Nouvelles conditions suffisantes de stabilisabilité de processus échantillonnés non linéaires

02/08/2016
Publication e-STA e-STA 2010-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2010-1:17197
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Résumé

Nouvelles conditions suffisantes de stabilisabilité de processus échantillonnés non linéaires

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            <title>Nouvelles conditions suffisantes de stabilisabilité de processus échantillonnés non linéaires</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2016</publicationYear>
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	    <date dateType="Created">Tue 2 Aug 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Tue 2 Aug 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Sat 17 Feb 2018</date>
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Nouvelles conditions suffisantes de stabilisabilité de processus échantillonnés non linéaires Sonia HAMMAMI, Rania Linda FILALI, Mohamed BENREJEB sonia.hammami@enit.rnu.tn, rania_linda@hotmail.fr, mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn UR LARA Automatique, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, Tunis Le Belvédère 1002, Tunisia Résumé - Une extension, au cas de processus échantillonnés non linéaires, d’une approche décrite et exploitée pour l’étude de la stabilité et de son application à la stabilisation de processus continus non linéaires, par le choix d’une représentation particulière, est envisagée dans cet article. La nouvelle approche assurant la stabilisation par retour d’état, proposée pour les processus discrets étudiés, est basée sur la détermination d’une structure appropriée du compensateur rendant la matrice caractéristique instantanée du processus corrigé de forme en flèche mince. Le cas d’un système du troisième ordre non linéaire est traité pour illustrer la mise en œuvre de cette approche. Mots clés - Processus échantillonnés non linéaires ; Techniques d’agrégation ; Critère de stabilité de Borne et Gentina ; Forme en flèche mince des matrices ; Stabilisation par retour d’état. 1. Introduction L’étude de la notion de stabilité constitue une phase importante dans l’analyse du comportement dynamique d’un système [1-8]. Ce concept, initialement introduit par les mécaniciens dans le cadre des processus continus a été étendu au cas discret par les mathématiciens. Les travaux présentés dans cet article constituent une contribution à l’analyse et à la synthèse des processus discrets non linéaires de grande dimension. Ils concernent plus précisément la détermination de modèles particuliers associés à un processus discret en vue d’en faciliter l’étude. En effet, les critères de stabilité, basés sur le concept des normes vectorielles établis par Borne et Gentina [3,9-11] généralisant le lemme de Kotelyanski [11] pour de larges classes de systèmes non linéaires, associés à une représentation particulière des matrices caractéristiques des processus étudiés, conduisent à de nouveaux critères de stabilité tout à fait adaptés à la synthèse de larges classes de systèmes non linéaires [12-14]. En se référant aux travaux réalisés dans le cadre de l’analyse et la synthèse de systèmes dynamiques continus non linéaires [15-17], la méthode proposée est basée sur la détermination systématique de conditions suffisantes de stabilité asymptotique qui tiennent compte de la mise sous forme en flèche mince de la matrice caractéristique du système bouclé ; ce qui permet d’obtenir des formulations de lois de commande stabilisante par retour d’état, de mises en œuvre aisées. La section 2 introduit l’application de la représentation matricielle en flèche à l’analyse ainsi qu’à la synthèse de systèmes discrets non linéaires. Dans la section 3, des conditions suffisantes de stabilisation de processus échantillonnés non linéaires sont proposées. L’approche destinée à la stabilisation de systèmes dynamiques discrets étudiés est présentée dans la section 4. Un exemple numérique est enfin présenté pour illustrer la mise en œuvre de l’approche de commande proposée. 2. Sur l’élaboration de conditions de stabilisabilité – Idée de base Considérons le système discret décrit par l’équation d’état suivante : 1 ( , ) ( , )k k k k k x A x k x B x k u   (1) où à l’instant ,kT T étant la période d’échantillonnage, k x représente le vecteur d’état de dimension ,n k u le vecteur des entrées de commande de dimension ,m ( , )k A x k une matrice ,n n  ( , ) ( , )k ij k A x k a x k et ( , )k B x k une matrice ,n m  ( , ) ( , ) .k ij k B x k b x k La loi de commande stabilisante par retour d’état de la forme : ( , )k k k u K x k x  (2) conduit au système bouclé décrit par : 1 ( , )k f k k x A x k x  (3) e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 17-22 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f k k k k A x k A x k B x k K x k  (4) ( , )k K x k étant la matrice gain de dimension ,m n telle que :  ( , ) ( , ) .k ij k K x k k x k Les éléments des matrices (.), (.)A B et (.)K peuvent être non linéaires. Lorsqu’il est possible de trouver une matrice gain ( , )k K x k qui permet d’obtenir une matrice ( , )f k A x k de forme en flèche mince,  ( , ) ( , ) ,ijf k f k A x k a x k telle que : 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ii in nj i k f k i k f k n k n n k f k i k i x a x k x a x k x x a x k x             (5) Son polynôme caractéristique instantané, noté  , , ,fA kP x k est défini par :    det, , ( , )fA k f kP x k A x k   (6) Comme montré dans [10], l’étude de la stabilité à partir d’une telle matrice ( , )f k A x k peut être rendue aisée, par application du critère pratique de Borne et Gentina [11]. En effet, le choix d’un système de comparaison de matrice caractéristique  ( , ) ,k f k M A x k relativement à la norme vectorielle  1, , ( ) , T k k n k p z z z  pour laquelle,  1, , , T k k n k z z z  telle que : 1( , ) ( , ) , , ,ij ijkk f km x k a x k i j n    (7) conduit, lorsque les non linéarités sont isolées dans une seule rangée, aux conditions suffisantes de stabilisation suivantes :    1 2 0 1 2 1 2 ( , ) , , , k f k h M A x k h h n               (8) Pour une matrice ( , )f k A x k de forme en flèche mince, les conditions précédentes peuvent être réécrites simplement et d’une manière analytique. 3. Conditions de stabilisation proposées Théorème 1 Le processus défini par (1) est stabilisable par la commande définie par (2), si la matrice ( , ),f k A x k définie par (4), est telle que : i. les éléments non constants sont isolés dans une seule rangée, ii. les éléments diagonaux, ( , ),iif k a x k sont tels que : 1 0 1 2 1( , ) , , ,iif ka x k i n     (9) iii. il existe 0  tel que :     1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) nn in ni n i f k f k f k ii k a x k a x k a x k a x k                   (10) Démonstration Considérons le système majorant  ( , ) ,k f k M A x k relatif à la norme vectorielle ( )k p z précédente, obtenu à partir de (7) :  1 ( , )k k f k k z M A x k z  (11) Le système (1) est ainsi stabilisable par (2) si la matrice   ( , )k f k M A x k est l’opposée d’une M  matrice [9], ou encore si, par application du critère pratique de Borne et Gentina [11], on a :    1 0 1 2 1 det 0 ( , ) , , , ( , ) ii f k k f k a x k i n M A x k             (12) Le développement du premier membre de la dernière inégalité du système d’inéquations (12) :        1 1 1 1 1 det 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) in ni nn ii ii n i n j k f k f k f k f k f k f k M A x k a x k a x k a x k a x k a x k                                   (13) e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 17-22 achève aisément la démonstration du théorème 1. Corollaire 1 Le processus défini par (1) est stabilisable par la commande définie par (2), si la matrice caractéristique ( , ),f k A x k définie par (4), est telle que : i. les éléments non constants sont isolés dans une seule rangée, ii. les éléments ( , ),iif k a x k sont tels que : 1 0 1 2 1( , ) , , , , ,iif k a x k i n     iii. il existe 0,  tel que : 1 1( , ) ( , ) , , ,in nif k f k a x k a x k i n    (14) iv. le polynôme caractéristique instantané  , ,fA kP x k est strictement positif pour 1.  Démonstration La démonstration du corollaire 1 se déduit de celle du théorème 1 par la prise en considération de la nouvelle hypothèse iii) de ce corollaire, qui permet par un simple changement de base d’assurer l’identité de la matrice ( , )f k A x k et de sa majorante  ( , ) ;k f k M A x k ce cas spécifique constitue un cas de vérification de la conjecture du linéaire d’Aizerman. 4. Résultats principaux Nous envisageons, dans cette partie, la détermination d’une structure de compensateur de la forme (2), destinée à la stabilisation d’un processus dynamique discret non linéaire (1), tout en imposant à la matrice caractéristique du système bouclé la forme en flèche mince. La matrice caractéristique instantanée du système bouclé  (.) (.) (.)A B K peut être mise sous forme en flèche mince, si on a : 1 0 1 1 pour (.) (.) (.) , , , m ij il lj l a b k i j n i j          (15) Dans ce cas,  m n paramètres de correction 1 et 1(.), , , , , ,lj k j n l m     vérifiant   1 2n n  équations, sont à déterminer. Une condition nécessaire d’existence d’une telle solution est que le nombre d’équations à résoudre soit inférieur ou égal au nombre d’inconnues à déterminer, soit : 2m n  (16) Remarque Si tous les 1 1 1(.), , , , , ,ij b i n j m     sont nuls, alors les équations (15) ne sont vérifiées que dans le cas où la matrice (.)A est elle-même de forme en flèche mince, c’est-à-dire que tous les éléments 1 1(.), , , ,ij a i j n   pour i j sont nuls, puisqu’on a, dans ce cas : 1 0 1 1 pour(.) (.) , , , m il lj l b k i j n i j        (17) Théorème 2 Le processus défini par (1) tel que les conditions (15) sont vérifiées, est stabilisable par la commande définie par (2) si la matrice caractéristique instantanée (.),f A définie par (4), est telle que : i. les éléments non constants sont isolés dans une seule rangée, ii. les éléments diagonaux sont tels que : 1 1 0 1 2 1 (.) (.) (.) , , , m ii il li l a b k i n          (18) iii. il existe 0,  tel que : 1 1 1 11 1 1 1 1 (.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) (.) m nn nl ln l m in il ln l mn ni nl li li m ii il li l a b k a b k a b k a b k                                                                          (19) Démonstration La démonstration du théorème 2 est similaire à celle du théorème 1, les conditions (18) et (19) sont obtenues à partir des conditions (9) et (10), en remplaçant les éléments (.)ijfa par leurs expressions en fonction des éléments des matrices (.), (.)A B et (.).K e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 17-22 Corollaire 2 Le processus, défini par (1) tel que les conditions (15) sont vérifiées, est stabilisable par la commande définie par (2), si la matrice caractéristique instantanée (.),f A définie par (4), est telle que : i. les éléments non constants sont isolés dans une seule rangée, ii. les éléments diagonaux sont tels que : 1 1 1 1 2 1 (.) (.) (.) , , , m ii il li l a b k i n           (20) (20) iii. il existe 0,  tel que : 1 1 1 1 (.) (.) (.) , , , (.) (.) (.) m in il ln l m ni nl li l a b k i n a b k                              (21) iv. le polynôme caractéristique instantané de (.),f A est tel que :  1 0,.fA P  (22) Démonstration La démonstration du corollaire 2 se déduit de celle du théorème 1, en explicitant les éléments de la matrice (.),f A caractérisant le système dynamique discret non linéaire corrigé, et en tenant compte de l’hypothèse iii) qui se traduit par :  (.) (.)k f f M A A et en remarquant que :     det 1(.) ,.fk f A M A P  (23) Ce qui achève la démonstration du corollaire 2. Application à l’étude de la stabilité d’un système dynamique échantillonné non linéaire Considérons le système échantillonné non linéaire, étudié dans [10], modélisé dans l’espace d’état par les équations récurrentes de la forme suivante : 1 ( , )k k k k x Ax B x k    avec : 1 2 3 1 0 84 0 20 0 0 60 0 23 0 0 46 0 09 . . (.) . . , (.) . . b A B b b                        k x étant le vecteur d’état, k  l’entrée, 1 (.)b un paramètre non linéaire et 2 b et 3 b des constantes. Nous nous intéressons maintenant à la détermination de la structure de commande, par réaction d’état, de la forme : ( , )k k k K x k x    1 2 3 ( ) (.) (.) (.)K k k k  Il vient la description du système étudié ainsi bouclé:  1 ( , ) ( , )k k k k x A B x k K x k x   1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 0 84 0 20 0 60 0 23 0 46 0 09 ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . . . . A B K b k b k b k b k b k b k b k b k b k                            Une permutation circulaire sur les composantes du vecteur d’état conduit à une matrice de forme en flèche, si on choisit 2 k et 3 k tels que : 2 3 3 2 0.23 0 0.46 0 b k b k         pour 2 0b  et 3 0 ;b  il vient la nouvelle description du système non linéaire étudié : 1 1 1 1 3 2 2 2 1 3 3 3 1 2 0 46 0 23 1 0 84 0 20 0 46 0 60 0 0 23 0 0 09 (.) (.) (.) . (.) . (.) (.) . . . . . . F A B K b b b k b b b b k b b b k b                              Par application du critère pratique de stabilité de Borne et Gentina, le système étudié est alors asymptotiquement stable si les conditions suffisantes suivantes sont vérifiées : e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 17-22       2 3 2 3 2 3 3 1 2 1 1 1 2 2 3 2 1 3 1 3 3 2 0.09 0.23 1 0 0.60 0.46 1 0 0.20 0.23 1 1 0.09 0.23 0 0.84 0.46 0.60 0.46 b b b b b b b k b b b k b b b b k b b b b b                                        En fixant 2 b et 3 b respectivement égaux à 1 et 1, et en prenant  1 0 9 1 8. . ,b  les conditions précédentes se réduisent à la suivante : 1 1 1 1 1 1 1 1 0 232 0 267 0 0 977 0 535 ( . . ) ( . . ) b k k b k b               Le cas pour lequel, on a 1 0,k  il vient la nouvelle formulation des conditions suffisantes de stabilisabilité suivantes : 1 1 1 1 1 1 1 0 0.232 0.267 0 0.977 0.535 0 ( ) ( ) b k k b k b             qui sont relatives au domaine hachuré tracé dans le plan des paramètres  1 1 ,k b de la Fig. 1. Fig. 1. Domaine de stabilité du système commandé dans le plan  1 1 ,k b Remarques i. Pour le système numérique étudié, un ensemble de lois de commande stabilisante sont envisageables. Le choix de la commande peut être fixé par la recherche de vérification d’autres performances pour le système bouclé étudié. ii. Il est possible de mener une étude semblable à celle élaborée au niveau de cet article, tout en ayant recours aux systèmes à paramètres incertains, et étudier, dans ce cas, le degré de robustesse de la structure de commande proposée. 5. Conclusion L’approche d’analyse et de synthèse des systèmes discrets non linéaires proposée est basée sur une représentation remarquable des systèmes, identique à celle retenue, antérieurement par les auteurs, pour les systèmes continus non linéaires. L’étude de la stabilisation par retour d’état pour les systèmes discrets a conduit à des résultats particulièrement intéressants permettant de simplifier considérablement l’étude et la synthèse de systèmes de commande de larges classes de systèmes discrets non linéaires. Bibliographie [1] A. M. Lyapunov, « Problème général de la stabilité du mouvement », Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. 9, pp. 203-474, 1907, reprinted in Ann. Math. Study, Princeton University Press, nº17, 1949. [2] V. M. Matrosov, « On the theory of stability of motion », Prikl. Mat. Mekh., vol. 26, pp. 992-1002, 1962. [3] W. Hahn, « Stability of the motion », Springer Verlag, Berlin, 1967. [4] P. C. Parks et V. Hahn, « Stability theory », Prentice Hall International, Series in Systems and Control Engineering, New York, 1992. [5] M. Vidyasagar, « Non linear systems analysis », Centre for A.I. and Robotics, Second Edition, Prentice Hall, India, 1993. [6] F. Laurent, A. Pette et Q. H. 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