par les réseaux de neurones artificiels
Sur l'analyse et la synchronisation de systèmes chaotiques Chen
Comparaison entre les EP et les CF pour l’Optimisation des Systèmes Dynamiques Hybrides
Algorithmes génétiques sequentiels pour la résolution de problèmes d’ordonnancement en industries agroalimentaires
2011-01 04-eSTA-V26.pdf

Métriques

61
19
176.47 Ko
 application/pdf
bitcache://5f0b3fefddbebed6a4a1e18253ee84e0f65954d3

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2009-1/17224</identifier><creators><creator><creatorName>Mohamed Benrejeb</creatorName></creator><creator><creatorName>Sami Elmadssia</creatorName></creator><creator><creatorName>Karim Saadaoui</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Synthèse d’une Commande Stabilisante par Retour d’Etat de Systèmes Linéaires à Retard</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2016</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Wed 3 Aug 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Wed 3 Aug 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Fri 20 Jul 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">5f0b3fefddbebed6a4a1e18253ee84e0f65954d3</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>28984</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

1 Synthèse d’une Commande Stabilisante par Retour d’Etat de Systèmes Linéaires à Retard ELMADSSIA S., SAADAOUI K. et BENREJEB M. Unité de Recherche LARA- Automatique. Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis, BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis-Tunisie sami.elmadssia@enit.rnu.tn , karim.saadaoui@enit.rnu.tn et mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Résumé—Cet article propose une méthode de détermination du vecteur gain de retour d'une commande par retour d'état, pour un type de système à retard, basée sur une représentation d'état utilisant une matrice de forme en flèche de Benrejeb. Cette représentation a permis de rendre plus pratique l'application des critères de stabilité indépendants du retard par une détermination aisée du vecteur gain de retour. Un cas d'application est traité pour illustrer la mise en oeuvre de la méthode proposée. Mots-clés: Système linéaire à retard, Retour d'état, Matrice de forme en flèche de Benrejeb, Stabilisation, Gain de retour. I. INTRODUCTION Le phénomène du retard apparaît au niveau de plusieurs processus industriels, économiques et biologiques. Il vient essentiellement suite à la transmission de l'information, de l'énergie et du transfert de la matière [1] et [2]. Il peut intervenir aussi dans la formulation des systèmes linéaires de grande dimension, telle que, l’ interconnexion en série de plusieurs systèmes dynamiques d'ordre réduit, une série de réservoirs ou une queue des voitures, par exemple [3]. La présence du temps de retard dans un processus physique peut provoquer plusieurs effets néfastes. En effet, un régulateur ne peut pas détecter l'effet des perturbations qu'après l'écoulement du temps de retard [4]. En plus, l'action de la commande sur la variable contrôlée prend du temps pour être saisie. Donc, l'action de la commande, basée sur l'erreur réelle, risque de corriger une situation déjà dépassée. Ces difficultés peuvent être expliquées, dans le domaine fréquentiel, par le fait que le retard introduit des effet qui peuvent créer l'instabilité [5], [6]. Parmi les travaux effectués pour résoudre ces problèmes, ceux de Yong J. [7] et [8] montrent que l'emploi d'une commande stabilisante, même pour un système de seconde ordre, peut présenter une difficulté majeure au niveau de la détermination du gain de retour, en présence du retard. D'autres travaux, basés sur l'approche de Lyapunov Krasovskï, comme de Kolmanovskii, V. B. et al. [9], de Xu B. et al. [10] et de Zongli L. et al. [11], ont permis de développer des stratégies de commandes pour des types particuliers de systèmes à retards. L'emploi des méthodes d'agrégation [12] par Mori T. et al. [13], Bartholoméüs et al. [15], Leping S. [16] et Tchangani et al. [17], basées sur le principe de comparaison, Borne et al. [14], et l'emploi des normes vectorielles et des mesures matricielles ont donné des conditions simples et suffisantes de stabilité. Le travail développé dans ce papier, s'intéresse à la détermination d'une commande stabilisante par retour d'état indépendamment du retard [18], [19]. L’article est organisé de la manière suivante. Pour la synthèse d’une commande stabilisante par retour d’état de système linéaire à retard en la commande, un type particulier de représentation d'état, décrite dans la première partie, va être choisi. Il s'agit de la représentation d'état sous forme de la matrice en flèche de Benrejeb [20]. Le critère permettant de sélectionner les composantes du vecteur gain de retour est donné dans la deuxième partie. Une dernière partie présente l’application de critère proposé à un système linéaire de troisième ordre. Notations: Soient ( ) njijimM ≤≤ = ,1, , ( ) njijimM ≤≤ = ,1 * , * et ( ) njijimM ≤≤ ++ = ,1, des matrices de dimension nn× . On note pour * M : jiji mm , * , = si ji = et jiji mm , * , = si ji ≠ et pour + M : jiji mm ,, =+ pour .,,1, nji = II. DESCRIPTION DES SYSTÈMES ÉTUDIÉS Soit le système défini par l'équation d'état suivante: )()()( τ−+= tButAxtx˙ (1) où n IRtx ∈)( le vecteur d'état du système, IRtu ∈)( la commande, τ le temps de retard, 0≥τ , les matrices BA, définies par: Cet article a été en partie publié à la Conférence Internationale Francophone d'Automatique IEEE CIFA'2008 Bucarest. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 16 - 20 2                 −−−− = − 1310 1000 0000 0100 0010 naaaa A   ⋱   et                 = 1 0 0 0 ⋮B (2) ia , 1,..,1 −= ni étant des coefficients réels et constants. et le polynôme caractéristique de la matrice A est défini par: ∑ − = += 1 1 )( n i i i n A ap λλλ (3) L'objectif de la présente étude est de déterminer la commande u , de la forme: )()( tKxtu = (4) avec ( )nkkkK ,,, 21 = , qui stabilise le système bouclé suivant: )()()( τ−+= tBKxtAxtx˙ (5) Le changement de base P , permettant de caractériser le comportement du système par l'évolution du nouveau vecteur d’état n IRtz ∈)( donné par : )()( tPztx = (6) avec:         = −− 11,2 1,11,1 P OP P nn (7)               = − −− −− −− 2 1,1 2 2,2 2 1,1 1,12,21,1 1,1 111 n nn nn nn fff fff P ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ (8) ( )1 1,1 1 2,2 1 1,11,2 − −− −− = n nn nn fffP  (9) iif , , 1,...,1 −= ni étant distincts pouvant être choisis arbitrairement. Il vient la nouvelle représentation d’état du système étudié suivante [20] : )()()( τ−Φ+= txtFztz˙ (10) avec:                 = − −−− nnnnnn nnnn n n ffff ff ff ff F ,1,2,1, 1,1,1 2,2,2 1,1,1 00 00 00   ⋮⋮⋱⋮⋮   (11) )( ,, iiAin fpf −= (12) iif ii in Q f f , )( , , = − = λ λ λ (13) ( )∏ − = −= 1 1 ,)( n j jjfQ λλ (14) ∑ − = − −−= 1 1 ,1, n i iinnn faf (15) Considérons la matrice Φ définie par :         −−− =Φ −− −−− nnnKK nnn kff OO )()( 1,11,1 1,11,1 ϕϕ  (16) et les éléments )( ,iiK fϕ satisfaisants la relation : ( ) ( ) nnnnKK kPPkkff 1,21,1111,11,1 )()( += −−−  ϕϕ (17) Il vient les expressions analytiques suivantes des )( ,iiK fϕ : ∑ = − = n j j iijiiK fkf 1 1 ,, )(ϕ (18) III. MÉTHODES PROPOSÉES POUR LA STABILISATION Dans cette section, nous allons proposer un critère de stabilisabilité d’un système linéaire stationnaire à retard en la commande basé sur le choix d'une matrice caractéristique de forme en flèche de Benrejeb. Théorème 1: Soit la commande par retour d'état suivante: )()( tKxtu = avec ( )nkkK 1= le système (5) est asymptotiquement stable par cette commande si K satisfait la contrainte suivante: ∑ − = <+ 1 1 , )0( )0( )( n i A iiiKn Q p fk αϕ (19) avec ii ni f f i , , =α , 1,,1 −= ni  , )( ,iiK fϕ éléments définis par (18) et Ap et Q sont les polynômes donnés respectivement par (3) et (15). Démonstration : La démonstration est basée principalement sur l'utilisation des propriétés de la matrice de forme en flèche de Benrejeb. Dans [13], Mori et al. montrent que le système (10) est asymptotiquement stable indépendamment de la valeur du retard si ( + Φ+* F ) est l'opposée d'une M-matrice. Or, un simple calcul donne TF =Φ+ +* , où T est la matrice Cet article a été en partie publié à la Conférence Internationale Francophone d'Automatique IEEE CIFA'2008 Bucarest. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 16 - 20 3 donnée par (21) de forme en flèche de Benrejeb. Le choix des 0, niin ff , 1,..,1 −= ni , donc niinniin ffff ,,,, = . et sachant que: ∑∑ − = − = − =−=− 1 1 , ,, , 1 1 , ,, , )0( )0(n i A ii niin nn n i ii niin nn Q p f ff f f ff f (25) Il vient la condition de stabilité asymptotique : )0( )0( )( 1 1 , Q p fk A n i iiiKn <+ ∑ − = αϕ (26) ce qui achève la démonstration du théorème. IV. EXEMPLE D'APPLICATION Considérons le système de troisième ordre décrit dans l’espace d’état par : )()()( τ−+= tButAxtx˙ (27)           −−− = 6116 100 010 A et           = 1 0 0 B (28) Il vient le polynôme caractéristique Ap de la matrice A : 6116)( 23 +++= λλλλAp (29) Nous allons utiliser, par la suite, le théorème 1 pour la détermination du vecteur K . Le choix proposé des nouvelles variables d’état du système bouclé += )()( tAxtx˙ )( τ−tBKx conduit à la nouvelle représentation suivante: )()()( τ−Φ+= txtFztz˙ (30) avec: ( )                   +−−−− − − − = 2,21,12,21,1 2,21,1 2,2 2,21,1 1,1 6)()( 1 0 1 0 fffpfp ff f ff f F AA (31)           =Φ nKK kff )()( 000 000 2,21,1 ϕϕ (32) Les paramètres arbitraires 1,1f et 2,2f sont ici fixés tel que 75.11,1 −=f et 75.22,2 −=f . Il vient la matrice F :           −− −− − = 5.13281.02344.0 175.20 1075.1 F (33) Les expressions de )( 1,1fKϕ et )( 2,2fKϕ : Cet article a été en partie publié à la Conférence Internationale Francophone d'Automatique IEEE CIFA'2008 Bucarest. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 16 - 20 4     +−= +−= 3212,2 3211,1 5625.775.2)( 0625.375.1)( kkkf kkkf K K ϕ ϕ (34) et les valeurs de 1α et 2α : 5714.01 −=α et 3636.02 =α (35) L’appliquant du théorème 1 donne la condition suivante sur les composantes du vecteur K garantissant la stabilité 2468.1 5625.775.23636.00625.375.15714.0 3213213 < +−++−+ kkkkkkk (36) Donc un choix de 1.03 =k donne : 2468.11.05625.7 75.23636.01.00625.375.15714.01.0 2121 <×+ −+×+−+ kkkk (37) Il vient : 1468.1 75625.075.23636.030625.075.15714.0 2121 < +−++− kkkk (38) La figure 1 présente un domaine de stabilité dans le plan des paramètres ( )21 , kk . Fig.1. Domaine de stabilité défini par 2k en fonction de 1k pour 1.03 =k V. CONCLUSION Nous avons présenté dans ce travail un critère de stabilisabilité d'un système linéaire stationnaire à retard en la commande basé sur le choix d'une matrice caractéristique de forme en flèche de Benrejeb. Cette représentation permet de choisir avantageusement les éléments diagonaux de cette matrice. Une telle condition de stabilité dépendant explicitement du gain du retour et des iif , , 1,,1 −= ni  a été appliqué avec succès à un système de troisième ordre à retard. VI. RÉFÉRENCES [1] Hale J. "Theory of Functional Differential Equations". Edition Springer-Verlag, New York, Vol.3 (1977). [2] Richard, J. P. "Time-delay Systems: An Overview of Some Recent Advances and Open Problems". Automatica, pp: 1667-1694, (2004). [3] Normey-Rico J.E. et Camacho E.F. "Control of Dead-time Processes". Edition Springer-Verlag, London, (2007). [4] Zhong Q. C. "Robust Control of Time-Delay Systems". Edition Springer-Verlag London, (2006). [5] Silva G. J., Datta A. et Bhattacharyya S.R. "PID Controllers for Time-Delay Systems". Edition Birkhäuser, Boston, (2005). [6] Smith, O, J. M. "A Controller to Overcomes Dead Time". ISA Journal of Instrument Society of America 6, pp: 28-33, (1959). [7] Yong J. "Stabilization of Linear Systems by Time- Delay Feedback Controls II". Quart. Appl. Math., 45, pp: 593-603, (1988). [8] Yong J. "Stabilization of Linear Systems by Time- Delay Feedback Controls". Quart. Appl. Math. 45, pp: 371-388, (1987). [9] Kolmanovskii, V. B., Niculescu, S. I., et Richard, J. P. "Liapunov-Krasovskii Functional for Stability Analysis of Linear Delay Systems". International Journal on Control 72, 4, pp: 374-348, (1999). [10] Xu B. et Liu Y. "An Improved Razumikhin-type Theorem and Its Applications". I.E.E.E. Trans. on Aut. Contr. 39,4, pp: 839-841, (1994). [11] Zongli, L. et Haijun, F. "On Asymptotic Stabilizability of Linear Systems With Delay Input". I.E.E.E. Trans. on Aut. Contr., 52, 6, pp: 998-1013,(2007). [12] Gentina J. C. "General Aggregation of Large Scale System by Vector Lyapunov Functions and Vector Norm". International Journal on Control, Vol. 24, 4, pp: 529-550, (1976). [13] Mori, T., Fukuma, N. et Kuwahara, M. "Simple Stability Criteria for Single and Composite Linear Systems With Time Delays". International Journal on Control 34, 6, pp: 1175-1184, (1981). [14] Borne P. et Benrejeb M. “On the representation and the stability study of large scale systems”. IJCCC, vol. 3, pp. 149-160, 2008. [15] Bartholoméüs, G. A., Dambrine, M. et Richard, J. P. "Bounded Domains and Constrained Control of Time-Delay Systems". Actes du Colloque: Analyse et commande des systèmes avec retards, pp: 137-155, Nantes, (1996) Cet article a été en partie publié à la Conférence Internationale Francophone d'Automatique IEEE CIFA'2008 Bucarest. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 16 - 20 5 [16] Leping, S. "Stability Analysis for Delay Differential Equations With Multidelays and Numerical Examples". Mathematics of Computations 75, 253, pp: 151-165,(2005). [17] Tchangani A. P., Dambrine M., Richard J.P. "Robust Stabilization of Delay Systems With Discrete or Distributed Delay Control". Proceedings of 37th I.E.E.E Conf. Dec. and Control, pp: 4051-4056, Tampa, (1998). [18] Lewis, R. M. et Anderson, B. D. O. “Necessary and Sufficient Conditions for Delay-Independent Stability of Linear Autonomous Systems". I.E.E.E. Trans. on Aut. Contr., 25, 4, pp: 735-739, (1980). [19] Tsypkin, Ya. Z. "The Systems With Delayed Feedback". Automatika and Telemekhnika, 7, pp: 107-129, (1946). [20] Borne P., Vanheeghe Ph. et Duflos E. "Automatisation des Processus dans L'espace d'état". Edition Technip, France (2007). [21] Benrejeb, M. "On an Algebraic Stability Criterion for non Linear Processes. Interpretation in the Frequency Domain". Proc. of MECO 78 Congress, Athens, Vol. 2, pp: 678-682, (1978). [22] Benrejeb M., Borne P., Laurent F., "Sur une Application de la Représentation en Flèche à l'Analyse des Processus". RAIRO Automatique, 16, 2, pp: 133-146, (1982). [23] Benrejeb M., Gasmi M. "On the Use of an Arrow Form Matrix for Modeling and Stability Analysis of Singularly Perturbed Nonlinear System". SAMS, 40, pp: 209-225, (2001). Cet article a été en partie publié à la Conférence Internationale Francophone d'Automatique IEEE CIFA'2008 Bucarest. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 16 - 20