Commande de systèmes non retardés par retour de sortie statique échantillonné 

03/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-2:17215
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Résumé

Commande de systèmes non retardés par retour de sortie statique échantillonné 

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Commande de systèmes non retardés par retour de sortie statique échantillonné Alexandre Seuret1 , Karl H. Johansson2 , Michel Dambrine 3 1 GIPSA LAB UMR 5216 CNRS - Grenoble INP - Université Joseph Fourier - Université Stendhal 2 ACCESS Linnaeus Centre Royal Institute of Technology, Stockholm , Suède 3 LAMIH UMR CNRS-UVHC 8530, ENSIAME - Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, 59313 Valenciennes cedex 9, France alexandre.seuret@gipsa-lab.inpg.fr, kallej@kth.se, Michel.Dambrine@univ-valenciennes.fr Résumé— Il est connu que, pour des systèmes linéaires, il n’est pas toujours possible de construire une loi de com- mande par retour de sortie statique qui stabilise le système. Cet article propose une méthode permettant d’élargir la classe de ces systèmes en ajoutant un retard et un échan- tillonnage dans la loi de commande, qui sont optimisés pour un couple de gains de contrôleur donné par rapport aux performances des solutions et par rapport à la taille de la mémoire du contrôleur. Un exemple montre la pertinence de cette méthode. Mots-clés— Retour de sortie, commande échantillonnée, sta- bilité exponentielle, fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii discrétisées, retard stabilisant. I. Introduction Lorsque l’on étudie un processus réel, il n’est pas tou- jours possible de disposer de la mesure de l’état que ce soit pour des raisons techniques (variables non mesurables ou non accessibles) ou économiques (prix du capteur). On ne dispose alors que d’une partie de l’état que nous appelle- rons ici la sortie. L’utilisation d’un observateur (ou “recons- tructeur”) est requise pour délivrer une estimation de l’état complet en utilisant ces données réduites de sortie. Il est bien évidemment possible de construire un retour de sortie dynamique en introduisant, par exemple, un observateur fournissant une estimation de l’état complet qui sera uti- lisée dans la loi de commande. Cette méthode est efficace mais augmente la quantité d’opérations que doit réaliser le contrôleur. Or, plusieurs auteurs ont développé des mé- The work by A. Seuret was partially supported by European Com- mission through the HYCON Network of Excellence, the Swedish Foundation for Strategic Research and by the Swedish Research Council. It has also been supported by the International Campus on Safety and Intermodality in Transportation, the European Com- munity, the Délégation Régionale à la Recherche et à la Technologie, the Ministère de l’Enseignement supérieur et de la Recherche, the Région Nord Pas de Calais and the Centre National de la Recherche Scientifique : the second author gratefully acknowledges the support of these institutions. thodes qui n’utilisent que les informations de sortie pour contrôler le système. Par exemple, on peut se référer à [1]. Ces techniques réduisent la complexité des calculs. Cepen- dant, il n’est pas toujours possible de construire une telle loi de commande qui stabilise les solutions du système. Cet article propose une méthode permettant d’élargir la classe des systèmes stabilisables par retour de sortie sta- tique en utilisant de récents résultats concernant les sys- tèmes à retards. Dans [2], [3], il est montré que pour cer- tains systèmes, la présence d’un retard non nul dans les équations a un effet stabilisant. Cette idée laisse penser que, pour un système qui n’est pas stabilisable par un re- tour de sortie statique classique, l’introduction d’un retard dans une loi de commande par retour de sortie statique peut aider à la stabilisation. Dans ce cadre, on peut donc parler de retard stabilisant. Cette idée de retard stabilisant n’est pas nouvelle. Plu- sieurs auteurs ont déjà dirigé leurs recherches dans cette direction [4], [5], [6], [7]. Il a été montré qu’effectivement l’ajout d’un retard peut aider à la stabilisation. Cependant ces résultats ne donnent aucune indication quant au réglage des gains et de la valeur du retard permettant d’améliorer les performances dynamiques du système. Dans [8], une commande par modes glissants où un retard est délibéré- ment introduit dans la définition de la surface de glisse- ment a été développée. Elle permet alors d’élargir la classe de système stabilisable par un retour de sortie statique. Cependant l’introduction d’un retard dans la loi de com- mande implique que le régulateur ait suffisamment de mé- moire pour stocker ces informations. Il est évident que plus le retard sera important plus la mémoire devra être consé- quente. Cet article est donc consacré à la prise en compte de la quantité d’information qu’il est nécessaire de mémo- riser. Cet article s’articule de la manière suivante. La partie e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 16-21 suivante expose le problème en expliquant pourquoi un re- tard et un échantillonnage ont été introduits. La troisième partie concerne l’étude de la stabilité exponentielle du sys- tème en boucle fermée en utilisant des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii discrétisées ([3], [9]). Enfin, la der- nière partie expose une méthode de détermination des pa- ramètres de la loi de commande à travers la résolution d’un exemple académique. Notations La notation P > 0 pour P ∈ Rn×n signifie que la matrice P est symétrique, définie positive. La ma- trice In représente la matrice identité de dimension n × n. Les notations |.| et . se réfèrent, respectivement, à la norme euclidienne d’un vecteur et sa norme matricielle in- duite. Pour toute fonction φ de C([−τ; 0], Rn ), on définit sa norme de la façon suivante |φ|τ = sups∈[−τ, 0](|φ(s)|). II. Position du problème Considérons le système linéaire non retardé suivant : ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) (1) où x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm et y(t) ∈ Rp , représentent respec- tivement l’état, l’entrée et la sortie du système. La loi de commande par retour de sortie statique est alors u(t) = Ky(t) = KCx(t) (2) Le système en boucle fermée est alors régi par ˙x = (A + BKC)x(t) (3) Ce système (A, B, C) est dit stabilisable par retour de sortie s’il existe un gain K tel que la matrice A+BKC est de Hurwitz. Malheureusement, il n’est pas toujours pos- sible de trouver une solution à ce problème. Considérons l’exemple suivant : A = 0 1 −2 0.1 , B = 0 1 et CT = 1 0 Dans ce cas, le problème se réduit à la détermination d’un réel k tel que la matrice 0 1 −2 − k 0.1 ait des valeurs propres à partie réelle strictement négative, ce qui est évi- demment impossible du fait que la trace reste toujours posi- tive. En général, une solution envisageable est de construire un observateur permettant d’estimer l’état du système et ensuite d’utiliser cette estimation pour construire la com- mande. Il s’en suit que la quantité de calculs que le régu- lateur doit réaliser est beaucoup plus importante. Remarque 1: Nous sommes aussi conscient que pour cet exemple, un simple correcteur proportionnel-dérivé suffirait à stabiliser le système. Cependant cet article ouvre une nouvelle piste de recherche pour la commande par modes glissants, de systèmes MIMO, bruités et pouvant comporter des non-linéarités. Notre objectif consiste ici à réduire au maximum le nombre d’opérations à réaliser, ce qui exclut le choix d’une commande basée sur l’observation. Une autre approche consiste à ajouter un retard dans la loi de commande afin de stabiliser le système [5],[7], [8]. En effet, il est connu que pour certains systèmes, plus particu- lièrement pour des systèmes dont les solutions sont oscil- lantes, l’ajout d’un retard permet de stabiliser les solutions. La commande est alors de la forme : u(t) = KCx(t) + Kτ Cx(t − τ) (4) où τ est un retard délibérément introduit dans la loi de commande. L’intérêt de cette commande est de disposer de degrés de liberté supplémentaires (Kτ , mais aussi la valeur du retard τ) afin de stabiliser et régler la dynamique du système asservi. Dans [8], une technique a été développée pour optimiser ces paramètres par rapport à un critère de convergence exponentielle dans le cadre d’une commande par modes glissants. Cependant, si l’on s’intéresse une nouvelle fois à la com- plexité de la loi de commande, on remarque que cette commande sollicite une mémoire importante de la part du contrôleur car il doit conserver en mémoire les valeurs de la sortie dans l’intervalle [t−τ, t]. Ce point soulève finalement un problème car il ne peut conserver qu’une certaine quan- tité de valeurs échantillonnées de la sortie. Toujours dans cet esprit de réduction de la complexité du contrôleur, une commande moins coûteuse en occupation de la mémoire serait la suivante : u(t) = KCx(t) + Kτ Cx(kT − δ), t ∈ [kT, (k + 1)T[ (5) où k est un entier naturel et δ > 0 correspond à un retard constant. Notons que cette commande combine des termes continues et échantillonnés. L’utilisation de telles lois hy- brides n’est pas nouvelle, on pourra — à titre d’exemple — se référer à [10]. L’objectif fixé dans la suite de cet article consiste donc à déterminer les paramètres de la commande (K, Kτ , δ, T) tels que les solutions du système (3) soient exponentielles avec un degré de convergence exponentielle le plus élevé possible. III. Stabilité du système en boucle fermée A. Préliminaires Le système en boucle fermée est alors régi par ˙x(t) = (A + BKC)x(t) + BKτ Cx(kT − δ) (6) Considérons l’approche par retard variable [11] où il a été montré que l’effet de l’échantillonnage kT peut être assimilé à l’effet d’un retard variable particulier τ(t) ∀k ∈ N, ∀t ∈ [kT, (k + 1)T[, τ(t) = t + δ − kT On remarque que la fonction de retard est continue par morceaux et que sa dérivée est égale à 1 sauf aux instants d’échantillonnage kT. Dans [11], il a été montré que les conditions de stabilité ne comprenant pas de contraintes sur la dérivée du retard garantissent aussi la stabilité de système sujet à ce retard d’échantillonnage. Dans suite, on utilisera la notation τ(t) = τ0 + η(t), (7) où τ0 = δ + T/2 représente la valeur moyenne du retard d’échantillonnage et du retard constant δ, et η(t) repré- sente la perturbation du retard par rapport à cette valeur moyenne. On remarque que la fonction η est bornée : ∀t > 0, |η(t)| ≤ T/2. (8) e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 16-21 B. Stabilité exponentielle Afin d’améliorer les performances, on souhaite que les solutions du système soient α−stables. La stabilité expo- nentielle est un moyen d’assurer la rapidité de convergence. Comme dans [12], [13], pour tout α > 0, un système à re- tard est dit α−stable, ou “exponentiellement stable et de degré de convergence α”, s’il existe un réel β ≥ 1 tel que les solutions x(t; t0, φ), pour toute condition initiale φ, vé- rifient : |x(t, t0, φ)| ≤ β|φ|e−α(t−t0) . (9) Le développement de conditions de stabilité exponen- tielle peut être obtenu à l’aide du changement de variable xα(t) = eαt x(t) ([13], [14]). Cette nouvelle variable vérifie l’équation différentielle ˙xα(t) = (A + BKC + αI)xα(t) + eατ(t) BKτ Cxα(t − τ(t)) (10) On constate alors qu’un gain variant dans le temps est apparu dans les équations. Sachant que le retard τ(t) est borné, on déduit que le gain eατ(t) est lui aussi borné entre β1 = eα(τ0 −T/2) et β2 = eα(τ0 +T/2) . On utilise alors une décomposition polytopique de ce gain [13], conduisant au modèle ˙xα(t) = i=1,2 λi(t){(A + BKC + αI)xα(t) + βiBKτ Cxα(t − τ(t))} (11) avec ∀t ≥ 0, λ1(t) ≥ 0, λ2(t) ≥ 0, λ1(t) + λ2(t) = 1 (12) On peut alors utiliser le théorème suivant basé sur des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii discrétisées intro- duites dans [3]. Théorème 1: Le système (6) est exponentiellement stable et de degré de convergence α > 0 s’il existe des matrices de dimension n × n notées P1 > 0, Ra, P2, P3, Sp = ST p , Qp et Rpq = RT qp, avec p, q = 0, ..., N, qui satisfont aux LMI (13) pour i = 1, 2 et (14) avec h = (δ + T/2)/N Παi =      Ξαi Ds Da     T/2P T 0 βiBKτ C 0 0     ∗ −Rd − Sd 0 0 ∗ ∗ −3Sd 0 ∗ ∗ ∗ −T/2Ra      < 0 (13) et P1 ˜Q ∗ ˜R + ˜S > 0 (14) où les matrices Ξαi, pour i = 1, 1, sont définies par Ξαi = Θ PT 0 βiBKτ C − QN 0n ∗ −SN (15) avec Θ = PT 0 I A + BKC + αI −I + 0 I A + BKC + αI −I T P + Q0 + QT 0 + S0 0 0 T Ra ˜Q = [Q0 Q1 . . . QN ], ˜S = diag{1/hS0, . . . , 1/hSN } , P = P1 0n P2 P3 ˜R =    R00 R01 . . . R0N R01 R11 . . . R1N . . . . . . ... . . . RN0 RN1 . . . RNN    . et où, pour i, j = 1, .., N Sd = diag{S0 − S1, S1 − S2, ..., SN−1 − SN }, Rdij = h(R(i−1)(j−1) − Rij), Rd =    Rd11 Rd12 . . . Rd1N Rd21 Rd22 . . . Rd2N . . . . . . ... . . . RdN1 RdN2 . . . RdNN    , Ds = [Ds 1 Ds 2 . . . Ds N ], Ds i = (R0(i−1) + R0i) − (Qi−1 − Qi) h/2(Qi−1 + Qi) −h/2(RN(i−1) + RNi) , Da = [Da 1 Da 2 . . . Da N ], Da i = −h/2(R0(i−1) − R0i) −h/2(Qi−1 − Qi) h/2(RN(i−1) − RNi) , Remarque 2: Le théorème 1 est une extension du théo- rème 2.1 de [2] au cas de la stabilité exponentielle de sys- tèmes à retards variables. Cependant l’ajout d’un critère de convergence exponentielle permet de garantir la rapidité de la convergence des solutions. Par la suite, ce critère permet- tra d’optimiser les paramètres de la loi de commande par retour de sortie. Preuve : Considérons le système (11) sous une forme descripteur en introduisant l’état étendu ¯xα(t) = col{xα(t), ˙xα(t)}. Ainsi la dynamique du système s’écrit : I 0 0 0 ˙¯xα(t) = 2 i=1 λi(t) 0 I A + BKC + αI −I ¯xα(t) + 0 βiA1 xα(t − τ(t)) La formule de Leibnitz qui, pour tout signal dérivable, assure que x(t − τ(t)) = x(t − τ0 ) − t−τ0 t−τ(t) ˙x(s)ds, permet de réécrire le système sous la forme : I 0 0 0 ˙¯xα(t) = 2 i=1 λi(t) 0 I A + BKC + αI −I ¯xα(t) + 0 βiA1 xα(t − τ0 ) − 0 βiA1 t−τ0 t−τ(t) ˙x(s)ds La preuve utilise la fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii suivante : Vα(t) = xT α (t)P1xα(t) + 2xT α (t) 0 −τ0 Q(ξ)xα(t + ξ)dξ + 0 −τ0 xT α (t + ξ)S(ξ)xα(t + ξ)dξ + 0 −τ0 0 −τ0 xT α (t + s)R(s, ξ)dsxα(t + ξ)dξ + T/2 −T/2 t t−τ0+θ xT α (s)Raxα(s)dsdθ (16) où P1 > 0, Q(ξ) ∈ R(n−m)×(n−m) , R(s, ξ) = RT (ξ, s) ∈ R(n−m)×(n−m) , S(ξ) ∈ R(n−m)×(n−m) , et Q, R, S sont des fonctions matricielles continues. D’après [9, p. 185], Vα est définie positive si la LMI (14) est satisfaite. Ensuite la preuve suit la ligne définie dans [2] utilisant la modélisa- tion descripteur [15] et la méthode de discrétisation définie dans [3]. e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 16-21 Le premier terme de la fonctionnelle Vα peut alors s’écrire : xT α (t)P1xα(t) = ¯xα(t) I 0 0 0 P ¯xα(t), avec P = P1 0 P2 P3 La dérivation de Vα le long des trajectoires de (10) conduit à : ˙Vα(t) = 2 ˙xT α (t) P1xα(t) + 0 −τ0 Q(ζ)xα(t + ζ)dζ +2xT α (t) 0 −τ0 Q(ζ) ˙xα(t + ζ)dζ +2 0 −τ0 0 −τ0 ˙xT α (t + s)R(s, ζ)dsxα(t + ζ)dζ +2 0 −τ0 ˙xT α (t + ζ)S(ζ)xα(t + ζ)dζ +T ˙xT α (t)Ra ˙xα(t) − t−δ t−δ−T ˙xT α (s)Raxα(s)ds (17) L’étape suivante consiste à exprimer la dérivée de la fonc- tionnelle d’une manière appropriée à la discrétisation. En intégrant par parties (17), on obtient : ˙Vα(t) = 2 i=1 λi(t){ ξT (t)Ξαiξ(t) + 2 ˙xT α (t) 0 −τ0 Q(ζ)xα(t + ζ)dζ − 0 −τ0 xT α (t + ζ) ˙S(ζ)xα(t + ζ)dζ − 0 −τ0 0 −τ0 xT α (t + s)( ∂ ∂s R(s, ζ) + ∂ ∂ζ R(s, ζ))dsxα(t + ζ)dζ +2xT α (t) 0 −τ0 [− ˙Q(ζ) + R(0, ζ)]xα(t + ζ)dζ −2xT α (t − τ0 ) 0 −τ0 R(−τ0 , ζ)xα(t + ζ)dζ +T ˙xT α (t)Ra ˙xα(t) − t t−T ˙xT α (s)Raxα(s)ds −2¯xT α (t)PT 0 βiA1 t−τ0 t−τ(t) ˙x(s)ds (18) où ξ(t) = col{¯xα(t), xα(t − τ0 )} et Ξαi est définie dans l’équation (15) avec Q(0), Q(−τ0 ), S(0) et S(−τ0 ), respec- tivement à la place de Q0, QN , S0 et SN . La fonctionnelle de Lyapunov Krasovskii est maintenant exprimée dans une forme appropriée à la méthode de discrétisation. Elle consiste à diviser l’intervalle [−τ0 , 0] en N segments [θp, θp−1] (p = 1, .., N) de longueur h = τ0 /N. Elle divise aussi le carré [−τ0 , 0] × [−τ0 , 0] en N × N petits carrés [θp, θp−1] × [θp, θp−1]. Ensuite, chacun de ces petits carrés est divisé en triangles. Les fonctions matricielles continues Q(ξ) et S(ξ) sont choisies linéaires sur chaque intervalle et R(s, ξ) est choi- sie linéaire sur chaque triangle. Les définitions suivantes mettent en œuvre ces choix : Q(θp + βh) = (1 − β)Qp + βQp−1, S(θp + βh) = (1 − β)Sp + βSp−1 R(θp + βh, θq + γh) = (1 − β)Rpq + γR(p−1)(q−1) + (β − γ)R(p−1)q, β ≥ γ (1 − γ)Rpq + βR(p−1)(q−1) + (γ − β)R(p−1)q, β ≤ γ pour 0 ≤ β ≤ 1 et 0 ≤ γ ≤ 1. De simples définitions de la dérivée de la matrices sont ainsi obtenues pour des valeurs appropriées de p et q : ˙S(ξ) = 1/h(Sp−1 − Sp), ˙Q(ξ) = 1/h(Qp−1 − Qp) ∂ ∂s R(s, ξ) + ∂ ∂ξ R(s, ξ) = 1/h(R(p−1)(q−1) − Rpq) (19) Ainsi la fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii est com- plètement déterminée par les matrices P1, Sp, Qp et Rpq, p, q = 0, .., N. D’après [9], la condition Vα ≥ xα est satisfaite si la LMI (14) est vérifiée. En utilisant (19), les équations suivantes sont déduites : 2 ˙xα(t) 0 −τ0 Q(ξ)x(t + ξ)dξ = 2 ˙xα(t) N p=1 1 0 [(1 − β)Qp + βQp−1]xα(t + θp + βh)dβ = 2 ˙xα(t) N p=1 1 0 [(1 − β)(Qs p + Qa p) +β(Qs p − Qa p)]xα(t + θp + βh)dβ où Qs p = (Qp + Qp−1)/2 et Qa p = (Qp − Qp−1)/2. Ainsi les équations (15), (18) et (19) impliquent [9] : ˙Vα(t) = 2 i=1 λi(t){ζT (t)Ξαiζ(t) − 1 0 φT (β) ˙Sdφ(β)dβ − 1 0 1 0 φ(β)Rdφ(γ)dβdγ +2ζ(t) 1 0 [Ds + (1 − 2α)Da ]φ(β)dβ +TRa − t t−T ˙xT α (s)Raxα(s)ds −2¯xT α (t)PT 0 βiA1 t−τ0 t−τ(t) ˙x(s)ds où φ(β) = col{x(t − h + βh), x(t − 2h + βh), .., x(t − Nh + βh)}. En constatant que, pour toute matrice définie positive Ra et pour tout t, s et i = 1, 2, l’inégalité suivante est vérifiée : xT α (t)PT 0 βiA1 ˙x(s) ≤ + ˙xT (s)Ra ˙x(s) +xT α (t)PT 0 βiA1 R−1 a 0 βiA1 T Pxα(t) et en intégrant par rapport à la variable s sur l’intervalle [t−τ(t), t−τ0 ] ou [t−τ0 , t−τ(t)], selon la valeur de τ(t), on obtient l’inégalité suivante : ˙Vα(t) ≤ 2 i=1 λi(t){ ζT (t)¯Ξαiζ(t) − 1 0 φT (β) ˙Sdφ(β)dβ − 1 0 1 0 φ(β)Rdφ(γ)dβdγ +2ζ(t) 1 0 [Ds + (1 − 2α)Da ]φ(β)dβ +TRa − t−δ t−δ−T ˙xT α (s)Raxα(s)ds} où ¯Ξαi = Ξα +   PT 0 βiA1 R−1 a 0 βiA1 T P + 0 0 0 Ra 0 0 0   En appliquant la Proposition 5.21 de [9] puis le complé- ment de Schur, on en déduit que ˙V1α(t) < 0 si les LMI (13) sont satisfaites. Pour conclure la démonstration, on déduit que xα converge asymptotiquement vers la solution xα = 0 et par conséquent, l’état x du système initial (6) converge exponentiellement vers la solution x = 0 avec un degré de convergence α. C. Exemple Considérons le système (6) avec A = 0 1 −2 0.1 , B = 0 1 et CT = 1 0 Lorsque que l’on choisit K = 0 et Kτ = 1, on retrouve l’exemple introduit dans [7] et [16]. Le théorème 1 ne peut alors garantir la stabilité asymptotique, c’est-à-dire pour e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 16-21 α = 0, si le retard dû à l’échantillonnage n’est pas stricte- ment positif (dans le cas d’un retard constant cette borne inférieure est τmin = 0.11s). Ici, on cherche à déterminer les paramètres de la com- mande (δ, T) qui maximisent le degré de convergence α des solutions du système selon la capacité de la mémoire pour un couple de gains (K, Kτ , ) donné. Pour caractériser cette capacité, on définit γ, un entier positif, qui correspond au nombre de valeurs que le calculateur peut conserver. On obtient ainsi une relation entre le retard constant introduit et la période d’échantillonnage : δ = γT. En effet, si le calculateur peut conserver, par exemple, deux valeurs de la sortie en mémoire, il faut que le re- tard constant additionnel ne soit pas supérieur à deux fois la période d’échantillonnage, etc. On en déduit finalement l’expression du retard moyen τ0 = (1 + 1/(2γ))δ. On se propose ici de maximiser le degré de convergence α pour un ensemble de valeur de K, Kτ et τ0 (déterminant ainsi les valeurs de δ et T pour un γ donné). La procédure d’optimisation se présente de la manière suivante : Algorithme 1 Choisir N; αmax = 0; τ0 opt = 0; pour K = Kmin : K : Kmax pour Kτ = Kτmin : Kτ : Kτmax pour τ0 = 0 : τ : τ0 max α = 0; tant que Théorème 1 est satisfait si α > αmax, αmax = α; τ0 opt = τ0 ; fin α = α + α; fin fin fin fin Ce programme requiert la définition des pas K, . . . du processus d’optimisation. −15 −10 −5 0 5 0 5 10 15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 K τ K Fig. 1. Relation entre le couple de gains (K, Kτ ) et la valeur maximale de α déterminés avec N = 1 et pour γ = 2 La figure représente le domaine d’α-stabilité en fonction des gains (K, Kτ ) pour γ = 2. On remarque, dans un pre- mier temps, qu’aucune valeur du gain K ne permet de sta- biliser les solutions du système lorsque le gain Kτ est nul. En revanche, à partir d’une certaine valeur, l’influence du terme retardé permet de stabiliser le système. Remarque 3: Notons que ces résultats ont été déterminés pour un niveau de discrétisation N = 1. Si l’on augmente N, le degré de convergence exponentielle maximal αmax et les paramètres de la commande δ et T seront différents pour un même couple de gains (K, Kτ ). Pour plus de détails, le lecteur pourra se référer à [8]. Lorsque l’on modifie le nombre γ de valeurs de la sortie que le calculateur peut garder en mémoire pour un couple de gains (K = −4, Kτ = 4) donné (valeurs prises dans le domaine de stabilité), on obtient finalement le tableau suivant qui donne les valeurs optimales de δ et de T qui correspondent au degré de convergence α maximal : γ 0 1 2 3 N=1 X δ = 0.166 T = 0.166 α = 0.158 δ = 0.2 T = 0.1 α = 0.265 δ = 0.213 T = 0.071 α = 0.318 N=3 X δ = 0.25 T = 0.25 α = 0.266 δ = 0.28 T = 0.14 α = 0.425 δ = 0.279 T = 0.093 α = 0.504 On peut noter premièrement que, lorsqu’on diminue le pas de discrétisation, les résultats sont moins conservatifs puisque le degré maximal de convergence α est toujours plus important pour N = 3 que pour N = 1. On remarque aussi que les valeurs du retard δ et de la période d’échan- tillonnage T qui maximisent le degré de convergence α ne sont pas identiques pour N = 1 et N = 3. Une nouvelle fois, nous invitons le lecteur à se référer à [8] pour plus de détails à ce sujet. D’autre part, lorsqu’on augmente le nombre γ de valeurs à mettre en mémoire, la convergence est plus performante comme le montre la figure 2. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 γ α Cas échantillonné Cas d´un retard constant Fig. 2. Relation entre α et γ pour N = 1 Ce phénomène correspond finalement à la réduction de l’influence de la dernière ligne et la dernière colonne de la LMI (13) car, en augmentant γ, on diminue la longueur de la période d’échantillonnage par rapport au retard constant δ. On constate alors que plus γ est grand, plus on se rap- e-STA copyright 2009 by see Volume 6, N°2, pp 16-21 proche du cas d’un retard constant. Pour cet exemple, on remarque que les performances dans le cas d’un contrô- leur échantillonné sont presque équivalentes à celles du cas continu pour γ ≥ 10. La figure 3 présente les solutions du système pour K = −4, Kτ = 4, δ = 0.28 et T = 0.14. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −10 −5 0 5 10 15 20 25 time x1 x 2 Fig. 3. Simulation du système pour les paramètres K = −4, Kτ = 4, δ = 0.28 et T = 0.14 IV. Conclusion Une loi de commande par retour de sortie retardée et échantillonnée a été développée dans cet article pour un système non retardé qui ne serait pas stabilisable par un simple retour statique de sortie. Les conditions LMI ba- sées sur des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii discré- tisées ont permis de caractériser la convergence exponen- tielle du système. De plus, les résultats mettent en avant une relation entre la quantité de mémoire disponible dans le calculateur et la rapidité de convergence. En revanche, le théorème 1 ne permet pas de garantir la stabilité du sys- tème lorsque l’on souhaite développer une commande uni- quement échantillonnée et non retardée (c’est-à-dire quand γ = 0) alors qu’en simulation un échantillonnage peut, à lui seul, stabiliser les solutions du système. Ceci suggère un certain conservatisme des conditions de stabilité qui pour- rait être réduit en considérant de plus récentes publications sur les systèmes à entrées échantillonnées. Références [1] C. Edwards, S.K. Spurgeon, et R.G. Hebden. On the design of sliding mode output feedback controllers. Int. Journal of Control, 76(9-10) :893–905, 2003. [2] E. Fridman. Descriptor discretized Lyapunov functional me- thod : Analysis and design. IEEE Trans. on Automatic Control, 51(5) :890 – 897, 2006. [3] K. Gu. A further refiniment of discretized Lyapunov functional method for the stability of time-delay systems. Int. J. of Control, 74 :967 – 976, 2001. [4] C. T. Abdallah, P. Dorato, J. 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