Commande basée sur la modélisation floue de type Takagi-Sugeno d’un procédé expérimental à quatre cuves

02/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-3:17210
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Commande basée sur la modélisation floue de type Takagi-Sugeno d’un procédé expérimental à quatre cuves

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	    <date dateType="Created">Tue 2 Aug 2016</date>
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Commande bas´ee sur la mod´elisation floue de type Takagi-Sugeno d’un proc´ed´e exp´erimental `a quatre cuves Ahmed El Hajjaji, Mohammed Chadli et Guillermo Lopez Reyes Laboratoire de Mod´elisation, Information et Syst`emes Universit´e de Picardie Jules Verne 7, rue Moulin Neuf, 80000, Amiens, France {ahmed.hajjaji, mohammed.chadli}@u-picardie.fr R´esum´e— Cet article propose d’´etudier un syst`eme `a quatre cuves con¸cu enti`erement au laboratoire. Le syst`eme a ´et´e d´evelopp´e en prenant en consid´eration des ca- ract´eristiques et des contraintes industrielles. La premi`ere partie est consacr´ee `a la description et `a la mod´elisation du proc´ed´e. Nous proposons, ensuite, de repr´esenter le syst`eme par un mod`ele flou de type Takagi-Sugeno (TS) va- lid´e exp´erimentalement. La deuxi`eme partie de l’article est consacr´ee `a la r´egulation des niveaux dans les cuves. Une loi commande de type TS avec int´egrateur est propos´ee en utili- sant la formulation LMI. Enfin, des r´esultats exp´erimentaux sont pr´esent´es afin de valider la loi de commande propos´ee. Mots-cl´es— Mod´elisation type Takagi-Sueno, commande, proc´ed´e `a quatre Cuves, Lyapunov, LMI. I. Introduction Parmi les bancs d’essais les plus populaires dans les la- boratoires de recherche, le syst`eme des cuves est consid´er´e comme un excellent proc´ed´e pour valider des m´ethodes d’identification, des strat´egies de contrˆole et de diagnostic. Ainsi, grˆace `a son caract`ere `a la fois non lin´eaire, intercon- nect´e, multivariable, incertain et perturb´e, les m´ethodes avanc´ees de contrˆole/commande, d’observation et de diag- nostic peuvent ˆetre test´ees et valid´ees exp´erimentalement. Des travaux sur deux, trois ou quatre cuves sont tr`es nom- breux dans la litt´erature [1],[2],[3], [4],[13]. Ainsi, la com- mande d’un syst`eme `a trois cuves est ´etudi´ee dans [3], [4], la commande tol´erante aux fautes de deux cuves a ´et´e trait´ee dans [1][2] et l’estimation d’´etat en pr´esence d’entr´ees in- connues en [13]. Ces derni`eres ann´ees, l’analyse et la synth`ese de lois de commande des syst`emes non lin´eaires d´ecrits par des mod`eles flous de type takagi-Sugeno (TS) ont ´et´e lar- gement ´etudi´ees dans la litt´erature (voir par exemple [6],[7],[8],[9],[10],[11],[11], [12] ). Des outils de synth`ese bas´es sur l’approche de Lyapunov, les techniques d’opti- misation convexes, la norme H et le mode glissant ont ´et´e d´evelopp´es pour ce genre de syst`emes. Dans cet article, nous proposons une loi de commande floue avec int´egrateur bas´ee sur la repr´esentation TS du proc´ed´e `a quatre cuves r´ealis´e au laboratoire. La motivation principale de ce tra- vail est, d’une part, la mod´elisation TS de ce syst`eme et sa validation exp´erimentale. D’autre part, la synth`ese et l’impl´ementation en temps r´eel d’une loi de commande avec int´egrateur bas´ee sur le mod`ele TS du syst`eme de quatre cuves. La structure de ce papier est comme suit. La section 2 est consacr´ee `a la description du proc´ed´e exp´erimental `a quatre cuves. Dans la section 3, la mod´elisation et la synth`ese d’une loi de commande TS avec int´egrateur sont propos´ees. Des r´esultats exp´erimentaux r´ealis´es sur le banc d’essais `a quatre cuves sont pr´esent´es dans la section 4. Enfin la section 5 conclue l’article. II. Description et mod´elisation du proc´ed´e `a quatre cuves A. Description Le proc´ed´e multi-cuves est montr´e dans la figure 1. Son sch´ema synoptique est donn´e dans la figure 2. Le syst`eme se compose de quatre cuves et un r´eservoir de sections diff´erentes. Elles sont connect´ees les un aux autres par des tuyaux cylindriques. Les capacit´es en litre des cuves sont : 22 litres pour les cuves 1 et 2, 42 litres pour les cuves 3 et 4 et 120 litres pour le r´eservoir. Ce dernier sert `a alimenter les cuves 1, 2 et 3 via trois pompes de d´ebits maximales de 6 litres/min command´ees par des moteurs `a courant continu aliment´es entre 0 et 5 Volts. Les cuves 1 et 3 sont mont´ees en parall`ele des cuves 2 et 4 avec une connexion entre la cuve 1 et 2. Les cuves 1 et 2 sont aliment´ees uniquement par les pompes 1 et 2 (figure 3). La cuve 3 est aliment´ee par la pompe 3 et ´egalement `a travers la cuve 1 alors que la cuve 4 n’est aliment´ee que par la cuve 2. Chaque cuve contient un capteur capacitif d´elivrant des tensions entre 0 et 10 Volts (figure 4). Les tensions d’alimentation des moteurs varient entre 0 et 5 Volts. Le proc´ed´e fonctionne en circuit ferm´e : l’eau du r´eservoir est envoy´ee dans les cuves 1, 2 et 3 par les 3 pompes, ensuite la cuve 4 est aliment´ee via la vanne au dessous de la cuve 2. Enfin, cette eau est r´ecup´er´ee dans le r´eservoir `a travers les vannes situ´ees au-dessous des cuves 3 et 4 (voir figure 2). B. mod´elisation du proc´ed´e Les ´equations de bilan pour chaque cuve nous permettent d´ecrire le mod`ele math´ematique suivant : ˙x1(t) = u1(t) − Q12(t) − Q13(t) ˙x2(t) = u2(t) + Q12(t) − Q24(t) ˙x3(t) = u3(t) + Q13(t) − Q30(t) ˙x4(t) = Q24(t) − Q40(t) (1) O`u t est le temps, xi d´esigne le niveau en litres de la cuve i (i = 1, 2, 3, 4). uj est le d´ebit en litres/min de la pompe j e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 46-51 Fig. 1. banc d’essais `a 4 cuves Fig. 2. Sch´ema synoptique (j = 1, 2, 3) et Qij est la variation de d´ebit entre les cuves i et j. En utilisant la loi de Torricelli [4], nous avons Fig. 3. Pompes Fig. 4. Capteur de niveau Q13 = α1S1 · √ 2gx1 Q12 = α12S1 · 2g|x1 − x2| · sign(x1 − x2) Q24 = α2S2 · √ 2gx2 Q30 = α3S3 · √ 2gx3 Q40 = α4S4 · √ 2gx4 (2) O`u αi est une constante,Si est la section de la cuve i, g est l’acc´el´eration de la pesanteur et sign(z) est la fonction signe. En rempla¸cant les ´equations (2) dans (1), nous obtenons le mod`ele suivant. e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 46-51 ˙x1 = u1 −R1 · √ x1 − R12 · |x1 − x2| · sign(x1 − x2) ˙x2 = u2 −R2 · √ x2 + R12 · |x1 − x2| · sign(x1 − x2) ˙x3 = u3 −R3 · √ x3 + R1 · √ x1 ˙x4 = −R4 · √ x4 + R2 · √ x2 (3) Les param`etres de connexion R1, R2, R3 et R4 ont ´et´e identifi´es en faisant des essais statiques sur chaque cuve. Pour d´eterminer le coefficient R12, un d´ebitm`etre a ´et´e plac´e entre les cuves 1 et 2. Ensuite, des tests en statique ont ´et´e effectu´es en consid´erant les niveaux dans les deux cuves. Les valeurs obtenues sont :R1 = R2 = 0.95, R3 = 1.3, R4 = 4 et R12 = 0.52. Pour valider le mod`ele d´ecrit par les ´equations (3), nous avons compar´e les niveaux exp´erimentaux avec les niveaux th´eoriques en consid´erant les entr´ees donn´ees dans la figure (5). Les r´esultats obtenus sont montr´es dans la figure (6). 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 1 2 3 4 5 Temps en secondes DébitpompeAenlitres/minutes 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 1 2 3 4 5 Temps en secondes DébitpompeBenlitres/minutes 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 1 2 3 4 Temps en secondes DébitpompeCenlitres/minutes Fig. 5. Siganux de commande de pompes L’objectif du paragraphe suivant est la mise sous forme de mod`ele TS le syst`eme d´ecrit par les ´equations (3) et sa validation exp´erimentale. C. Mod`ele flou de type Takagi Sugeno Le mod`ele non lin´eaire des quatre cuves d´ecrit par les ´equations (3) peut s’´ecrire sous la forme. ˙x(t) = A(x(t))x(t) + Bu(t) (4) x(t) = x1 x2 x3 x4 T A(x) =        − R1√ x1 − R12√ |x1−x2| R12√ |x1−x2| 0 0 − R12√ |x1−x2| − R2√ x2 + R12√ |x1−x2| 0 0 R1√ x1 0 − R3√ x3 0 R2√ x2 0 − R4√ x4        B =    1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0    0 50 100 150 200 250 300 350 400 5 10 15 20 Temps en secondes NiveaucuveAenlitres 0 50 100 150 200 250 300 350 400 5 10 15 Temps en secondes NiveaucuveBenlitres 0 50 100 150 200 250 300 350 400 15 20 25 30 Temps en secondes NiveaucuveCenlitres 0 50 100 150 200 250 300 350 400 18 20 22 24 Temps en secondes NiveaucuveDenlitres Fig. 6. Comparaison entre les niveaux th´eoriques et des niveaux exp´erimentaux En consid´erant les secteurs de non lin´earit´es des termes zi = 1√ xi ∈ [ai, bi] de la matrice A(x(t)) , le mod`ele (4) peut ˆetre repr´esent´e par 16 r`egles de type TS suivantes : : Si z1 est Fi r et z2 est Fj 2 et z3 est Fk 3 et z4 est Fl 4 alors ˙x(t) = Arx(t) + Bu(t) + W(t) avec : i, j, k, l ∈ {1, 2}, r ∈ {1, 2, ..., 16} et F1 i = zi − bi ai − bi et F2 i = 1 − F1 i A1 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1a1 0 −R3a3 0 0 R2a2 0 −R4a4    A2 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1a1 0 −R3a3 0 0 R2a2 0 −R4b4    A3 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1a1 0 −R3b3 0 0 R2a2 0 −R4a4    A4 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1a1 0 −R3b3 0 0 R2a2 0 −R4b4    A5 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1a1 0 −R3a3 0 0 R2b2 0 −R4a4    A6 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1a1 0 −R3a3 0 0 R2b2 0 −R4b4    e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 46-51 A7 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1a1 0 −R3b3 0 0 R2b2 0 −R4a4    A8 =    −R1a1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1a1 0 −R3b3 0 0 R2b2 0 −R4b4    A9 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1b1 0 −R3a3 0 0 R2a2 0 −R4a4    A10 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1b1 0 −R3a3 0 0 R2a2 0 −R4b4    A11 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1b1 0 −R3b3 0 0 R2a2 0 −R4a4    A12 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2a2 0 0 R1b1 0 −R3b3 0 0 R2a2 0 −R4b4    A13 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1b1 0 −R3a3 0 0 R2b2 0 −R4a4    A14 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1b1 0 −R3a3 0 0 R2b2 0 −R4b4    A15 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1b1 0 −R3b3 0 0 R2b2 0 −R4a4    A16 =    −R1b1 0 0 0 0 −R2b2 0 0 R1b1 0 −R3b3 0 0 R2b2 0 −R4b4    W(t) = w(x(t)) −w(x(t)) 0 0 avec w(x(t)) = −R12 · |x1 − x2| · sign(x1 − x2) est consider´ee comme une perturbation born´ee. Le mod`ele global est ainsi obtenu par interpolation de ces 16 mod`eles : ˙x(t) = 16 r=1 hr(Ar · x(t) + B · u(t) + W(x(t))) avec hr(z1, z2, z3, z4) = Fi 1(z1) · Fj 2 (z2) · Fk 3 (z3) · Fl 4(z4), r ∈ {1, 2, ..., 16} La section suivante propose une loi de commande pour le mod`ele TS pr´ec´edent. L’objectif est de r´eguler le niveau d’eau dans les quatre cuves. III. Synth`ese d’une commande TS avec int´egrateur Dans cette partie, nous consid´erons l’int´egrale de l’erreur de pour- suite eI = (yr − y)dt = (yr − Cx)dt o`u yr d´esigne les niveaux d´esir´es des cuves. Le syst`eme augment´e qui en d´ecoule est le suivant ˙X = 16 i=1 (AiX + Bu + DYr) (5) avec X = x eI , Ai = Ai 0 −C 0 , B = B 0 , e =   yr1 − x1 yr2 − x2 yr3 − x3  , C =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  , D =          −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0          , Yr =    w yr1 yr2 yr3   . Consid´erons la loi de commande de type PDC u(t) = 16 r=1 hr(z(t)) [kr kIr] X(t) = 16 r=1 hr(z(t))KrX(t) (6) L’objectif est de d´eterminer les gains Kr tels que le syst`eme en boucle ferm´ee soit globalement asymptotiquement stable. En effet, comme la matrice B est identique `a tous les mod`eles locaux, il suffit de trouver une matrice sym´etrique d´efinie positive P > 0 et des matrices Kr avec r = 1, 2, ..., 16 telles que (Ar + BKr)T P + P(Ar + BKr) < 0 (7) La formulation LMI est obtenue directement en multipliant `a droite et `a gauche par X = P−1 avec le changement de variable Zr = KrQ : ArQ + BZr + (ArQ + BZr)T < 0 (8) La loi de commande est compl`etement d´efinie par Kr = ZrQ−1, r = 1, 2, ..., 16. IV. R´esultats exp´erimentaux L’objectif principal de ce travail est la validation exp´erimentale du mod`ele ´elabor´e du proc´ed´e `a quatre cuves (figure 1) et la mise en oeuvre exp´erimentale de la loi de commande obtenue sur la base du mod`ele TS `a 16 mod`eles locaux. En prenant ai = 10 litres et bi = 20 litres pour les quatre cuves et en r´esolvant les LMI (8) on obtient P =          24.79 0 −0.00 0 12.02 0 −0.00 0 24.79 0 1.32 0 11.90 0 −0.00 0 24.79 0 0.00 0 12.02 0 1.32 0 43.85 0 3.39 0 12.02 0 0.00 0 24.79 0 0 0 11.90 0 3.39 0 24.79 0 −0.00 0 12.02 0 0 0 24.79          K1 =   −1.07 0 −38.68 0 1.62 0 18.75 0 −1.06 0 −0.20 0 1.64 0 38.46 0 −0.99 0 −18.75 0 1.62   K2 =   −1.07 0 −36.13 0 1.62 0 17.51 0 −1.06 0 −0.19 0 1.64 0 35.91 0 −0.99 0 −17.51 0 1.62   K3 =   −1.07 0 88.67 0 1.62 0 −42.99 0 −1.06 0 −0.21 0 1.64 0 −88.88 0 −0.87 0 42.99 0 1.62   K4 =   −1.070 60.28 0 1.62 0 −29.22 0 0 −1.06 0 −0.19 0 1.64 0 −60.49 0 −0.87 0 29.22 0 1.62   e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 46-51 K5 =   −1.07 0 −76.53 0 1.62 0 37.10 0 −0.97 0 −0.25 0 1.64 0 76.32 0 −0.99 0 −37.10 0 1.62   K6 =   −1.07 0 −74.07 0 1.62 0 35.91 0 −0.97 0 −0.24 0 1.64 0 73.85 0 −0.99 0 −35.91 0 1.62   K7 =   −1.07 0 −20.28 0 1.62 0 9.83 0 −0.97 0 −0.25 0 1.64 0 20.06 0 −0.87 0 −9.83 0 1.62   K8 =   −1.07 0 −198.35 0 1.62 0 96.17 0 −0.97 0 −0.24 0 1.64 0 198.14 0 −0.87 0 −96.17 0 1.62   K9 =   −0.98 0 −48.25 0 1.62 0 23.39 0 −1.06 0 −0.20 0 1.64 0 47.95 0 −0.99 0 −23.39 0 1.62   K11 =   −0.98 0 36.87 0 1.62 0 −17.87 0 −1.06 0 −0.19 0 1.64 0 −37.17 0 −0.99 0 17.87 0 1.62   K11 =   −0.98 0 10.12 0 1.62 0 −4.90 0 −1.06 0 −0.20 0 1.64 0 −10.42 0 −0.87 0 4.90 0 1.62   K12 =   −0.98 0 −48.73 0 1.62 0 23.62 0 −1.06 0 −0.19 0 1.64 0 48.43 0 −0.87 0 −23.62 0 1.62   K13 =   −0.98 0 17.73 0 1.62 0 −8.59 0 −0.97 0 −0.25 0 1.64 0 −18.03 0 −0.99 0 8.59 0 1.62   K14 =   −0.98 0 −31.91 0 1.62 0 15.47 0 −0.9773 0 −0.24 0 1.64 0 31.61 0 −0.99 0 −15.47 0 1.62   K15 =   −0.98 0 11.59 0 1.62 0 −5.62 0 −0.97 0 −0.25 0 1.64 0 −11.89 0 −0.87 0 5.62 0 1.6242   K16 =   −0.98 0 −30.34 0 1.62 0 14.71 0 −0.97 0 −0.24 0 1.64 0 30.04 0 −0.87 0 −14.71 0 1.62   Le sch´ema bloc du syst`eme de contrˆole avec int´egrateur est montr´e dans la figure 3 Fig. 7. Structure de commande avec int´egrateur La validation exp´erimentale a ´et´e r´ealis´ee sur un PC Pentium 4 ´equip´e du logiciel Matlab et d’une carte d’ac- quisition Adlink `a 8 entr´ees A/N et 7 sorties N/A. Dans le cadre de ce travail, seulement 4 entr´ees A/N (Niveaux des cuves) et 3 sorties N/A (3 pompes) sont utilis´ees. Pour des consignes sinuso¨ıdales et en utilisant une p´eriode d’´echantillonnage Te = 0.6s, les r´esultats sont donn´es dans la figure 8. les signaux de commande sont donn´es dans la fi- gure 9. Ces figures montrent que les niveaux dans les cuves suivent les signaux de consigne. 0 1000 2000 3000 4000 5000 12 14 16 18 0 1000 2000 3000 4000 5000 12 14 16 18 0 1000 2000 3000 4000 5000 12 14 16 18 Fig. 8. comparaison des niveaux des cuves aux consignes 0 1000 2000 3000 4000 5000 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 commande − R: pompe A − B: pompe B − G: pompe C Fig. 9. Evolution des signaux de commande e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 46-51 V. Conclusion Ce travail propose de mod´eliser et de r´eguler le niveau d’eau d’un proc´ed´e r´eel `a quatre cuves con¸cu au labora- toire. Le proc´ed´e est tout d’abord d´ecrit par des ´equations non lin´eaires en se basant sur les ´equations de bilan de d´ebit. Ensuite le mod`ele est r´e´ecrit en utilisant les mod`eles flous de type Takagi-Sugeno. Apr`es avoir valid´e le mod`ele exp´erimentalement, la r´egulation des niveaux d’eau des cuves est obtenue grˆace `a une loi commande TS avec int´egrateur. Cette loi de commande est calcul´ee en se ba- sant sur l’outil num´erique LMI Toolbox de Matlab. Les r´esultats exp´erimentaux permettent de valider la loi de commande propos´ee. En perspectives, ce banc d’essais sera utilis´e pour valider des algorithmes dans le domaine de l’es- timation d’´etat et de la tol´erance aux d´efauts capteurs et actionneurs. VI. Remerciements Nous tenons `a remercier Monsieur Pierre Lebrun Assis- tant ing´enieur `a l’IUP GEII de l’UPJV pour son aide et son implication dans ce Projet. R´ef´erences [1] P. Zhang and S. X. Ding Fault Tolerant Measurement and Moni- toring of a Nonlinear Two-Tank System Proceedings of the 13th Mediterranean Conference on Control and Automation Limassol, Cyprus, June 27-29, 2005 [2] M.Capiluppi, A. Paoli, Distributed fault tolerant control of the two-tanks system benchmark, Proceedings of the 44th IEEE CDC-ECC Seville, Spain, December 12-15, 2005 R. Dormido, H. Vargas, N. [3] Duro, J. S´anchez, S. Dormido-Canto, G. Farias, F. Esquembre, and S. Dormido, Development of a Web-Based Control Labora- tory for Automation Technicians : The Three-Tank System, IEEE TRANSACTIONS ON EDUCATION, Vol 10, pp. 1-10 (2007) Q. Wang,Y. Yang and H. Chen, H ? 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