Conditions d’Equilibre et Commandabilité à Zéro d’un Drone en Cas de Blocage des Commandes de Vol

02/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-3:17209
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Conditions d’Equilibre et Commandabilité à Zéro d’un Drone en Cas de Blocage des Commandes de Vol

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1 Conditions d’Equilibre et Commandabilit´e `a Z´ero d’un Drone en Cas de Blocage des Commandes de Vol Fran¸cois Bateman, Hassan Noura, Mustapha Ouladsine R´esum´e—En amont de la mise en œuvre de lois de commande tol´erantes aux d´efauts, il semble opportun d’identifier les conditions et les limites sous lesquelles le syst`eme ´etudi´e peut, en pr´esence de d´efauts d’action- neurs, continuer de fonctionner. Cette ´etude requiert un mod`ele capable de rendre compte du comportement du syst`eme d´efaillant, l’existence d’un nouvel ´equilibre et l’estimation du domaine de commandabilit´e `a z´ero du syst`eme. Ce dernier d´epend en particulier des niveaux de saturation des actionneurs sains. Cette ´etude est appliqu´ee `a un drone instable en boucle ouverte dans le cas d’un blocage d’une des gouvernes de profondeur. Mots-cl´es—d´efauts d’actionneurs, commandabilit´e `a z´ero, syst`eme lin´eaire avec saturation des actionneurs, drone. I. INTRODUCTION Les syst`emes a´eronautiques constituent un important support `a l’´etude des m´ethodes de diagnostic et de com- mandes tol´erantes aux d´efauts. A cet ´egard, de nombreux travaux ont ´et´e publi´es sur la mise en œuvre de m´ethodes d’accommodation aux d´efauts pour des pannes affectant les commandes de vol. En particulier, l’impl´ementation de strat´egies d’accommodation pour des pertes d’efficacit´e de ces commandes est propos´ee dans [1], [2]. Les blocages de commandes de vol sont des pannes critiques `a l’origine de nombreuses catastrophes a´eriennes [3], [4]. Cependant, peu de travaux ´etablissent les conditions sous lesquelles un avion peut continuer `a voler lorsqu’une ou plusieurs gouvernes de vol sont bloqu´ees. Le fait qu’un a´eronef dispose de commandes redondantes constitue une condition n´ecessaire mais pas suffisante `a la poursuite du vol. En effet, les capacit´es de d´ebattement des commandes saines sont limit´ees et peuvent se r´ev´eler insuffisantes pour permettre `a l’a´eronef d’atteindre un nouvel ´equilibre. D’autre part, du fait de la pr´esence des d´efauts, la capacit´e `a manœuvrer de l’a´eronef peut se trouver r´eduite. Dans ces conditions, il n’est pas toujours possible `a partir des conditions initiales cons´ecutives au d´efaut d’´elaborer une loi de commande qui permette de ramener l’appareil autour de son nouvel ´etat d’´equilibre. Fran¸cois Bateman :Laboratoire des Sciences de l’Information et des Syst`emes (LSIS), UMR CNRS 6168, Universit´e Paul C´ezanne , Aix Marseille III, Domaine Universitaire de St J´erˆome, 13397, France, francois.bateman@lsis.org Hassan Noura : United Arab Emirates University Depart- ment of Electrical Engineering P.O. Box 17555 Al-Ain, UAE hnoura@uaeu.ac.ae Mustapha Ouladsine : Laboratoire des Sciences de l’Information et des Syst`emes (LSIS), UMR CNRS 6168, Universit´e Paul C´ezanne , Aix Marseille III, Domaine Universitaire de St J´erˆome, 13397, France, mustapha.ouladsine@lsis.org Dans cet article, on consid`ere le mod`ele longitudinal d’un drone qui, compte tenu de la position de son centre de gravit´e, est instable. Les d´efauts consid´er´es sont des blocages des commandes de vol, ces d´efauts sont asym´e- triques. Chaque gouverne peut ˆetre command´ee s´epar´e- ment et les d´ebattements des commandes sont born´es en amplitude. Le cas d’une panne du syst`eme de propulsion n’est pas abord´e, l’a´eronef ´etudi´e est un monomoteur et n’offre aucune redondance en cas de panne compl`ete de cet actionneur. L’article est organis´e de la mani`ere suivante : dans la seconde partie on propose un mod`ele du drone. Dans la troisi`eme partie on pr´esente une m´ethode pour calculer les nouvelles positions d’´equilibre ou “trims” des commandes saines qui, en cas de d´efaut, minimisent la d´egradation des qualit´es de vol. La quatri`eme partie est d´edi´ee au calcul du domaine de commandabilit´e `a z´ero de l’a´eronef qui est la r´egion de l’espace d’´etat depuis laquelle, `a partir de conditions initiales cons´ecutives au d´efaut, il est possible de ramener l’avion autour de son nouvel ´etat d’´equilibre. II. MODELE DU DRONE @ e l > 0 @ e r @ r > 0 @ f l > 0 @ a l > 0 @ a r @ f r a i l e r o n d r o i t v o l e t d r o i t g o u v e r n e d e d i r e c t i o n p r o f o n d e u r d r o i t e P r o p u l s i o n @ x Figure 1. Le drone et ses commandes de vol L’a´eronef ´etudi´e et illustr´e sur la figure 1 est un mo- nomoteur `a h´elices `a ailes hautes. On suppose cet avion rigide, sa masse constante et son centre de gravit´e fixe. On ´etudie les mouvements de l’a´eronef autour de l’axe de tangage. Le vecteur d’´etat est X = θ V α q T o`u θ est l’assiette ou angle de tangage, V est la vitesse a´erodynamique, α est l’angle d’incidence, q le tangage. L’avion est muni de cinq commandes : la commande des gaz δx, les commandes des volets droit δfr et gauche δfl, les commandes des gouvernes de profondeur droite δer et gauche δel. Soit U = δx δfr δfl δer δel T e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 40-45 2 le vecteur des commandes. En mode de fonctionnement normal, les braquages des volets et des gouvernes de profondeur sont sym´etriques. Dans la perspective d’un probl`eme de tol´erance aux d´efauts et en vue d’´etudier les effets cons´ecutifs au blocage de ces commandes, on a ´etabli le torseur des actions a´erodynamiques produites par chacune des gouvernes δ = {δfr, δfl, δer, δel}. Soit Tδ ce torseur. Les moment sont calcul´es au centre de gravit´e c.g. Tδ =    ¯qCxδδ 0 0 ¯qcCmδδ ¯qCzδδ 0    (1) ¯q = 0.5ρV 2 d´esigne la pression a´erodynamique, c la corde a´erodynamique moyenne de l’aile, Cxδ, Czδ, Cmδ sont les coefficients de train´ee, de portance et de moment de tangage produits par le braquage de δ. S’agissant de la propulsion `a h´elices, l’angle de calage moteur est nul et n’est `a l’origine d’aucun moment de tangage. La constante kf est caract´eristique du moteur. Le torseur des actions de propulsion s’´ecrit : Tδx =    kf V δx 0 0 0 0 0    (2) Les ´equations d’´etat du drone sont celles de la m´ecanique du vol [5] pour lesquelles les forces et les moments produits par chacune des gouvernes sont consid´er´es : ˙θ = q ˙V = −g(cos α sin θ − sin α cos θ) − ¯qS m Cx(α) + kf cos α mV δx − ¯qS m Cxδer δer + Cxδel δel + Cxδfr δfr + Cxδfl δfl ˙α = g(sin α sin θ + cos α cos θ) V + q − ¯qS mV Cz(α) − kf sin α mV 2 δx − ¯qS mV Czδer δer + Czδel δel + Czδfr δfr + Czδfl δfl ˙q = ¯qSc Iy (Cm(α) + Cmq c V q) + ¯qSc Iy (Cmδer δer + Cmδel δel + Cmδfr δfr + Cmδfl δfl) (3) g d´esigne l’acc´el´eration de pesanteur, S la surface de l’aile, m la masse du drone, Iy le moment d’inertie autour de l’axe de tangage, Cx, Cz, Cm les coefficients de train´ee, de portance et de moment de tangage. Le mod`ele longitudinal du drone est affine en la commande et s’´ecrit : ˙X = f(X) + g(X)U (4) III. Calcul d’un nouvel ´equilibre Lorsqu’une gouverne se bloque, l’´equilibre des forces et des moments est rompu et le drone s’´ecarte de son ´etat d’´equilibre. L’existence d’un nouvel ´equilibre en pr´esence de d´efauts est une condition n´ecessaire `a la mise en œuvre d’une strat´egie de commande tol´erante aux d´efauts. Dans ce qui suit, Us d´esignant le vecteur des commandes saines et Uf le vecteur des commandes en d´efaut. Lorsque une gouverne est bloqu´ee dans la position Uf b , un nouvel ´equilibre {Xe, Us e , Uf b } existe si et seulement si les vecteurs d’´etat et de commande v´erifient : 0 = f(Xe) + gs (Xe)Us e + gf (Xe)Uf b (5) sous les contraintes :    Xmin ≤ X ≤ Xmax Us min ≤ Us ≤ Us max Uf = Uf b (6) Xmin, Xmax, Umin, Umax, d´esignent respectivement les amplitudes minimales et maximales des variables d’´etat et des commandes. De plus les contraintes suivantes visent `a imposer le vol en palier : qe = 0 θe − αe = 0 (7) On propose une m´ethode de calcul d’un point d’´equilibre dans le cas d’un premier d´efaut, la m´ethode peut ˆetre ´eten- due au cas de plusieurs gouvernes d´efaillantes. La gouverne d´efaillante et la position du d´efaut sont suppos´ees connues au moyen d’un syst`eme de diagnostic. Les contraintes de braquage des gouvernes saines sont relˆach´ees et chacun des actionneurs sains est command´e s´epar´ement. La m´ethode propos´ee consiste en une reconfiguration optimale des commandes saines, elle a pour objectif : – de garantir des solutions `a (5) v´erifiant les contraintes (6) et (7), – de maintenir le point d’´equilibre en pr´esence de d´e- faut(s) proche du point d’´equilibre nominal, – de minimiser les d´ebattements des commandes saines permettant d’atteindre cet ´equilibre. Ainsi, en cas de d´efaut, le mod`ele lin´earis´e du drone autour du nouvel ´equilibre reste proche de celui pr´ec´edant l’apparition du d´efaut et les qualit´es de vol de l’appareil sont conserv´ees. Le probl`eme de la r´eallocation des commandes saines est pos´e en termes de minimisation d’une fonction de coˆut J o`u qV et qα sont des pond´eration, R est une matrice de pond´erations, l’indice e0 d´esigne les valeurs des variables `a l’´equilibre avant l’apparition du d´efaut : J = Us − Us e0 )T R(Us − Us e0 ) + qV (V − Ve0 2 +qα(α−αe0 )2 (8) Sous la contrainte de blocage de la gouverne d´efaillante dans la position Uf b : Uf − Uf b = 0 (9) sous les contraintes ´egalit´e d’´equilibre : 0 = f(Xe) + gs (Xe)Us e + gf (Xe)Uf b (10) sous les contraintes ´egalit´e de vol en palier : qe = 0 θe − αe = 0 (11) sous les contraintes in´egalit´e de bornes : Xmin ≤ X ≤ Xmax Umin ≤ U ≤ Umax (12) Ce probl`eme d’optimisation est r´esolu au moyen d’un algo- rithme de Programmation Quadratique Successive (PQS). e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 40-45 3 A. Blocage de la profondeur droite On suppose que la gouverne de profondeur droite peut se bloquer dans une position quelconque parmi toutes celles d´efinissant sa plage de variation (Table I). variables d’´etat/commandes plage de variation α [−3◦, 12◦] V [12m.s−1, 30m.s−1] δx [0, 1] δer, δel [−20◦, 20◦] δfr, δfl [−5◦, 40◦] Table I Domaines de variation des ´etats et des commandes La solution de (8) sous les contraintes (9)-(12) montre qu’un ´etat d’´equilibre peut ˆetre atteint pour des positions de blocage de la gouverne de profondeur droite comprises entre [−17◦ , 20◦ ]. Les figures 2 et 3 montrent les positions de “trim” Us e `a conf´erer aux commandes saines du drone et les valeurs des ´etats d’´equilibre Xe atteints en fonction de la position du d´efaut. −20 −10 0 10 20 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 position de blocage de la profondeur droite (°) δxe (%) −20 −10 0 10 20 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 δfre (°) position de blocage de la profondeur droite (°) −20 −10 0 10 20 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 δ fle (°) position de blocage de la profondeur droite (°) −20 −10 0 10 20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 δele (°) position de blocage de la profondeur droite (°) Figure 2. “Trims” des commandes saines pour δer ∈ [−17◦, 20◦] Cependant, il n’a pas ´et´e possible en r´eglant les pond´era- tions d’augmenter le domaine pour lequel une solution au probl`eme existe. En vue d’´evaluer l’impact du d´efaut sur la dynamique de l’avion, on a calcul´e pour chaque position de d´efaut dans l’intervalle [−17◦ , 20◦ ] le mod`ele lin´earis´e et les pˆoles aff´erents. La figure 4 montre le lieu des pˆoles trac´e pour les diff´erentes positions du d´efaut. Il apparaˆıt que la dispersion des pˆoles vis-`a-vis de leurs valeurs nominale est tr`es faible. Ainsi, avec cette strat´egie de r´eallocation des commandes saines, les qualit´es de vol de l’appareil sont peu affect´ees par le d´efaut. IV. Commandabilit´e `a z´ero de l’avion La capacit´e du drone `a manœuvrer d´epend en partie des niveaux de saturation des commandes. En effet, ces derniers d´eterminent les forces et les moments maximum que peuvent produire les commandes. Cela est particuli`e- rement av´er´e en cas de d´efauts d’actionneurs o`u ces ni- veaux de saturation not´es us +, us − d´ependent des positions d’´equilibre et des plages de variations des commandes. us + = Us max − Us e (13) us − = Us min − Us e (14) La figure 2 illustre ce propos. Elle montre qu’un blocage de la gouverne de profondeur droite dans la position δer = −17◦ n´ecessite, pour maintenir le drone `a l’´equilibre, un braquage dans la position δfr = δfl = −5◦ des volets droit et gauche et δel = +20◦ pour la gouverne de profondeur gauche. Ces braquages correspondent aux positions de saturation de ces gouvernes et l’on peut supposer que cette configuration affecte la capacit´e du drone `a manœuvrer. −20 −10 0 10 20 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 θe (°) position de blocage de la profondeur droite (°) −20 −10 0 10 20 0 5 10 15 20 25 Ve (m/s) position de blocage de la profondeur droite (°) −20 −10 0 10 20 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 αe (°) position de blocage de la profondeur droite (°) −20 −10 0 10 20 0 1 2 3 4 5 6 x 10 −25 qe (°) position de blocage de la profondeur droite (°) Figure 3. Etats d’´equilibre pour δer ∈ [−17◦, 20◦] -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 12 10 8 6 4 2 0.995 0.989 0.976 0.94 0.8 0.995 0.989 0.976 0.94 0.8 real axis imagaxis Figure 4. Lieu des pˆoles pour un blocage de la gouverne de profondeur dans l’intervalle [−17◦, 20◦] e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 40-45 4 A. Notion de commandabilit´e `a z´ero Suite au blocage d’une commande de vol, le vecteur d’´etat du drone peut s’´eloigner de l’´etat d’´equilibre calcul´e pour le d´efaut consid´er´e. Les commandes saines doivent, en consid´erant les saturations, permettre de ramener le vecteur d’´etat `a sa nouvelle valeur d’´equilibre. L’ensemble des ´etats qu’il est possible de ramener `a l’´equilibre en appliquant ces commandes en un temps T ∈ [0, ∞[ est not´e C(T ) et est appel´e r´egion de commandabilit´e `a z´ero. La commandabilit´e `a z´ero des syst`emes lin´eaires avec saturation des actionneurs a ´et´e ´etudi´ee par [6] dans le cas de syst`emes stables, le cas des syst`emes instables a ´et´e trait´e dans [7]. R´ecemment Hu a propos´e une m´ethode pour le calcul exact de la r´egion de commandabilit´e `a z´ero pour des syst`emes lin´eaires instables avec saturation des actionneurs sym´etriques et asym´etriques [8], [9]. On se pro- pose de d´eterminer cette r´egion pour le drone lorsqu’une des gouvernes de vol est d´efaillante en tenant compte du caract`ere asym´etrique des saturations des actionneurs. On rappelle `a cet effet les r´esultats ´etablis dans [8]. On suppose que le syst`eme ´etudi´e est d´ecrit par (15) : ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) (15) avec x(t) ∈ Rn et u(t) ∈ Rm . Le vecteur des commandes est dit admissible si u ∈ Um avec : Um = {u : u est mesurable et (16) u− ≤ u(t) ≤ u+ , ∀t ∈ R} D´efinition 1: Un ´etat x0 est dit commandable `a z´ero s’il existe un T ∈ [0, ∞[ et une commande admissible u telle que la trajectoire d’´etat permette de passer de l’´etat x(0) = x0 `a l’´etat x(T ) = 0. L’ensemble C de tous les ´etats commandables `a z´ero est appel´e la r´egion de commandabilit´e `a z´ero de (15). D’apr`es la d´efinition qui pr´ec`ede, 0 = x(T ) = eAT x0 + T 0 eA(T −τ) Bu(τ)dτ (17) C = T ∈[0,∞[ x = − T 0 e−Aτ Bu(τ)dτ : u ∈ Um (18) Proposition 1: On fait l’hypoth`ese que la paire (A, B) est commandable, a) Si tous les pˆoles de (15) sont `a partie r´eelle n´egative ou nulle alors C = Rn [6]. b) Si tous les pˆoles de (15) sont `a partie r´eelle positive alors C est un ensemble convexe born´e ouvert de Rn [7]. c) Si le syst`eme peut s’´ecrire comme la somme d’un syst`eme dont les pˆoles sont `a partie r´eelle n´egative ou nulle et d’un syst`eme dont les pˆoles sont `a partie r´eelle positive alors C est le produit cart´esien du domaine de commandabilit´e `a z´ero du premier syst`eme par celui du second syst`eme [7]. Pour un syst`eme instable (proposition 1.b), ¯C = − ∞ 0 e−Aτ Bu(τ)dτ : u ∈ Um (19) ¯C d´esigne la clˆoture de l’ensemble C et ∂C la fronti`ere de cet ensemble. Le syst`eme ´evoluant `a rebours du syst`eme (15) a pour ´equation d’´etat : ˙z(t) = −Az(t) − Bv(t) (20) D´efinition 2: Un ´etat zf est dit atteignable s’il existe un T ∈ [0, ∞[ et une commande admissible v telle que la trajectoire d’´etat permette de passer de l’´etat z(0) = 0 `a l’´etat z(T ) = zf . L’ensemble R de tous les ´etats atteignables est appel´e la r´egion atteignable de (20). La commande v(t) = u(T − t) permet de passer de l’´etat initial z(0) = x(T ) = 0 `a l’´etat final z(T ) = x0. Les syst`emes (15) et (20) ont des trajectoires d’´etat identiques ´evoluant dans des directions oppos´ees et C de (15) est identique `a R de (20). B. R´egion de commandabilit´e `a z´ero d’un syst`eme instable Hu [9] d´emontre que la fronti`ere de la r´egion de com- mandabilit´e `a z´ero ∂C d’un syst`eme lin´eaire instable avec saturations asym´etriques des actionneurs est d´ecrite par l’ensemble de trajectoires d’´etat extrˆemes du syst`eme `a rebours. De fait, la r´egion de commandabilit´e `a z´ero C de (15) est caract´eris´ee en ´etudiant la r´egion atteignable R du syst`eme `a rebours (20). La fonction de transition de l’´etat du syst`eme `a rebours (20) obtenue en appliquant une commande admissible v sur l’intervalle ] − ∞, t] a pour expression : Φ(t, v) := − t −∞ e−A(t−τ) bv(τ)dτ (21) Une commande admissible v ∈ E, E ´etant un ensemble de commandes extrˆemes, telle que Φ(t, v) parcourt ∂R est dite extrˆeme et Φ(t, v) est une trajectoire extrˆeme. ∂C = ∂R = {Φ(t, v) : t ∈ R, v ∈ E} (22) Dans le cas o`u tous les pˆoles sont r´eels, le th´eor`eme suivant permet de d´eterminer l’ensemble E des commandes extrˆemes. Th´eor`eme 1: [9] Pour le syst`eme (20), A ayant toutes ses valeurs propres `a partie r´eelle positive, a) une commande extrˆeme a au plus n−1 commuta- tions. b) toute commande bang-bang ayant n−1 commuta- tions ou moins est une commande extrˆeme. C. Application au drone En pr´esence d’un d´efaut sur les commandes de vol du drone, l’´etude men´ee au §III-A a montr´e la pr´esence d’un mode du premier ordre instable. Dans ce qui suit, pour le syst`eme associ´e `a ce mode du premier ordre, on calcule le domaine de commandabilit´e `a z´ero qui d’apr`es la proposition 1.b est un ensemble convexe born´e ouvert contenant l’origine. La proposition 1.c permet ensuite de d´eterminer le domaine de commandabilit´e `a z´ero du drone. La m´ethode propos´ee par Hu permet le calcul du do- maine de commandabilit´e `a z´ero d’un syst`eme lin´eaire e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 40-45 5 instable avec saturation des actionneurs, elle n’est donc pas en toute rigueur transf´erable au mod`ele du drone d´ecrit par les ´equations d’´etat (3). Elle peut cependant permettre de mettre en ´evidence les limites du drone pour atteindre un point d’´equilibre en mode de fonctionnement normal ou en pr´esence de d´efaut(s). Pour la gouverne en d´efaut et pour chaque position de d´efaut, lorsque cela est possible, on calcule un ´equilibre {Xe, Us e , Uf b } autour duquel on ´etablit un mod`ele lin´earis´e du drone. Pour chaque mod`ele, on calcule la matrice de passage P(Xe, Us e , Uf b ) 1 permettant de transformer le mod`ele du drone dans la base modale : x = Pη o`u η est le vecteur d’´etat dans cette base. Cette transformation permet de conclure quant `a la commandabilit´e (lemme de Hautus) et de mettre en ´evidence les pˆoles `a partie r´eelle positive. L’´etude montre que pour les diff´erentes positions de d´efaut, lorsqu’un ´equilibre existe, la paire (A, B) est toujours commandable et poss`ede un pˆole r´eel instable. Le mod`ele du drone dans la base modale : ˙η = A− 0 0 A+ η + B− B+ us (23) – A− = diag(λ1 . . . λn−1) et Re(λi) ∈ R− , i = 1 . . . n − 1. – A+ = λn ∈ R+ – B+ = b1 . . . bm−d ∈ R1×(m−d) dans le cas o`u d gouvernes sont bloqu´ees. – us d´esigne le vecteur des commandes saines. Les niveaux de saturation des commandes saines ui ∈ us : ui + = Ui max − Ui e (24) ui − = Ui min − Ui e (25) Les niveaux de saturation des actionneurs sont asym´etriques et les valeurs de A− , A+ , B− , B+ , λi, λn sont fonction de celles de (Xe, Us e , Uf b ), elles sont caract´eristiques de chaque d´efaut. Le sous-syst`eme instable `a rebours du premier ordre : ˙ηn = −λnηn − m−d i=1 bivi (26) vi est une commande admissible, ui − ≤ vi ≤ ui + (27) D’apr`es le th´eor`eme 1, pour ce syst`eme, une commande `a temps minimum r´ealise une commande extrˆeme permet- tant de caract´eriser ∂R et par l`a-mˆeme ∂C. Le hamiltonien du syst`eme (26) pour la commande `a temps minimum : H(η, u, µ) = 1 − µλnηn − µ(t) m−d i=1 bivi (28) 1. Cette matrice est d´esormais not´ee P. On applique le principe de Pontryaguin en vue de calculer les commandes vi∗ qui minimisent le hamiltonien : vi∗ = min(sgn(µ(t)bi)ui +, sgn(µ(t)bi)ui −) (29) Le multiplicateur de Lagrange est obtenu apr`es int´egration de l’´equation de Hamilton : ∂H ∂η = − dµ dt = −µ ⇒ µ(t) = µ(0)et (30) µ(t) est une fonction strictement monotone du temps et son signe est celui de µ(0). Il n’y a par cons´equent aucune commutation des commandes. L’ensemble des commandes extrˆemes E est d´efini pour µ(0) > 0 et µ(0) < 0 : E = {vi∗ , i = 1 . . . m − d} (31) = si sgn(µ(0)bi ) > 0 ⇒ vi∗ = ui − si sgn(µ(0)bi ) < 0 ⇒ vi∗ = ui + . Le domaine de commandabilit´e `a z´ero du sous-syst`eme instable dans la base modale est d´ecrit par les trajectoires d’´etat extrˆemes. Celles-ci sont d´efinies par la fonction de transition (21) pour les commandes extrˆemes (31) obtenues pour µ(0) > 0 et µ(0) < 0 : ∂C = ∂R = − t −∞ e−λn(t−τ) m−d i=1 bivi∗ (τ)dτ (32) ∂C = ∂C+ = 1 λn m−d i=1 bivi∗ pour µ(0) > 0 (33) ∂C = ∂C− = 1 λn m−d i=1 bivi∗ pour µ(0) < 0 (34) On d´efinit l’inverse de M = P−1 et M(n, :) d´esigne la nieme ligne de M. D’apr`es la proposition 1.c, la r´egion de commandabilit´e `a z´ero est la partie convexe ouverte de Rn d´elimit´ee par les deux hyperplans d’´equation : 0 = M(n, :)x − ∂C+ (35) 0 = M(n, :)x − ∂C− Il est important de remarquer qu’un domaine de comman- dabilit´e est d´efini pour chaque position de blocage de la gouverne en d´efaut. 1) Blocage de la gouverne de profondeur droite: On illustre le cas particulier du blocage de la gouverne de profondeur droite. En mode nominal le drone vole en palier ´equilibr´e `a 20m.s−1 . Le blocage est simul´e sur l’intervalle [−17◦ , 20◦ ]. Les matrices d’´etat et de commande (23) du mod`ele du drone sont calcul´ees puis transform´ees dans la base modale pour chaque position de d´efaut. Le pˆole r´eel associ´e au mode d’incidence est positif λn ∈ [0.76, 0.73] sur la plage de d´efaut de δer ∈ [−17◦ , 20◦ ]. Les niveaux de saturation des commandes saines δx, δfr, δfl et δel sont repr´esent´es sur la figure 5 en fonction de la position du d´efaut. e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 40-45 6 −20 −10 0 10 20 −1 −0.5 0 0.5 1 Position de blocage de la profondeur droite (°) δx −20 −10 0 10 20 −10 0 10 20 30 40 50 Position de blocage de la profondeur droite (°) δ fr −20 −10 0 10 20 −10 0 10 20 30 40 50 Position de blocage de la profondeur droite (°) δ fl −20 −10 0 10 20 −40 −20 0 20 40 Position de blocage de la profondeur droite (°) δ el δx + δ x − δ fr + δ fr − δ fl − δ fl + δ el + δ el − Figure 5. Niveaux de saturation des commandes saines u+, u− Le domaine de commandabilit´e `a z´ero ∂C+ , ∂C− pour les diff´erentes positions de d´efaut du sous-syst`eme instable du premier ordre est repr´esent´e sur la figure 6. Pour chaque position de d´efaut δer ∈ [−17◦ , 20◦ ], le domaine de commandabilit´e `a z´ero du mod`ele longitudinal du drone est l’ouvert convexe de R4 d´elimit´e par les deux hyperplans d´efinis par (35). Cette figure montre que pour un d´efaut δer ∈ [−17◦ , −10◦ ], l’´etat ηn(0) (n = 4) calcul´e dans la base modale ne peut ˆetre ramen´e `a l’origine. Le domaine de commandabilit´e `a z´ero du drone obtenu apr`es changement de base sera n´ecessairement r´eduit pour cette plage de d´efauts. −15 −10 −5 0 5 10 15 20 −100 −50 0 50 Position de blocage de la profondeur droite (°) ∂C+ ,∂C− Figure 6. Domaine de commandabilit´e `a z´ero dans la base modale pour un d´efaut sur δer ∈ [−17◦, 20◦] Le domaine de commandabilit´e `a z´ero est un convexe ouvert de R4 . La figure 7 montre une projection de ce domaine dans R2 et quelques unes des trajectoires d’´etat dont les conditions initiales ont ´et´e choisies de part et d’autre ∂C pour un blocage de la gouverne de profondeur droite dans sa position d’´equilibre nominal δer = 2◦ . Cette figure fait ´egalement apparaˆıtre pour ce mˆeme ´equilibre le domaine de commandabilit´e `a z´ero en l’absence de d´efaut. La r´eduction de ce domaine cons´ecutive au d´efaut apparaˆıt ´evidente. Pour obtenir ces trajectoires le drone a ´et´e stabilis´e par une commande LQR [8]. −40 −20 0 20 40 60 −700 −600 −500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 angledetangageθ(°) vitesse aérodynamique V (m/s) Région de commandabilité à zéro C ∂C + en présence et en absence de défaut ∂C − en cas de défaut ∂C − en l’absence de défaut Figure 7. Domaine de commandabilit´e `a z´ero projet´e dans le plan (θ, V ) pour q = α = 0 V. Conclusion Dans cet article on a ´etabli les conditions sous lesquelles un drone soumis au blocage de l’une de ces gouvernes pour- rait, muni d’une loi de commande tol´erante aux d´efauts, continuer `a voler. On a ´egalement estim´e pour chaque valeur du d´efaut sa r´egion de commandabilit´e `a z´ero. Il resterait `a comparer cette derni`ere au domaine de vol. Dans des travaux futurs on cherchera `a mettre en œuvre une loi de commande qui maximise le domaine de stabilit´e en boucle ferm´ee et en pr´esence de d´efaut. R´ef´erences [1] Y. Zhang, S. Sivasubramaniam, D. Theilliol, and B. Jiang, “Reconfigurable control allocation agains partial control effector faults in aircraft,” in International Modeling and Simulation Multiconference, (Buenos Aires, Argentina), 2007. [2] S.Thomas, H. Kwatny, and B. Chang, “Nonlinear reconfiguration for asymmetric failures in a six degree-of-freedom f-16,” in Ame- rican Control Conference, (Boston, USA), 2004. [3] F. Burcham, T. Maine, C. G. Fullerton, and L. Webb, “Develop- ment and flight,” Tech. Rep. Technical Paper 3627, NASA, 1996. [4] B. d’Enquˆetes et d’Analyses pour la s´ecurit´e de l’aviation civile, “Incidents en transports a´eriens,” 2004. [5] J. Boiffier, The dynamics of flight. Wiley, 1998. [6] E. Sontag, Mathematical Control Theory. Springer, 1998. [7] O. Hajek, Control Theory in the Plane. Springer-Verlag, 1991. [8] T. Hu and Z.Lin, “Null controllability and stabilization of li- near systems subject to asymmetric actuators,” in Decision and Control, (Sydney, Australia), 2000. [9] T. Hu, Z.Lin, and L.Qiu, “An explicit description of null control- lable regions of linear systems with saturating actuators,” Sys- tems and Control Letters, vol. 47, pp. 65–78, 2002. e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 40-45