Multimodèle fractionnaire du muscle strié pour la micro-robotique bio-inspirée

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-2:17218
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Multimodèle fractionnaire du muscle strié pour la micro-robotique bio-inspirée

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Multimod`ele fractionnaire du muscle stri´e pour la micro-robotique bio-inspir´ee Laurent Sommacal1 , Pierre Melchior1 , Julien Petit2 et Alain Oustaloup1 1 IMS - UMR 5218 CNRS, D´epartement LAPS Universit´e Bordeaux 1 - ENSEIRB - ENSCPB 351 cours de la Lib´eration - Bˆatiment A4 F33405 TALENCE Cedex - (33) France prenom.nom@laps.ims-bordeaux.fr 2 Laboratoire Mouvement Adaptation Cognition - UMR 5227 CNRS Universit´e Victor S´egalen Bordeaux 2, Zone Carreire Nord Bˆat 2A 146 rue L´eo Saignat, 33076 BORDEAUX Cedex, France julien.petit@u-bordeaux2.fr R´esum´e— Dans l’objectif de d´evelopper un actionneur mus- culaire bio-inspir´e, un mod`ele de l’unit´e motrice du muscle stri´e a ´et´e d´etermin´e. Les r´eponses des unit´es motrices sont `a la fois non reproductibles, non stationnaires et non lin´eaires. Fond´ee sur des observations exp´erimentales, l’architecture particuli`ere de notre mod`ele permet de prendre en compte ces caract´eristiques non stationnaires et non lin´eaires. Le mod`ele int`egre deux sous-mod`eles fractionnaires permet- tant une parcimonie param´etrique. Enfin, afin de permettre l’´evolution du multimod`ele de l’unit´e motrice vers l’ac- tionneur musculaire bio-inspir´e, le principe de sommation lin´eaire des activations d’unit´es motrices est v´erifi´e dans cette communication, et valide ainsi la premi`ere ´etape de synth`ese de l’actionneur. Mots-cl´es— Robotique bio-inspir´ee, D´erivation fractionnaire, Simulation de syst`emes non entiers, Fonction d’Havriliak- Negami, Identification, Multimod`eles, Mod´elisation du muscle. I. Introduction La mod´elisation du syst`eme musculaire a permis de d´etecter et comprendre certaines anomalies de fonction- nement (modifications musculaires structurelles et fonc- tionnelles (fatigue, pathologies ...)). Un deuxi`eme champ d’application est la stimulation ´electrique fonctionnelle de muscles d´eficients par inversion de mod`eles [1], [2], [3]. Consid´erant l’´etendue des applications possibles de la ro- botique bio-inspir´ee, une architecture de mod`ele des unit´es motrices a ´et´e d´etermin´ee [4]. En effet, notre mod`ele per- met d’accroˆıtre la compr´ehension des processus d’activa- tion d’un muscle et de les simuler. Sa structure permettra ais´ement la mise en commun de diff´erents segments mus- culaires engendrant le principe de locomotion. La physiologie musculaire est abondamment d´ecrite dans la litt´erature biologique [5]. Les muscles qui ont ´et´e ´etudi´es (peroneus digiti quarti et peroneus longus du rat) sont compos´es de trois types de fibres et pr´esentent l’avantage d’un tr`es faible nombre d’unit´es motrices. Les unit´es mo- trices sont form´ees d’un motoneurone α et d’une certaine quantit´e de fibres musculaires majoritairement homog`ene [6], [7]. Or les caract´eristiques contractiles des unit´es mo- trices diff`erent, entre autres, par les dur´ees de contraction et de relaxation ainsi que par leur mode de r´eg´en´eration ´energ´etiques. Un mod`ele de l’unit´e sera ainsi moins sen- sible `a la co-existence de diff´erents types de fibres que la mod´elisation du muscle lors d’une stimulation globale de celui-ci. Ces unit´es motrices, classifi´ees FR, FF et S sont respectivement, et majoritairement, compos´ees de fibres IIa, IIb et I. La principale difficult´e de la mod´elisation de la r´eponse d’une unit´e motrice est sa non-reproductibilit´e, sa non- stationnarit´e et sa non-lin´earit´e. L’architecture du mul- timod`ele propos´e dans cette communication permet de rendre compte des caract´eristiques non stationnaires et non lin´eaires de l’unit´e motrice. La non-reproductibilit´e de la r´eponse musculaire est due `a des modification internes de l’unit´e motrice (non observables) et `a l’influence de pa- ram`etres externes (temp´erature, hygrom´etrie ...). Cet as- pect n’est actuellement pas pris en compte dans le mod`ele propos´e. Dans l’objectif de d´evelopper un actionneur musculaire bio-inspir´e, la strat´egie du mod`ele pour la robotique est d´ecompos´ee en trois ´etapes (figure 1) : • Pour un profil de force d´etermin´e, la premi`ere partie du mod`ele (A (s) o`u s est la variable de Laplace) vise `a d´eterminer un motif d’impulsion ´equivalent pour chaque type d’unit´e motrice du muscle consid´er´e. En toute ri- gueur, le mod`ele musculaire global doit poss´eder autant de mod`eles d’unit´es motrices que d’unit´es motrices pr´esentes in vivo. Chaque mod`ele d’unit´e motrice re¸coit une consigne provenant du module A (s). Etant donn´e la multiplicit´e des combinaisons d’activations biologiques amenant `a un profil de force similaire, il est d´ecid´e de r´eduire le nombre d’unit´e motrice par type `a l’unit´e. Cette partie du mod`ele consid`ere alors trois mod`eles d’unit´es motrices (unit´es mo- e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 34-39 trices de type IIA, IIB et I) pour d´eterminer l’activation ´equivalente. • La deuxi`eme partie du mod`ele consiste `a d´eterminer le mod`ele de chaque type d’unit´e motrice pr´esente dans le muscle. Une partie des m´ecanismes mis en jeu au cours d’une activation du syst`eme musculaire peuvent ˆetre mod´elis´ee par des mod`eles fractionnaires [8]. Notre mod`ele, d´ecrit dans la partie IV, repose sur le concept de multi- mod`ele fractionnaire [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15] qui permet de d´ecomposer l’activation musculaire en phases de contraction et de relaxation successives. En outre, pour pouvoir ˆetre utilis´e au sein d’un simulateur de robot sala- mandre de l’EPFL [16], notre mod`ele musculaire doit ˆetre le plus compact possible et s’appuie donc naturellement sur le principe d’un multimod`ele, dont les sous-mod`eles sont fractionnaires `a peu de param`etres. • Enfin, la derni`ere partie consiste `a commander un ac- tionneur de type moteur `a courant continu de mani`ere `a l’asservir sur le profil de force d´etermin´e `a l’issue de la somme des sorties des mod`eles des unit´es motrices. Fdes (t) y (t)A (s) B (s)C (s) e (s) + + + + − G´en´eration d’impulsions Mod`ele musculaire k1 k2 k3 MIIA MIIB MI Actionneur Fig. 1. Principe de mise en œuvre de l’actionneur musculaire Le deuxi`eme point de cette strat´egie de commande bio- inspir´ee fait l’objet de cette communication. En effet, il s’agit de v´erifier la condition primordiale de sommation lin´eaire des contributions de diff´erentes unit´es motrices. Le protocole exp´erimental est expliqu´e dans la deuxi`eme partie. Un rappel de la d´erivation non enti`ere est donn´e dans la troisi`eme partie. Quelques observations physiolo- giques et le principe du multimod`ele fractionnaire sont rap- pel´es dans la quatri`eme partie. Le principe de la somma- tion lin´eaire de contributions de diff´erents types d’unit´es motrices est ensuite v´erifi´e. II. Protocole exp´erimental L’´equipe du Professeur Julien Petit du LMAC est sp´ecialis´ee dans la physiologie du rat et l’exp´erimentation sur celui-ci. L’animal est anesth´esi´e avec une premi`ere in- jection intrap´eriton´eale de pentobarbital de sodium (45 mg/kg), compl´et´e si n´ecessaire par des injections intravei- neuses pour maintenir une anesth´esie profonde. Le muscle et son nerf sont diss´equ´es et lib´er´es des tissus environ- nant. Une laminectomie est effectu´ee entre les vert`ebres L4 et S2. Les peaux de cette r´egion et de la patte sont r´eclin´ees de mani`ere `a constituer des bacs que l’on rem- plit d’huile de paraffine afin d’´eviter toute dessication. La temp´erature de l’huile est maintenue `a 37◦ C. Les racines dorsales et ventrales sont coup´ees de L5 S1 pr`es de leur entr´ee m´edullaire. Les racines ventrales sont ensuite di- vis´ees en fins filaments. Un filament est d´epos´e sur une ´electrode d’argent utilis´ee comme anode afin d’ˆetre stimul´e. Une deuxi`eme ´electrode qui sert de cathode est au contact de la masse musculaire pr`es de l’entr´ee de la racine. Les po- tentiels d’action ´evoqu´es par la stimulation des filaments de racine ventrale sont d´etect´es par des ´electrodes plac´ees au contact du nerf et amplifi´es par des amplificateurs Grass AC. Apr`es d´etermination de sa courbe force-longueur le muscle est plac´e `a sa longueur optimale, celle pour laquelle il d´eveloppe sa force maximale. Les forces isom´etriques de contraction d´evelopp´ees par chaque Unit´e Motrice (UM) sont mesur´ees pour diff´erentes fr´equences de stimulation (10, 20, 40 et 60Hz) et pour des stimulations de fr´equence variable (fr´equence al´eatoire, modulation de fr´equence tri- angulaire). Le signal de la force est ´echantillonn´e `a une fr´equence de 2 kHz et est enregistr´e en utilisant une inter- face CED ”1401Plus” coupl´ee `a un ordinateur ´equip´e du logiciel Spike2. III. Simulation temporelle de syst`emes fractionnaires Des syst`emes physiques tels que les syst`emes thermiques, les polym`eres, les mat´eriaux di´electriques ou des proc´ed´es ´electro-chimiques, sont caract´eris´es par un comportement fr´equentiel d’ordre fractionnaire ([17], [18], [19], [20], [21]). Les mod`eles d’ordre non entier permettent en effet de mod´eliser des syst`emes physiques complexes dans les do- maines fr´equentiel/temporel avec peu de param`etres ([22], [23], [24]). Cette partie introduit la d´efinition math´ematique de la d´erivation non enti`ere, puis les m´ethodes courantes de si- mulation temporelle des mod`eles fractionnaires. A. La d´erivation non enti`ere Le concept de la d´erivation non enti`ere `a un ordre quel- conque (non entier), Dν ∆ = d dt ν (1) a ´et´e d´efini au 19`eme si`ecle par Riemann et Liouville. La d´eriv´ee `a l’ordre non entier ν de la fonction f (t) est d´efinie par la d´eriv´ee d’ordre entier de ⌊ν⌋ + 1 o`u (⌊.⌋ est l’op´erateur floor) d’une int´egrale non enti`ere d’ordre ν − ⌊ν⌋ [25] : Dν f (t) = D⌊ν⌋+1 I⌊ν⌋+1−ν f (t) ∆ = 1 Γ (⌊ν⌋ + 1 − ν) d dt ⌊ν⌋+1 t 0 f (τ) dτ (t − τ)ν−⌊ν⌋ (2) o`u t > 0, ∀ν ∈ R∗ +, et la fonction d’Euler Γ est d´efinie par : Γ (x) = ∞ 0 e−t tx−1 dt, ∀x ∈ R∗ \{N− }. (3) La transform´ee de Laplace de la d´eriv´ee `a l’ordre ν (avec ν ∈ R∗ +) d’une fonction x(t) relax´ee `a l’instant initial (t = 0) est telle que [26] : L {Dν x (t)} = sν X (s) avec x(t) = 0 ∀t < 0. (4) e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 34-39 B. Synth`ese de l’op´erateur int´ego-diff´erentiel born´e fr´equence De par les limitations naturelles d’un syst`eme physique et des signaux entr´ee-sortie (telles que la fr´equence de Shan- non et le spectre du signal d’entr´ee), les op´erateurs frac- tionnaires sν sont g´en´eralement approxim´es par des fonc- tions de transfert rationnelles d’ordre ´elev´e sur une bande de fr´equences [ωA, ωB]. L’op´erateur int´egro-diff´erentiel et la fonction de transfert rationnelle ont alors le mˆeme com- portement fractionnaire sur cette bande de fr´equences. L’approximation la plus couramment utilis´ee a ´et´e propos´ee par Oustaloup [27]. Celle-ci consiste en une distribution r´ecursive de pˆoles et de z´eros sur la bande de fr´equences [ωA, ωB], qui induit naturellement une d´egradation de l’ap- proximation autour des pulsations ωA et ωB, connue sous le nom d’ ”effet de bord” (figures 2 et 3). L’erreur de l’ap- proximation sur [ωA, ωB] est alors att´enu´ee sur cet inter- valle, en ´etendant la bande de fr´equences de synth`ese de l’op´erateur sν `a [ωb, ωh], o`u : ωb = ωA σ ωh = ωB · σ . (5) L’effet de bord est consid´erablement r´eduit en choisissant σ ≥ 10 [27]. L’approximation de l’op´erateur int´egro-diff´erentiel sν sur la bande de fr´equence [ωA, ωB] est donn´ee par la relation : sν → sν [ωA,ωB] = C0 1 + s ωh 1 + s ωb ν ≈ C0 N k=1 1 + s ω′ k 1 + s ωk (6) o`u C0, les pulsations ωk et ω′ k sont : ω′ 0 = α 1 2 ωb, ω0 = α 1 2 η ωb, (7) ωk+1 ω′ k = α, ω′ k+1 ωk = η, (8) C0 = ωh ωb ν 1 + ω2 b 1 + ω2 h ν 2 . (9) Les param`etres r´eels α et η sont d´efinis par l’ordre int´egro- diff´erentiel ν, tel que : ν = log (α) log (α · η) . (10) C. Approximation rationnelle de la fonction de Davidson- Cole Une des fonctions ´el´ementaires d’ordre non entier est la fonction de Davidson-Cole [18], d´efinie par : F (s) = A s ωu + 1 ν . (11) Comme sa r´eponse indicielle ne pr´esente pas de d´epassement, et ce quel que soit ν ∈ R+, cette fonction est utilis´ee dans les sous-mod`eles du multimod`ele fraction- naire du muscle [12]. Cette fonction peut ˆetre approxim´ee par : ˆF (s) = A s ωh + 1 s ωu + 1 ν , (12) 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 −40 −20 0 20 40 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 −100 −80 −60 −40 −20 0 Frequency (rad/s) Frequency (rad/s) Phase(rad)Magnitude(dB) ωb ωA ωB ωh sν sν [ωA,ωB] asymptotic behavior Fig. 2. Op´erateur int´egro-diff´erentiel s−0.5 et son approximation s−0.5 [0.1,10] , avec σ = 10 10 −4 10 −2 10 0 10 2 10 4 −100 −50 0 50 100 10 −4 10 −2 10 0 10 2 10 4 −100 −80 −60 −40 −20 0 sν sν [ωA,ωB] Magnitude(dB) Frequency (rad/s) Phase(deg) ν = −0.2 ν = −0.5 ν = −0.8 ν = −1.1 Fig. 3. Op´erateurs int´egro-diff´erentiels sν et leur approximation sν [10−2,102] pour ν = −0.2, −0.5, −0.8 et − 1.1, avec σ = 10 en consid´erant la bande de fr´equences de synth`ese [−∞, ωB] o`u ωh = ωB · σ et σ = 10 ou 100. (13) Cette formulation est identique `a celle de l’approximation de l’op´erateur int´egro-diff´erentiel (6), et am`ene ainsi `a une fonction de transfert rationnelle : ˆF (s) ≈ Ci N k=1 1 + s ω′ k 1 + s ωk (14) dont les pˆoles et les z´eros sont d´etermin´es par les relations (7-10). D. Simulation temporelle La simulation d’une fonction de transfert rationnelle dans le domaine temporel est r´ealis´ee par la fonction lsim de Matlab . Cette fonction n´ecessite trois arguments : le vecteur d’entr´ee, le vecteur temps (discr´etis´es au pas d’´echantillonnage fixe h), et la fonction de transfert du syst`eme `a simuler (obtenue par la sp´ecification dans la fonc- tion zpk de Matlab , des pˆoles, des z´eros et du gain sta- tique de l’approximation). e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 34-39 IV. Mod´elisation du syst`eme musculaire A partir d’une observation exp´erimentale d´ecrite dans le paragraphe suivant, le principe de notre mod`ele mus- culaire est d´etaill´e dans la deuxi`eme partie de cette sec- tion. La sommation lin´eaire de r´eponses d’unit´es motrices h´et´erog`enes est finalement v´erifi´ee `a partir de donn´ees exp´erimentales. A. Evolution param´etrique exp´erimentale L’´etude de la r´eponse d’unit´es motrices `a une sollicita- tion de type modulation de fr´equence triangulaire met en ´evidence une caract´eristique primordiale de l’activation de l’unit´e motrice. En effet, l’amplitude maximale de la r´eponse musculaire (δAk) `a une ki`eme impulsion, est fonction de l’amplitude ini- tiale (Aik ) de la force atteinte lors de l’application de cette impulsion. L’´evolution de ce param`etre suit, en premi`ere approximation, l’´equation d’une droite telle que : δAk = a1 · Aik + b1, (15) dont les param`etres (a1, b1) sont obtenus en utilisant les moindres carr´es simples. La dur´ee de la phase de contraction (τj) est aussi fonc- tion de Aik , et est de mˆeme mod´elis´ee par une ´equation de droite : τjk = a1 · Aik + b1. (16) Ces caract´eristiques biologiques et leur mod´elisation sont illustr´ees par les figures 4 (B) et (C). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 0 5 10 15 20 5 10 0 5 10 15 20 20 30 40 0.0005 (−0.86284 Ai + 41.3697) −0.32455 Ai + 7.2487 A B C Temps (s) Force Ai δA Ai τj Fig. 4. Mod´elisation de l’amplitude de la r´eponse (δAk) et de la dur´ee de la phase de contraction (Tjk ) en fonction de l’amplitude initiale (Aik ) de la force atteinte lors de l’application de la ki`eme impulsion pour une stimulation de type modulation de fr´equence triangulaire. B. Principes du multimod`ele A travers l’utilisation de deux sous-mod`eles fraction- naires, la structure du multimod`ele permet de d´ecomposer les phases de contraction et de relaxation de l’activation musculaire. Le principe de fonctionnement du multimod`ele fractionnaire est illustr´e par la figure 5 [14]. Pour une ki`eme impulsion : ⋄ le sous-mod`ele M 1 (s) est actif pendant la phase de contraction (t ∈ [tk, tk + Tjk ]). La r´eponse temporelle est donn´ee par : fC (t, λ1, G1) = L −1    1 s G1 s λ1 + 1 ν1    + Aik (17) ⋄ le sous-mod`ele M 2 (s) est actif pendant la phase de re- laxation (sur l’intervalle [tk + Tjk , tk+1]). Pendant cet in- tervalle de temps, la r´eponse temporelle est donn´ee par : fR (t, κ, τ2) = Am,k −Am,kL −1 (1−κ·e−s·τ2 ) s 1 s λ2 +1 ν2 (18) o`u Am,k est l’amplitude de contraction atteinte `a tk + Tjk . ⋄ l’´el´ement non lin´eaire (NLE) permet de rendre actif soit M 1 (s), soit M 2 (s). Lors d’une nouvelle impulsion `a tk, M 1 (s) est s´electionn´e pendant une dur´ee Tjk . A tk + Tjk , et ce, tant qu’aucune nouvelle impulsion n’est appliqu´ee, M 2 (s) est s´electionn´e; ⋄ les blocs ”zoh” correspondent `a des bloqueurs d’ordre z´ero, synchronis´es sur la d´etection des impulsions et non sur la p´eriode d’´echantillonnage. Ils permettent de figer les param`etres des sous-mod`eles jusqu’`a l’impulsion suivante. Les param`etres G1, λ1, Tj,κ et τ2 sont fonction de l’´etat dans lequel l’unit´e motrice se trouve lors de l’application de la k`eme impulsion. Ces param`etres d´ependent aussi de l’´etat de fatigue/mise en forme du muscle [10] :    G1 = (a1 · A0,i + b1) + ∆G1 · e − t τG1 λ1 = (a2 · A0,i + b2) + ∆λ1 · e − t τλ1 ν1 = b3 λ2 = b4 + ∆τλ2 · e − t τλ2 ν2 = b5 τ2 = (a6 · A0,i + b6) + ∆τ2 · e − t ττ2 κ = (a7 · A0,i + b7) + ∆κ · e− t τκ Tj = (a8 · A0,i + b8) + ∆Tj · e − t τTj . (19) C. Mod´elisation d’unit´es motrices h´et´erog`enes Si le multimod`ele fractionnaire permet de mod´eliser l’ac- tivation d’unit´es motrices homog`enes - ou quasi homog`enes, des ´etudes r´ecentes [7], [6] ont d´emontr´e que les fibres d’une unit´e motrice peuvent ˆetre de nature tr`es h´et´erog`ene. Ces unit´es motrices sont difficilement mod´elisables par notre multimod`ele fractionnaire. Cependant, les observa- tions d´ecrites dans ce paragraphe permettent de v´erifier que la combinaison des multimod`eles fractionnaires de chaque type d’unit´e motrice homog`ene, permet de mod´eliser les unit´es motrices h´et´erog`enes. Trois unit´es motrices d’un mˆeme muscle sont ´etudi´ees pour cet exemple (not´ees UM1, UM2 et UM3). Les r´eponses de l’unit´e motrice UM1 `a diff´erents types de stimulation (sti- mulations de fr´equences fixes et variables) correspondent `a la somme pond´er´ee des r´eponses des unit´es motrices UM2 et UM3 (figure 6) : FUM1 ≈ 0.7 FUM2 + 1.5 FUM3 . (20) e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 34-39 M 1 M 2 M 2 M 3 t > < Tj R´egime transitoire Amplification de la force M 1 = f (G0, ν1, λ1)M 1 = f (G0, ν1, λ1) M 3 = f (ν2, λ2, κ, τ2)M 3 = f (ν2, λ2, κ, τ2) e−s·Tj e−s·r2 × u (t) y (t) xi = xi0 + δxi · e − t τxi xi = max([ai · y (t) + bi, si]) κ + + + + + + Fig. 5. Principe du multimod`ele complet Ces coefficients sont obtenus par la m´ethode des moindres carr´es. 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 B Temps (s) Force Temps (s) Force UM1 UM3 UM2 0.7 UM2 + 1.5 FUM3 (a) (b) (c) (e) (f) Fig. 6. La combinaison lin´eaire des r´eponses des deux unit´es motrices (UM2 et UM3) correspond `a la r´eponse d’une troisi`eme unit´e motrice (UM1) pour chaque type de stimuli (fr´equence fixe 10, 20 et 40Hz (respectivement a, b et c), et pour des modulations de fr´equence triangulaires (d et e)) Les r´esultats mis en ´evidence par la figure 6 valident ainsi l’hypoth`ese de la sommation lin´eaire pond´er´ee de contribu- tions d’unit´es motrices homog`enes ou h´et´erog`enes au sein du muscle. Les figures 7 et 8 repr´esentent le r´esultat de la mod´elisation et de la validation des multimod`eles fractionnaires des unit´es motrices UM2 et UM3 (les ph´enom`enes transitoires de fatigue/mise en forme du muscle ne sont pas pris en compte). Les param`etres des sous-mod`eles sont donn´es par le tableau I. V. Conclusion Les observations r´ealis´ees au niveau de l’unit´e motrice permettent de d´ecorr´eler les m´ecanismes mis en jeu lors UM2 UM3 ai bi ai bi G1 -0.007 0.0164447 -0.0015573 0.0249045 λ1 -0.1363 0.315479 0.019568 2.51382 ν1 - 0.415399 - 1.52479 λ2 - 1.4003 - 2.22787 ν2 - 1.8006 - 2.38374 κ 0.3036 0.262497 0.0024806 0.215208 τ2 -3.7041 2.056 -0.055729 0.812313 T j -14.7495 51.40349 -0.63086 23.1925 TABLE I Valeurs des param`etres utilis´es pour les multimod`eles de UM2 et UM3 (respectivement ´etablies sur les r´eponses (d) des figures 7 et 8) 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 Temps (s) Force Temps (s) Force syst`eme mod`ele (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fig. 7. Validation de la mod´elisation de UM2 (unit´e motrice de type FF) sur la r´eponse `a un stimuli de type modulation de fr´equence triangulaire (e) et validation sur les r´eponses aux sollicitations de fr´equence fixe 10, 20, 40 et 60Hz (respectivement a, b, c et d), et de modulation de fr´equence triangulaire (f). La non prise en compte de la non-stationnarit´e de la r´eponse de l’unit´e motrice induit une erreur de mod´elisation non n´egligeable pour les stimuli de fr´equence fixe de la phase de contraction, de ceux de la relaxation. Deux sous-mod`eles permettent de d´ecrire les deux phases de l’ac- tivation de l’unit´e motrice. De plus, l’introduction de la d´erivation non enti`ere dans ces sous-mod`eles permet d’op- timiser le compromis erreur de mod´elisation/parcimonie du sous-mod`ele. Les param`etres du multimod`ele fractionnaire sont d´eter- min´es `a partir d’une r´eponse particuli`erement riche en in- formations : la r´eponse `a une stimulation de type modula- tion de fr´equence triangulaire d’une dur´ee de l’ordre de 3 `a 4 s. Quels que soient les signaux d’excitation qui ont ´et´e consid´er´es pour la validation (de fr´equence fixe, de fr´equence variable ou al´eatoire), et bien que le mod`ele n’int`egre qu’une partie restreinte des m´ecanismes physiolo- giques mis en jeu, le multimod`ele fractionnaire a d´emontr´e sa capacit´e `a pr´edire la force g´en´er´ee pour des stimulations de l’ordre de 30 secondes - avec une dur´ee de simulation de l’ordre de la seconde. Si la plupart des unit´es motrices d’un muscle sont e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 34-39 0 2 4 6 8 10 12 0 0.5 1 1.5 2 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.5 1 1.5 2 Temps (s) Force Temps (s) Force syst`eme mod`ele (b) (c) (c) (d) (e)(e) Fig. 8. Validation de la mod´elisation de UM3 (unit´e motrice de type FR) sur la r´eponse `a un stimuli de type modulation de fr´equence triangulaire (d) et validation sur les r´eponses aux sollicitations de fr´equence fixe 10, 20, 40 Hz (respectivement a, b et c), et de modulation de fr´equence triangulaire (e). La non prise en compte de l’effet non-stationnaire de la r´eponse de l’unit´e motrice induit une erreur de mod´elisation non n´egligeable pour les stimuli de fr´equence fixe mod´elisables par le multimod`ele fractionnaire, d’autres font apparaˆıtre clairement l’h´et´erog´en´eit´e des fibres musculaires qui la compose. Partant d’observations exp´erimentales tou- jours r´ealis´ees au niveau de l’unit´e motrice, la derni`ere par- tie de cette communication confirme l’hypoth`ese de la som- mation lin´eaire des contributions d’unit´es motrices. Par ex- tension, la combinaison de multimod`eles fractionnaires (un par type d’unit´e motrice pr´esente dans le muscle consid´er´e) permet ainsi la mod´elisation de l’activation globale de ce muscle. Une ´etape suppl´ementaire vers la conception d’un action- neur bio-inspir´e pour la micro-robotique est actuellement abord´ee, et consiste `a d´eterminer les motifs d’impulsion n´ecessaires au(x) multimod`ele(s) pour g´en´erer un profil de force particulier. R´ef´erences [1] R. Riener et T. Fuhr. Patient-driven control of fes-supported standing up : a simulation study. IEEE Transactions on Reha- bilitation Engineering, 6(2), 1998. [2] S.J. Dorgan et M.J. O’Malley. A mathematical model for skeletal muscle activated by n-let pulse trains. IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering, 6(3), 1998. [3] H. El Makssoud, D. Guiraud, et P. Poignet. Mathematical muscle model for functional electrical stimulation control stra- tegies. 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