Graphes d’événements P-temporels à arcs valués : Application à une unité de production de lait

02/08/2016
Publication e-STA e-STA 2010-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2010-1:17196
DOI :

Résumé

Graphes d’événements P-temporels à arcs valués : Application à une unité de production de lait

Métriques

24
4
340.99 Ko
 application/pdf
bitcache://bace73da888c9c48d3a857068076eb3ca6369d1b

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2010-1/17196</identifier><creators><creator><creatorName>Anis Mhalla</creatorName></creator><creator><creatorName>Simon Collart Dutilleul</creatorName></creator><creator><creatorName>Etienne Craye</creatorName></creator><creator><creatorName>Nabil Jerbi</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Graphes d’événements P-temporels à arcs valués : Application à une unité de production de lait</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2016</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Tue 2 Aug 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Tue 2 Aug 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Wed 19 Sep 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">bace73da888c9c48d3a857068076eb3ca6369d1b</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>28932</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Graphes d’événements P- Temporels à arcs valués : Application à une unité de production de lait ANIS MHALLA 1,2 , SIMON COLLART DUTILLEUL 2 , NABIL JERBI 1 , ETIENNE CRAYE 2 1 LAboratoire de Recherche en Automatique Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, BP 37, le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie 2 Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal Ecole Centrale de Lille, Cité Scientifique BP 48, 59651 Villeneuve d'Ascq, France anis.mhalla@enim.rnu.tn, simon.collart_dutilleul@ec-lille.fr, nabil.jerbi@isetso.rnu.tn, etienne.craye@ec-lille.fr,   Résumé—  Les systèmes de production flexibles peuvent être modélisés par les graphes d’événements qui sont une classe importante des réseaux de Petri. Pour réduire la taille du modèle et prendre en compte les opérations d’assemblage et de désassemblage de lots de composants, les structures de graphes d’événements valués peuvent être utilisées. Dans cet article, on s’intéresse au problème de transformation d’un graphe d’événement (GEV) valué en un graphe d’événement(GE). Nous proposons une application d’une méthode de transformation du GEV, basée sur un algorithme proposé dans (Nakamura et Silva,1999), à un atelier de production laitière. Cette opération permet ensuite d’appliquer les résultats classiques concernant les systèmes de production à contraintes de temps. Mots-clés— atelier de production laitière, graphe d’événements valués, Réseaux de Petri P-temporels. I. INTRODUCTION Les systèmes de production à fonctionnement répétitif peuvent être modélisés par des graphes d’événements qui constituent une classe importante des réseaux de Petri. Afin de réduire la taille du modèle, les structures de graphes d’événements à arcs valués (aussi appelés Weighted T- Systems par l’équipe de Silva [1] ou GE généralisés [2]) peuvent être utilisées. Ces structures permettent également de prendre en compte les opérations d’assemblage et de désassemblage de lots de composants dans le système. Néanmoins, on dispose de peu de résultats concernant les GE à arcs valués (GEV). Dans le cas discret Teruel et al. [1] démontrent quelques propriétés structurelles et comportementales des GEV. Campos et al. [3] définissent des bornes au temps de cycle moyen dans un GEV. Toursi et Sauer [4] s’intéressent au problème d’optimisation des ressources dans les systèmes de production à fabrication répétitive en se basant sur les graphes d’événements valués; ce problème consiste à atteindre un temps de cycle donné en minimisant une somme pondérée des marquages des places. Hamaci [5] traite le problème d’analyse de performances des systèmes à événements discrets modélisables par des graphes d’événements valués; une méthode de linéarisation de ces graphes est proposée, dans le but d’obtenir des représentations linéaires dans l’algèbre (min; +). Les travaux de Marchetti [6], s’intéressent à l’étude de la vivacité des graphes d’événements valués. T = (t 1, t 2, ..., tn), est un ensemble fini de transitions (⎪T⎪=n), Le problème de transformation des GE valués en GE est très peu abordé dans la littérature. Munier [2] définit une méthode d’expansion permettant d’obtenir un GE équivalent au GEV initial et de calculer ainsi le temps de cycle du GEV à partir du GE équivalent. Nakamura et Silva [7] proposent un algorithme de transformation du GEV en GE en adoptant les hypothèses d’un graphe d’événements consistant et conservatif. Dans ce papier, nous proposons une application d’une méthode de transformation du GE valué, basée sur un algorithme proposé dans [7], à un atelier de production laitière. Cet article est structuré comme suit. La section suivante présente quelques définitions de base des réseaux de Petri ainsi que les hypothèses considérées dans la suite du papier. La troisième section présente l’atelier de production laitière. Un graphe d’événements valués, associé à la laiterie, est présenté. La quatrième section détaille le fonctionnement de l’algorithme de transformation proposé dans Nakamura et Silva [7]. Une application de l’algorithme à un atelier de production laitière est enfin présentée dans la dernière section. II. NOTIONS DE BASE DES RESEAUX DE PETRI Dans ce qui suit, nous donnons des définitions de bases des réseaux de Petri ainsi que quelques propriétés intéressantes pour notre étude. Définition 1 [8] : Un réseau de Petri est un 5-uplet, PN = (P, T, Pre, Post, m0) où : P = (p1, p2, ..., pm) est un ensemble fini de places (⎪P⎪=m), Pre : P x T—> IN est l’application places précédentes, Post : P x T —> IN est l’application places suivantes , m0 : c’est la marquage initial Notations - to i (respectivement o ti): l’ensemble des places de sortie (respectivement d’entrée) de la transition ti, - po i (respectivement o pi): l’ensemble des transitions de sortie (respectivement d’entrée) de la place pi, - W+ (respectivement W- ) : matrice d’incidence de sortie (respectivement d’entrée), - W= W+ – W- : matrice du graphe. Definition 2 : Un vecteur non nul d’entiers θ de dimension ⎪T⎪est un T-invariant, ou encore T-semiflot, du RdP si, et seulement s’il vérifie l’équation suivante : → =× 0θW e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16 Le franchissement à partir d’un marquage mi, d’une séquence S dont le vecteur caractéristique est θ, ramène le graphe au même marquage initial m0 (mi= m0). Définition 3 [7]: Un RdP est dit consistant s’il possède un T-invariant θ couvrant toutes les transitions du réseau. Un RdP qui possède cette propriété, est dit répétitif ou réinitialisable. Définition 4 [7]: Un RdP est dit conservatif si toutes les places du graphe forment une composante conservative. Définition 5: Un graphe d’événements est un réseau de Petri tel que chaque place a exactement une seule transition d’entrée et une seule transition de sortie dont les arcs sont valués par 1. Définition 6 [9]: Un graphe d’événements valués (ou à arcs valués, GEV) est un graphe d’événements tel que le poids associé à chaque arc est supérieur ou égal à 1. Définition 7 : Le GE est fortement connexe, s’il existe un chemin orienté qui relie tout sommet (place ou transition) à tout autre sommet. Définition 8 [10] : Un graphe d’événements P-temporel est défini par le doublet où R est un graphe d’événements P - Temporel et IS est une application définie par : IS : P → (Q+ ∪0)× (Q+ ∪+∞) pi ISi=[ai, bi] avec : 0≤ai≤bi.a ISi définit l’intervalle statique de temps de séjour d’une marque dans la place pi appartenant à l’ensemble des places P. Une marque dans la place pi ne participe à la validation de ses transitions de sortie que si elle a séjourné au moins la durée ai dans cette place. Elle doit quitter la place pi, donc franchir l’une des transitions de sortie au plus tard quand sa durée de séjour qi devient égale à bi. Après ce temps (bi), la marque sera «morte » et ne participera plus à la validation des transitions. III. ATELIER DE PRODUCTION LAITIERE A. Présentation de l’atelier Ce système de production est une représentation, simplifiée à des fins pédagogiques, d’un atelier de conditionnement du lait. Dans la catégorie d’ateliers concernée par cet article, les opérations ont des contraintes temporelles associées qui doivent être impérativement respectées. La violation de ces contraintes peut mettre en cause la santé des clients. Le système considéré est : - un atelier avec postes d’assemblages, - ordonnancé, - à fonctionnement cyclique. Soit l’atelier de la figure 1. Il est composé essentiellement de : - six machines M1, M2, M3, M4 , M5 et M6 , - sept tapis roulants : T1, T2, T3, T4, T5, T6 et T7. Cet atelier est destiné à conditionner et stériliser du lait. La production envisagée est caractérisée par une gamme opératoire, u.t. désignant l’unité de temps : GO : Opération 1.1: M1 ([5 u.t., 15 u.t.]); Opération 1.2 : M2 ([2 u.t., 20 u.t.]); Opération 1.3 : M3 ([2 u.t., 12 u.t.]); Opération 1.4 : M4 ([1480 u.t., 1650 u.t.]); Opération 1.5 : M5 ([2 u.t., 20 u.t.]); Opération 1.6 : M6 ([12 u.t., 20u.t.] B. Principe de fonctionnement Les flacons (groupe de 6) sont transférés par le tapis roulant T1 pour alimenter la remplisseuse M1, figure 1. Une fois les bouteilles remplies, elles sont transportées vers la capsuleuse M2 par un convoyeur T2. Durant son séjour le long de la vis sans fin, chaque bouteille embrasse une capsule pour être soulevée par une porte bouteille jusqu’à ce que la capsule soit pressée sur la bouteille, et ensuite soudée par une tête de scellage. Après capsulage et impression des dates de péremption (machine M3), les bouteilles arrivent, une par une, vers l’Hydromat M4 par la voie du convoyeur T4. L’hydromat assure la stérilisation de 96 bouteilles à la fois. Après stérilisation, les bouteilles (groupes de 6) seront transférées par l’intermédiaire du tapis T5 vers l’étiqueteuse M5, les brosses chargées de mettre de la colle, et les rouleaux d’éponges, chargés de presser sur les étiquettes, assurant un positionnement précis de l’étiquette. Les récipients poursuivent leurs déplacements sur le convoyeur T6 de l’étiqueteuse jusqu’à l’entrée de l’emballeuse M6. Au niveau de l’emballeuse, les bouteilles seront regroupées par 6 et enveloppées par soudure sur deux films. L’emballage des 6 bouteilles est déposé sur le tapis T7 à destination du stock des produits finis SA. Il convient de noter que le transitoire de chargement de l’atelier n’est pas décrit dans ces lignes. C. Modélisation de la laitiére par un Graphe d’événement P - Temporel à arcs valués La figure 2, présente un graphe d’événement P-Temporel à arcs valués modélisant l’atelier de production laitière. Les intervalles (ISi) et les temps de séjour prévus (qie) associés aux différentes places sont : IS1= [1,+∝[, q1e=22; IS2=[30,45], q2e=35; IS3=[5, 15], q3e=9; IS4=[8, 65], q4e=30; IS5=[2,20], q5e=11; IS6=[11, 18], q6e=14; IS7=[2, 12], q7e=10; IS8=[10, 70], q8e=50; IS9=[1480, 1650], q9e=1530; IS10=[3, 70], q10e=50; IS11=[2, 20], q11e=15; IS12=[5, 70], q12e=35; IS13=[12, 20], q13e=15; IS14=[5, 15], q14e=10. IS15= [1,+∝[, q15e=99; IS16=[1,+∝[, q16e=7; IS17=[1,+∝[, q17e=8; IS18=[1,+∝[, q18e=630, IS19=[1,+∝[, q19e=3; IS20=[1,+∝[, q20e=93. Dans la suite du papier, les hypothéses suivantes sont considérées. - Hypothése 1: les graphes d’événements considérés sont fortement connexes. - Hypothése 2: les graphes d’événemets sont consistants et conservatifs. e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16 IV. TRANSFORMATION DU GE A ARCS VALUES EN UN GE Cette section propose une méthode de transformation des GE valués en un GE, en utilisant un algorithme de transformation présenté dans Nakamura et Silva [7]. A. Algorithme de transformation Notations )Eˆ,Vˆ(Σˆ = : GE obtenu à partir d’un GE valué ( ),E)(V,Σ = Eˆ )EE:Eˆ( h i i v ∪= U : ensemble fini des places de ,Σˆ Vˆ ( ): ensemble fini de transitions de Σ ,U i i V:Vˆ = ˆ 0mˆ : marquage initial du ,Σˆ Vi : { a it a = 1, 2, …, X (ti) }: séquence de tir d’une transition ti, { })X(t2,...,1,a)t,(tp:E i 1)imodX(ta j a i a i v i === +− : un ensemble fini de places, reliant deux transitions appartenant au même circuit de commande (un circuit de commande est une séquence des tirs successifs d’une même transition), tel que ,)(tpet)(tp 1)imodX(ta j a i a i a i +−− °=°= ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∪= +− 1))jmodX(t1)(b:a hh pE:E : un ensemble fini des places connectant des transitions appartenant à deux circuits de commande. A-1 Description de l’algorithme Afin de transformer un GE valué en un GE, deux étapes sont requises : C1 M2   T1  M1    M3   M4   T4  T3  T2  SA    T7      T6  M6    M5    T5   M1 : Remplisseuse M2: Capsuleuse M3:dateur M4:Hydromat M5 : Etiqueteuse M6 : Sur Emballeuse C1 : Stock des récipients SA : stock des produits finis        t1     p2      t2         p3       t3           p4      t4        p5      t5          p6      t6         p7      t7          p8     t8           p9      t9        p10     t10       p11      t11      p12     t12       p13     t13       p14      IS1=[1,+∝[ q1e=22 p1 6  6  6 96 24   IS2=[30,45] IS4=[8,65] IS6=[11,18] IS8=[10,70] IS10=[3,70] IS12=[5,130] IS14=[5,15] q2e=35 q4e=30 q6e=14 q8e=50 q10e=50 q12e=35 q14e=10     p15                                                p16                                                  p17     p18                            p19                            p20  IS15=[1,+∝[ q15e=99 IS16=[1,+∝[ q16e=7 IS17=[1,+∝[ q17e=8 IS18=[1,+∝[ q18e=630 IS19=[1,+∝[ q19e=3 IS20=[1,+∝[ q20e=93 6      6        6      6           6      6        6      1        1   6      6        6      6             IS3= [5,15] IS5=[2,20] IS7=[2,12] IS9=[1480,1650] IS11=[2,20] IS13= [12,20] q 3e=9 q5e=11 q7e=10 q9e=1530 q11e=15 q13e=15 Marquage correspondant au nombre des bouteilles 1 lot de 6 bouteilles M1  M2  M3 M4 M5  M6 Fig. 1. Atelier de production laitière Fig. 2. Graphe d’Evénement P-Temporel associé à la laitière e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16 - A chaque transition ti, est associée une séquence de tirs X(ti) (Vi : ={ a it a = 1, 2,…, X (ti) }). Chaque couple de transitions (ti k , t kmodX (ti)+1 ) est connecté à une place pi -k ( j { })X(t2,...,1,a)t,(tp:E ). Si X(ti)=a, la place pi -X(ti) est marquée par un jeton ( ). Ainsi, il existe⎪T⎪circuits de commande (« intra transition sequential systems ») à marquages uniques qui représentent les séquences de tirs successifs d’une transition ti. i 1)imodX(ta j a i a i v i === +− 1:)(pmˆ a i0 =− - A chaque place p∈P (p=to i et p=o tj), si le nombre de marques dans la place p (obtenu à partir du aéme franchissement de la transition ti) permet le béme franchissement de la transition tj, alors ti a et tj (b-1)modX(tj)+1 sont connectés par une place pa :(b-1)modX(tj)+1 ( ), ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∪= +− 1))jX(t1)mod(b:a hh pE:E qui représente la place de sortie de ti a . Le marquage associé à cette place est : ] )X(t 1b [ ( j − ] )X(t 1b [:)(pmˆ j 1)j1)mod(X(t(b:a 0 − = +− ). A-2 Présentation de l’algorithme de Nakamura et Silva [7] Procédure de transformation du système: begin for each ti ∈ T begin i ∑ : = ((Vi , Ei ), m ) such thati 0 Vi : ={ a it a = 1, 2, …, X (ti) } ; { };)X(t2,...,1,a)t,(tp:E i 1)imodX(ta j a i a i i v === +− If a = X (ti) then 1:)(pmˆ a i0 =− Else ;0:)(pmˆ a i0 =− End for; /* Construction de la structure correspondant à une séquence de tirs d’une transition donnée (construction des circuits de commande) */ φ=:Eh ; For each p ∈ P begin ti: = °p; /* p° = 1* / tj: = p°; /* °p = 1* / a: =0 ; Repeat ];1 )tPre(p, ).atPost(p,(p)m [:b j i0 + + = ]; )t(p,Post (p)m-).btPre(p, [:a i 0j = If then)X(ta i≤ begin ;] )X(t 1b [:)(pmˆ ;pE:E j 1)jmod(X(t1)(b:a 0 1))jmodX(t1)(b:a hh − = ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∪= +− +− End if Until );X(ta j≥ End for; /* places et arcs connectant des transitions appartenant à deux circuits de commande */ U i i V:Vˆ = ; ;EE:Eˆ h i i v ∪= U End. B. Exemple d’application Soit un graphe d’événements à arcs valués, figure 3 ; le marquage initial associé à ce graphe est m0=(0,0,4). Ce graphe est consistant puisqu’il possède un T-invariant X couvrant toutes les transitions du réseau (X(ti)=(2,5,3)). La figure 4 présente un graphe d’événements [7], obtenu en appliquant l’algorithme présenté dans la section 4.         p1 t2 p2 t 3 p3 t1 5 2 3 5 2                3 Fig. 3. Graphe d’événements à arcs valués (m0=(0,0,4)) t1 1 p1 1:1 t2 1 p1 1:2 t2 2 p2 2:1 t3 1 t1 2 p1 2:3 t2 3 p1 2:4 t2 4 p2 4:2 t3 2 p1 2:5 t2 5 p2 5:3 t3 3 p3 2 :1 p3 1:2 p3 -1 p3 -2 p2 -4 p2‐3  p2 -2 p2 -1 p1‐1  p1 -2 p3 -3 p2 -5   : Circuit représentant une séquence de tirs successifs d’une transition ti (circuit de commande) : Circuit connectant des transitions qui n’appartiennent pas au même circuit de commande Fig. 4. Graphe d’événements après transformation En se basant sur les marquages correspondant au graphe d’événements transformé, on peut conclure, au vue du graphe de couverture, que le système possède un T-invariant et qu’il e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16 est réinitialisable. Le T-invariant (2,5,3) du graphe de départ devient : [(1,1),(1,1,1,1,1),(1,1)] où les colonnes correspondantes sont :[(t1 1 ,t1 2 ),( t2 1 , t2 2 , t2 3 , t2 4 , t2 5 ), (t3 1 ,t3 2 ,t3 3 )]. Les mêmes résultats peuvent être retrouvés en effectuant le calcul des T-invariants sur la matrice d’adjacence du graphe transformé. Le graphe d’événements après transformation est donc consistant. On trouve, de manière triviale, un P-invariant dans le système avant transformation. On remarquera que ce même P-invariant se retrouve dans le modèle transformé. Le graphe d’événements obtenu est donc conservatif. Il faut voir là une illustration du fait que les possibilités d’interprétations physiques ont été conservées lors de la transformation. V. APPLICATION DE L’ALGORITHME DE TRANSFORMATION A UN ATELIER DE PRODUCTION LAITIERE Dans cette section, une application de l’algorithme de transformation, présenté dans Nakamura et Silva [7] est proposée. Prenons l’exemple d’un poste d’assemblage constitué d’un hydromat (M4) et d’une étiqueteuse (M5). A la sortie de l’ hydromat, les bouteilles (groupes de 6) seront transférées une par une vers l’étiqueteuse par l’intermédiaire du tapis roulant T6. La figure 5, présente un exemple d’application de l’algorithme de transformation à un poste d’assemblage (Hydromat + Etiqueteuse). Le T-invariant du graphe est (6, 6, 1) associé respectivement aux transitons t10, t11 et t12. A la transition t10 (resp t11), est associée une séquence de tir X(t10) :{ a 10t a=1,2,…,6)} (pour notre exemple ). A chaque couple de transitions ( , ) est associée une place pi -k (pi -k =p301 place reliant les transitions t101 et t102). Si X (t10)=6, la place p306 est marquée par un jeton ( mˆ . Le graphe de la figure 5, contient deux circuits de commande (circuits en bleu) à marquages uniques (⎪T⎪=2), représentant les séquences de tirs des transitions t10 et t11. 106 6 10102 2 10101 1 10 tt,...,tt,tt === k 10t 1k 10t + 1:)(p Les transitions t101(X(t10)=1) et t111(X (t11)=1) sont connectées ar une place p111((p111∈P) et (p111=to 101, p111=o t111)). Cette place, notée pa :(b-1)modX(tj)+1 dans l’algorithme de transformation, connecte deux transitions appartenant à deux circuits de commande différents. p A. Discussion Dans la partie précédente, on a directement appliqué l’algorithme de Nakamura. Cependant, une analyse plus approfondie révèle que cela nous amène à construire un modèle équivalent d’une dimension inutilement élevée. De fait, les places représentées en bleu sur la figure 5 ont été introduites pour représenter la séquence des mises à feu successives sur une même transition. Ces places représentent donc une contrainte de précédence. Or, il est trivial de dire que le prédicat suivant : ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 3 3 m2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 0 5 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 4 0 0 m0   3060 = ) ((le premier tir de la transition t11 a eu lieu après le premier tir de la transition t10) et (le deuxième tir de la transition t10 intervient après le premier tir de la transition t11)), implique directement que : (le premier tir de t10 intervient après le deuxième). Il est certes indispensable de modéliser cette contrainte qui est incluse dans le GEV et qui doit demeurer dans le GE transformé. On a, cependant, prouvé que cette contrainte était naturellement induite. De ce fait, les places en bleu n’ont aucune utilité dans le GE transformé : on les supprime pour simplifier le modèle, figure 6.   Fig. 5. Transformation d’un GE valués en un GE ⎪⎭ ⎬ ⎪⎩ ⎨ 1 3 ⎪⎫⎪⎧ = 6 1 m   m    t11    t21    t22  ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 3 1 1 m4 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 0 1 6 m5 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 0 4 4 m6      ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 0 7 2 m7   ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 0 10 0 m8 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 2 5 0 m10 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 2 2 2 m 9   t31  t12  t23 t24  t25  t32  t33  t7 p8 t8 p9 t9 p10 t10 p11 t11 p12 96  24  6 6 6 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 16  4  p9  p101 p111 t101  t111  p102  p112  t112  p106  p116  t116  p105 p115 t105  t102  t106  t115  t8  t9  p121 p122   p201 p126  p205 p206 p301 p305 p306 p191 p195 p196 M4 M5 e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16 Fig.6. Simplification systématique du modèle d’une machine B. Modélisation de la laiterie par un réseau de Petri P- Temporel Dans le cas de notre atelier, l’étiqueteuse M5 traite les bouteilles une par une ; l’étiquetage d’une bouteille i, peut débuter si et seulement si l’opération d’étiquetage de la bouteille (i-1) est élaborée. Au niveau du modèle, figure 7, cela se traduit par une séquence de tirs S=(t101, t111, t102) ; la transition t102 ne peut être tirée qu’après le franchissement des transitions t101 et t111. L’application de l’algorithme de Nakamura aux différents postes d’assemblage de l’atelier, permet d’obtenir un réseau de Petri P-Temporel de la laiterie, figure 8.                         Fig. 7. Graphe d’évènements après simplification systématique du modèle d’une machine V.I CONCLUSION  Nous avons présenté, dans ce travail, une application d’une méthode de transformation des GE valués, basée sur un algorithme proposé dans Nakamura et Silva, à un atelier de production laitière. Cette transformation permet d’obtenir un graphe d’événements 1-valué pour lequel il existe une littérature scientifique importante. On soulignera, par ailleurs, que le graphe d’événements produit est consistant et conservatif. p111 t101  t111  t102 p191  p301  De manière intuitive, l’algorithme de transformation permet de conserver les interprétations physiques lors de la transformation. La validation de l’algorithme de transformation, sur un atelier industriel de taille respectable, effectuée dans cet article, montre l’efficacité industrielle de l’approche de Nakamura. D’un point de vue applicatif, les graphes d’événements valués modélisent bien souvent un mécanisme de synchronisation entre deux entités de même nature. Or, ces contraintes de synchronisation sont le point critique où l’on trouve des violations temporelles du cahier des charges pour les ateliers à contraintes de temps de séjour. On soulignera alors la pertinence industrielle de l’étude présentée dans ces lignes. A partir du modèle obtenu pour le procédé industriel, il est maintenant possible d’appliquer des méthodologies qui ont fait leurs preuves pour les ateliers manufacturiers à contraintes de temps sans postes d’assemblages. 1        1      16  4  p9  p101  p11t101  t111  p102  p11 t112  p106  p116  t116  p105  p115 t105  t102  t106  t115  t8  t9  p121  p122  p125  p126   t7         p8    t8       p9      t9        p10   t10      p11   t11        p12     t12          M4   M5  96  24  6      6        6      6       1      1        1      1        6    M4 M5 La transformation systématique d’un GEV en un GE permet donc d’avoir une évaluation chiffrée et concrète de la robustesse [11], pour la mise en œuvre de la supervision [12] et du diagnostic d’un atelier industriel à contraintes de temps de séjour [13]. VI  BIBLIOGRAPHIE  [1]    Teruel, E., P. Chrzastowski, J.M. Colom and M. Silva. “On Weighted T-Systems” Lecture Notes in Computer Science. 3th International Conference on Applications and Theory of Petri Nets, vol. 616, pp. 348-367, Sheffield, 1992. [2]   Munier A. « Régime asymptotique optimal d’un graphe d’événements temporisé: application à un problème d’assemblage » RAIRO 27(5), pp. 171-180, 1993. [3]   Campos, J., G. Chiola and M. Silva. “Ergodicity and throughput bounds of Petri nets with unique consistent firing count vector” IEEE Trans. on Software Engineering, Vol. 17, N° 2, pp. 117-125, 1991.  [4]  Toursi L., and Sauer N. “Branch and Bound Approach for Marking Optimization Problem of Weighted Marked Graphs” IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetic, Vol. 2, pp. 1777-1782, The Hague, 2004.  [5]  Hamaci, S., Boimond, J.-L., and Lahaye, S., “Performance Analysis of Timed Event Graphs with Multipliers using (Min, +) Algebra” Journal of Discret Event System, Vol. 16, pp. 185-190, 2006.  [6]  Marchetti, O., and Munier, A. “A sufficient condition for the liveness of weighted event graphs » European Journal of Operational Research, Vol. 197, Issue 2, pp. 532-540, 2009. e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16 [7]   Nakamura M. and Silva M., “Cycle Time Computation in Deterministically Timed Weighted Marked Graphs” 7th IEEE International Conference on Emerging Technologies and Factory Automation, Vol. 2, pp. 1037-1046, Spain, 1999. [8] David R. and Alla H. "Du Grafcet aux réseaux de Pétri" Ed. Hermès, Paris, 1992. [9]  Commoner F., Holt A.W., Even S., and Pnueli A. “Marked Directed Graphs” Journal of Computer and System Sciences, Vol. 5, pp. 511-523, 1971. [10] Declerck,P., Guezzi, A., Gremy-Gros. C. « Temps de cycle des Graphes d’Événements Temporisés et P- temporels » Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Bucharest, Juin 2008. [11] Collart Dutilleul S., Jerbi N., Craye E., and Benrejeb M. “ Dynamic Control of Multi-product Job-shops” 4th IFAC Conference on Management and Control of Production and Logistics (MCPL’07), Sibiu, Vol. II, pp. 265-270, September 2007.  [12] Jerbi N., Collart Dutilleul S., Craye E., and Benrejeb M. “Time Disturbances and Filtering of Sensors Signals in Tolerant Multi-product Job-shops with Time Constraints” International Journal of Computers, Communications & Control, Vol. 1, No. 4, pp. 61-72, 2006. [13] Jerbi N., Collart Dutilleul S., Craye E., and Benrejeb M. “Localization of Time Disturbances in Tolerant Multiproduct Job-shops Without Assembling Tasks” Computational Engineering in Systems Applications (CESA’06), Beijing, pp. 45-50, October 2006. e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16 p1 Fig. 8. Graphe d’événement P-Temporel associé à la laitière p3   p23  t12 p14  p131  t13 p21  p22  p25  p24  p26  p132 p134 p133  p135  p136 t14  p15 p171 t1                                   t2           t3 p101  p111t101  t111  p121  p102  p112 t112 p103  p113 t113 p104  p114  t114 p106 p116 t116 p105  p115 t105 t102 t103 t104 t106  t115 t9 p122  p123 p124  p125  p126  p196 p195  p194 p193 p191 p192 16  4 p4 p51  p61  p63 6 t41  t51 p9 p42  p52  p62 t42  t52  p43  p53 t43  t53  p44  p54  p64t44  t54  p45  p55  p65t45  t55  p46  p56  p66t46  t56  p71 p81 t61  t71  p72  p82 t62  t72  p74 p84 t64  t74 p75 p85 t65 t75  p73  p83 t63 t73 p76  p86 t66 t76 t8  p166 p165 p164 p163 p161 p162 p176 p175 p174 p173 p172 p18 M1 M2 M3 M4 M5 M6 IS21=[30,45]; q21e=40 IS21=[30,45]; q21e=40 IS21=[30,45]; q21e=40   IS21=[30,45]; q21e=40 IS21=[30,45]; q21e=40 IS21=[30,45]; q21e=40 IS3=[5,15]; q3e=10 IS3=[0,+∝[ q3e=650 IS41=[8,65]; q41e=10 IS42=[8,65]; q42e=20 IS43=[8,65]; q43e=30 IS44=[8,65]; q44e=40 IS45=[8,65]; q45e=50 IS46=[8,65]; q46e=60 IS163=[0,+∝[;q63e=3 IS52=[2,20]; q52e=7 IS161=[0,+∝[;q61e=5 51 q51e=5 IS162=[0,+∝[; q62e=4 IS53[2,20]; q53e=6 IS54=[2,20]; q54e=8 IS164=[0,+∝[; q64e=2 IS56=[2,20]; q56e=5 IS166=[0,+∝[; q66e=35 IS55=[2,20]; q55e=4 IS165=[0,+∝[; q65e=6 S61=[11,18] q61e=15 IS62=[11,18]; q62e=14 IS63=[11,18];   q63e=13  IS64=[11,18]; q64e=12 IS65=[11,18]; q65e=16 IS66=[11,18]; q46e=15 IS9=[1480,1650] q9e=1530 IS18=[1,+∝[   q3e=690  IS71=[2,12]; q71e=6 IS171=[0,+∝[;q171e=4 IS72=[2,12]; q72e=5 IS172=[0,+∝[;q172e=5 IS73=[2,12]; q73e=7 IS173=[0,+∝[; q173e=3 IS174=[0,+ IS =[2,20]; I ; ∝[;q174e=4 IS75=[2,12]; q75e=8 IS175=[0,+∝[;q175e=2 IS76=[2,12];q76e=5 IS176=[0,+∝[;q176e=15 IS81=[10,70]; q81e=64 IS82=[10,70]; q82e=55 IS83=[10,70]; q83e=43 IS84=[10,70]; q84e=34 IS85=[10,70];q85e=22 IS86=[10,70]; q86e=15 IS102=[3,70]; q102e=20 IS103=[3,70]; q103e=35 IS104=[3,70]; q104e=48 IS105e=[3,70]; q105e=57 IS21=[3,70]; q106e=64 IS122=[5,130];q122e=48 IS123=[5,130]; q123e=35 IS124=[5,130]; q124e=25 IS125=[5,130]; q125e=20 IS126=[5,130];q126e=6 IS131=[12,20]; q131e=15 IS136=[12,20]; q136e=15 IS135 e=[12,20]; q135e=15 IS134=[12,20]; q134e=15 IS133=[12,20]; q133e=15 IS132=[12,20]; q132e=15 IS14=[5,15] q14e=10 IS101=[3,70]; q101e=5 IS121=[5,130];q121e=65 IS21=[0,+∝[; q21e=5 IS111= [2, 20]; q111e=10 IS193=[0,+∝[; q193e=3 IS113=[2,20]; q21e=10 IS191=[0,+∝[; q191e=5 IS192=[0,+∝[;q192e=3 IS112=[2,20]; q112e=12 IS114=[2,20];q114e=7 IS194=[0,+∝[; q194e=2 IS116=[2,20]; q16e=10 IS196=[0,+∝[; q196e=36 IS115=[2,20]; q115e=3 IS195=[0,+∝[; q195e=4 e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 9-16