Atterrissage et décollage robuste d’un hélicoptère standard par les techniques mode glissant et Backstepping

02/08/2016
Publication e-STA e-STA 2010-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2010-1:17195
DOI :

Résumé

Atterrissage et décollage robuste d’un hélicoptère standard par les techniques mode glissant et Backstepping

Métriques

36
8
261.74 Ko
 application/pdf
bitcache://ce36a21c28ece70a40532e1f895e9ebdf30dacd4

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2010-1/17195</identifier><creators><creator><creatorName>M’hammed Guisser</creatorName></creator><creator><creatorName>Hicham Medromi</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Atterrissage et décollage robuste d’un hélicoptère standard par les techniques mode glissant et Backstepping</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2016</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Tue 2 Aug 2016</date>
	    <date dateType="Updated">Tue 2 Aug 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Mon 17 Dec 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">ce36a21c28ece70a40532e1f895e9ebdf30dacd4</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>28933</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Atterrissage et décollage robuste d’un hélicoptère standard par les techniques mode glissant et Backstepping M’hammed Guisser et Hicham Medromi Laboratoire d’Automatique Productique et Génie Industriel Equipe Architecture des Systèmes Univ Hassan II Ain Chock, ENSEM, BP. 8118, Oasis Casablanca, Morroco mguisser@yahoo.fr, hmedrmi@yahoo.fr Résumé—Dans ce papier, nous proposons une loi de commande robuste basée sur la technique mixte Backstepping–mode glissant, pour le contrôle de vol automatique d’un hélicoptère drone. Le contrôleur permet de stabiliser l’hélicoptère pour des manœuvres d’atterrissage et décollage. La synthèse du contrôleur est basée sur le modèle dynamique complet de l’hélicoptère où les "effets aérodynamiques perturbateurs" sont considérés. La robustesse de la loi de commande est démontrée analytiquement en se basant sur l’analyse de Lyapunov. Les résultats de simulation montrent les bonnes performances de l’algorithme de commande proposé. Mots-clés— Hélicoptère drone, Modèle dynamique, Contrôle non linéaire, contrôle robuste, mode glissant, Backstepping, stabilisation. I. INTRODUCTION L’utilisation de robots aériens (drones) ou UAV (Unmanned Aerial vehicles) dans les conflits actuels est un fait, et ils occuperont demain une place de plus en plus importante. À usage individuel, ou destinés à de petites unités, les drones miniatures seront déployés dans un premier temps pour des missions de surveillance et de reconnaissance à courte portée afin d’estimer les dommages subis ou le mouvement de personnes et de véhicules. À terme, ils devront être capables d’assister le combattant dans des environnem- ents complexes comme les zones urbaines, et même l'intérieur de bâtiments pour les microdrones. Depuis, différentes configurations de drones ont été proposées. Les UAV les plus connus dans la catégorie des véhicules à voilure tournante sont entre autres les hélicoptères standard avec un rotor principal et un rotor de queue, capables de réaliser du vol stationnaire sachant que cette caractéristique est très utile pour des missions de surveillance aérienne. La commande de l’hélicoptère pour des manœuvres de décollage et d'atterrissage ou encore la stabilisation autour d’une position près du sol pose des problèmes très difficiles à résoudre. Ces difficultés sont dues principalement à la variation des forces aérodynamiques, en fonction des paramètres de l'environnement. En particulier, lorsqu'il est proche du sol les écoulements d'air à travers le rotor principal d'un hélicoptère standard sont perturbés. Si l'on suppose, par exemple, que la manœuvre d'atterrissage est réalisée en mode de vol quasi-stationnaire, à proximité immédiate du sol, la décroissance de l'énergie cinétique communiquée à l'air par le rotor se transforme en énergie de pression. L'augmentation de cette dernière se fait sentir sur l'intrados des pales par une augmentation de la portance du rotor principal qui se trouve inversement proportionnelle à la distance "Z " entre le disque rotor et le sol [6]. On dit alors que l’appareil se trouve dans l’effet de sol qui devient négligeable lorsque l’altitude du centre de poussée est supérieure au diamètre D du rotor (Z D≥ ). Par exemple, si / 3Z D= , l’augmentation de la portance est d’environ 20% en vol stationnaire. Elle tombe à 10% pour /2Z D= . Si cet effet permet de limiter la poussée nécessaire pour tenir l'hélicoptère en vol, il s'avère toutefois très dangereux car l'écoulement aérodynamique est perturbé par les tourbillons d'extrémités de pales. Ce phénomène appelé "état de vortex", s’accompagne généralement d’une vibration basse fréquence et d’une perte d’efficacité du "contrôle cyclique" [1] [7]. Dans ce cas, il a été montré que la grande sensibilité de l'hélicoptère aux changements du pas collectif pour de telles manœuvres, ne permet pas le développement de lois de commande simples et robustes stabilisant l'hélicoptère. Toutefois, des résultats intéressants ont été obtenus en modélisant ces phénomènes comme des bruits à basses fréquences. Ainsi, il a été montré que la loi de contrôle, établie par Backstepping adaptatif est robuste par rapport à ce type de bruit et par rapport aux petites forces de translation [8]. Dans ce qui suit, nous proposons une loi de commande robuste basée sur les techniques robustes du mode glissant [12], [13], [14], [15], [16], et le Backstepping [2], [3], [4] pour le contrôle d’un hélicoptère standard. La stratégie de commande prend en compte la présence de l’effet de sol, les forces de translation d’amplitude faible et les effets e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8 aérodynamiques perturbateurs de l’orientation du disque rotor. La commande par la technique du Backstepping a été largement abordée pour le contrôle des hélicoptères miniatures [11], [5], [10]. Ce papier est organisé comme suit : dans un premier temps, un modèle mathématique de la dynamique du drone est présenté, ainsi que la description des entrées de contrôle. Par la suite, en se basant sur le modèle complet de l’engin, une loi de commande par mode glissant basée sur les techniques du Backstepping est synthétisée. Ensuite, une analyse de la robustesse de la commande est présentée en tenant compte les effets perturbateurs. La dernière partie est consacrée à la présentation des résultats de simulation qui témoignent de l’efficacité du contrôleur. II. MODELE DYNAMIQUE DE L’HELICOPTERE Dans cette section nous présentons le modèle dynamique de l’hélicoptère standard en utilisant une approche Newtonienne [1], [5], [7]. On définit deux repères représentés sur la figure 1. – ( , , , )O x y zO E E Eℜ = est le repère inertiel lié à la terre. – 1 2 3( , , , )G E E Eℜ = est le repère lié au corps rigide de l’hélicoptère. Soit ( , , )T x y zξ = le vecteur position du centre de masse de l’hélicoptère relatif au repère inertiel Oℜ , et v ξ= ɺ est le vecteur vitesse linéaire du centre de masse de l’hélicoptère dans le repère inertiel Oℜ . L’orientation du corps rigide est décrite par les angles d’Euler ( , , )T η ψ θ φ= qui sont le lacet, le tangage et le roulis, respectivement. Figure. 1 : Modèle géométrique de l’hélicoptère standard à deux rotors. La matrice de rotation (3)R SO∈ (groupe spécial orthogonal, T R R= , det( ) 1R = ) définit la transformation entre les deux repères Oℜ et ℜ , : OR ℜ → ℜ , elle est donnée par : cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos R ψ θ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ ψ φ ψ θ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ ψ φ θ θ φ θ φ  − +     = + −     −   Nous introduisons la base canonique 1 2 3{ , , }e e e de 3 ℝ : 1 [1,0,0]T e = , 2 [0,1,0]T e = et 3 [0,0,1]T e = . Les coordonn- ées des vecteurs d’une base dans l’autre base sont : 1 2 3[ , , ] [ , , ]T T T x y zE E E R e e e= et 1 2 3 1 2 3[ , , ] [ , , ]T T E E E R e e e= Le modèle dynamique de l’hélicoptère est régi par les équations de mouvement suivantes : 3 3 3 2 ( ) ( ) ( ) P Q v mv uR e mge R R Q e Q e ξ η δ η η τ ×  = = − + +  = = − × + − + + ∆ ɺ ɺ ɺ ɺI I (1) où m est la masse totale de l’hélicoptère et 1 2 3( , , )diag=I I I I est la matrice d’inertie au centre de masse exprimée dans le repère local ℜ . 1 2 3( , , )T = désigne le vecteur vitesse angulaire de l’hélicoptère exprimé dans son repère local et × représente la matrice antisymétrique du vecteur . où : 3 2 3 1 2 1 0 0 0 ×  −     = −    −   La poussée du rotor principal PT appliquée le long de l’axe de lacet 3E est donnée par : 3 3P P PT T E T Re= − = − . La norme de la poussée Pu T= est considérée comme la première entrée de commande, pour contrôler la dynamique de translation. L’intensité de la force de portance Pu T= doit être multipliée par un coefficient positif, 1 exp(sol solσ α= + / )sol Z Dβ− qui prend en considération l’effet de sol, où 0.8solα = et 4.16solβ = . Ce coefficient varie dans le temps avec la dynamique du système en présence de l’effet de sol. 1 2 3( , , )T τ τ τ τ= étant le couple de contrôle qui représente l’entrée de commande servant à contrôler l’attitude du véhicule, où 3τ est le couple de lacet obtenu par l’action du rotor de queue, 1τ et 2τ sont les couples de roulis et de tangage obtenus par des petites inclinaisons du rotor principal. Dans le cas ou l'on ne considère que des petites variations des angles 1sa et 1sb qui représentent respectivement les angles de battement longitudinal et latéral du rotor principal, l'expression du couple de commande est donnée par : 1 1[ , , ]T s s QK a u b u Tτ −≃ (2) où QT est la poussée du rotor de queue, 3 3 K × ∈ ℝ est une matrice constante qui dépend des paramètres géométriques de l’hélicoptère. PQ et QQ sont respectivement les deux couples de perturbations liés à l’action de l’air sur le rotor principal et le rotor de queue de l’hélicoptère. La matrice K représentant le couplage entre la dynamique de translation et la dynamique de rotation est donnée par : e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8 1 LK− =K , dans laquelle : 1 2 3 T T T e L e e        =         , 0 0 0 0 0 0 P Q P l l K l  − −     =        où Pl (resp. Ql ) est la distance entre le rotor principal (resp. le rotor de queue) et le centre de masse. Le terme R τK représente les forces de translation d’amplitude faible introduisant ainsi un couplage entre la dynamique du roulis-tangage et la dynamique latéral- longitudinal et qui produit la dynamique des zéros. ( )t∆ est l’effet aérodynamique perturbateur de l’orientation du disque rotor à cause des tourbillons autour du rotor. La dynamique de translation et la dynamique de rotation du système sont perturbées respectivement par les termes 3exp( / ). ( ) ( )sol sol Z D uR e Rδ α β η η τ= − − + K et ( )t∆ . Ces efforts aérodynamiques parasites sont bornés et sont considérés comme des perturbations extérieures, tels que 0 0 0 ( ) sup ( ) sup ( )sol t t t u t tδ α τ δ ≥ ≥ ≤ + ≐K et 0( )t∆ ≤ ∆ ; pour 0 0δ ≥ et 0 0∆ ≥ . En se basant sur le développement précèdent, une représentation du modèle dynamique d’un hélicoptère standard, peut être résumée sous forme d’un schéma block. Figure. 2 : Schéma block de la dynamique du véhicule. III. COMMANDE ROBUSTE PAR MODE GLISSANT−BACKSTEPPING Le problème de contrôle consiste à déterminer l’intensité de la poussée du rotor principale u et le vecteur de couple τ dépendant des états ( ξ , v , R et ) mesurables et des dérivées par rapport au temps des paramètres de la trajectoire désirée ( , )d dξ ψ supposée bornée et dérivable, de telle sorte que le vecteur d’erreur ( , )d dξ ξ ψ ψ− − converge asymptotiquement vers zéro. Cette loi de commande permet de prendre en compte les effets perturbateurs. La loi de commande est générée selon deux séquences. Dans la première séquence, nous utilisons la technique du Backstepping pour calculer les contrôles virtuels et les fonctions de stabilisation correspondantes. Dans la seconde séquence, nous mettons en évidence la technique du mode glissant pour calculer les contrôles réels dans l’étape finale du Backstepping , afin d’assurer la convergence vers zéro des erreurs entre les contrôles virtuels et leurs valeurs désirées. L’introduction de la commande glissante permet d’atténuer les effets perturbateurs δ et ∆ . Etape 1. Considérons l’écart de position 1ε , l’erreur de poursuite entre la position actuelle et la position désirée, donnée par : 1 dε ξ ξ= − (3) Sa dérivée donne : 1 dv vε = −ɺ (4) Définissons 1V comme étant la première fonction de Lyapunov afin de stabiliser la dynamique de translation : 2 1 1 1 1 1 1 2 2 T V ε ε ε= = (5) En dérivant 1V par rapport au temps, il vient : 1 1 ( )T d dV v v dt ε= − (6) Soit 1α une commande virtuelle sur la vitesse, c’est la valeur souhaitée de v . La loi de contrôle doit assurer la convergence de 1ε vers zéro, on choisit : 1 1 1 dc vα ε= − + ; 1 0c > (7) On définit l’écart de vitesse 2ε pour stabiliser la vitesse de translation, égale à la différence entre la vitesse réelle et la commande en vitesse virtuelle. On a alors : 2 1( )m vε α= − (8) À la fin de la première étape du backstepping, nous avons : 2 1 1 1 1 2 1 T V c m ε ε ε= − +ɺ (9) 1 1 1 2 /c mε ε ε= − +ɺ (10) Etape 2. La convergence de 2ε entraîne naturellement la convergence de 1ε . Pour assurer la convergence de 2ε , on l’ajoute à la fonction de Lyapunov 1V . Dans l’expression de 2εɺ , la dynamique de translation va apparaître perturbé par le terme δ . En dérivant 2ε par rapport au temps, on obtient : 2 3 3 1uRe mge mε α δ= − + − +ɺ ɺ (11) où 2 1 1 1 1 1 1 2 /d dc v c c m vα ε ε ε= − + = − +ɺ ɺ ɺɺ . A cette étape du Backstepping, on introduit la deuxième fonction de Lyapunov augmentée comme suit : 2 2 1 2 1 2 V V ε= + (12) En dérivant cette fonction et introduisant les équations (9) et (11), on obtient : 2 2 1 1 2 1 3 3 1( / )T V c m uRe mge mε ε ε α δ= − + − + − +ɺ ɺ (13) Considérons l’extension dynamique suivante u u=ɺɺ ɶ , où uɶ est la nouvelle entrée de commande. On désigne par 2α la commande virtuelle sur la poussée, c’est la valeur désirée de 3uRe , telle que : e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8 2 3 1 2 2 1 /mge m c mα α ε ε= − + +ɺ ; 2 0c > (14) A ce stade, on définit l’écart de poussée 3ε , pour incorporer l’erreur en tangage et en roulis, c'est-à-dire l’erreur entre la poussée réelle et la poussée virtuelle : 3 2 3uReε α= − (15) Au terme de la seconde étape du Backstepping, il vient : 2 2 2 1 1 2 2 2 3 2 T T V c cε ε ε ε ε δ= − − + +ɺ (16) 2 1 2 2 3/m cε ε ε ε δ= − − + +ɺ (17) Etape 3. La dérivée de l’erreur 3ε par rapport au temps donne : 3 2 3 3[ ]uRe uR eε α ×= − +ɺ ɺ ɺ (18) où 2 1 2 2 1 /m c mα α ε ε= − + +ɺ ɺɺ ɺɺ Le report des expression de 1αɺɺ , 1εɺ et 2εɺ entraîne : 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 ( 2 / / ) ( 1/ ) ( ) ( ) ( ) d mc c m c m c c c c m c c mv c c Y c c α ε ε ε δ δ = − − + − − − + + + − + + = + + ɺ ɺɺ où 1Y représente la partie mesurable de 2αɺ , c’est à dire des fonctions des variables d’état mesurables du système. La troisième étape du Backstepping consiste à prendre la quantité vectorielle 3 3[ ]uRe uR e×+ɺ comme entrée de commande virtuelle. On introduit la troisième fonction de Lyapunov 3V associée à cette étape : 2 3 2 3 1 2 V V ε= + (19) La dérivée de 3V est : 2 2 3 1 1 2 2 3 2 2 3 3 2 ( [ ])T T V c c uRe uR eε ε ε ε α ε δ ×= − − + + − + +ɺ ɺ ɺ (20) Soit 3α la commande virtuelle sur la vitesse angulaire de tangage et de roulis, sa valeur désirée est 3 3[ ]uRe uR e×+ɺ , telle que : 3 2 1 3 3Y cα ε ε= + + ; 3 0c > (21) Par conséquent, le nouveau terme d’erreur 4ε pour stabiliser les vitesses angulaires de tangage et de roulis est donné par : 4 3 3 3[ ]uRe uR eε α ×= − +ɺ (22) Au terme de la troisième étape du Backstepping, nous avons aussi : 2 2 2 3 1 1 2 2 3 3 3 4 2 1 2 3( ) T T T V c c c c c ε ε ε ε ε ε δ ε δ = − − − + + + + ɺ (23) 3 2 3 3 4 1 2( )c c cε ε ε ε δ= − − + + +ɺ (24) Jusqu’à présent, le processus s’est déroulé de façon traditionnelle, par des étapes de dérivations, de constructions de contrôles virtuels et de définitions d’écarts entre les états actuels et les contrôles virtuels correspondants. Nous abordons maintenant le passage au contrôle par mode glissant permettant d’atténuer les termes de perturbation. Etape 4. La dynamique de rotation va intervenir dans l’expression de 4εɺ , elle est perturbée par le moment perturbateur ∆ . Considérons, maintenant la dérivée de 4ε : 2 4 3 3 3 3 3[ 2 ]uRe uR e uR e uR eε α × × ×= − + + + ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ (25) En se basant sur l’équation (21), le calcul de la dérivée de 3α est donné par : 3 1 1 2 2 3 3 4 4 da a a a mv bα ε ε ε ε δ= + + + − +ɺɺɺɺ , où : 4 2 2 3 1 1 1 1 2 23 / 2 / / 1/ 1/a mc c m c c m c m m m= − + + + − − , 3 2 2 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 3 2 / 2 / 2 , a c c m c m c c c c c c c c = − − + + + − − − 2 2 2 3 1 1 2 2 1 2 3 31/ 1 ( )a c c c c m c c c c= − − − + + − + + , 4 1 2 3a c c c= + + , et 2 1 2 1 3 2 31/ 1b m c c c c c c= + + + + . L’expression de 3αɺ , peut se mettre sous la forme suivante : 3 2Y bα δ= +ɺ , où 2Y contient des termes mesurables qui dépendent de l’état du système. A ce stade de la procédure, nous remarquons que les entrées de commande rentrent dans l’équation (25) par u u=ɺɺ ɶ et le couple τ par l’intermédiaire de ɺ . Dans ce qui suit, pour simplifier l’analyse, nous considérons la transformation de l’entrée de commande de la façon suivante : 1 3 2( )P QQ e Q eτ τ− = − × + − +ɶ I I (26) Ainsi, en se basant sur ce choix, on peut écrire la relation suivante : 1 τ − = + ∆ɺ ɶ I . En observant le fait que : 3 3 3 3e e e eτ τ τ× × ×= = × = −ɺ ɶ ɶ ɶ (27) Nous obtenons donc : 1 1 3 3 2 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 u ue u e u A u u u τ τ τ τ τ×                   + = − =                         ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (28) Sous la condition que 0u ≠ , la matrice ( )A u est non singulière et les signaux de commande 1τɶ , 2τɶ et uɶ peuvent être déterminés en utilisant la technique des modes glissants [17], [18] . De ce fait, on est amené à introduire une surface de glissement 3 1 2 3( , , )T σ σ σ σ= ∈ ℝ comme étant l’erreur 4ε , c'est-à-dire : 4 3 3 3[ ]uRe uR eσ ε α ×= = − +ɺ . Pour assurer la convergence de l’écart 4ε , la fonction de Lyapunov augmentée 4V est introduite: 2 4 3 1 2 V V σ= + (29) Sa dérivée est donnée par : 2 2 2 4 1 1 2 2 3 3 3 2 1 2 3 ( ) ( ) T T T V c c c c c ε ε ε σ ε σ ε δ ε δ = − − − + + + + + ɺ ɺ (30) La dérivée de la surface de glissement est donnée par : 2 1 4 2 3 3 3 3[ 2 ] ( )Y uRe uR e uR e uR e b σ ε τ δ − × × ×= = − + + − ∆ + ɺɺ ɺɶ ɶ I En reportant dans 4Vɺ l’expression de σɺ , on obtient: e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8 2 2 2 4 1 1 2 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 1 2 3 1 3 ( [ 2 ]) ( ) ( ) T T T T T V c c c Y uRe uR e uR e uR e c c u R e b ε ε ε σ ε τ ε δ ε δ σ σ δ × × × − × = − − − + + − + + + + + + − ∆ + ɺ ɶ ɺ ɶ I Les entrées de commande 1 2( , , )uτ τɶ ɶ ɶ permettant d’assurer la convergence des trajectoires du système vers la surface de glissement en un temps fini, sont données par : 2 3 2 3 3 3 3 4 [ 2 ] ( ) Y uRe uR e uR e uR e c sign ε τ σ × × ×+ − + + + = − ɺɶ ɶ où 4 0c > , ce qui permet de déterminer les signaux de commande : 1 2 1 2 2 3 3 3 4 [ , , ] ( ) ( )[ 2 ( )] T T u A u R Y uR e uR e c sign τ τ η ε σ − × ×= + − − +ɺɶ ɶ ɶ (31) où (.)sign est la fonction signe. Le contrôleur robuste obtenu est composé d’une partie nominale similaire à un retour d’état classique et d’un terme discontinu additionnel destiné à traiter les erreurs de modélisation ainsi que les perturbations extérieures. Cependant, les réponses des actionneurs n’étant pas instantanées, le système ne demeure pas exactement sur la surface de glissement et oscille de part et d’autre de cette dernière. Ce phénomène est appelé "chattering" car il est associé à une activité très intense des actionneurs. Outre des désavantages énergétiques évidents, cette hyper-activité a pour conséquence d’exciter des modes de fonctionnement de haute-fréquence qui ont été négligés lors de la modélisation dynamique. Pour éviter cela, on définit une zone autour de la surface de glissement. Ainsi, le terme (.)sign est souvent remplacé par un terme à variation plus douce, tel qu’une fonction de saturation. En tenant compte de l’équation (31), la dérivée de la fonction de Lyapunov 4V peut être réécrite comme suit : 2 2 2 4 1 1 2 2 3 3 4 2 1 1 2 3 3( ) ( ) T T T T V c c c c c c u R e b ε ε ε σ ε δ ε δ σ σ δ− × = − − − − + + + − ∆ + ɺ I (32) La troisième composante 3τɶ du vecteur de commande τɶ est prise comme une variable d’entrée pour stabiliser l’angle de lacet. Etape 5. Définissons la variable d’erreur de poursuite 5ε associée à l’angle de lacet comme : 5 dε ψ ψ= − (33) En utilisant la relation cinématique entre la vitesse généralisée ( , , )η ψ θ φ= ɺ ɺ ɺɺ et la vitesse angulaire , cette relation est donnée par : 1 ( )Wη η− =ɺ , où W est la matrice qui lie le vecteur de rotation angulaire du drone exprimé dans le repère local au vecteur des vitesses généralisées ηɺ . avec 1 0 sin cos 1 ( ) 0 cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin W φ φ η φ θ φ θ θ θ φ θ φ θ −      = −       La dynamique de l’erreur 5ε est: 1 5 1 2 3 sin cos ( ) cos cos T d d de W φ φ ε ψ ψ η ψ ψ θ θ − = − = − = + −ɺ ɺ ɺ ɺɺ (34) Pour tout , /2 /2θ φ π π ∈ −   . Soit 5V la fonction de Lyapunov associée à cette étape du Backstepping : 2 5 4 5 1 2 V V ε= + (35) En dérivant 5V par rapport au temps, et en introduisant l’équation (34), il vient : 2 2 2 5 1 1 2 2 3 3 4 5 2 3 2 1 2 3 1 3 sin cos ( ) ( ) cos cos ( ) T T d T T V c c c c c c u R e b ε ε ε σ φ φ ε ψ ε δ ε δ θ θ σ σ δ− × = − − − − + + − + + + − ∆ + ɺ ɺ I (36) Prenant 4α comme contrôle virtuel sur la vitesse de lacet, tel que : 4 5 5 dcα ε ψ= − + ɺ ; 5 0c > (37) Le dernier terme d’erreur 6ε permettant de stabiliser la vitesse de lacet est : 6 4ε ψ α= −ɺ (38) La dérivée de 5V devient : 2 2 2 2 5 1 1 2 2 3 3 4 5 5 1 2 1 2 3 3( ) ( )T T T T V c c c c c c c u R e b ε ε ε σ ε ε δ ε δ σ σ δ− × = − − − − − + + + − ∆ + ɺ I (39) Dérivant l’erreur 6ε par rapport au temps : 1 1 6 4 1 1 4( ) ( )T T e W e Wε ψ α η η α− − = − = + −ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ (40) Introduisant l’équation (26), il vient : 1 6 1 2 3 4 2 2 sin cos sin ( ) cos cos cos T T e W e φ φ φ ε η τ τ α θ θ θ − = + + − + ∆ɺɺ ɺɶ ɶ I (41) avec 4 5 5 dcα ε ψ= − + ɺɺɺɺ et 5 5 5 6cε ε ε= − +ɺ . Etape 6. Nous terminons le processus du Backstepping en considérant la fonction de Lyapunov globale augmentée de la façon suivante : 2 6 5 4 1 2 V V σ= + (42) où 4σ ∈ ℝ est la surface de glissement, telle que : 4 6 4σ ε ψ α= = −ɺ . Il s’ensuit que la dérivée de la fonction de Lyapunov globale a pour expression : 2 2 2 2 6 1 1 2 2 3 3 4 5 5 1 4 5 4 2 1 2 3 3( ) ( ) ( )T T T T V c c c c c c c u R e b ε ε ε σ ε σ ε σ ε δ ε δ σ σ δ − × = − − − − − + + + + + − ∆ + ɺ ɺ I (43) La stabilisation de la surface de glissement 4σ peut être obtenue via le signal d’entrée de commande 3τɶ en utilisant la technique du mode glissant : e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8 1 5 1 2 3 4 6 4 sin cos ( ) ( ) cos cos T e W c sign φ φ ε η τ τ α σ θ θ − + + + − = −ɺ ɺɶ ɶ pour 6 0c > . Le contrôle en lacet qui assure la convergence de 4σ est définit par : 1 3 2 1 4 5 6 4 cos sin [ ( ) ( )] cos cos T e W c sign θ φ τ τ η α ε σ φ θ − = − − + − −ɺ ɺɶ ɶ (44) Cette loi de commande permet de définir entièrement les entrées de commande 1τɶ , 2τɶ , 3τɶ et uɶ. Finalement la dérivée par rapport au temps de la fonction de Lyapunov globale devient : 2 2 2 2 6 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 4 1 2 1 2 3 3 2 4 2 ( ) ( ) sin cos T T T T T V c c c c c c c c u R e b e ε ε ε σ ε σ ε δ ε δ σ σ δ φ σ θ − × = − − − − − − + + + − ∆ + + ∆ ɺ I I (45) V. ANALYSE DE LA STABILITÉ DU MODÈLE PERTURBÉ Il s’agit maintenant de montrer la convergence du système malgré la présence du terme perturbateur 2 1 2 3( )T T c cε δ ε δ+ + 1 3 2 4 2( ) sin / cosT T T u R e b eσ σ δ σ φ θ− ×− ∆ + + ∆I I . La fonction de Lyapunov finale proposée pour le modèle complet de l’hélicoptère est : 2 2 2 2 22 6 1 2 3 5 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 V ε ε ε σ ε σ= + + + + + (46) Sa dérivée temporelle est : 2 2 2 2 6 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 4 1 2 1 2 3 3 2 4 2 ( ) ( ) sin cos T T T T T V c c c c c c c c u R e b e ε ε ε σ ε σ ε δ ε δ σ σ δ φ σ θ − × = − − − − − − + + + − ∆ + + ∆ ɺ I I Utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz, il vient : 2 2 2 2 6 1 1 2 2 3 3 5 5 2 1 1 2 3 4 6 2 4 ( ) ( ) ( / ) V c c c c c c c u b c ε ε ε ε ε δ ε δ δ σ σ − ≤ − − − − + + + + − + ∆ + + − + ∆ ɺ I I La convergence de σ et 4σ vers zéro est assurée pour deux constantes 4c et 6c suffisamment larges, telles que : 1 4 1 0 0 0 sup ( ) t c u t bβ δ− ≥ = + ∆ +I et 6 2 0 2/c β= + ∆ I ; pour 1 0β > et 2 0β > . On obtient : 2 2 2 2 6 1 1 2 2 3 3 5 5 1 2 4 2 0 1 2 3 0( ) V c c c c c c ε ε ε ε β σ β σ ε δ ε δ ≤ − − − − − − + + + ɺ (47) que l’on peut mettre sous la forme : 2 0 6 1 1 2 2 2 3 3 3 2 20 1 2 5 5 1 2 4 3 ( ) ( ( ) ) V c c c c c c c c δ ε ε ε ε ε δ ε β σ β σ ≤ − − − − − + − − − ɺ (48) Pour assurer la stabilité du modèle perturbé, il suffit d’avoir 6 0V ≤ɺ , qui est obtenue si : 2 0 2/cε δ> et 3 1 2 0 3( ) /c c cε δ> + Il suffit de choisir une grande valeur de 2c pour réduire la valeur de 0 2/cδ et une grande valeur de 3c , telle que 3 1 2c c c+≫ pour réduire la valeur de 1 2 0 3( ) /c c cδ+ . L’expression de 6Vɺ montre la convergence des écarts 1 2 3 4 5 6( , , , , , )ε ε ε ε ε ε vers un voisinage de l’origine dont la grandeur dépend des coefficients 2c et 3c . VI. RESULTATS DE SIMULATION Nous présentons ici les résultats de simulation, afin d’illustrer les performances et la robustesse de la loi de commande proposée. La simulation a été effectuée dans le cadre d’atterrissage typique du drone. Les paramètres du modèle de l’hélicoptère utilisés en simulation [9], [10], sont donnés par : 9.6m kg= , 2 (0.4,0.56,0.29)diag kgm=I , 1 9.8g Nkg− = , les anti- couples sont estimés par les constantes suivantes 0.02PQ Nm= , 0.002QQ Nm= . Les conditions initiales de l’état de l’hélicoptère sont choisies telles que : 0 (2,2, 4)ξ = − , 0 0 0 0ξ η= = =ɺ , 0 3R I= , 0u mg= , 0 0u =ɺ . L’objectif de la commande est la stabilisation près du sol autour du point stationnaire (0,0, 0.3)dξ = − , avec une orientation désirée pour le lacet / 4dψ π= . Les valeurs choisies pour les gains de contrôle qui déterminent les conditions de convergence du système en présence des effets parasites sont : 1 2c = ; 2 20c = ; 3 80c = ; 4 800c = ; 5 2c = et 6 2c = . L’effet aérodynamique perturbateur de l’orientation du disque rotor à cause des tourbillons autour du rotor, quand l’hélicoptère est proche du sol, est choisi de la forme suivante [7], [8] : ( ) 0.05(cos( )sin( ),cos( )sin( ),0) 10 5 5 10 t t t t t∆ = (49) On a représenté sur la figure 3, l’évolution du coefficient solσ dû à l’effet de sol en fonction du rapport /Z D . La figure 4, montre l’évolution du mouvement du véhicule dans l’espace 3D et 2D. Sur la figure 5, nous avons représenté l’évolution de la position et de l’orientation du véhicule au cours du temps. La figure 6, montre la réponse en vitesse du système. La figure 7, montre l’évolution des entrées de commande. La figure 8, montre les angles de battement 1sa et 1sb qui sont petits, et la figure 9, montre la convergence des surfaces de glissement vers zéro. Notons aussi que la e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8 stabilisation de l’hélicoptère est assurée. Enfin, nous pouvons conclure en se basant sur ces résultats de simulation, que la robustesse de la loi de commande par backstepping–mode glissant proposée est vérifiée, malgré la présence des termes de perturbation. V. CONCLUSIONS Dans ce papier, nous avons proposé une loi de commande qui combine deux techniques robustes, le backstepping et le mode glissant. Ces deux régulateurs assurent la stabilisation d’un hélicoptère drone pour des missions de vol, telles que l’atterrissage et le décollage. La synthèse du contrôleur est basée sur le modèle dynamique perturbé. Une étude de la robustesse du contrôleur du système est présentée, afin de déterminer les conditions de stabilité. Les résultats de simulation ont montré la robustesse de la loi de commande par rapport aux effets perturbateurs. Figure. 3 : Variation du coefficient solσ en fonction du rapport /Z D . Figure. 4 : Mouvement de l’hélicoptère dans l’espace 3D et 2D. Figure. 5 : Position et orientation de l’hélicoptère. Figure. 6 : Vitesse linéaire et angulaire de l’hélicoptère. Figure. 7 : Entrées de commande. e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8 Figure. 8 : Angles de battement longitudinal et latéral. Figure. 9 : Surfaces de glissement. REFERENCES [1] A. Chriette, T. Hamel, and R. Mahony, Visual servoing for a scale model autonomous helicopter, IEEE International Conference on robotic and automation. 2001. [2] M. Krstic, I. Kanellakopoulos, and P.V. Kokotovic, Nonlinear and adaptive control design, American Mathematical Society, Rhode Island, USA. 1995. [3] M. Krstic, I. Kanellakopoulos, P. Kokotovic, Nonlinear and adaptive control design, John Wiley & sons Ltd New York. 1995. [4] P. V. Kokotovic, I. Kanellakopoulos, A. S. Morse, Adaptive feedback linearization of nonlinear systems, pp. 311-346. 1991. [5] R. Mahony. and T. Hamel, Robust Trajectory Tracking for a Scale Model Autonomous Helicopter, International Journal of Non-linear and Robust Control. 2004. [6] R.W. Prouty, Helicopter Performence, Stability and Control, Krieger Publishing Company, reprint with addition, original edition (1986), USA. 1995. [7] A. Chriette, Contribution à la commande et à la modélisation des hélicoptères : Asservissement visuel et commande adaptative, Phd. thesis, Thèse de l'Université d'Evry Val d'Essonne, CEMIF-SC FRE 2494, Université d'Evry, France. 2001. [8] R. Mahony and T. Hamel, Adaptive compensation of aerodynamic effects during take off and landing manœuvres for a scale model autonomous helicopter, European Journal of Control (EJC), Vol 7, No 1, pp 43- 58. 2001. [9] R. Mahony and T. Hamel, Non-inertial trajectory tracking for unmanned aerial vehicles, The 39th Conference on Decision and Control. 2000. [10] A.Dzul, T. Hamel, R. Lozano, Helicopter’s nonlinear control via backstepping thechniques, Proceedings of the European Conrol Conference, 2000. [11] M. Dahlen E. Frazzoli and E. Feron, Trajectory tracking control design for autonomous helicopters using a backstepping algorithm, in Proceedings of the American Control Conference ACC, Chicago, Illinois, USA, pp. 4102-4107. 2000. [12] H. Sira-Ramırez, On the sliding mode control of multivariable nonlinear systems, Int. J. Control, vol. 64, No. 4, 745-765. 1996. [13] H. Sira-Ramırez, On the sliding mode control of nonlinear systems, Systems & Control Letters 19, 303- 312, North- Holland. 1992. [14] Lu, X.Y. and S.K. Spurgeon, Output feedback stabilisation of mimo nonlinear systems via dynamic sliding mode, International Journal of Robust and Nonlinear Control 9, 275–306. 1999. [15] V. Utkin, Variable structure systems with sliding mode, IEEE Transactions on Automatic Control, 26, pp.212- 222. 1997. [16] K. D. Young, Variable Structure Control for Robotics and Aerospace Applications, Elsevier Science, New York. 1993. [17] M. Guisser, H. Medromi, H. El Ouardi, A. Kibbou, Robust flight control for a miniature autonomous helicopter, Intenatial Maghrebian Conference on Information Technologies (MCSEAI), December 7-9, Agadir, Morocco. 2006. [18] H. Ifassiouen, M. Guisser, and H. Medromi, Robust nonlinear control of a miniature autonomous helicopter using sliding mode control structure, International Journal of Applied Mathematics and Computer Sciences, Volume 4, Number 1, ISSN, 1305-5313. 2007. e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°1, pp 1-8