Estimation de l’Exposant de Lipschitz aux Instants de Fermeture de la Glotte du Signal de Parole par Transformée en Ondelettes

02/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-3:17211
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Résumé

Estimation de l’Exposant de Lipschitz aux Instants de Fermeture de la Glotte du Signal de Parole par Transformée en Ondelettes

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            <title>Estimation de l’Exposant de Lipschitz aux Instants de Fermeture de la Glotte du Signal de Parole par Transformée en Ondelettes</title></titles>
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        <publicationYear>2016</publicationYear>
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	    <date dateType="Created">Tue 2 Aug 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Tue 2 Aug 2016</date>
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Résumé — Dans ce papier, nous présentons une stratégie de caractérisation des singularités du signal de parole basée sur la transformée en ondelettes. Le principe de la méthode consiste à suivre la décroissance des modules maxima des coefficients en ondelettes le long des échelles, ces modules maxima révèlent la présence de singularités locales et permettent de mesurer l’exposant de Lipschitz. La technique est appliquée sur des signaux de parole voisés particulièrement sur les voyelles /a/ et /o/. Mots clés — Signal de parole, transformée en ondelettes, exposant de Lipschitz. I. INTRODUCTION L’information essentielle d’un signal réside souvent dans ses singularités et ses structures irrégulières [1]. La transformée en ondelettes permet d’analyser les structures locales du signal par un mécanisme de zoom qui permet de réduire progressivement le paramètre échelle lors de l’analyse. Dans ce processus, la régularité locale d’un signal est caractérisée par la décroissance des coefficients d’ondelettes en fonction des échelles. Les singularités sont alors détectées à partir des maxima locaux aux fines échelles [2]. A titre d’exemple, les variations rapides du signal de parole voisé aux instants de fermeture de la glotte, qui indiquent le début d’un cycle de voisement, peuvent être détectées par cette méthode. Pour la localisation et la caractérisation des signaux à ces instants, la parole est analysée par transformée en ondelettes [3], [4]. La complexité de cette analyse est liée non seulement à la variabilité de la période du pitch qui évolue sur une large plage allant de 2.5 ms à 25 ms, mais aussi aux modifications acoustiques de l’onde apportées par le conduit vocal [5] et aux phénomènes de proximités des singularités diverses [6]. En effet, le flux glottal véhiculé par la source est porteur de plusieurs excitations plus ou moins régulières. L’objectif du présent travail est la localisation des singularités du signal de parole aux instants de fermeture de la glotte en utilisant les modules maxima de la transformée en ondelettes et la caractérisation locale du signal à ces instants par la décroissance des maxima en fonction du paramètre échelle. Le paragraphe 2 porte sur la mesure de la régularité locale des signaux au sens de Lipschitz par les modules maxima de la transformée en ondelettes. Le paragraphe trois traite de la Estimation de l’Exposant de Lipschitz aux Instants de Fermeture de la Glotte du Signal de Parole par Transformée en Ondelettes FADOUA BOUZID, AÏCHA BOUZID* , NOUREDDINE ELLOUZE Unité de Recherche Signal, Image et Reconnaissance de Formes Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, BP 37, le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie bouzidfadoua@yahoo.fr, bouzidacha@yahoo.fr, N.Ellouze@enit.rnu.tn modification de la décroissance des maxima pour des discontinuités lissées et des discontinuités proches. Le paragraphe quatre présente l’application de la méthode de mesure de régularité sur un signal de parole voisé et donne une mesure du coefficient de Lipschitz sur le signal de parole aux instants de fermeture de la glotte particulièrement sur les voyelles /a/ et /o/. Le paragraphe 5 conclut ce papier. II. MESURE DE LA REGUARITE LOCALE Une remarquable propriété de la transformée en ondelettes est de permettre de caractériser la régularité locale d’une fonction [2], [3]. Cette régularité est souvent mesurée par l’exposant de Lipschitz α [7]. Jaffard a démontré que les propriétés de micro-localisation sont équivalentes à des conditions spécifiques de décroissance de l’amplitude de la transformée en ondelettes. En effet, la décroissance de la transformée en ondelettes en fonction de l’échelle est liée à la régularité ponctuelle mesurée par α [8], [9]. Mesurer cette décroissance revient à faire un zoom sur les structures du signal avec une échelle qui tend vers zéro [10]. L’analyse de la régularité d’une fonction f en un point peut être délicate car f peut avoir des singularités de types différents agrégées au voisinage de ce point. Dans ce paragraphe, nous explicitons les propriétés des ondelettes permettant d’opérer le mesure de la régularité d’un signal. A. Moments nuls d’ondelette Le nombre de moments nuls caractérisant l’ondelette d’analyse est important pour la mesure de la régularité locale d’un signal. Une ondelette ψ à décroissance rapide, a n moments nuls si et seulement si, il existe une fonction θ à décroissance rapide telle que n n dt d )1()t( θ −=ψ n (1) Ce théorème montre qu’une ondelette à n moments nuls peut s’écrire comme la dérivée à l’ordre n d’une fonction de lissage θ [11]. Comme ( ) )u(uf)s,u(wf sψ∗= (2) avec ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ψ=ψ ss )t(s ⎞⎛ − t1 (3) e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 52-56 Alors, la transformée en ondelettes s’exprime comme la dérivée nième de la fonction lissée à chaque échelle s )u)(f( du d s)s,u(wf sn n θ∗= n (4) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − θ=θ s t s 1 s (5) B. Modules maxima Le terme module maximum décrit l’ensemble des points (u0, s0) tel que ⏐Wf(u, s)⏐ soit localement maximale en u = u0. Cela implique 0 u )s,u(wf 00 = ∂ ∂ (6) Cette équation définit dans le plan temps-échelle, des lignes formées des points de modules maxima [2]. Puisque la transformée en ondelettes de f peut s’écrire comme un opérateur différentiel multiéchelle de f convolué par une fonction de lissage appropriée à l’échelle alors, pour une ondelette a un seul moment nul, les modules maxima de ⏐Wf(u,s)⏐ correspondent aux maxima de la dérivée première de la fonction lissée et pour une ondelette à deux moments nuls, les modules maxima correspondent aux discontinuités de la dérivée du signal [1]. Quand la transformée en ondelettes de f n’a pas de maximum local aux fines échelles, alors f est localement régulière. Les singularités se trouvent ainsi au niveau des abscisses où convergent les modules maxima d’ondelettes aux fines échelles et sont caractérisées par l’ordre de l’ondelette. C. Mesure de la régularité Une fonction f est ponctuellement Lipschitz α > 0 en v s’il existe une constante K > 0 et un polynôme pv de degré m= ⎣α⎦ (i. e. partie entière deα) tels que α −≤−ℜ∈∀ vtK)t(p)t(f,t v (7) En tout point v, le polynôme pv est défini de manière unique. Si f est m fois continûment différentiable au voisinage de v, alors pv est le développement de Taylor de f en v. Le développement de Taylor de la fonction f, m fois différentiable sur [v-h, v+h] s’écrit [12]: ∑ − = −= 1m 0k k )k( v )vt( !k )v(f )t(p (8) Jaffard a montré que pour une fonction f de carré sommable et uniformément Lipschitz α < n en v alors il existe un réel A > 0 tel que ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠⎝Ceci permet d’écrire pour tout u appartenant au cône d’influence de v que ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ − +≤ℜℜ∈∀ α +α+ s vu 1sAs,uwf,xs,u 2/1 (9) ( ) 2/1 s'As,uwf +α ≤ (10) Cette inéquation est équivalente à slog 2 1 'Alog)s,u(wflog 222 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +α+≤ (11) Ce théorème prouve que la régularité lipschitzienne locale de f en v dépend de la décroissance de⏐Wf(u,s)⏐ aux fines échelles au voisinage de v. Cette décroissance n’a pas besoin d’être mesurée directement dans le plan temps-échelle (u,s). La décroissance de ⏐Wf(u,s)⏐ peut en effet être contrôlée par les valeurs de ses maxima locaux. Les singularités sont détectées en cherchant les abscisses où convergent les modules maxima d’ondelettes aux fines échelles et dans ce cas, le nombre de moments nuls caractérisant le type de la singularité doit être supérieur à α. III. SINGULARITÉS LISSEES ET PROCHES Un signal peut présenter d’importantes variations qui sont infiniment continûment différentiables. Au voisinage de ces transitions, le signal peut être modélisé par le produit de convolution d’une fonction f0(t) possédant une singularité Lipschitz α par une fonction de lissage gσ(t). )t(g*f)t(f 0 σ= (12) Quand gσ est une gaussienne N(0, σ2 ) exprimée par l’équation (13) : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ − πσ =σ 2 2 2 t exp 2 1 )t(g (13) et l’ondelette mère donnée par la dérivée nième d’une gaussienne N ( 0, β2 ) , l’inégalité (10) devient ( ) 2/)n( 2 α−− ⎞⎛ 22 2/1 s 1sAs,uwf +α ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ β σ +≤ (14) Cette inégalité montre la relation entre la décroissance de la transformée en ondelettes et le paramètre a = σ /β appelé échelle de diffusion. En opérant une régression, on obtient l’approximation suivante pour les modules maxima : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + α− −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +α+≈ 2 2 2222 s a 1log 2 n slog 2 1 )K(log)s,u(wflog (15) Les paramètres K, α et σ sont mesurés numériquement à partir de la décroissance des modules maxima le long des courbes de maxima qui convergent vers v. Cette équation montre qu’aux fines échelles la pente de décroissance de log2⏐Wf(u,s)⏐ en fonction de log2 (s) est donnée par n+1/2, alors que pour les fortes échelles, la pente est donnée par α+1/2. A. Effet de lissage des singularités Pour montrer l’effet du lissage sur la mesure de la régularité, nous avons pris un saut unitaire lissé avec différentes valeurs de σ comme le montre la figure 1. La transformée en ondelettes opérée sur le signal avec une ondelette dérivée première de gaussienne, montre des maxima aux points de singularité. La décroissance des amplitudes de ces maxima est tracée en fonction de l'échelle dans la figure 2. Nous remarquons que cette décroissance n’est pas la même que dans le cas non lissé et la mesure de la régularité devient plus délicate d’autant plus que le lissage est important. B. Effet des singularités proches La méthode de mesure de la régularité par la décroissance des coefficients en ondelettes présente des limites lorsque les singularités sont proches et particulièrement quand ces e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 52-56 discontinuités sont lissées. La figure 3 montre un modèle de variation du signal présentant trois discontinuités d’amplitude et leurs correspondants lissées par une gaussienne d’écart type σ = 5.10-4 s. Fig. 1. Signal saut unitaire suivi de ses versions lissées Fig. 2. Pentes de log2 ⏐Wf(u,s)⏐ en fonction de log2(s) au point 100 La transformée en ondelettes (dérivée première de gaussienne) de ce signal montre trois lignes de maxima dont la ligne du milieu présente les plus forts coefficients. La ligne de plus forts coefficients est analysée au sens de la régularité du signal pour la partie lissée et non lissée. La figure 4 montre la variation de la pente de log2 ⏐Wf(u,s)⏐en fonction de log2(s) du modèle lissé et non lissé. Nous notons que la mesure de la régularité de la discontinuité du milieu et de son équivalent lissé, montre des décrochements aux fortes échelles dus au phénomène d’interférence avec les singularités voisines. Fig. 3. Le signal et ses transformées en ondelettes en image, lissage par une gaussienne d’écart type σ = 5.10-4 Fig. 4. Pentes de log2 ⏐Wf(u,s)⏐ en fonction de log2(s). Les lignes en trait continu et pointillé correspondent aux courbes de maximum aux points respectifs 110 et 510 IV. RÉGULARITÉ DU SIGNAL DE PAROLE Dans tout ce paragraphe, l’ondelette utilisée est une dérivée première de gaussienne ayant un seul moment nul. Les coefficients en ondelettes du signal de parole à différentes échelles comme le montre la figure 5, présentent des modules maxima au voisinage des variations rapides du signal. Une représentation sous forme d’image de ces transformées est donnée par la figure 6. Cette représentation montre essentiellement trois discontinuités d’amplitude lissées et visualisées sur chaque période du signal de parole. La ligne de plus forte amplitude indique l’instant de fermeture de la glotte. En se basant sur le modèle linéaire de production de la parole en phase de voisement, le signal de parole est issu du filtrage du flux d’air glottique par le transfert des conduits vocal et nasal. La dérivée de ce signal montre un pic à la fermeture de la glotte traduisant une discontinuité correspondant à une grande variabilité du flux à cet instant. Cette discontinuité est alors lissée sous l’effet du transfert du conduit vocal. Ceci justifie la modélisation du comportement du signal de parole à l’instant de fermeture de la glotte par une discontinuité lissée. La pente de décroissance du logarithme des coefficients en ondelettes le long des lignes de maxima en fonction du logarithme de l’échelle est similaire à un modèle de discontinuité d’amplitude lissé par une gaussienne d’écart type σ = 3.10-4 s. La valeur de α obtenue est proche de l’unité. Fig. 5. Transformées en ondelettes du signal de parole (voyelle /o/, mot /north/, locuteur f1) à 5 échelles allant de l’échelle la plus fine vers la plus grande e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 52-56 Fig. 6. Coefficients de la transformée en ondelettes du signal de parole de la figure 5 sous forme d’une image Fig. 7. Pentes de log2 ⏐Wf(u,s)⏐ en fonction de log2(s) pour le signal de parole et le modèle lissé Ceci permet de considérer que la décroissance rapide de la transformée en ondelettes du signal de parole à la fermeture de la glotte peut avoir comme origine une discontinuité d’amplitude [6]. Pour une analyse plus globale, nous avons opéré la transformée en ondelettes des voyelles /a/ et /o/ extraites des mots de la base de sons de l’université de Keele. Cette base est constituée de 5 voix féminines et 5 voix masculines prononçant un paragraphe de quatre phrases racontant l’histoire du ‘’North Wind’’. Les signaux sont échantillonnés à la cadence de 20 kHz [13]. Les coefficients de la transformée en ondelettes du signal de parole présentent des modules maxima au voisinage des fortes variations du signal qui encadrent la fermeture de la glotte. La détection de ces maxima a permis de localiser les singularités et d'analyser leur régularité. La figure 8 montre la transformée en ondelettes d'une tranche de la voyelle /o/ extraite du mot /more2/ du locuteur f1 de la base de Keele aux différentes échelles. D’autres maxima peuvent être notés sur les transformées en ondelettes, ils sont de faibles amplitudes et se propagent plus ou moins aux faibles échelles. Ces maxima sont difficiles à détecter et donc à caractériser. D’après les relations (14) et (15), la décroissance de log2 ⏐wf(u, s)⏐ représentée en fonction de log2 (s) permet de donner aux faibles échelles la valeur n+1/2 et aux fortes échelles la valeurs de α+1/2. Les discontinuités sont caractérisées par la mesure du coefficient de Lipschitz α. Ce coefficient correspond à la pente de la décroissance de l’amplitude des maxima en fonction de l’échelle dans un repère log log. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -0.5 0 0.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -0.2 0 0.2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -0.5 0 0.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -0.5 0 0.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -0.5 0 0.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -1 0 1 Fig. 8. Signal de parole (/o/, /more2/du locuteur f1), suivi de ses transformées en ondelettes pour des échelles dyadiques successives -3 -2 .9 -2 .8 -2 .7 -2 .6 -2 .5 -2 . 4 -2 .3 -2 . 2 -2 .1 -2 0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 Fig. 9. Pente calculée de log2⏐wf(u, s)⏐ en fonction de log2 (s) pour la moyenne des minima et des maxima de la figure 3 (trait continu pente des maxima, trait pointillé pente des minima) -3 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Fig. 10. Pente de log2 ⏐wf(u, s)⏐ en fonction de log2 (s) correspondant à la voyelle /a/ du mot /traveller 1/ du locuteur f1 pour les maxima et minima La figure 9 montre la pente mesurée sur la voyelle /o/ représentée dans la figure 8. La pente de log2 ⏐wf(u, s)⏐ passe de n+0.5=1.5, n=1 étant le nombre de moments nuls, à la valeur α+0.5=1.45 soit α = 0.95. La figure 10 montre l'évolution de la pente en fonction de l'échelle aux points de discontinuité du signal pour la voyelle /a/ extraite de mot /traveller1/, prononcée par le locuteur f1 de la base. Les pentes de log2⏐wf(u, s)⏐ représentées dans la figure 10 passent de n + 0.5 = 1.5, n =1 étant le nombre de moments nuls, à la valeur α+ 0.5 pour s grand qui peuvent prendre des valeurs presque semblables aussi bien pour les maxima que pour les minima : α+ 0.5=1,2 pour les maxima et α+ 0.5=1,1 pour les minima. A la précision près de la mesure, on peut e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 52-56 remarquer que les valeurs de α pour la voyelle /a/ restent insensibles au locuteur et au mot prononcé. Le tableau 1 donne la valeur moyenne des pentes des maxima de valeur α+1/2 pour la voyelle /a/ extraite des mots /traveller1/, /traveller2/, /traveller3/ et /wrapped/ et prononcée par tous les locuteurs masculins et féminins de la base. Ce tableau montre que la valeur de la pente pour un locuteur donné peut être stable ou variancée, en fonction des mots prononcés, elle est aussi variable en fonction du locuteur pour un mot donné. De plus, elle est généralement plus faible pour les hommes que pour les femmes. Ce qui montre que les discontinuités associées à la fermeture de la glotte sont plus régulières dans le cas des femmes que des hommes. Tableau 1. La pente moyenne des 5 maxima pour tous les locuteurs de la base pour la voyelle /a/. traveller 1 traveller 2 traveller 3 wrapped moyenne f1 1,20 1,10 1,10 1,10 1,125 f2 1,30 1,30 1,30 1,10 1,25 f3 1,30 1,40 1,35 1,25 1,325 f4 0,90 1,30 1,20 1,00 1.1 f5 1,20 1,20 1,20 1,20 1,20 1,2±0.1 m1 1,30 1,20 1,20 1,00 1,175 m2 0,80 0,90 0,80 1,10 0,9 m3 0,75 0,60 1,80 0,60 0,94 m4 1,10 1,10 1,10 1,05 1,09 m5 1,20 0,50 0,50 0,84 0,76 0,97±0.3 Le tableau 2 donne la valeur de α+1/2 pour la voyelle /o/ extraite des mots /more1/, /more2/, /north1/, /north3/, et /north4/ pour tous les locuteurs de la base. On remarque que pour un même locuteur, la pente ne varie pas beaucoup. Toutefois la variabilité existe entre les locuteurs et particulièrement les locuteurs masculins. Tableau 2. La pente moyenne des 5 maxima pour tous les locuteurs de la base pour la voyelle /o/. more1 more 2 north 1 north 3 north 4 moyenne f1 1,35 1,40 1,35 1,20 1,25 1,31 f2 1,30 1,30 1,25 1,25 1,40 1,3 f3 1,30 1,.35 1,35 1,40 1,40 1,36 f4 1,30 1,20 1,10 1,15 1,20 1,19 f5 1,40 1,20 1,30 1,40 1,35 1,33 1,3±0.1 m1 1,25 1,20 1,30 1,40 1,40 1,31 m2 1,35 1,40 1,25 1,20 1,20 1,28 m3 1,00 0,40 0,40 0,70 0,50 0,6 m4 1,25 1 0,70 1,30 1,10 1,07 m5 1,00 1,20 1,10 1,20 1,20 1,14 1.08±0.3 V. CONCLUSION La caractérisation de la régularité du signal de parole aux instants de fermeture de la glotte est opérée sur un son de parole voisée. La pente de log2⏐wf(u, s)⏐ en fonction de log2(s) est utilisée pour caractériser cette régularité. La mesure est opérée à l’aide de l’étude de la décroissance des modules maxima de la transformée en ondelettes en fonction du paramètre échelle. Les expérimentations sont opérées sur la base de sons de Keele pour 10 locuteurs, 5 hommes et 5 femmes prononçant les voyelles /a/ et /o/. Dans notre étude, la détection des singularités et l’analyse de régularité de certains signaux voisés s’avèrent difficiles, cette difficulté est due à la proximité des singularités qui dégrade la mesure de la pente. Ce phénomène est plus remarquable chez les hommes que chez les femmes. La valeur de la pente est plus importante chez les femmes que chez les hommes. VI. REFERENCES [1] S. Mallat, «A Wavelet Tour of Signal Processing», Second Edition, Academic Press, 1999. [2] S. Mallat, and W. L. Hwang, «Singularity Detection and Processing with Wavelets», IEEE Trans. On Information Theory, Vol. 38, no. 2, pp. 617-643, March 1992. [3] S. Kadambe, and G. F. Bourdeaux-Bartels, «Application of the Wavelet Transform for Pitch Detection of Speech Signals», IEEE Trans. Information and Theory, Vol. 38, no. 2, pp. 917-927, 1992. [4] A. 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