Etude de la Stabilité d’une Classe de Systèmes de Commande Floue de type Mamdani

02/08/2016
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2009-3:17208
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Résumé

Etude de la Stabilité d’une Classe de Systèmes de Commande Floue de type Mamdani

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	    <date dateType="Created">Tue 2 Aug 2016</date>
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Etude de la Stabilité d’une Classe de Systèmes de Commande Floue de type Mamdani Anis SAKLY Unité de recherche LARA Automatique Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, Belvédère 1002 Tunis, Tunisie sakly_anis@yahoo.fr Basma ZAHRA Unité de recherche LARA Automatique Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, Belvédère 1002 Tunis, Tunisie zahra_basma@yahoo.fr Mohamed BENREJEB Unité de recherche LARA Automatique Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, Belvédère 1002 Tunis, Tunisie mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Résumé—Dans ce papier, l’approche d’étude de la stabilité des systèmes de commande floue est basée sur l’utilisation des techniques d’agrégation et les normes vectorielles. Les conditions suffisantes de stabilité asymptotique sont élaborées pour les systèmes linéaires commandés par des régulateurs flous de type Mamdani. Les régulateurs flous considérés sont de type PI ; pour une répartition floue particulière des variables d’entrée, ces régulateurs correspondent à des systèmes de type Lur’e. I. INTRODUCTION Bien que l'analyse de la stabilité d'un modèle flou soit particulièrement difficile, puisqu'il est de nature non linéaire, il est important lors de la réalisation d'un régulateur flou et/ou d'un modèle flou d'analyser celle des boucles de régulation. C'est dans ce sens que certaines études ont été menées [1][3][5][7][8][10][13][15][19][21][23]. A la moitié des années 1970, plusieurs travaux ont été développés pour analyser la stabilité des systèmes bouclés dotés des régulateurs flous. Kichert et Mamdani [11] ont développé en particulier un modèle entrée/sortie de type multi- relais pour un régulateur flou afin d’utiliser la méthode du premier harmonique pour mettre en évidence des conditions d’existence de réponses périodiques. Ainsi, une des approches que l'on retrouve souvent dans la littérature consiste à utiliser un régulateur flou, qui est l'élément non linéaire, avec un modèle à contrôler linéaire. Dans cette approche, le modèle flou est considéré comme une classe particulière de modèles non linéaires. Après avoir montré que la caractéristique statique d’entrée/sortie appartient à un secteur, Ray et Majunmder [17] ont utilisé un cas particulier du critère de cercle pour obtenir des conditions suffisantes de stabilité asymptotique dans le cas de systèmes linéaires continus ayant l’erreur comme seule entrée de son régulateur flou considéré. Dans [16] est proposée l'extension du critère de Popov à un élément non linéaire à deux entrées, l’erreur et sa variation. Pour ce faire, il majore la surface de commande par un plan qui correspond à un régulateur PD en considérant la variation de l’erreur comme un paramètre. De cette façon, il se retrouve avec une non linéarité à une entrée. La solution relative aux modèles stables ou avec des pôles sur l'axe réel, formulée dans [7], utilise la représentation d'état du système et plusieurs transformations linéaires des grandeurs d'entrée du régulateur flou qui permettent de se ramener à l'utilisation du critère de Popov. Bühler propose un autre algorithme basé sur la conjecture d'Aizerman, c’est-à-dire le secteur de stabilité selon Popov coïncide avec celui de Hurwitz [7]. En remplaçant la nonlinéarité présente du régulateur flou par une caractéristique linéaire équivalente, il propose dans le cas où la conjecture est vérifiée, un critère basé sur le lieu des racines permettant en plus de prendre en compte certaines performances dont l’amortissement des phénomènes transitoires. Dans [14], l’approche proposée dans [17] a été étendue au cas des régulateurs à deux entrées, l’erreur et sa dérivée, contrôlant des systèmes stables ou marginalement stables (un pôle à l'origine). Pour des régulateurs flous particuliers à deux règles, dans [22] sont déterminées des conditions de stabilité suffisantes rendant la boucle fermée stable par l'utilisation du théorème de Kalman-Yacubovitch. La même approche a été utilisée pour le cas d’un régulateur à 4 règles [24]. Enfin, en prenant en compte un régulateur utilisant une répartition stricte d'ensembles flous triangulaires permettant notamment d'avoir au plus 4 règles actives à la fois, les résultats obtenus restent valables. Toutes ces méthodes impliquent des restrictions sur les systèmes étudiés. L'approche par le critère de Popov suppose par exemple un modèle de type fonction de transfert rationnelle pour des systèmes stables ou marginalement stables. Néanmoins, pour les systèmes instables on peut envisager l'utilisation d'une loi linéaire stabilisant le système. Une autre voie concerne l’utilisation des méthodes de synthèse plus générales notamment celles basées sur la méthode de Lyapunov. Langari et Tomizuka [12] ont utilisé la méthode directe de Lyapunov, dans le cas discret, pour proposer des conditions suffisantes de stabilité pour des contrôleurs utilisant uniquement l’échantillonnage du signal d’erreur en entrée. Dans le cas de deux entrées, les travaux de Melin et Vidolov [14] ont été considérés comme étant un problème de Lur’e. Néanmoins, la démonstration de l’approche proposée 1 e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 31-39 utilise le théorème de Kalman-Yacubovitch qui assure implicitement l’existence d’une fonction de Lyapunov. L’approche de Lyapunov a été, par ailleurs, utilisée pour l’étude de la stabilité globale des systèmes continus ou discrets mis sous la forme d’un modèle flou de type TSK [20]. L'intérêt de ces modèles de la forme TSK est leur mise sous une forme permettant l'utilisation de la représentation d'état, et donc de tout le potentiel rattaché à cette représentation. D'autres approches concernant la stabilité des boucles de régulation contenant un régulateur flou existent, basées sur le critère de conicité [2], ou l'approche par la passivité. Dans [18] par exemple, l'approche par la passivité a été utilisée pour des régulateurs flous à trois entrées (l’erreur, sa variation et sa somme), et a été appliquée sur des systèmes non linéaires. Une approche, développée dans [3] pour l'étude de la stabilité des systèmes flous de type TSK, utilise les normes vectorielles, et exploite le critère de Borne et Gentina. Ce dernier résultat est d’application très simple et conduit sous sa forme simplifiée à la formulation de conditions de stabilité asymptotique globale. Dans ce sens, nous envisageons d’exploiter cette dernière approche pour l’étude des systèmes de commande flous de type Mamdani dont les régulateurs flous considérés sont de type PI et pour une répartition floue particulière des variables d’entrée ; ces régulateurs correspondent à des systèmes de type Lur’e. Ce papier est organisé comme suit. Dans la section suivante, une caractérisation des régulateurs PI-flous ainsi qu’une classe particulière de ces régulateurs est présentée. Après la mise du système de commande floue sous la forme d’un système de Lur’e, l’étude de la stabilité asymptotique globale du système, basée sur les normes vectorielles, est proposée dans la section 3. Ces conditions sont élaborées pour une répartition identique des variables d’entrée. Dans le cas d’une répartition différente des variables d’entrée, des conditions suffisantes de stabilité asymptotique locale du système ainsi que la détermination d’un domaine de stabilité sont présentées dans la section 4. Les résultats obtenus sont appliqués à un exemple dans la section 5. II. CLASSE PARTICULIERE DES REGULATEURS PI-FLOUS La figure 1 présente le schéma blocs du système de commande floue continu de type Mamdani (PI-floue) où ke, kDe et kDu sont des facteurs d’échelle des variables d’entrée/sortie du régulateur flou, considérées sous la forme normalisée e* , De* et Du* . PI-flou Système Linéaire e* u y * De * Du ),( ** Deef Duek e De +_ w dt d Dek ∫Duk Figure 1. Système de commande PI-floue Dans cet article, on suppose que : - les univers de discours sont symétriques par rapport à zéro et sont délimités dans l’intervalle normalisé [-1,1], - la répartition des variables normalisées e* , De* et Du* est triangulaire forte dont le nombre de sous-ensembles flous NB est impair, - il est de même pour les deux variables d’entrée, figure 2 et figure 3, et la variable de sortie figure 4, - et la base de règles considérée est celle de MacVicar-Whelan du tableau I. µ ZENM PP PMNPNG *e1a01b− 1a−1− 11b PG Figure 2. Répartition floue de l’entrée e* PG µ ZENM PP PMNPNG *De2a02b− 2a−1− 12b Figure 3. Répartition floue de l’entrée De* PG µ ZENM PP PMNPNG *Dua0b− a−1− 1b Figure 4. Répartition floue de la sortie Du* TABLEAU I. BASE DE REGLES DE MAC VICAR-WHELAN e* De* NG NM NP ZE PP PM PG NG NG NG NG NG NM NP ZE NM NG NG NM NM NP ZE PP NP NG NM NP NP ZE PP PM ZE NG NM NP ZE PP PM PG PP NM NP ZE PP PP PM PG PM NP ZE PP PM PM PG PG PG ZE PP PM PG PG PG PG 2 e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 31-39 Soit σ(e* ,De* ) la surface vérifiant les 2 propriétés suivantes : * * * * * i) si 0 alors la surface caractéristique d'entrée/sortie ( , ) 0 ii) il existe 0 tel que ( ) 0, et [ 1,1] * * Du e De k Du k Du e De - σ σ =⎧ ⎪ =⎪ ⎨ > −⎪ ⎪ ∀ ∈⎩ ≥ (1) La première propriété indique que l’intersection entre la surface majorante σ avec le plan (e* ,De* ) est une partie de l’intersection de ce dernier avec la surface caractéristique Du* (e* ,De* ). La réciproque de cette propriété n’est vraie que si la surface Du*(e*,De*) ne présente pas des zones mortes. La courbe σ=0, linéaire par morceaux de la figure 5, vérifie la propriété précédente indépendamment du mécanisme d’inférence utilisé. e*−a1 a1 b1 −b1 1−1 0 b2 a2 −a2 −b2 1 De* −1 Figure 5. Courbe σ=0 (répartition différente) Selon la figure 4, cette courbe dans le plan (e* ,De* ) est symétrique par rapport à zéro. L’expression de σ=0 dans le cas où e* >0 et NB=7, peut être explicitée comme suit : 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 * 0 si 0 et * ( ) ( ) ( )( ) si et * 0 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) si 1 et 1 * * * * * * * * * * * * * * * e De e a - a De a a a b a be De b a b a b a b a a e b -b De a (b b )e De b b b b b e - De -b e De + = < ≤ < ≤ − + + = − − − − < ≤ < ≤ − + + = − − − − < ≤ < ≤ + 0 si 1 et 1* * e De - ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = > <⎪⎩ 0 0 (2) En particulier, si la répartition est identique pour les deux variables d’entrée e* et De* , c’est à dire a1=a2 et b1=b2, alors la courbe σ=0 n’est autre qu’une droite qui correspond à la deuxième bissectrice dans le plan (e* ,De* ) précisée dans la figure 6. De* e* 1 a1 b1 1 b2 a2 -a1-b1-1 -a2 -b2 -1 0 Figure 6. Courbe σ=0 (répartition identique) Dans ce cas, la propriété (ii) de (1) montre qu’il existe k>0 tel que la surface Du* (e* ,De* ), caractéristique du régulateur flou, est située entre le plan (e* ,De* ) et le plan donné par l’équation : Du* =k(e* +De* ). Ainsi, ce dernier plan majore la surface caractéristique de commande en tout point et caractérise un régulateur linéaire de type PD qui devient de type PI lorsqu’une intégration est ajoutée. Dans ce cas, un gain non linéaire f(e* ,De* ), non négatif, peut être défini par : Du* =f(e* ,De* )σ =f(.)(e* +De* ) (3) Dans les deux sections qui suivent, on s’intéresse à l’étude de la stabilité, respectivement globale pour une répartition floue identique des variables d’entrée et locale pour une répartition différente, du système de commande floue. III. ETUDE DE LA STABILITE ASYMPTOTIQUE GLOBALE POUR UNE REPARTITION IDENTIQUE DES VARIABLES D’ENTREE A. Mise sous forme d’un problème de Lur’e Dans le schéma de base du problème de Lur’e, l’élément non linéaire possède une seule entrée et la courbe f(.)e* est majorée par une droite. Concernant le régulateur flou précédent de type PI, présentant deux entrées, l’erreur et sa dérivée, il s’agit de trouver un plan qui majore la caractéristique Du* (e* ,De* ) en tout point. Pour une répartition identique des ensembles flous des variables d’entrée, on peut discuter la stabilité globale du système de commande floue. La courbe σ=0 est une droite qui représente l’intersection du plan majorant de la surface caractéristique avec le plan (e* ,De* ) selon l’équation suivante : (4)* * 0De e+ = 3 e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 31-39 Ainsi, le système de commande floue de la figure 1, pour ce cas de répartition des variables d’entrée, est donné dans la figure 7. Figure 7. Système de commande floue pour une répartition identique des variables d’entrée L’étude de la stabilité asymptotique de ce système peut être menée en considérant le régime autonome (w=0), relatif au système de commande de la figure 8. Figure 8. Système de commande floue en régime autonome (w=0) B. Conditions de stabilité asymptotique globale proposées Partons du système de commande floue de la figure 8 et considérons G(p) la fonction de transfert du système à commander, supposé stable, rationnelle, de degré relatif au moins égal à 1, dont le numérateur et le dénominateur ne présente pas de facteur commun : 1 1 1 1 ...( ) ( ) ( ) ... n n n n n b p bY p G p U p p a p a − − + + = = + + + (5.a) Il vient la description de ce système dans l’espace d’état telle que la matrice caractéristique est de forme Compagnon : x Ax Bu y Cx = +⎧ ⎨ =⎩ (5.b) avec : , et (5.c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = 1 100 010 aa A n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 B ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1b b C n T Le système d’entrée v et de sortie δ, de la figure 8, est de fonction de transfert telle que :( )L p′ ( ) ( ) ( )e De G p L p k k p p ′ = + (6.a) qui peut être décrit, de même, par : * * * * * * x A x B v C xδ ⎧ = +⎪ ⎨ =⎪⎩ (6.b) * 1 0 1 0 0 1 0 n A a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ … … … , et (6.c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 * B ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + 1 * 1 * * b b C n T x* étant d’ordre (n+1), avec : * 1 1 * 1 * 1 pour 2 De i e i De i n e n b k b b k b k b i b k b − + ⎧ = ⎪⎪ n= + ≤⎨ ⎪ =⎪⎩ ≤ * ) Sachant que : ** )()()( xCkfkfkfv duDuDu ⋅−=δ⋅−=σ⋅= il vient : * * * * * * * * * * ( ) [ ( ) ] (. Du Du C x A x B f k C x A B f k C x A x = − ⋅ ′= − ⋅ = (7.a) Posons : * * (.) ( )C D * uA A B f k C′ = − ⋅ (.)CA′ étant une matrice d’ordre (n+1) de forme Compagnon telle que : 1 1 0 1 0 (.) 0 0 1 () ()n C C C A a a+ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ′− ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.b) avec : 1 * 1 * i ( ) ( ) ( ) ( ) pour 1 n i C Du n C i Du a f k b a a f k b i + + ⎧ ′ ⋅ = ⋅⎪ ⎨ ′ n⋅ = + ⋅ ≤ ≤⎪⎩ 4 e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 31-39 Le changement de base régulier suivant : (8)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 22 2 1 2 1 2 1 1 1 0 0 1 n n nn n n P α α α α α α α α α ⎡ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 0⎤ ⎥ 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⋅ ⎦ n j j n avec αi≠αj, ∀ i≠j, permet de rendre la matrice d’état précédente sous la forme en flèche de Benrejeb suivante [4][6] : (9.a) 1 1 1 0 0 0 (.) 0 0 0 () () () C n n n n F P A P α β α β γ γ γ − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢= = ⎢ ⎢ ⎢ ⋅ ⋅⎣ avec : (9.b)1 1 ( ) 1,2,... n i i j j j i iβ α α − = ≠ = − ∀ =∏ 1 1 0 () (, ) 1,2,..., (, ) () C C n i A i n n A C j P i P a γ α λ λ λ+ − + = ⋅ =− ⋅ ∀ =⎧ ⎪⎪ ⎨ ⋅ = + ⋅⎪ ⎪⎩ ∑ (9.c) 11 1 () () n n C i a iγ α+ = ⋅ =− ⋅ −∑ (9.d) Le nouveau vecteur d’état z est tel que : z=P−1 x* , et : .z Fz= L’application du critère de Borne et Gentina pour ce système de commande floue nous a permis d’énoncer le théorème 1 suivant. Théorème 1 : S’il existe αi<0 ∀ i=1,2,…,n, αi≠αj ∀ i≠j, et ε>0 tels que ∀ z∈ :1n+ 1 1 1 ( ) ( ) 0 n n i i i i γ γ β α− + = − ⋅ + ⋅ ≥ >∑ ε (10) alors le point d’équilibre z=0 du système continu (9), ou initialement (7), est globalement asymptotiquement stable. Preuve : Soit le système de comparaison suivant, relatif à la norme vectorielle T 1 2 1( ) , ,..., ,n np z z z z z +⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 1n z + ∈ , [5] :[ ]T 1 2 1, ,..., nz z z z += (11)z Mz= où la matrice M est telle que : 1,2,..., 1 etii ii ij ijm f i n m f (·) i j= ∀ = + = ∀ ≠ (12) et a ses éléments hors diagonaux positifs, les éléments non constants étant isolés dans la dernière ligne, z∈ 1n+ . En se référant aux résultats obtenus dans [4], les conditions du théorème précédent peuvent aussi être déduites à partir des conditions de Kotelyanski [9]. Si de plus, il existe αi, i=1,2,…,n tels que : (.) 0i iγ β > ∀ i=1,2,…,n (13) le théorème précédent peut être simplifié selon l’énoncé du corollaire 1 suivant. Corollaire 1 : Si les conditions i) et ii) suivantes sont vérifiées : i) s’il existe αi<0 ∀ i=1,2,…,n, αi≠αj ∀ i≠j, tels que : (.) (.) 0i iγ β > ii) et s’il existe ε>0 tel que : (14)1 ( ,0) 0C n AP zε + ⋅ ≥ > ∀ ∈ alors le point d’équilibre z=0 est globalement asymptotiquement stable. IV. ETUDE DE LA STABILITE ASYMPTOTIQUE LOCALE POUR UNE REPARTITION DIFFERENTE DES VARIABLES D’ENTREE Dans cette section, on considère le cas d’une répartition différente des variables d’entrée (a1≠a2 et b1≠b2). Dans ce cas, la surface caractéristique Du* (e* ,De* ) ne peut être que localement majorée et minorée par deux plans croisant le plan (e* ,De* ) en un segment de droite, autour de l’origine tel que –a1≤e* ≤a1 et –a2≤De* ≤a2, décrit par l’équation suivante : 2 1 * * 0 De e a a + = (15) 5 e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 31-39 A. Reformulation du problème Considérons le système de commande floue de la figure 1, ou du système équivalent de la figure 9. Figure 9. Schéma équivalent local du système de commande PI-floue L’étude de la stabilité asymptotique locale de ce système peut être simplifiée en se ramenant au système de la figure 10 considérée fonctionnant en régime autonome (w=0). Figure 10. Système de commande floue équivalent en régime autonome B. Conditions de stabilité asymptotique locale proposées Le système à commander est de fonction de transfert G(p) défini précédemment par les équations 5. La partie linéaire L(p), localement obtenue, est donnée par l’équation suivante : 1 2 ( ) ( ) ( )e Dek kG p L p p p a a ′′ = + (16.a) et peut être décrite dans l’espace d’état par : ** * ** * ** ** x A x B v C xδ ⎧ = +⎪ ⎨ =⎪⎩ (16.b) avec: , et (16.c)* 1 0 1 0 0 1 0 n A a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ … … … ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 * B ** 1 ** ** 1 n T b C b + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥ ⎥ et : ** 1 1 2 ** 1 1 2 ** 1 1 pour 2 De e De i i i e n n k b b a k k b b b i a a k b b a − + ⎧ =⎪ ⎪ ⎪⎪ n= + ≤⎨ ⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎩ ≤ Comme dans le cas de la section 3 précédente, en bouclant le système : ** ** ( ) ( ) ( )Du Du duv f k f k f k C xσ δ= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ le système est localement décrit par : ** * ** * ** ** * * ** ** ** () [ () ] (.) Du Du C x A x B f k C x A B f k C x A x = − ⋅ ′′= − ⋅ = (17) La matrice (.)CA′′ possède la même forme que celle décrite précédemment (7.b). Pour la recherche des conditions de stabilité locale du système de commande floue obtenu, on procède de la même manière que la recherche des conditions de stabilité globale, c'est à dire on procède à un changement de base permettant d’obtenir une matrice sous forme en flèche de Benrejeb et on applique le critère de Borne et Gentina. De cette façon, une matrice F de la forme (9) est de nouveau obtenue. On considère de même le système de comparaison tel que : z’=P−1 x** et z Fz′ ′= . Pour l’étude de la stabilité locale au voisinage du point d’équilibre (–a1≤e* ≤a1 et –a2≤De* ≤a2), l’application du critère de Borne et Gentina pour le système bouclé permet d’énoncer le théorème suivant, en considérant un voisinage de l’origine 1n S + ⊂ vérifiant : [ ] [ ]1 1 2 2( * ., *) , ,e De a a a a∈ − × − Théorème 2 : S’il existe αi<0 ∀ i=1,2,…,n, αi≠αj ∀ i≠j et ε>0 tels que z S′∀ ∈ : 1 1 1 () () 0 n n i i i i γ γ β α− + = ε− ⋅ + ⋅ ≥ >∑ (18) alors le point d’équilibre 0z′ = du système continu (17) est localement asymptotiquement stable. 6 e-STA Copyright 2009 by see Volume 6, N°3, pp 31-39 Pour l’étude de la stabilité locale du système de commande floue, cas d’une répartition différente, le domaine de stabilité ou d’attraction au voisinage du point d’équilibre contient la plus grande surface D telle que : , ( ) ( ) constanteT D z S p S Sλ⎡ ⎤′= ∈ ≤⎣ ⎦ (19) où T 1 2 1, ,..., np z z z +′ ′ ′⎡ ⎤= ⎣ ⎦ et λ est le vecteur propre correspondant à la valeur propre principale de la matrice majorante du système. V. APPLICATION Dans le cas d’une répartition équidistante considéré pour l’exemple d’application, et pour l’étude de la stabilité globale du système de commande floue, considèrons un régulateur flou à 49 règles (NB=7) selon la base de MacVicar-Whelan ; les implications de Mamdani (min) et de Larsen (prod), les opérateurs de conjonction et d’agrégation sont respectivement le min et le max. Il s’agit de combiner chacune de ces implications avec la méthode de défuzzification du centre de gravité. Dans cette application, les deux facteurs d’échelle ke et kDe sont fixes, numériquement, selon un algorithme de traitement, les valeurs kmin et kmax qui permettent respectivement de majorer et minorer la surface caractéristique du régulateur flou par des plans PI sont cherchées. Le tableau II présente les résultats obtenus en décomposant l’univers de discours en 100 points. La figure 11 et la figure 12 représentent les surfaces d’action du régulateur flou correspondant respectivement à l’implication de Mamdani et de Larsen. TABLEAU II. VALEURS DES PENTES KMIN ET KMAX DES PLANS RESPECTIVEMENT MINORANT ET MAJORANT LA SURFACE D’ACTION DU REGULATEUR FLOU POUR CHACUNE DES IMPLICATIONS Implication kmin kmax Mamdani (min) 0.47 1.86 Larsen (prod) 0.38 1.14 Figure 11. Surface d’action du régulateur flou pour l’implication de Mamdani Figure 12. Surface d’action du régulateur flou pour l’implication de Larsen 1 ( ) 0.4 G p p = + (20) En se référant au tableau II, on a k