Optimisation de la gestion d’un réseau hydrographique en période de crues : Introduction d’une approche floue

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-2:17217
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Optimisation de la gestion d’un réseau hydrographique en période de crues : Introduction d’une approche floue

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OPTIMISATION DE LA GESTION D’UN RESEAU HYDROGRAPHIQUE EN PERIODE DE CRUES : Introduction d’une approche floue MAJDI ARGOUBI1 , ABDELKADER EL KAMEL1 , KHALED MELLOULI2 1 Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS) Ecole Centrale de Lille, BP 48, 59651 Villeneuve d’Ascq Cedex, France 2 Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de Décision et de Contrôle des procédés (LARODEC) Institut des Hautes Etudes Commerciales, 2016 - Carthage Présidence, Tunisie mejdiargoubi@yahoo.fr, abdellkader.elkamel@ec-lille.fr, khaled.mellouli@ihec.rnu.tn Résumé –Un couplage serré entre la Programmation Dynamique Stochastique (PDS) et un Système d’Information Géographique (SIG) nous a permis en premier temps d'établir les lâchers les moins pénalisants pour l’optimisation de la gestion d’un réseau hydrographique en périodes de crues. Cette dernière modélisation dépend d'un paramètre de gestion α, une pondération départageant les deux objectifs de la gestion en périodes de crues : la minimisation des dégâts en aval et le non dépassement des capacités d’écrêtement des barrages. Le paramètre α était alors fixé a priori. Même si la règle de gestion est jugée satisfaisante, des défaillances sont détectées. L’idée est alors d’introduire une approche floue pour calculer dynamiquement le paramètre α, c'est-à-dire de définir des règles permettant de le faire varier, en temps réel, chaque fois que les limites de capacités consignées sont approchées. Cette nouvelle approche offre la possibilité de prendre en compte les différentes phases de déroulement de la crue. Les résultats ainsi obtenus sont validés sur le réseau hydrographique du nord tunisien. Mots-clés – PDS, Approche Floue, Gestion optimale I. INTRODUCTION Le problème d’optimisation de la gestion d’un réseau hydrographique en périodes de crues consiste à résoudre un problème tactique de coordination des lâchers des réservoirs. Une stratégie de crues cherchera alors, à chaque pas de temps, un compromis entre atteindre des stocks de sécurité au niveau des réservoirs et minimiser les dégâts avals au niveau des sections du fleuve. Dans un tel système de contrôle, les actions sont généralement régies par des humains en fonction de l'évolution des conditions environnementales et en considération des exigences et spécificités spatiales du système. Les conditions hydrologiques ont un comportement non-linéaire et probabiliste ce qui rend la détermination objective des lâchers optimaux peut être extrêmement difficile. Dans la pratique, lorsque les consignes d’exploitation prédéfinies sont mises en œuvre la transition d’un niveau de lâcher à un autre peut être brusque. En périodes de crues, ceci ne peut être acceptable si ces lâchers n’accordent pas un temps suffisant d’évacuation aux avaliers. Ces exigences sont les objectifs fondamentaux dans une stratégie de gestion de crues. Dans la littérature, plusieurs méthodes et modèles ont été présentés pour la réalisation d'un contrôle efficace de réservoirs [5, 14, 17]. Beard a présenté une méthode déterministe de gestion [6]. Windsor a employé la programmation linéaire récursive pour la gestion d’un réservoir en périodes de crues [20]. Ahmad et al. ont développé un système d’aide à la décision pour l’optimisation des lâchers d’eau à la retenue de Shellmouth au Canada pour la protection contre les crues [1]. Can et Houck ont mis au point un modèle de goal-programming pour la gestion horaire d’un système multi-réservoirs [8]. Ozelkana et al. ont employé la programmation dynamique quadratique pour la gestion des réservoirs d'eau [14]. En raison d’un processus d’information incertain, la dynamique des réseaux hydrographiques varie d’une façon non linéaire, et les modèles mathématiques de contrôle paressent insuffisants pour fournir une solution optimale pour ce type de processus [17,18]. L'intégration de l'intelligence artificielle dans le modèle de gestion permet à ces systèmes d'être plus flexible, de s'adapter aux différentes conditions, et d'y inclure l'expertise humaine dans leur processus de décision. Le réseau hydrographique du nord tunisien sera considéré dans cette étude (figure 1). Un exemple de consignes d’exploitation courantes est exposé dans le tableau 1. Suivre ces règles de gestion simples est relativement efficace. Elles présentent de nombreuses avantages, notamment parce qu’elles adoptent une démarche s’inspirant très directement de l’attitude du barragiste. L’expérience lui permettra alors de gérer son barrage. Néanmoins, il ne serait plus comment procéder à cette simplification d’un point de vue pratique lorsqu’on a un système complexe à commander et des situations exceptionnelles à gérer. Il devra alors prendre d’autres dispositions particulières. Il subsiste donc un besoin immédiat de méthodes plus robustes de gestion. Dans ce document, afin de contrôler automatiquement le réseau hydrographique, une méthode de contrôle basée sur la programmation dynamique stochastique et la logique floue est proposée. La structure de la base de règles et le nombre des règles floues sont déterminés en se basant sur l’expertise humaine mais aussi en tenant compte des caractéristiques de notre programme d’optimisation. Les résultats obtenus utilisant l’approche floue sont comparés avec celles de la PDS utilisant un paramètre de gestion fixé a priori [3]. II. PROGRAMMATION DYNAMIQUE STOCHASTIQUE ET APPROCHE FLOUE A. Programmation Dynamique Stochastique (PDS) La réalité hydrologique impose toujours une évolution stochastique d’un système de ressource en eau. La PDS est une extension naturelle de la programmation dynamique déterministe. La procédure d’optimisation est généralement e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 28-33 similaire à celle du cas déterministe. La PDS est une méthode formulée par Bellman [7]. Elle consiste à optimiser les processus de décision en plusieurs étapes. Elle est très utilisée dans l’optimisation des systèmes de ressources en eau. Sa popularité est du au fait qu’elle peut gérer l’aspect dynamique, non linéaire et stochastique de ces systèmes. En plus elle offre l’avantage de décomposition d’un problème complexe ayant un nombre élevé de variables en des sous problèmes. Les plus populaires travaux de contrôle des lâchers sont reportés dans [17], [18] et [19]. 1. Dynamique du système Quand la PDS est employée pour l’optimisation de la gestion de réservoirs, l’horizon de modélisation est généralement devisé en plusieurs pas de temps de décision. Les états du système à chaque étape peuvent être décrits par les stocks d’eau dans les réservoirs et les hauteurs d’eau au niveau du fleuve. Les variables de décision seront alors les lâchers. Une étape est représentée par une période t. La transition d’une étape à une autre est caractérisée par l’équation de continuité suivante au niveau d’un réservoir : 1t t t tS S AP R+ = + − (II.1) Où St représente le stock d’eau à la période t, APt est l’apport en eau enregistré à la période t et Rt le lâcher de la période t. Considérons un problème avec T périodes (t = 1, 2, . . ., T) où l’action Rt du système est prise suite à l’observation de son état St. Comme conséquence de l’action prise, le système passe de l’état St à l’état St+1 qui va être observé à la prochaine période. Souvent, en gestion de réservoirs, le nombre des variables d’état est supposé fini. Une propriété fondamentale du système est la propriété markovienne qui stipule que le comportement futur, conditionné par l’action et l’état présent, est indépendant des états et actions passés. En terme de distribution de probabilité, cette condition peut être interprétée par ; pour t = 1, . . ., T : 1 1 1( / , 1,..., ) ( / , )t t t t t t tP S j S i S i R P S j S i R+ − += = = − = = = (II.2) La transition du système est régie par l’équation (II.1), la probabilité de transition de l’état i à l’état j sera alors celle de la réalisation de l’apport permettant cette transition. Figure 1 : Réseau hydrographique du nord tunisien Cote au barrage en mètre Débit lâché 453 58.5 m3 /s 435.5 205.5 m3 /s 436 399.5 m3 /s 436.5 541.5 m3 /s 437 869.5 m3 /s Tableau 1 : Exemple de consignes d’exploitation courantes 2. Objectifs de la gestion La fonction objectif doit représenter de manière mathématique les attentes du barragiste. Le choix de cette fonction est délicat puisqu’elle est le centre de la gestion et exclut tous autres caractères qu’elle n’explicite pas. Dans le cas de gestion de réservoirs en périodes de crues il s’agit généralement de se garantir au maximum contre un dépassement des capacités d’écrêtement des barrages et avoir un minimum de dégâts en aval. Notre démarche consiste alors à imposer une pénalité à chaque déviation du système suite au dépassement des normes de sécurité au niveau des réservoirs et au niveau des sections du fleuve. Pour un stock j tS , cette pénalité est calculée ainsi: 2 max ( ) j j t sécurité t sécurité S S Q S S S  − =   −   (II.2) Où Smax et Ssécurité désignent respectivement le stock maximum et le stock de sécurité du réservoir au dessus duquel il devient de plus en plus difficile de gérer la crue. Pour une transition, une décision de lâcher Rt est prise, les coûts de débordement au niveau des n sections du fleuve sont déterminés par : 2 1 ( ) N n n t alerte t n n débordementt alerten H H L R H H =  − =   −   ∑ (II.3) Où n alerteH et n débordementtH désignent respectivement la hauteur d’alerte et la hauteur de débordement d’une section n du fleuve. Ces hauteurs sont données à travers une simulation via un système d’information géographique [10]. Selon l’équation (II.2), le stock future St+1 dépend uniquement de St. Dans ce cas, la règle de décision Rt est dite markovienne [13]. Notre modèle est donc un modèle de Processus de Décision Markovien (PDM) en horizon fini qui peut être décomposé en T sous-problèmes d’une période qui seront résolus par récursion via le principe d’optimalité de Bellman qui s’énonce comme suit : Lemme : Dans un processus d’optimisation dynamique, une suite de décisions est optimale si, quels que soient l’état et l’instant considérés sur la trajectoire qui lui est associée, les décisions ultérieures constituent une suite optimale de décisions pour le sous-problème dynamique ayant cet état comme conditions initiales ”.[9] Soit t iV la valeur du coût total subi. Pour 1,2,..., 1t T= + , on a l’équation de Bellman suivante: ( ) 1 ( ) 1 ( )tRt j t i t ij t j j V L R P Q S Vα α + = + − +  ∑ (II.4) e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 28-33 Où ( )tL R est la fonction qui représente le coût immédiat donné par (II.3) et le reste désigne la valeur espérée du coût donné par (II.2). α est une pondération comprise entre 0 et 1, départageant les deux objectifs exprimés dans (II.4). A titre d’exemple, lorsque α est choisi proche de 0, on favorise le non dépassement des capacités d’écrêtement du barrage. Une stratégie de crues cherchera alors, à chaque pas de temps, un compromis entre atteindre un stock de sécurité en un faible nombre de pas de temps et réaliser un écrêtement efficace. Pour chaque période t, on discrétise les variables du modèle selon la méthode décrite dans [3]. Partant de l’hypothèse que les coûts optimaux terminaux sont connus, pour tout état i du système, la fonction t iV est obtenue par récursion à rebours en commençant par t = T+1 et cela en appliquant l’algorithme d’amélioration de la politique (Algo1). Algo1. Algorithme d’itération de la politique (PDS) ( ) 1 1 1 1 1 1 initialiser , , 1 tout états ( ) 1 ( )t t t i R jt t i t ij jt j R V t t i V L R P Q S V t α α α + + + + + + ← +  ← + − +   ← ∑ répéter pour faire fin pour ( )1 * * 0 -1 tout état i arg min ( ) 1 ( ) -1 t t t R j t t ij t j R j t t R L R P Q S V t t R R α α−     ← + − +      ← = ∑ pour faire fin pour jusque B. Logique Floue La logique floue est une technique utilisée en intelligence artificielle. Elle a été formalisée par Lotfi Zadeh en 1965 et utilisée dans des domaines aussi variés que la gestion, le contrôle, l'environnement (météorologie, climatologie, sismologie), la sélection et prévention des risques et bien d'autres. Si la modélisation mathématique d’un processus est complexe ou si le processus est non linéaire ou dépendants du temps, ou s’il est difficile, voire impossible, de le contrôler avec les méthodes conventionnelles, la logique floue serait alors la méthode la plus appropriée pour ce type de problème. Cette méthode de contrôle procure une solution efficiente pour les processus non linéaires, principalement grâce à son habilité à combiner les informations de différentes sources, tels que les modèles mathématiques, l’expérience des opérateurs et les bases de données. L’approche floue consiste à remplacer les algorithmes de réglage conventionnels par des règles linguistiques du type : SI ALORS. Ainsi on obtient un algorithme linguistique qui se prête mieux que les méthodes traditionnelles à la commande d’un processus. Le schéma général d’une Approche Floue est donné par la figure 2. On procède, tout d’abord, à la partition en sous- ensembles flous des différents univers de discours que le système impose. Ensuite, on détermine la base de règles qui va caractériser le fonctionnement désiré du système. Puis, il faut transformer les variables réelles, c’est à dire celles qui ont une réalité physique, en variables floues. On appelle cette étape la fuzzification. On utilise alors ces variables floues dans un mécanisme d’inférence qui crée et détermine les variables floues de sortie en utilisant les opérations sur les fonctions d’appartenance. Enfin, on opère à la défuzzification qui consiste à extraire une valeur réelle de sortie à partir de la fonction d’appartenance du sous-ensemble flou de sortie établi par le mécanisme d’inférence. Ces concepts ont été introduits pour éviter les passages brusques d’une classe à une autre et autoriser une appartenance partielle à chacune des classes. Certaines applications de la logique floue dans les sciences hydrologiques peuvent être trouvées dans la littérature [11] [12], [15] et [16]. Russel et al. ont proposé une approche basée sur l'optimisation de la technique de programmation floue pour le développement de règles de gestion d’un réseau simplifié de réservoirs hydroélectriques. Shrestha et al. ont proposé un modèle basé sur des règles floues pour le lac de Tenkiller dans l'Oklahoma. Kumar et al. ont présenté une méthode basée sur la programmation linéaire floue pour l'optimisation des politiques de gestion. Jolma et al. ont décrit une tentative de modélisation du fonctionnement d'un système de cinq réservoirs en utilisant une approche basée sur la logique floue. III. APPROCHE FLOUE Lorsque les apports en eau vers les réservoirs changent subitement, les lâchers doivent être effectués avec soin. Cela peut être fait convenablement en adaptant la technique de gestion la plus adéquate. La quantité d'eau qu’on peut lâcher dépend alors de la méthode de contrôle. Les lâchers en périodes de crues doivent être réglementés en fonction de l'évolution probable des apports en eau. Pour un apport faible, si les évacuateurs sont grandes ouvertes, une quantité d’eau dans le réservoir sera perdu inutilement. Inversement, si les vannes ne sont pas suffisamment ouvertes pour un apport en eau dangereux, il pourrait endommager le barrage, la nature et la vie humaine en aval. Conventionnellement, après avoir calculé les lâchers probables par la PDS, la meilleure politique de gestion est déterminée, afin de guider le barragiste durant les futures crues. On a remarqué que dans le modèle de gestion du réseau hydrographique du nord tunisien précédent, les règles de fonctionnement font des sauts soudains et brusques ne laissant probablement pas un temps suffisant d’évacuation. Par conséquent, la nouvelle approche doit nous garantir des lâchers aussi lisses que possible et des stocks d'eau maintenus dans la fourchette consignée. Ces deux exigences sont les objectifs fondamentaux pour un contrôle efficace des réservoirs en périodes de crues. Puisque un apport en eau se produisant à un moment donné peut faire dévier les paramètres du modèle (notamment α) d’une façon brusque, une approche floue serait un outil efficace qui permettra de calculer dynamiquement ce paramètre pour mieux adapter le système à ces différentes fluctuations. La structure de l’approche floue est donnée par la figure 3. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 28-33 Les inputs de l’approche floue sont les stocks d’eau tS et les lâchers tR . L’output est le paramètre de pondérationα . Donc les lâchers seront contrôlés par le paramètreα , qui sera à son tour contrôlé par une approche floue. Pour tS , tR et α les intervalles normalisés sont définis respectivement comme suit : Chaque état du système est affecté d’une valeur dans l’intervalle normalisé [0,1] de la façon suivante : ( ) ( ) 1 2 2 1 21 2 max 1 0 si ( , ,..., ) si ( , ,..., ) 1 si = = = = − = − ∑ ∑ M t sécu sécu sécu sécu M m m t sécu Mm t t t tM m m sécu m S S s s s s s S s s s s s 1 2 max max max max( , ,..., )         = = M tS S s s s Chaque décision de lâcher est affectée d’une valeur dans l’intervalle normalisé [0,1] de la façon suivante : 1 21 max 1 1 2 max max max 0 si (0,0,...,0) si ( , ,..., ) 1 si ( , ,..., ) = =  =    =    = ∑ ∑ t M m t Mm t t t tM m m M t R r R r r r r R r r r Initialement, les fonctions d’appartenances sont déterminées en se basant sur l’expertise humaine mais aussi en tenant compte des caractéristiques de notre programme d’optimisation, c'est- à-dire le rôle joué par α dans le processus de contrôle du système. Dans notre cas, α est le paramètre qui commande nos objectifs. C’est une pondération qui donne plus de poids soit au non dépassement des capacités d’écrêtement soit à la minimisation des dégâts avals. Le tableau 2 présente la base de règles de la stratégie de commande de l'expert constituée de 25 règles. Les fonctions d’appartenances peuvent prendre plusieurs formes et cela dépend des préférences et de l’expérience de l’expert. Après considération de la structure physique de notre réseau hydrographique, toutes les variables floues sont présentées par des fonctions d’appartenance triangulaires, dans notre cas, cette forme est suffisante pour délimiter nos ensembles flous. L’output de chaque règle est déterminé par la méthode d’inférence max-min dite de Mamdani (figure 4), qui est la méthode la plus adéquate étant donné la nature de notre problème. Malheureusement, il n’existe pas de procédure systématique dans le choix de la méthode de défuzzification. Après plusieurs essais, les résultats des simulations montrent que la méthode de défuzzification par centre de gravité procure une meilleure performance que les autres stratégies de défuzzification (la méthode de maximum, la méthode des surfaces, la méthode des hauteurs…). IV. RESULTATS Notre étude a été réalisée sur le réseau hydrographique du nord tunisien. Au cours de l’optimisation, la détermination des hauteurs d’eau a été effectuée à travers un couplage serré d’un PDS et d’un SIG [4]. La méthode d’agrégation d’Archibald [2] a été utilisée pour l’adaptation de la méthode d’optimisation à un système à réservoirs multiples. Les simulations sont effectuées à l’aide du logiciel Mike 11&21. Son module hydrodynamique résout les équations de Saint-Venant [10] et permet de suivre l’évolution des hauteurs d’eau dans les différentes sections du fleuve et de déterminer les zones inondables. La période d’étude s’étale du 25 janvier 2003 jusqu’au 29 janvier. Les simulations sont menées sur la base des apports en eau observés et indiqués sur la figure 5. Les résultats des simulations produites par les deux méthodes de contrôle sont représentés par les figures 6-7. Ces méthodes de contrôle sont : la PDS et la gestion par introduction de l’approche floue du paramètre α. Des indices de performance de base pour les approches de contrôle utilisées dans ce travail sont tabulés dans le tableau 3. Pour une meilleure comparaison, plusieurs indices de performance tels que le lâcher maximum Rmax, le stock maximum Smax et la valeur maximum du taux de variation des lâchers (Rt+1-Rt)max sont utilisés dans ce tableau. Les conclusions suivantes peuvent être tirées : En premier lieu, l’intégration d’une approche floue pour le contrôle du paramètre α ne nécessite ni modèle mathématique ni simulations successives, le contrôle peut être effectué automatiquement, sans nécessiter une intervention humaine. D’après la figure 6, l’introduction d’une approche floue de α nous a permis d’obtenir une courbe de lâchers plus lisse que celle avec un α fixé a priori. La méthode de contrôle floue proposée est la plus systématique, dans la mesure où elle effectue des lâchers proportionnels aux apports en eau. D’après la figure 7, l’approche floue réduit avec succès le stock d’eau du réservoir pour s’approcher d’un niveau consigné chaque fois que les apports en eau croissent. Par conséquent, cette méthode présente un comportement plus fiable surtout en présence de fortes précipitations. On constate aussi qu’avec une approche floue on a aussi un comportement plus fiable pour des faibles apports en eau. Toutefois, la PDS n’est pas en mesure de produire de bons résultats pour tous les niveaux d’apport en eau, particulièrement, la performance de la PDS s'aggrave pour les faibles d’entre eux. Par conséquent, si on la compare avec la technique classique, l’introduction d’une approche floue est une alternative fiable et précise. Ces caractéristiques sont hautement souhaitables dans la gestion des réservoirs en périodes de crues. V. CONCLUSION Dans ce papier, une méthode de contrôle efficace basée sur la logique floue et l’algorithme d’optimisation de la programmation dynamique stochastique est présentée pour la gestion des lâchers d’un réseau hydrographique en périodes de crues. L’approche floue est utilisée pour déterminer le paramètre α qui contrôle les deux objectifs de la gestion. Les résultats obtenus par le contrôle intelligent sont comparés à ceux obtenus avec une pondération α fixée à priori. Par le recours à l’expertise humaine, la tâche de déterminer la structure règle devient systématique et, par conséquent, un meilleur contrôle de performance est atteint. Les résultats des simulations montrent que l’approche de contrôle basée sur la logique floue est plus souple. Ces résultats sont fiables en particulier sous des conditions hydrologiques extrêmes. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 28-33 Base de règles et définitions Mécanisme d’inférence Interface de fuzzification Interface de défuzzification Variables d’entrée réelles Variables de sortie réelles Variables d’entrée floues Variables de sortie floues Base de règles et définitions Mécanisme d’inférence Interface de fuzzification Interface de défuzzification Variables d’entrée réelles Variables de sortie réelles Variables d’entrée floues Variables de sortie floues Figure 2 : Schéma général d’une Approche Floue Algorithme de la PDS Réservoirs Commande floue Calcul α tRtS tAP tS Algorithme de la PDS Réservoirs Commande floue Calcul α tRtS tAP tS Figure 3 : Structure de l’approche floue Tableau 2 : La base de règles floues Figure 4 : La méthode d’inférence de Mamdani Indice de performance PDS Approche floue maxR (m3 /s) 501 527 1 max( )t tR R+ − (m3 /s) 214.17 112 maxS (Mm3 ) 880.841 858 Tableau 3: Indices de performance Apports en eau en m3/s 0 100 200 300 400 500 600 700 800 25/01/03 26/01/03 27/01/03 28/01/03 29/01/03 Figure 5 : Apport en eau en m3 /s 0 100 200 300 400 500 600 25/01/2003 11 26/01/2003 17 27/01/2003 23 29/01/2003 05 Lachérs calculés "PDS" Lachérs calculés après introduction de l'approche floue Figure 6: Lâchers calculés par les deux approches 650 700 750 800 850 900 25/01/03 10h 26/01/03 06h 27/01/03 02h 27/01/03 22h 28/01/03 18h 29/01/03 14h Stock calculé "PDS" Stock calculé après l'introduction de l'approche floue Figure 7: Stocks calculés par les deux approches Figure 8 : Périmètre inondable pour α fixe tR tS MoyenFaibleTrès FaibleTrès FaibleTrès FaibleTrès Élevé FaibleFaibleTrès FaibleTrès FaibleTrès FaibleÉlevé ÉlevéÉlevéMoyenFaibleFaibleMoyen Très ÉlevéÉlevéMoyenMoyenMoyenFaible Très ÉlevéTrès ÉlevéÉlevéMoyenMoyenTrès Faible Très ÉlevéÉlevéMoyenFaibleTrès Faible MoyenFaibleTrès FaibleTrès FaibleTrès FaibleTrès Élevé FaibleFaibleTrès FaibleTrès FaibleTrès FaibleÉlevé ÉlevéÉlevéMoyenFaibleFaibleMoyen Très ÉlevéÉlevéMoyenMoyenMoyenFaible Très ÉlevéTrès ÉlevéÉlevéMoyenMoyenTrès Faible Très ÉlevéÉlevéMoyenFaibleTrès Faible e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 28-33 Figure 9 : Périmètre inondable avec Approche floue VI. 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