Contrôle de poursuite d’un système complexe décrit par l’approche algébrique de Kharitonov : Approche LMI

02/08/2016
Publication e-STA e-STA 2010-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2010-1:17201
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Contrôle de poursuite d’un système complexe décrit par l’approche algébrique de Kharitonov : Approche LMI

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Contrôle de poursuite d’un système complexe décrit par l’approche algébrique de Kharitonov : Approche LMI CHEKIB GHORBEL, Afef ABDELKRIM UR LA.R.A Automatique, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37 le Belvédère 1002 Tunis, Tunisie Téléphone : +216 71 874 700, Fax : +216 71 872 729 chekib.ghorbel@yahoo.fr, afef.abdelkrim@esti.rnu.tn Résumé — Cet article traite le contrôle de poursuite d’un système continu complexe non stationnaire incertain à pa- ramètres bornés décrit par l’approche algébrique de Kha- ritonov. Cette dernière est basée sur la construction d’une base de modèles contenant quatre modèles extrémaux avec la possibilité d’ajout d’un modèle moyen. Une fois que la base est générée, une opération de fusion de ces différents modèles se fait au niveau des commandes élémentaires et au niveau des sorties partielles utilisant la méthode géomé- trique. Les matrices de gains par retour d’état et de gains de poursuite sont déterminées en résolvant de systèmes de contraintes LMI (Inégalités Matricielles Linéaires). Le cas d’un système instable du troisième ordre est considéré pour illustrer la mise en œuvre de l’approche proposée. Mots-clés — Approche algébrique de Kharitonov, méthode géométrique, fonction quadratique de Lyapunov, Inégalités Matricielles Linéaires, commande par retour d’état. I. INTRODUCTION L’approche multimodèle se révèle très intéressante chaque fois que l’on est confronté à des systèmes com- plexes et/ou non linéaires. Elle consiste à représenter le système étudié par une famille de modèles mathéma- tiques plus simples et plus faciles à manipuler [1]-[6]. L’étude proposée dans cet article porte sur une classe de systèmes continus complexes incertains et à paramètres bornés. Une bibliothèque de modèles, limitée à quatre ou à cinq modèles au maximum peut être construite à partir de l’Approche Algébrique de Kharitonov (AAK) [7]-[9]. Elle contient quatre modèles extrêmaux définis pour les valeurs extrêmes des paramètres qui sont connues par leurs intervalles de localisation et un cinquième dit le modèle moyen calculé comme une moyenne des quatre modèles extrémaux. Le modèle global peut être obtenu soit en utilisant l’opération de commutation ou l’opération de fusion. Dans ce travail, l’opération de fusion utilisant la mé- thode géométrique [10] est envisagée. La fusion est con- sidérée aussi bien au niveau des commandes élémen- taires qu’au niveau des sorties partielles et pilotée par des indices de validité. A l’entrée de chaque modèle de la base en boucle fer- mée, est appliquée une commande globale déduite d’une pondération de commandes élémentaires par retour d’état avec référence. Et ce pour faire tendre la sortie globale du système à commander vers une consigne dési- rée. Les matrices de gains par retour d’état et de pour- suite sont déterminées en résolvant des systèmes de con- ditions de stabilité données en termes d’Inégalités Matri- cielles Linéaires (LMI) [11]-[19]. La première section de cet article concerne la génération d’une base de modèles par l’AAK et présente la problé- matique. Dans la deuxième section sont présentés deux théorèmes formulés en termes d’Inégalités Matricielles Bilinéaires (BMI) et de LMI. Un exemple d’un système continu complexe instable du troisième ordre est consi- déré dans la dernière section pour illustrer la mise en œuvre de l’approche proposée. NOTATIONS • ( ) 0 0T M M M+ ∗ < ⇔ + < • ( ) 0 0T A BA B C B C ⎛ ⎞⎛ ⎞ < ⇔ <⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∗⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • 1 1 r r i j i j i j i j j i X X X X < = = > =∑ ∑∑ • 3 12 13 23ij i j a a a a < = + +∑ e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 42-47 II. POSITION DU PROBLEME ET DESCRIPTION MULTIMODELE L’évolution d’un système continu complexe non station- naire incertain et à paramètres bornés est décrite par l’équation différentielle suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1 1. . ... . n n na y t a y t a y t y t − −+ + + + ( )u t= (1) où le symbole ( ). représente l’ensemble des variables, des incertitudes, des bruits ou des perturbations interve- nant sur les coefficients de ce système tel que, pour 0,1, , 1i n= − , ( ).i i ia a a≤ ≤ avec ( )( )min .i i i a a= et ( )( )max .i i i a a= . Le modèle (1) peut être donné sous la forme compagne de commandabilité suivante [8] : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t A x t B u t y t C x t = ⋅ +⎧⎪ ⎨ =⎪⎩ (2) où x , u et y sont respectivement les vecteurs d’état, de commande et de sortie. A , B et C sont respective- ment les matrices d’état, de commande et de sortie avec : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 . . . .n A a a a a − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ … … , ( )0 0 1 T B = … et ( )1 0 0C = … . Les matrices d’état caractérisant les quatre modèles iM de la base sont données par ( )1 0 1 2 3, , , ,A a a a a … , ( )2 0 1 2 3, , , ,A a a a a … , ( )3 0 1 2 3, , , ,A a a a a … et ( )4 0 1 2 3, , , ,A a a a a … . En plus de ces modèles, il est intéressant d’ajouter le modèle moyen comme un cin- quième dans la base, il représente en quelque sorte le barycentre des modèles extrêmes et ses paramètres sont définis par la moyenne arithmétique des paramètres des quatre modèles extrêmes avec 5 2 i i i a a a + = , pour 0,1, , 1i n= − . Une description globale du système étudié peut être dé- finie à partir d’une interpolation des modèles iM de la base sous la représentation d’état suivante : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 r i i i i r i i i x t t A x t B u t y t t C x t λ λ = = ⎧ = +⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ ∑ ∑ (3) où iA , iB et iC sont respectivement les matrices d’état, de commande et de sortie de chaque modèle iM de la base. L’objectif principal dans cet article est de faire tendre la sortie globale y du système continu (3) vers une con- signe désirée dy , i.e., ( ) ( ) 0dy t y t− → pour t → +∞ , avec : ( ) ( ) ( ) 1 r d i i d i y t t C x tλ = = ∑ (4) avec dx le vecteur d’état désiré, supposé constant, tout au long de ce travail. La méthode géométrique sert à calculer la distance id entre les sorties partielles iy et la consigne désirée dy , telle que [10] : ( ) ( ) ( )i d id t y t y t= − (5) La distance normalisée in est donnée par : ( ) ( ) ( ) 1 1 r i i j j n t d t d t − = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (6) Les facteurs de confiance iγ se calculent par : ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 exp r j i i j j i n t t n t = ≠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟γ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ∏ (7) avec σ un paramètre de réglage variant entre 0 et 0.99 . Les validités géométriques iλ données par : ( ) ( ) ( ) 1 1 r i i j j t t t − = ⎛ ⎞ λ = γ γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (8) vérifient les conditions de convexité suivantes : 0 1i≤ λ ≤ et 1 1 r i i= λ =∑ . III. CONDITIONS DE STABILITE A l’entrée de chaque modèle iM bouclé, est appliquée une commande multimodèle u , déduite par fusion des r commandes élémentaires iu , telle que : e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 42-47 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 r i i i d i u t t K x t N x tλ = = − +∑ (9) Tenant compte de la relation (9) dans l’expression de x du système (3), il vient que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 r r i j ij ij di j r i i i x t x t t t G H x t y t t C x t λ λ λ = = = ⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎨ ⎪ =⎪ ⎩ ∑∑ ∑ (10) avec ij i i jG A B K= − et ij i jH B N= . Soit e l’écart entre le vecteur d’état x du système con- tinu (10) et le vecteur d’état désiré constant dx avec : ( ) ( ) ( )de t x t x t= − (11) La dérivée ( ) ( )d e t e t dt = est donnée par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 r r i j ij ij di j e t e t t t G x t λ λ = = ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Ζ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ∑∑ (12) avec ij ij ijG HΖ = + . L’expression (12) de e contient des termes non croisés, pour 1,2,...,i r= , et des termes croisés, pour 1 i j r≤ < ≤ . Le système continu (10) peut être réécrit sous la représentation d’état suivante : ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 r i ii ii di i j ij ji ij ji i j d r i i i e t e t t G x t G G e t t t x t y t t C x t λ λ λ λ = < = ⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = Ζ +⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎪ ⎛ ⎞⎡ + Ζ + Ζ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ ∑ ∑ ∑ (13) Deux systèmes de conditions de stabilité ont été déve- loppés, en termes des BMI et LMI, pour faire tendre la sortie globale y (relation 13) vers une consigne désirée dy (relation 4), avec dx un vecteur d’état désiré, suppo- sé constant. Théorème 1 : L’équilibre du système continu (13) est globalement asymptotiquement stable s’il existe une matrice commune symétrique définie positive P satis- faisant la formulation BMI suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 * 0 * * ii iiPG P P P P + Ζ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ pour 1,2, ,i r= … (14a) et pour 1 i j r≤ < ≤ : ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 2 2 * 0 * * ij ji ij jiG G P P P P P ⎛ + Ζ + Ζ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟− ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (14b) Preuve : L’étude de la stabilité du système continu (13) est basée sur l’approche quadratique de Lyapunov vérifiant : ( )( ) ( ) ( ) 0T V e t e t P e t= > (15a) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T T V e t e t P e t e t P e t= + < (15b) Le développement de ( )V e donne : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 T r i ii i j d i i j e t V e t t t t x t λ λ λ = < ⎛⎡ ⎤ = Λ +⎜⎢ ⎥ ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ∑ ∑ ( ) ( ) 0 2 ij ji d e t x t Λ + Λ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ <⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎠ (16) avec : ( ) ( ) * pour 1,2, , * 0 ii ii ii PG P i r ⎛ + Ζ ⎞ Λ ≡ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … (17a) et pour 1 i j r≤ < ≤ : ( ) ( ) * 2 2 2 * 0 ij ji ij ji ij ji G G P P ⎛ ⎞+ Ζ + Ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Λ + Λ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≡ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (17b) Comme toutes les validités iλ , pour 1,2, ,i r= … , sont dans l’intervalle [ ]0, 1 et pour tout vecteur ( ) ( )d e t x t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ non nul dans × , la relation (16) donne : 0 pour 1,2, ,ii i rΛ < = … (18a) 0 pour 1 2 ij ji i j r Λ + Λ ≤ ≤ < ≤ (18b) e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 42-47 Les inégalités matricielles (18a) et (18b) peuvent être réécrites sous les formes suivantes : ( ) ( ) [ ]1* 0 0 0 * ii iiPG P P P P P −⎛ + Ζ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠ pour 1,2, ,i r= … (19a) ( ) ( ) * 2 2 * ij ji ij jiG G P P P ⎛ ⎞+ Ζ + Ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ [ ]10 0 0P P P −⎛ ⎞⎡ ⎤ + ≤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠ pour 1 i j r≤ < ≤ (19b) Appliquons le complément de Schur, voir Annexe, nous retrouvons les résultats du Théorème 1. Les inégalités matricielles obtenues (14a) et (14b) ne sont pas linéaires. En les multipliant à droite et à gauche par la matrice diagonale ( )1 1 1 , ,P P P− − −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , en rempla- çant les matrices ij i i jG A B K= − , ij i jH B N= et ij ij ijG HΖ = + et en effectuant des changements de va- riables telles que 1 S P− = , i iU K S= et i iV N S= , elles peuvent être transformées en des inégalités matricielles linéaires. Théorème 2 : L’équilibre du système continu (13) est globalement asymptotiquement stable s’il existe une matrice commune symétrique définie positive 1 S P− = et des vecteurs i iU K S= et i iV N S= de dimensions ap- propriées satisfaisant la formulation LMI suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 * 0 * * i i i i i i i iA S B U A S B U B V S S S − + − +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ pour 1,2, ,i r= … (20a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , * 0 2 2 * 0 * * i j i j j iA A S B U B U i j S S S ⎛ ⎞+ − − Θ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ≤ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ pour 1 i j r≤ < ≤ (20b) avec : ( ) ( ), i j i j j i i j j ii j A A S B U B U B V B VΘ = + − − + + Les matrices de gains par retour d’état iK et de pour- suite iN sont données par : i iK U P= (21a) i iN V P= (21b) IV. EXEMPLE DE SIMULATION Considérons le cas d’un système continu complexe non stationnaire incertain et à paramètres bornés d’ordre trois décrit par l’équation différentielle suivante [9] : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0 1 2. . .a y t a y t a y t y t u t+ + + = (22) qui peut être réécrite sous la forme (2) avec : ( ) ( ) ( ) 0 0 2 cos 21 1 sin y a a y ⋅ = − + ∆ + , ( ) ( )1 125 cos 2a a t⋅ = − + ∆ et ( ) ( )2 23 sina a y⋅ = − + ∆ . Dans la simulation, sont prises les mêmes valeurs nomi- nales que celles données dans la référence [9] avec : 0 1 1a a∆ = ∆ = et 2 0.2a∆ = . Les matrices d’état, de commande et de sortie sont : 1 0 1 0 0 0 1 22 24 2.8 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 2 0 1 0 0 0 1 22 26 2.8 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 3 0 1 0 0 0 1 20 24 3.2 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 4 0 1 0 0 0 1 20 26 3.2 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 0 1 0 0 0 1 21 25 3 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 0 0 1 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ et ( )1 0 0C = . Remarque 1 : Chaque modèle de la bibliothèque contient un pôle instable. En résolvant le système LMI de conditions de stabilité du Théorème 2, la matrice de Lyapunov P , les matrices de gains { }iK K= et { }iN N= , pour les cinq modèles de la bibliothèque, sont données par : 4.5512 7.6305 3.8684 7.6305 16.4732 7.6305 3.8684 7.6305 4.5512 P ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 42-47 29.5176 38.1359 9.2987 30.6504 45.0924 12.0022 28.7170 43.2239 12.4806 28.7170 45.0924 12.4022 29.0365 44.1379 12.8376 K ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 7.5176 16.8579 7.8694 8.1504 17.0924 7.3026 10.7170 19.2239 9.2806 11.6705 20.3817 9.2022 8.9730 19.0051 8.4096 N ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Remarque 2 : Dans le cas où la bibliothèque contient que les quatre modèles extrémaux, les valeurs de la matrice P et des gains iK et iN ne sont pas les mêmes données précédemment. Dans la Fig. 1, sont données les évolutions des variables d’état 1x , 2x et 3x et de la variable d’état désirée dx avec dx un échelon d’amplitude 3.5 , pour les condi- tions initiales ( ) ( )0 4.7 5.3 4.9 T x = − − . 0 2 4 6 8 10 12 -10 -5 0 5 10 15 20 temps (s) Evolutions des variables d'état xi et la variable d'état désirée xd x1 x2 x3 xd Fig. 1. Evolutions des variables d’état 1x , 2x et 3x et de la variable d’état désirée dx Remarque 3 : Comme les matrices d’observation 1 2 3 4C C C C C= = = = , alors ( ) ( )d dy t x t= . Dans les figures 2 et 3 sont données, respectivement, les évolutions des sorties globales y et la consigné désirée dy et des commandes globales u dans les cas où la bi- bliothèque contient soit uniquement les quatre modèles extrémaux soit les quatre modèles extrémaux plus le modèle moyen. 0 2 4 6 8 10 12 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Evolutions des sorties y et de la consigne desiree yd temps (s) y (4 modeles) y (5 modeles) yd Fig. 2. Evolutions des sorties globales y et la consigné désirée dy 0 2 4 6 8 10 12 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 temps (s) Evolutions des commandes globales u u (4 modeles) u (5 modeles) Fig. 3. Evolutions des commandes globales u La commande globale u est douce dans les deux cas. La sortie globale y tend vers la consigne désirée dy sans grandes oscillations. Le système est plus rapide et précis dans le cas où la base contient cinq modèles y compris le modèle moyen. Cette comparaison montre l’influence de l’introduction de ce dernier sur le comportement dyna- mique du système en boucle fermée, qui est initialement instable. V. CONCLUSION Cet article traite un problème de poursuite d’un système continu complexe non stationnaire incertain à para- mètres bornés. e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 42-47 Basée sur l’approche algébrique de Kharitonov, une bi- bliothèque de cinq modèles a été construite. Une compa- raison graphique montre l’influence du modèle moyen sur le comportement dynamique du système global, tou- tefois, il améliore la rapidité et la précision. La com- mande globale appliquée à l’entrée de chaque modèle de la base est par retour d’état avec référence. Les matrices de gains par retour d’état et de poursuite sont détermi- nées en résolvant un système de conditions LMI. La mise en œuvre de l’approche proposée a été illustrée sur un exemple de système non linéaire du troisième ordre initialement instable, les résultats de simulation ont été relevés. ANNEXE Complément de Schur : Soient les matrices M , L et Q de dimensions appro- priées avec T M M= et 0T Q Q= > : 1 0 0 T T M L M L Q L L Q− ⎛ ⎞ + < ⇔ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . RÉFÉRENCES [1] Ksouri-Lahmari M., Borne P., et Benrejeb M. Multi-model: the construction of model bases. Studies in Informatics and Control, vol. 3, n°3, 199-210, 2004. [2] Borne P. Dauphin-Tanguy G., Richard J. P., Rotella F. et Zambettakis I. 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