Stratégies de Commande de Systèmes Manufacturiers à Contraintes de Temps Face aux Perturbations Temporelles

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-1:17222
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Résumé

Stratégies de Commande de Systèmes Manufacturiers à Contraintes de Temps Face aux Perturbations Temporelles

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	    <date dateType="Created">Wed 3 Aug 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Thu 11 Aug 2016</date>
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Résumé — Les ateliers manufacturiers, les réseaux de transports ferroviaires ou routiers et les réseaux informatiques peuvent être considérés comme des systèmes à évènements discrets à contraintes de temps. En effet, ils intègrent des horaires à respecter, des dates de livraisons, des dates de péremptions etc. Il faut alors une évaluation de performance spécifique, car le fonctionnement « au plus tôt » est invalide dans le cas général. Ainsi, même lorsque l’ordre des opérations est fixé, le calcul des instants de mise à feu des transitions du réseau de Petri P- temporel modélisant le système reste un problème critique. Nous présentons alors trois stratégies de commande robuste face aux perturbations temporelles. La première consiste à générer par la commande un décalage temporel de même nature que la perturbation afin d’éviter la mort de marques aux niveaux des transitions de synchronisation du modèle réseau de Petri P- temporel. La deuxième se propose de rejeter la perturbation dès son observation en jouant sur la commande. Enfin, la troisième est une synthèse mixte des deux précédentes. Mots clés — Réseaux de Petri P-temporels, contraintes de temps, robustesse, commandabilité, rejet de perturbation. I. INTRODUCTION ES ateliers manufacturiers, les réseaux de transports ferroviaires ou routiers et les réseaux informatiques peuvent être considérés comme des Systèmes à Evènements Discrets (SED). Cependant, la nature discrète des flux qui circulent n’exclue pas l’existence d’horaires à respecter, de dates de livraisons, de dates de péremptions etc. L’ensemble de ces contraintes temporelles se représente généralement par des contraintes de temps minimum et maximum affectées à une opération ou un état. Si l’affectation d’un temps minimum est assez répandue, par exemple le temps d’un trajet effectué à vitesse maximale, l’existence d’un temps maximum de séjour dans un état est plus subtile. En effet, si on intègre qu’un produit laissé dans un four peut brûler, qu’une pièce oubliée dans un bain d’acide sera dégradée, qu’un projet arrivant après la clôture d’un appel d’offre sera éliminé, alors le démarrage d’une activité dès que cela est possible (fonctionnement « au plus tôt ») ne conduit généralement pas à une solution valide. Il faut donc une évaluation de performance spécifique [1]. De plus, lorsque l’ordre des opérations est fixé, le calcul des instants de mise à feu des transitions reste un problème critique pour respecter les contraintes [2]. Dans ce contexte, les travaux présentés s’attachent à construire une approche de commande robuste. La contribution de ce papier est la caractérisation analytique de la capacité à rejeter des perturbations temporelles en utilisant une couche de commande exploitant les degrés de liberté du système. La première section est dédiée à la modélisation d’un système manufacturier. Ce dernier est utilisé comme cas d’étude et un modèle utilisant les Réseaux de Petri (RdP) P-temporels est détaillé. La section suivante se décompose en quatre parties. La première effectue quelques rappels sur les définitions de la robustesse des SED. La seconde présente une première approche pour la commande robuste. La troisième et la quatrième constituent la contribution de cet article. Deux approches originales de commande, face aux perturbations temporelles, sont présentées. Enfin, les résultats sont mis en perspective dans la conclusion, dans l’optique d’une utilisation plus large dans le cadre de la commande des SED à contraintes de temps. II. MODELISATION A. Réseau de Petri P-temporel commandé L’utilisation des RdP P-temporels est peu argumentée dans cette étude. C’est un outil relativement répandu dans la littérature concernant la commande de procédés discrets à contraintes de temps [3], [4], [5], [6]. Un RdP P-temporel est donné par le doublet où R est un RdP marqué et IS est une application définie par [1] : IS : P → (Q+ ∪0)× (Q+ ∪+∞) pi a ISi=[ai, bi] avec : 0≤ai≤bi. ISi définit l’intervalle statique de temps de séjour d’une marque dans la place pi appartenant à l’ensemble des places P. Une marque dans la place pi ne participe à la validation de ses transitions de sortie que si elle a séjourné au moins la durée ai dans cette place. Elle doit quitter la place pi, donc franchir l’une des transitions de sortie au plus tard quand sa durée de séjour qi devient égale à bi. Après ce temps (bi), la marque sera «morte » et ne participera plus à la validation des transitions. En s’inspirant de la définition de Long des RdP commandés [7], un RdP P-temporel commandé (RPC) est défini de la manière suivante : RPC=(RP, ϕ, U, U0 ) tels que : – RP est un RdP P-temporel qui décrit le système en boucle ouverte, – ϕ est une application de l’ensemble des transitions T de RP vers l’ensemble des opérations Γ : ϕ : P → Γ, NABIL JERBI *,** , ANIS MHALLA *,** , SIMON COLLART DUTILLEUL ** , ETIENNE CRAYE ** , MOHAMED BENREJEB * * LAboratoire de Recherche en Automatique Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, BP 37, le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie ** Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal Ecole Centrale de Lille, Cité Scientifique BP 48, 59651 Villeneuve d'Ascq, France nabil.jerbi@isetso.rnu.tn, anis.mhalla@enim.rnu.tn, simon.collart_dutilleul@ec-lille.fr, etienne.craye@ec-lille.fr, mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Stratégies de Commande de Systèmes Manufacturiers à Contraintes de Temps Face aux Perturbations Temporelles L e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 1-6 – U est la commande externe sur les transitions de RP, construite à partir des prédicats utilisant l’occurrence d’événements observables internes ou externes au système : U : T → {0, 1}, – U0 est la valeur initiale du vecteur des prédicats. Une transition t∈T est dite «état validé» pour le marquage M si elle est validée dans RP pour M. Une transition est dite «commande validée» si U(t)=1. Par définition, les transitions non commandables sont toujours commande validée. Pour être mise à feu, une transition doit être «état validé» et «commande validée». Notations : T=TC∪TUC∪TO∪TUO, TC : l’ensemble des transitions commandables, TUC : l’ensemble des transitions non commandables, TO : l’ensemble des transitions observables, TUO : l’ensemble des transitions non observables, TS : l’ensemble des transitions de synchronisation, to i (respectivement o ti) : l’ensemble des places de sortie (respectivement d’entrée) de la transition ti, po i (respectivement o pi) : l’ensemble des transitions de sortie (respectivement d’entrée) de la place pi, qie : le temps de séjour prévu du jeton dans la place pi, qi : le temps de séjour instantané du jeton dans la place pi. Il désigne aussi le temps de séjour effectif dans la place pi lorsque le jeton dans la place pi est tiré. Ste(n) : le nème instant de tir prévu de la transition t, St(n) : le nème instant de tir effectif de la transition t. IN(Lp) : le nœud, place ou transition, d’entrée du chemin Lp. OUT(Lp) : le nœud de sortie du chemin Lp. B. Décomposition fonctionnelle Les systèmes considérés sont : – des ateliers multi-produits sans postes d’assemblage (pas de synchronisation entre les flux) et avec des ratios de production fixés, – ordonnancés, – à fonctionnement cyclique monopériodique, – avec partage dynamique de machines entre les gammes des différents produits. Les temps de séjours dans les places n’ont pas la même signification fonctionnelle lorsqu’ils sont associés à des places des gammes opératoires ou à des places représentant des ressources libres. En utilisant [7], une décomposition fonctionnelle du RdP en quatre ensembles est établie : – RU : ensemble des places représentant les machines utilisées, – RN : ensemble des places représentant les machines non utilisées, – TransC : ensemble des places de transfert chargées ou encore ensemble des places modélisant chacune l’utilisation d’une ressource de transport pour le transfert d’un produit, – TransNC : ensemble des places de transfert non chargées ou encore ensemble des places modélisant chacune un déplacement d’une ressource de transport à vide. Soit l’atelier de la figure 1, modélisé par le RdP P-temporel de la figure 2. Il est composé essentiellement de : – trois machines M1, M2 et M3, – sept tapis roulants : T1, T2, T3, T4, T5, T6 et T7. Cet atelier est destiné à fabriquer deux types de produits A et B, avec des ratios de 50%. La production envisagée est caractérisée par les deux gammes opératoires suivantes, u.t. désignant l’unité de temps : GO1 : Opération 1.1 : M1 ([15 u.t., 20 u.t.]) ; Opération 1.2 : M2 ([2 u.t., 20 u.t.]) ; Opération 1.3 : M3 ([15 u.t., 20 u.t.]) ; GO2 : Opération 2.1 : M2 ([5 u.t., 12 u.t.]) ; Opération 2.2 : M1 ([2 u.t., 20 u.t.]) ; Les deux gammes opératoires GO1 et GO2 possèdent deux machines partagées (M1 et M2). Fig. 1. Exemple d’un atelier multi-produits Fig. 2. Décomposition fonctionnelle M2 M3 S2 T2 T3 T4 M1 S1 SB T1 T5 T7 T6 SA Place appartenant à TransC Place appartenant à RU Place appartenant à RN Place appartenant à TransNC p16 IS10=[5, 15] q10e=12 t8p12t7p11t6 t10p14t9 t11p15p13p10t12 IS11=[15, 20] q11e=17 IS12=[3, 7] q12e=6 IS15=[15, 20] q15e=16 IS14=[2, 7] q14e=5 IS13=[2, 20] q13e=5 IS16=[1, +∞] q16e=19 IS4=[2, 20] q4e=10 IS1=[30, 47] q1e=38 IS2=[5, 12] q2e=7 IS3=[10, 20] q3e=15 t4p4t2p2t1p1t5 t3p3 IS5=[1, +∞] q5e=10 p5 p6 p7 p8 p9 IS6=[0, +∞] q6e=5 IS7=[0, +∞] q7e=8 IS8=[8, +∞] q8e=13 IS9=[8, +∞] q9e=15 M2 M1 M1 M2 M3 e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 1-6 Pour fabriquer le produit A, une pièce non traitée est prise du stock S1. Elle est transférée par le tapis T1 à la machine M1 où elle subit la première transformation. Une fois cette dernière est achevée, la pièce est transportée par le tapis T7 à la machine M2 où elle subit la deuxième transformation. Ensuite, la pièce arrive à la machine M3, par la voie du tapis T3, pour subir la dernière opération. Enfin, le produit fini A est déposé sur le tapis T4 à destination du stock des produits finis SA. Pour fabriquer le produit B, une pièce non traitée est prise du stock S2. Elle est transférée par le tapis T2 à la machine M2 où elle subit la première transformation. Une fois cette dernière est achevée, la pièce est transportée par le tapis T6 à la machine M1 où elle subit la deuxième transformation. Enfin, le produit fini B est déposé sur le tapis T5 à destination du stock des produits finis SB. La décomposition fonctionnelle est la suivante : RU={p2, p4, p11, p13, p15}, RN={p6, p7, p8, p9}, TransC={p1, p3, p10, p12, p14}, TransNC={p5, p16}, GO1=(t12, p10, t6, p11, t7, p12, t8, p13, t9, p14, t10, p15, t11) et GO2=(t5, p1, t1, p2, t2, p3, t3, p4, t4). En faisant abstraction du régime transitoire, seul le régime permanent est considéré. Par conséquent, les instants initiaux de mise à feu des différentes transitions peuvent être : St1e(1)=15, St2e(1)=22, St3e(1)=37, St4e(1)=7, St5e(1)=17, St6e(1)=12, St7e(1)=29, St8e(1)=35, St9e(1)=0, St10e(1)=5, St11e(1)=21 et St12e(1)=0. Le fonctionnement répétitif monopériodique est caractérisé par la période π0=40. III. APPROCHES POUR LA ROBUSTESSE ACTIVE A. Robustesse Définition 1 : La robustesse d’un système est définie comme sa capacité à conserver les propriétés spécifiées en présence de variations ou d’incertitudes prévues ou imprévues [8]. Définition 2 : La robustesse passive correspond au cas où aucun changement dans la conduite n’est nécessaire pour que les propriétés spécifiées par le cahier des charges soient conservées en présence de variations [8]. Définition 3 : La robustesse active correspond au cas où les propriétés spécifiées peuvent être maintenues, mais au prix d’un calcul total ou partiel de la conduite [8]. B. 1ère approche Le milieu industriel est assujetti à de nombreux événements perturbants qui induisent des variations des temps de séjour initialement fixés par la couche d’ordonnancement. Une perturbation temporelle, dépassant les bornes de robustesse passive, peut engendrer une violation de contraintes du cahier des charges s’il n’y a pas un changement de la conduite [9]. Dans les RdP P-temporels, cette violation de contraintes se matérialise par la mort de marques. Afin d’éviter cette mort des marques, au niveau des transitions de synchronisation, une approche a été développée dans [2]. Elle consiste à poser le problème de commandabilité sur les chemins parallèles qui mènent à la transition de synchronisation considérée. Le but est de rechercher, sur un chemin parallèle donné, un ensemble de transitions commandables. Sur ces transitions, essayer de générer par la commande un décalage temporel de même nature que la perturbation (avance ou retard) afin d’éviter la mort de marque prévue. Une méthodologie de construction de chemins localement commandables et commandables a été élaborée. Elle a abouti à l’énoncé d’un théorème donnant une condition suffisante de l’existence de la robustesse active. Définition 4 : L’intervalle de capacité de rejet temporel passif d’un chemin Lp est RC(Lp)=[Ca(Lp), Cr(Lp)] où : )Trans(RLpp ,)b(qCa(Lp) NCNi iie ∪∩∈ −= ∑ (1) )Trans(RLpp ).a(qCr(Lp) NCNi iie ∪∩∈ −= ∑ (2) Ca(Lp) (respectivement Cr(Lp)) est la capacité de rejet temporel passif à une avance (respectivement à un retard). Définition 5 : La marge disponible de commande à l’avance, fa(pi), et la marge disponible de commande au retard, fr(pi), associées à la place pi sont définies par : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ <<− ≤− = → − bqqsi0 qqasiqq aqsiqa )(pfp QP:f iiie ieiiiei iiiei iai a a { } ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤<− ≤− = ∞+∪→ + iiieii ieiiei iri r bqqsiqb qqsiqb )(pfp QP:f a Définition 6 : Une transition t constitue un sous chemin élémentaire localement commandable sur la plage [max(fa(pi)), min(fr(pi))] si t est commandable (t∈TC). po i=t po i=t Définition 7 : Un chemin Lp est localement commandable sur la plage [Δmin, Δmax] si on peut générer par la commande, en agissant sur TC∩Lp, une variation δ∈[Δmin, Δmax] sur son dernier nœud sans occasionner de mort de marques au niveau de ses transitions de synchronisation. Définition 8 : Un chemin Lp est commandable sur la plage [Δmin, Δmax] si on peut générer par la commande une variation δ∈[Δmin, Δmax] sur son dernier nœud sans occasionner de violation de contraintes du cahier des charges. Théorème [2] : Soient : t∈TO, pk∈P, h∈P∪T, m∈TS, Sp°ke(n) : le nème instant de tir prévu de la transition p°k, St(n) : le nème instant de tir effectif de la transition t, Lpk : le kème chemin dont la place d’entrée pk contient un jeton synchronisé en m avec le jeton perturbé en h et tel que : (OUT(Lpk)°°=m) et (Sp°ke(n) > St(n)), pj : la place par laquelle l’impact de la commande arrive à la transition m (p°j=m et pj=OUT(Lpk)°), pz : la place par laquelle la perturbation arrive en m (p°z=m), EC(h,m) : l’ensemble des chemins orientés qui relient h à m, CPr={Lpj∈EC(h,m)/ m)EC(h,Lp ))min(Cr(Lp)Cr(Lp i ij ∈ = }, CPa={Lpj∈EC(h,m)/ m)EC(h,Lp ))max(Ca(Lp)Ca(Lp i ij ∈ = }. Une condition suffisante pour que le système considéré possède une robustesse active locale en une transition de e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 1-6 synchronisation m suite à une perturbation δ en h, observable en t, est qu’il existe au moins un chemin Lpc∈{Lpk} commandable sur [Δmin, Δmax] tel que : – δC∈[Δmin, Δmax], – (Lpc∩CPa) = Φ, dans le cas d’une avance, – (Lpc∩CPr) = Φ, dans le cas d’un retard. La valeur de δC peut être calculée de la manière suivante : • considérant une avance : )]b(q m)EC(h,Lp )q(a))max(Ca(Lpδmin[0,δ zze i jejiC −− ∈ −−−= (3) • considérant un retard : )]q m)EC(h,Lp (b))min(Cr(Lpδ,0max[δ je i jiC ∈ −−−= (4) Exemple 1 : Soit une perturbation, δ=15 en p13, observée en t9 (Figure 2). Le temps de séjour réel du jeton dans la place p13 est alors égal à q13=q13e+15=20. Par conséquent, il n’y a pas de mort de marque en p13 (IS13=[2, 20]) et l’on a St9(n)=St9e(n)+15. La perturbation δ est propagée vers les deux chemins Lp1=(t9, p14, t10, p15, t11, p16, t12, p10, t6) et Lp2=(t9, p9, t1). Sur le chemin Lp1, la perturbation est totalement rejetée en p16 (Cr(Lp1)=18) et l’on a St12(n+1)=St12e(n+1). Sur le chemin Lp2 (Cr(Lp2)=7), la perturbation provoque passivement le changement de l’instant de tir de t1 et le changement du temps de séjour dans la place p1 : St1(n)=St1e(n)+8 et q1=q1e+8=46. Il n’y a pas de mort de marque en p1 puisqu’on peut accepter un retard égal à 9 (IS1=[30, 47], q1e=38). Une fois passé par t1, le résidu de la perturbation se propage vers les deux chemins Lp3=(p2, t2, p8, t8) et Lp4=(p2, t2, p3, t3). Une partie du résidu est rejetée en p8 et le jeton perturbé est disponible en p8 avec un retard égal à 3 (Cr(Lp3)=5). Sachant que la marge de retard disponible en p12 est égale à 1, une mort de marque en p12 est inévitable dans le cas de la robustesse passive. Soit δ’=3, le résidu en t8 de la perturbation initiale δ. L’équation (4) donne : δC=15−12−1=2. Lorsque la perturbation a été observée en t9 (St9(n)=St9e(n)+15), un jeton est en train de séjourner en p11 depuis 3 u.t., selon les instants initiaux de tir des transitions. Ce jeton appartient au chemin Lpc=(p11, t7, p12, t8). Il est synchronisé en t8 avec le jeton perturbé en p13 et son instant de tir vérifie que : St7e(n) > St9(n). Si la transition t7 est commandable (t7∈TC), elle constitue un sous chemin localement commandable sur la plage [−2, 3], selon la définition 6. Il vient de même que le chemin Lpc est localement commandable sur [−2, 3], selon la définition 7. Il est à remarquer aussi que δC∈[−2, 3]. Si nous forçons, par la commande, le franchissement de la transition t7 de façon à avoir St7(n)=St7e(n)+2, un retard volontaire égal à δC=2 est introduit en t7. De ce fait, la mort de marque en p12 est évitée et l’instant de tir effectif de la transition t8 vérifie que : St8(n)=St8e(n)+3. Le retard introduit par la commande est complètement rejeté sur le chemin Lp7=(p7, t3) (Cr(Lp7)=8). Après le franchissement de la transition t8, le résidu δ’=3 est transmis aux deux chemins Lp1 et Lp2 à travers la place p13 de départ. Il est facile de vérifier que ce résidu est complètement rejeté par ces deux chemins. Ce qui se traduit par : St12(n+2)=St12e(n+2) et St1(n+1)=St1e(n+1). Dans le chemin Lp4=(p2, t2, p3, t3), un jeton est arrivé en p3 avec un retard égal à 8. Ceci ne provoque pas de mort de marque en p7 puisque la marge de robustesse au retard en p7 est égale à +∞ (machine en attente). La transition t3 est alors franchie à l’instant St3(n)=St3e(n)+8. Un résidu de perturbation égal à 8 est transmis aux chemins Lp5=(p4, t4, p6, t6) et Lp6=(p4, t4, p5, t5, p1, t1). Sur le chemin Lp6, il est complètement rejeté en p5 : St5(n+1)=St5e(n+1). Sur le chemin Lp5, une partie est rejetée (Cr(Lp5)=5) et le reste égal à 3 est transmis à la place p11 à travers t6. Ce dernier résidu est complètement rejeté en p7, p9 et p16. Le système revient alors à son état normal sans aucune perturbation. C. 2ème approche La nouvelle approche consiste à rejeter la perturbation dès son observation. Si la perturbation est de type retard (respectivement avance), on génère des avances (respectivement retards) sur les tirs des transitions commandables des chemins de propagation de la perturbation. L’exemple suivant permet d’illustrer cette stratégie. Considérons la même perturbation, δ=15 en p13, observée en t9 (Figure 2) et supposons que la transitions t2 est commandable. D’après la définition 6, la transition t2 constitue un sous chemin élémentaire localement commandable sur [−2, 5]. En effet, fa(p2)=−2 et fr(p2)=5. La perturbation δ est propagée vers les deux chemins Lp1=(t9, p14, t10, p15, t11, p16, t12, p10, t6) et Lp2=(t9, p9, t1). Sur le chemin Lp1, la perturbation est totalement rejetée en p16 (Cr(Lp1)=18). Sur le chemin Lp2 (Cr(Lp2)=7), la perturbation provoque passivement le changement de l’instant de tir de t1 et le changement du temps de séjour dans la place p1 : St1(n)=St1e(n)+8 et q1=q1e+8=46. Une fois passé par t1, le résidu de la perturbation se propage vers le chemin critique Lp3=(p2, t2, p8, t8). La nouvelle stratégie consiste à injecter, par la commande, une avance de 2 sur le tir de la transition t2 : St2(n)=St2e(n)−2. De cette façon, le jeton arrive à la place p8 avec un retard de 5. La place p8 offre une marge de rejet égale à 5 (Cr(p8)=5), sachant qu’elle représente une machine en attente. En conclusion, la transition t1 est alors tirée normalement. Dans le but de construire une axiomatique rigoureuse similaire à la première approche, nous donnons deux lemmes concernant le rejet local des perturbations temporelles. Définition 9 : Un chemin mono-synchronisé est un chemin contenant une et une seule transition de synchronisation qui est son dernier nœud. Définition 10 : Une perturbation δ est rejetée localement par un chemin Lp si sa dernière transition est tirée comme prévu. Lemme 1 : Soit Lp un chemin mono-synchronisé et soit δ une perturbation temporelle au retard à l’entrée de ce chemin (δ > 0). si le chemin Lp est localement commandable sur la plage [Δmin, Δmax] tel que −Δmin ≥ δ, la perturbation δ peut être rejetée localement, par la commande, par Lp. Preuve : D’après la définition 7, nous avons la possibilité de générer, par la commande, une avance δa∈[Δmin, 0] à la sortie du chemin Lp. Si nous prenons δa=−δ, la transition de synchronisation du chemin Lp est tirée comme prévu. La perturbation est rejetée localement par le chemin Lp. Exemple 2 : Considérons le chemin mono-synchronisé Lp=(p2, t2, p3, t3) de la figure 3. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 1-6 Fig. 3. Rejet d’une perturbation Soit δ=5 une perturbation temporelle au retard affectant le tir de la transition t1 : St1(n)=St1e(n)+5. Un jeton arrive alors à la place p2 avec un retard égal à 5. En conséquence, la transition t2 est tirée en retard de 5 : St2(n)=St2e(n)+5. La transition de synchronisation t3 est tirée en retard de 5 : St3(n)=St3e(n)+5, lorsque q3=q3e=15 et q7=13. Un retard égal à 5 est transmis de t3 à p4. Supposons que la transition t3 est commandable (t3∈TC). D’après la définition 5, il vient : p°3=t3 ⇒ fa(p3)=10−15=−5 et fr(p3)=20−15=5 p°7=t3 ⇒ fa(p7)=0−8=−8 et fr(p7)=+ ∞ 5)85,max()) tp (pmax(f 3i ia −=−−= =° 5)min(5,)) tp (pmin(f 3i ir =∞+= =° La transition t3 constitue alors un sous chemin élémentaire localement commandable sur [−5, 5]. Vu que t3 est la seule transition supposée commandable, le chemin Lp est localement commandable sur [−5, 5]. Le rejet local de la perturbation sur le chemin Lp s’effectue en forçant le tir de la transition t3 dès que le temps de séjour dans la place p3 est égal à q3=10. Dans ce cas, on a : St3(n)=St3e(n) et q7=q7e=8. Lemme 2 : Soit Lp un chemin mono-synchronisé et soit δ une perturbation temporelle à l’avance à l’entrée de ce chemin (δ < 0). si le chemin Lp est localement commandable sur la plage [Δmin, Δmax] tel que −Δmax≤ δ, la perturbation δ peut être rejetée localement, par la commande, par Lp. Preuve : D’après la définition 6, nous avons la possibilité de générer, par la commande, un retard δr∈[0, Δmax] à la sortie du chemin Lp. Si nous prenons δr=−δ, la transition de synchronisation du chemin Lp est tirée comme prévu. La perturbation est rejetée localement par le chemin Lp. Exemple 3 : Reprenons l’exemple précédent avec une perturbation à l’avance, δ=−5, affectant le tir de la transition t1 : St1(n)=St1e(n)−5. Supposons d’abord qu’aucune transition n’est commandable. Un jeton arrive alors à la place p2 avec une avance égale à −5. En conséquence, la transition t2 est tirée en avance de 5 : St2(n)=St2e(n)−5. La transition de synchronisation t3 est tirée en avance de 3 : St3(n)=St3e(n)−5, lorsque q3=q3e=15 et q7=3. Une avance égale à −5 est transmise de t3 à p4. Maintenant, si la transition t3 est commandable, le chemin Lp est localement commandable sur [−5, 5]. Le rejet local de la perturbation sur le chemin Lp s’effectue en forçant le tir de la transition t3 lorsque le temps de séjour dans la place p3 est égal à q3=18. Dans ce cas, on a : St3(n)=St3e(n) et q7=q7e=8. D. 3ème approche La troisième approche proposée est une approche mixte consistant à combiner les deux précédentes. Dès la détection d’une perturbation, on essaye de la rejeter sur les chemins de propagation. Si cela n’est pas suffisant pour éviter la mort de marque au niveau d’une transition de synchronisation, on pose le problème de commandabilité sur les chemins parallèles qui mènent à cette dernière. On cherche alors à générer un décalage temporel de même nature que la perturbation afin d’éviter la mort de marque prévue. Le développement de la théorie relative à cette approche est en cours de construction. Dans la suite, nous donnons un exemple d’application de cette nouvelle stratégie. Exemple 4 : Soit δ=9 une perturbation temporelle au retard affectant le tir de la transition de synchronisation t1 (Figure 2). Le temps de séjour réel du jeton dans la place p1 est alors égal à q1=q1e+9=47. Par conséquent, il n’y a pas de mort de marque en p1 (IS1=[30, 47]) ni en p9, place représentant une machine en attente. La perturbation se propage vers les deux chemins Lp3=(p2, t2, p8, t8) et Lp4=(p2, t2, p3, t3). Une partie de la perturbation est rejetée en p8 et le jeton perturbé est disponible en p8 avec un retard égal à 4 (Cr(Lp3)=5). Sachant que la marge de retard disponible en p12 est égale à 1, une mort de marque en p12 est inévitable dans le cas de la robustesse passive. Supposons que les transitions t2 et t7 sont commandables. Elles constituent alors deux sous chemins élémentaires localement commandables respectivement sur les plages [−2, 5] et [−2, 3], selon la définition 6. La stratégie mixte consiste, en première phase, à rejeter une partie de la perturbation au niveau de la transition t2 en la tirant en avance de 2 u.t.. Puis, en deuxième phase, à retarder le tir de la transition t7 de 1u.t., ce qui permet d’éviter la mort en p12. IV. CONCLUSION Nous avons présenté dans ce travail trois stratégies de commande robuste face aux perturbations temporelles. La première consiste à générer par la commande un décalage temporel de même nature que la perturbation afin d’éviter la mort de marques aux niveaux des transitions de synchronisation du modèle RdP P-temporel. La deuxième se propose de rejeter la perturbation dès son observation en jouant sur la commande. La troisième est une combinaison des deux précédentes. Une étude comparative de l’efficacité de ces trois stratégies devrait être développée. Toutefois, La troisième approche semble la plus prometteuse puisqu’elle offre plus de marge de réaction face aux perturbations temporelles. Reste que derrière cette description sommaire se cache la nécessité de développer une axiomatique rigoureuse et des preuves solides. Les développements de la théorie de l'approche mixte ont bien commencé et les résultats seront publiés à cours terme. Après cela, une validation sur un atelier pilote devrait donner des indications sur l’efficacité industrielle de la commande. Une comparaison des approches et résultats avec les travaux utilisant la théorie des dioïdes devrait aussi être envisagée. IS3=[10, 20] q3e=15 p4t2p2t1p1 t3p3 p7 p8 p9 IS7=[0, +∞] q7e=8 Chemin Lp Perturbation δ e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°1, pp 1-6 V. REFERENCES [1] W. Khansa, P. Aygalinc et J. P. Denat, «Structural analysis of P-Time Petri Nets», CESA'96, Lille, France, pp. 127–136, Juillet 1996. [2] N. Jerbi, S. Collart Dutilleul, E. Craye et M. 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