Performances comparées de méthodes de commandes par mode de glissement et par platitude d’un papillon motorisé

01/08/2016
Publication e-STA e-STA 2010-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2010-2:17186
DOI :

Résumé

Performances comparées de méthodes de commandes par mode de glissement et par platitude d’un papillon motorisé

Auteurs

Sur l’étude du processus d'écriture à la main. Approches classiques et non conventionnelles
Sur l’étude du processus d'écriture à la main. Approches classiques et non conventionnelles
Sur l’unicité de la réponse d’un réseau d’énergie électrique en régime de défauts
Optimisation multicritère par Pareto-optimalité de problèmes d’ordonnancement en tenant compte du coût de la production
Stabilités Comparées de Systèmes Non Linéaires et Linéarisés Basées sur une Description Redondante
Les réseaux de neurones. Application à la modélisation et à la commande des processus
Les réseaux de neurones. Classification
Les réseaux de neurones. Présentation
Stabilité et stabilisation de systèmes discrets à retard
Sur la commande par mode glissant d’un convertisseur multicellulaire série
Recherche automatique de l’architecture d’un réseau de neurones artificiels pour le credit scoring
Chiffrement Partiel des Images Basé sur la Synchronisation de Systèmes Hyperchaotiques en Temps Discret et la Transformée en Cosinus Discrète
Synthèse d’une Commande Stabilisante par Retour d’Etat de Systèmes Linéaires à Retard
Stratégies de Commande de Systèmes Manufacturiers à Contraintes de Temps Face aux Perturbations Temporelles
Etude de la Stabilité d’une Classe de Systèmes de Commande Floue de type Mamdani
Nouvelles conditions suffisantes de stabilisabilité de processus échantillonnés non linéaires
Modélisation multi-physiques d’un actionneur linéaire incrémental pour la motorisation d’une pousse-seringue
Performances comparées de méthodes de commandes par mode de glissement et par platitude d’un papillon motorisé
Etude des Incertitudes dans les Ateliers Manufacturiers à Contraintes de Temps
Modèles discrétisés du système d’écriture à la main par la transformation d’Euler et par RLS
Technique proposée pour le déchiffrage dans un système de transmission sécurisée
Stabilisation de systèmes à retard par un régulateur du premier ordre
Détermination d’attracteurs emboîtés pour les systèmes non linéaires
Modélisation par Réseaux de Petri d’une ligne de traitement de surfaces mono-robot/multi-produits
Domaine de stabilité indépendante du retard d'un système linéaire à commande retardée
Sur le credit scoring par les réseaux de neurones artificiels
Sur l'analyse et la synchronisation de systèmes chaotiques Chen
Comparaison entre les EP et les CF pour l’Optimisation des Systèmes Dynamiques Hybrides
Algorithmes génétiques sequentiels pour la résolution de problèmes d’ordonnancement en industries agroalimentaires
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	    <date dateType="Created">Mon 1 Aug 2016</date>
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Performances comparées de méthodes de commandes par mode de glissement et par platitude d’un papillon motorisé Imen AIDI, Mounir AYADI, Mohamed BENREJEB et Pierre BORNE UR LA.R.A Automatique, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie e-mail : aidi.imen@gmail.com, mounir.ayadi@enit.rnu.tn, mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn, pierre.borne@ec-lille.fr Résumé— Ce travail concerne la synthèse de lois de commande d’un papillon motorisé d’un moteur à combustion interne vérifiant la propriété de platitude,. Une première approche de commande par mode de glissement est appliquée pour le contrôle de la plaque d’un papillon motorisé. Un observateur en mode glissant est considéré pour estimer les variables d’état du système. Une deuxième approche de commande par platitude est aussi proposée et appliquée avec succès au système considéré. Les performances des deux lois de commande sont ensuite comparées en termes de poursuite de trajectoires. Mots Clés—Commande en mode glissant, observateur en mode glissant, commande par platitude, papillon motorisé. I. INTRODUCTION La synthèse d’une loi de commande pour un système non linéaire est un important problème rencontré en automatique. Dans ce cadre, plusieurs techniques de commande ont été élaborées dans la littérature et ont abouti à des résultats intéressant. Dans ces travaux, une classe particulière des systèmes non linéaires à savoir les systèmes plats, est considérée afin d’appliquer des commandes non linéaires pour le contrôle d’un papillon motorisé. La commande de l’angle du papillon motorisé constitue un problème compliqué à cause des fortes non linéarités du système : la saturation, l’hystérésis, la zone morte, les perturbations difficiles à mesurer et des incertitudes paramétriques du modèle. Afin de contrôler ce système en tenant compte les incertitudes du modèle et des perturbations, il est nécessaire d’utiliser une commande robuste permettant de surmonter ces problèmes. Dans cet article, deux lois de commande sont proposées et mises en œuvre. En premier lieu, une approche de commande par mode de glissement est élaborée avec le recours à un observateur à grand gain, nécessaire pour estimer les variables d’état intervenant dans la synthèse de cette loi de commande. En deuxième lieu, une approche de commande par platitude est proposée et développée. Enfin, les résultats de simulations de ces différentes approches de commande sont donnés et comparés. II. COMMANDE PAR MODE DE GLISSEMENT A. Principe Le principe de la commande par mode de glissement consiste à forcer le processus à avoir un type de comportement choisi. Pour parvenir à ce résultat, on introduit une surface de commutation qui permet de remplacer un système d’ordre n par un système d’ordre plus faible [1]. Soit le système non linéaire d’ordre n dont l’évolution est décrite par la relation suivante : ( ) ( ) dx f x b x u dt = + (1) où n x ∈ ℝ est le vecteur d’état, u est la commande et tel que les fonctions vectorielles ( )f x et ( )b x ne sont pas connues avec précision. Le principe de fonctionnement de la commande par mode de glissement consiste, d’abord, à attirer les états du système dans une région convenablement sélectionnée afin d’atteindre l’état désiré ( ),d x t puis à concevoir une loi de commande qui maintient toujours le système dans cette région. Les étapes pour développer la commande en mode glissant sont comme suit [2] : • détermination de la surface de commutation ( ) 0S x = ; • détermination de la commande à partir de la surface de commutation. e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°2, pp 1-8 B. Fonction de commutation La difficulté dans l’application de cette commande est le choix de la fonction de commutation ( )cS x de manière à ce que les conditions d’accès du régime glissant soient vérifiées : la trajectoire d’état doit atteindre la surface de commutation, ( ) 0,cS x = en un temps fini. ( ) ( ) 0 T c cS x S x <ɺ : condition A nécessaire pour assurer la stabilité du système non linéaire. En effet, en prenant comme fonction de Lyapunov ( ) ( )21 , 2 cV x S x= la condition de stabilité donne ( ) ( ) ( )0 0 T c cV x S x S x< ⇒ <ɺɺ . les conditions d’invariance de la surface de glissement sont données par : ( ) 0cS x = . ( ) ( ) 0 T c e S f x b x u x ∂ + =  ∂ où eu est la commande équivalente donnée par : ( ) ( ) ( ) 1T T c c e S S u x b x f x x x −  ∂ ∂ = −   ∂ ∂  (2) Remarque : La commande équivalente est définie si et seulement si ( ) 0 T cS b x x ∂ ≠ ∂ . D'après l'équation de la commande équivalente, il s'en suit que le mouvement sur cS est régi par l'équation ( ) ( )e e e ex f x b x u= +ɺ ou encore : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 T T c c e e e e e e c e S S x I b x b x f x x x S x −    ∂ ∂   = −   ∂ ∂      = ɺ (3) avec ex le vecteur d’état équivalent. C. Surface de glissement Afin de concevoir une commande par mode de glissement, il est nécessaire comme indiqué précédemment de définir une surface de glissement dans l’espace d’état, permettant de garantir la stabilité globale du système. La surface de glissement est donnée par [3]: ( ){ }/ 0n c cx S xσ = ∈ =ℝ (4) Dans le cas où la commande par mode de glissement est appliquée pour la résolution des problèmes de suivi d’une trajectoire variant au cours du temps, la surface de glissement peut être donnée par : ( ) ( ){ }/ , 0n c c gx S x r C x rσ = ∈ = − =ℝ (5) où n est l’ordre du système, gC est un vecteur qui doit garantir la stabilité globale du système et r la référence qui représente la trajectoire à suivre par les variables du système. La trajectoire de référence doit être convenablement choisie pour s’assurer du bon fonctionnement du système en boucle fermée. D. Détermination de la loi de commande D’après ce qui précède, la commande est obtenue en posant ( ) 0.cS x = L’implémentation directe d’une commande par mode de glissement conduit souvent à un signal de commande dont l’amplitude peut être très importante. Afin de garder cette amplitude dans un intervalle admissible [ ]max max, ,u u− on ajoute un dispositif de saturation [4]. La commande à appliquer au système, qui tient compte de la saturation, est donc définie comme suit : ( ) max max si sgn sinon sat u u u u u u  < =   (6) où maxu est la tension maximale à ne pas dépasser et ( )sgn . est la fonction signe. Dans la suite de notre étude, une loi de commande non linéaire est élaborée pour un système différentiellement plat. III. COMMANDE PAR PLATITUDE La notion de platitude, introduite en 1992 par M. Fliess, J. Lévine, P. Martin et P. Rouchon, représente un nouveau point de vue en théorie de commande des systèmes. Cette propriété, développée initialement dans le cadre des systèmes non linéaires de dimension finie, définit une classe de systèmes dits plats caractérisés par l’existence d’une variable dite sortie plate qui permet de paramétrer toutes les autres variables du système [5]. Soit le système non linéaire, d’état n x∈ ℝ et de commande m u ∈ ℝ , suivant : ( ),x f x u=ɺ (7) Ce système est dit plat s’il existe une variable m z ∈ ℝ de la forme [6] : ( ) ( ), , , , r z g x u u u= ɺ … (8) tel que l’état du système ainsi que son entrée puissent être exprimés sous la forme : ( ) ( ), , , i x z z zϕ= ɺ … (9) ( ) ( )1 , , , r u z z zχ + = ɺ … (10) e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°2, pp 1-8 La relation donnée par l’équation (8) s’appelle relation d’endogénéité tandis que la variable z s’appelle sortie plate du système ou encore variable endogène. Ainsi, la sortie réelle y du processus s’écrit en fonction de la sortie plate z sous la forme : ( ) ( ), , , r y z z zξ= ɺ … (11) A. Planification de trajectoire L’objectif de la planification de trajectoires est de déterminer une loi de commande en boucle ouverte qui amène un système donné d’un état initial ( )0 0,x u vers un état final connu ( ),f fx u [7]. La résolution de ce problème est facile dans le cas des systèmes plats et s’effectue sans intégration d’équations différentielles. L’équation des trajectoires des sorties plates et de leurs dérivées est calculée de façon à vérifier les conditions initiales et finales de la trajectoire du vecteur d’état .x L’équation du vecteur de commande permettant au système de passer de l’état initial 0x à l’état final fx est ensuite directement obtenue en écrivant : ( ) ( )1 ,..., d rd d u z zχ + = (12) où d z est la trajectoire désirée pour la sortie plate et qui doit être ( )1r + fois continûment dérivable. La génération d’une trajectoire réalisée conduit donc à la commande en boucle ouverte que l’on peut imposer au système pour obtenir le comportement prévu. Cependant, comme le modèle n’est jamais parfait, l’utilisation de la relation (12) ne permet pas d’exécuter parfaitement les trajectoires désirées sur les sorties. Une commande en boucle fermée est donc nécessaire afin de stabiliser le système autour de ces trajectoires. B. Commande en boucle fermée Pour les systèmes stables ou instables dont on veut accélérer la convergence, il faut ajouter à cette commande en boucle ouverte, un terme de correction pour assurer le suivi de la trajectoire. En boucle fermée, nous aurons donc [8], [9]: ( ) ( ), , , , r u z z z vχ= ɺ … (13) avec : ( ) ( )1 0 r d r i i i v z a e + = = + ∑ (14) Les coefficients ia sont choisis afin de faire tendre l’écart d e z z= − asymptotiquement vers 0. Dans la suite de cet article, les deux approches de commande étudiées précédemment, sont appliquées au modèle non linéaire plat du papillon motorisé pour suivre un profil de trajectoire imposé. IV. ELABORATION DE LOIS DE COMMANDE PERFORMANTES La commande du papillon motorisé doit être robuste afin de contrôler convenablement ce système complexe. Pour cela, la commande de ce système requière des abstractions mathématiques qui reflètent fidèlement le fonctionnement du système. Ces abstractions sont obtenues en passant par la phase de modélisation. La modélisation de cet organe est donc nécessaire pour conduire à l’élaboration de lois de commande robustes. A. Modélisation du papillon motorisé Le système considéré est composé d’un moteur à courant continu à excitation indépendante, entraînant à travers un réducteur de vitesse, une charge constituée principalement par la plaque du papillon dont la position angulaire θ est à asservir. La représentation schématique donnée dans la figure 1, fait apparaître les parties électrique et mécanique du modèle du papillon étudié [10]. Fig. 1. Modèle du papillon motorisé a.Partie électrique Le moteur à courant continu qui constitue la partie électrique du papillon, peut être modélisé par : d u Ri L i E dt = + + (15) md E k k dt θ ω= = (16) où u et i représentent respectivement la tension et le courant d’induit, k une constante, mθ la position angulaire de l’arbre du moteur, L, R et E respectivement une inductance, une résistance et une force contre-électromotrice. b.Partie mécanique Un réducteur de rapport de réduction redn , placé entre l’arbre du moteur et sa charge, est tel que : gm red L C n C θ θ = = (17) e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°2, pp 1-8 où LC est le couple de charge appliqué au moteur et gC le couple en sortie du réducteur, figure 1. La partie mobile du papillon est modélisée par une charge, de moment d'inertie total eqJ , sur laquelle s'exercent, outre le couple électromagnétique e eC k i= , ek étant une constante, les couples résistants suivants : fC le couple de frottement, rC le couple de rappel exercé par un ressort spiral et aC le couple généré par le flux d'air, considéré dans le cas de notre étude comme une perturbation externe. Il vient alors l’équation différentielle régissant le fonctionnement de la partie mécanique : e eq m f r a d C J C C C dt ω= + + + (18) avec : ( )sgnf v cC f fω ω= + (19) ( ) ( )0 0sgnr rC k Dθ θ θ θ= − + − (20) ( ) 0 0 1 si sgn 1 sinon θ θ θ θ ≥ − =  − (21) c. Modèle global du système En remplaçant dans l’équation (18) les expressions de fC et rC et en négligeant le couple généré par le flux d’air aC , on obtient : ( ) ( ) ( ) 0 0 sgn 1 e v c r red red J d k i f f k n dt D di L u Ri k dt d dt n ω ω ω θ θ θ θ ω θ ω  = − − − −   − −   = − −   =  (22) En notant : 12 21 22 23 32 33 1 1 r red v red red e red c red ed k n f n a a a n J J k n k R a a a J L L f n Dn K b J J L µ = = − = − = = − = − = = = (23) l’équation (22) devient : ( ) ( ) ( ) 21 0 22 23 0 32 33 12 sgn sgn d a a a i dt K di a bu a i dt d a dt ω θ θ ω θ θ µ ω ω θ ω  = − + +  − − −   = + +   = (24) Les variables d’état choisies pour représenter le système sont les suivantes : 1 2 1 12 3 2 12 x x x a x x a θ ω ω =  = =  = = ɺ ɺɺ (25) En dérivant l’équation (25), il vient : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 10 1 10 2 1 10 2 sgn sgn sgn sgnd x x x x x x x x x K x x x K x x x b u β β β β µ µ  =   =    ′′= + + − + − +   ′′ ′ ′ ′− − − + ɺ ɺ ɺ (26) avec : 1 12 21 33 2 22 33 12 21 23 32 3 22 33 10 0 12 33 12 33 12 23 33 12 a a a a a a a a a a a x K a a K a a b a a b K Ka a β β β θ µ µ µ µ = − = − + + = + = ′′ ′′= = ′ ′= = ′ = En considérant 1y x= , comme étant la sortie du système et ( )1 2 3 t x x x x= comme vecteur d’état, il vient l’équation d’état suivante : ( ) ( ) ( )1 0 0 x f x b x u y x  = +  = ɺ (27) avec : ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 , 0 0 t t f x x x f x b x b′ ′= = , où ( )v x peut être assimilée à une perturbation externe et : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 10 1 10 2 1 10 2 sgn sgn sgn sgnd f x x x x x K x x x K x x x b u β β β β µ µ ′ = + + − ′′ ′′− + ′ ′ ′− − − + (28) Dans cette représentation, une fonction signe ainsi que sa dérivée doivent être déterminées. De ce fait, il est nécessaire de faire une approximation continue de cette fonction pour éviter les problèmes pouvant apparaître au niveau de sa dérivée. La fonction signe peut être approximée à partir de fonctions usuelles. Parmi ces fonctions, il y a lieu de citer la fonction arc tangente. Cette fonction permet d’approximer la fonction signe comme suit : ( ) ( ) 2 sgn arctan snξ ξ π ≃ (29) La dérivée de cette fonction est définie par : ( )2 2 1 s s n n ξ π ξ+ ɺ (30) e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°2, pp 1-8 où sn est une constante positive. Plus sn est grand, meilleure est l’approximation de la fonction signe obtenue. B. Commande par mode de glissement du papillon motorisé Afin de concevoir une commande glissante, il faudrait définir une surface de glissement dans l’espace d’état, garantissant ainsi la stabilité globale du système. La surface de glissement est donnée par [11] : ( ) ( ){ }3 / , 0c c gx S x r C x rσ = ∈ = − =ℝ (31) où ( )1 2 1 t gC c c= est un vecteur qui doit garantir la stabilité globale du système. La discrétisation de la surface de glissement aux instants d’échantillonnage kT, T étant la période d’échantillonnage, est donnée par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 k T c c c kT k T k T c g g kT kT k T k T g g kT kT S k S k S dt S k C f x dt C rdt C hdt C v x dt + + + + + + = + = + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ɺ ɺ (32) Les intégrales définies dans l’équation (32) peuvent être approximées à l’ordre de ( )O T pour aboutir à l’équation récurrente suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 c c dS k S k k k k u k d k φ ρ γ + = + − + + − (33) avec : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 2 3 c r r r S k C x k r k c x k x k c x k x k x k x k = − = − + − + − ɺ ɺɺ (34) et : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 2 2 3 1 1 10 2 2 3 3 1 10 2 1 10 2 sgn sgn sgn sgn d d k Cf x k T c x k c x k x k x T x k x k K x k x T x k K x k x T x k T φ β β β µ µ = = + + − ′′+ + − ′′ ′+ − − ′− (35) En considérant [ ]1 0cS k + = la commande est alors donnée par [12] : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1c du k S k k k d kγ φ ρ− = − + − + − (36) La commande à appliquer au système en tenant compte de la saturation, est donc définie comme suit : ( ) ( )( ) max max si sgn sinonsat u u u u k u u k  < =   (37) Bien que cette commande présente des avantages importants comme la robustesse vis-à-vis de paramètres variables, il existe néanmoins des inconvénients lorsqu’il s’agit de la nécessité de connaître avec précision un certain nombre de dérivées de l’organe à commander, selon l’ordre du système. En pratique, certaines dérivées ne sont pas facilement mesurables en raison des contraintes techniques et économiques quand elles ne sont pas le plus souvent contaminées par le bruit ou encore pas du tout disponibles. C’est pourquoi, il est intéressant d’envisager la régulation de ces organes à partir de l’observation des dérivées non mesurables. Ainsi, le recours à un observateur s’avère indispensable et plus particulièrement l’utilisation d’un observateur continu en mode glissant. C. Observateur par mode de glissement Un observateur continu en mode glissant est adopté vu qu’il est donné par la linéarité de l’erreur dynamique d’observation et par son indépendance vis-à-vis de la commande et de l’état. Il permet d’estimer les variables 2ˆx et 3ˆx à partir de la valeur mesurée de la position 1x . L’observateur est défini en forme cascade basée sur les signaux suivants [13] : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 3 2 1 3 3 1 ˆ ˆ sgn ˆ ˆ sgn ˆ ˆ sgn obs obs obs x x l e x x l e x f x b u l e  = +   = +  ′= + + ɺ ɺ ɺ (38) avec : 1 1 1 ˆobs obs obse x x= − . ( ) 1 2 1 1 2 3 2 1 3 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ obs obs obs x x l me x x l me x f x b u l me  = +  = +  ′= + + ɺ ɺ ɺ (39) avec il m : gain de l’observateur et i i i k l m ε = , 1,2,3i = . Les coefficients 1k , 2k et 3k sont trois constantes positives, le paramètre ε est positif de valeur faible, c'est-à-dire 1ε < . La représentation d’état de cet observateur est alors définie comme suit : ( ) ( )( ) ( ) 1 2 2 1 1 3 2 0 1 0 ˆ ˆ0 0 1 0 0 0 0 ˆ ˆ0 1 1 0 0 x x k k x x f x b u k y x ε ε ε       = +               ′− + +             = ɺ (40) e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°2, pp 1-8 En posant : ( )1 2 3 ˆ T obs obs obs obse x x e e e= − = (41) la dynamique de l’erreur d’observation e s’écrit : ( ) 1 1 2 1 2 2 3 12 3 3 13 obs obs obs obs obs obs obs obs obs k e e e k e e e k e e f e ε ε ε  = −   = −   = − +  ɺ ɺ ɺ (42) En considérant le changement de base suivant appliqué au vecteur de l’erreur d’observation : 1 1 2 2 2 3 3 obs obs obs d e d e d e ε ε  =  =  = (43) et en notant ( )1 2 3 T d d d d= , il vient alors la représentation d’état de l’erreur de l’observateur : ( )( ) 1 2 2 3 1 0 0 1 0 0 obs k d k d f e k ε −    = − +   −  ɺ (44) Les coefficients 1k , 2k et 3k sont choisis de manière à ce que la matrice caractéristique A de l’erreur de l’observateur : 1 2 3 1 0 0 1 0 0 k A k k −    = −   −  (45) soit stable. Le polynôme caractéristique de la matrice A est défini par : ( ) ( ) 32 2 1 3 det kkkAIPA +++=−== λλλλλ (46) où I est la matrice identité d’ordre trois. L’observateur d’ordre trois, doit être à dynamique rapide. On choisit alors les coefficients 1k , 2k et 3k de manière que les racines de ce polynôme soient toutes à parties réelles négatives. Nous envisageons dans la suite de comparer cette commande à une autre approche de commande basée sur la propriété de platitude de systèmes non linéaires. D. Commande par platitude du papillon motorisé a. Planification de trajectoires Dans cette approche, les variables d’état choisies pour représenter le système sont les suivantes : 1 2 3 x x x θ θ θ =  =  = ɺ ɺɺ (47) En considérant la variable 1,y x= on peut exprimer toutes les variables du système ainsi que l’entrée en fonction de y et de ses dérivées. Il vient alors : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 2 3 0 0 sgn sgn sgn sgnd d y y y y y K y y y K y y y b u f y b u β β β µ µ ′′= − + + + − ′′ ′ ′ ′+ − − − + ′ ′= + ɺ ɺɺ ɺ ɺ (48) avec 0y position par défaut de la plaque du papillon motorisé et : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 3 0 0 sgn sgn sgn sgnd d f y y y y y K y y y K y y y β β β µ µ ′ ′′= − + + + − ′′ ′ ′+ − − − ɺ ɺɺ ɺ ɺ (49) La variable y est donc la sortie plate du système et la commande en boucle ouverte est déduite par : ( ) ( )3d d d y f y u b ′− = ′ (50) Jusqu'à présent la platitude permet de calculer les commandes correspondant aux trajectoires en boucle ouverte du système. Il faut ajouter à cette commande en boucle ouverte, un terme de correction en boucle fermée pour assurer le suivi de trajectoires. b. Commande en boucle fermée L’entrée du système en fonction de la sortie plate s’écrit : ( ) ( )3 y f y u b ′− = ′ (51) En posant la nouvelle entrée v : ( )v b u f y′ ′= + (52) on obtient le système linéaire suivant : ( )3 v y= (53) En boucle fermée, nous aurons donc : ( ) 2 0 id i i v v a e = = + ∑ (54) Les coefficients ia sont choisis afin de réduire l’écart d e y y= − . En remplaçant v et d v par leurs expressions dans l’équation (53), on obtient : ( ) ( ) 2 3 0 0 i i i e a e = + =∑ (55) A partir de l’expression de v de l’équation (53), on en déduit celle de la commande u : ( ) ( ) 2 3 0 d i i i y a e f y u b = ′+ − = ′ ∑ (56) En remplaçant d v par son expression, on retrouve l’expression de u en fonction de d u : e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°2, pp 1-8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 2 d i i d i d d d d d f y f y a e u u b f y f y a y y a y y a y y u b = ′ ′− + = + ′ ′ ′− + − + − + − = + ′ ∑ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (57) Finalement, en reportant l’expression (56) de la commande en boucle ouverte dans l’équation (57), on obtient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 2 d d d d y f y a y y a y y a y y u b ′− + − + − + − = ′ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ (58) Les résultats de simulations de ces différentes approches de commande appliquées au papillon motorisé, sont donnés dans le paragraphe suivant. V. RESULTATS DE SIMULATIONS L’application de la loi de commande pour le modèle non linéaire du papillon motorisé, est effectuée sous un environnement de simulation bien approprié, pour : une période d’échantillonnage 0.002sT = , une position par défaut de la plaque 0 13y ° = . Les paramètres du modèle du papillon motorisé sont donnés dans le tableau 1. Tableau 1 Paramètres du modèle considéré du papillon motorisé ( )R ( )HL ( )v rad svK ( )N.M AtK eqB ( )2 KgmeqJ redn 2.8 0.0011 0.0183 0.0183 0 6 4 10− × 16.95 Les simulations représentent les résultats de l’application des lois de commande élaborées en vue du suivi d’une trajectoire sinusoïdale. A. Cas de la commande par mode de glissement La figure 1 montre l’allure de la position angulaire lors de la poursuite d’une trajectoire de référence sinusoïdale. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 8 9 10 11 12 13 14 15 16 temps (s) positionangulaireetréférence position angulaire (degré) référence (degré) Fig. 1. Evolution de la position angulaire, cas de la commande par mode de glissement Comme on le voit dans la figure 1, nous obtenons une bonne poursuite de trajectoire et une bonne adaptation du phénomène transitoire malgré la forte non linéarité du papillon motorisé. Le résultat de simulation de l’erreur de poursuite entre le signal de la position angulaire et celui de la référence, est présenté dans la figure 2. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps (s) erreur Fig. 2. Allure du signal d’erreur entre la consigne et la position, cas de la commande par mode de glissement 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -30 -20 -10 0 10 20 30 temps (s) signaldecommande(V) Fig. 3. Allure du signal de commande, cas de la commande par mode de glissement L’erreur est relativement importante au début, due à la condition initiale de la position angulaire 0 13y = , puis tend vers 0. Il est donc clair que la commande en mode glissant du papillon motorisé en utilisant un observateur à grand gain, a réduit de manière efficace et significative l’effet de la non linéarité présenté dans ce système. B. Commande par platitude Dans les figures 4 et 5, sont présentés les résultats de l’application de la commande par platitude en boucle ouverte. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 8 9 10 11 12 13 14 15 16 temps (s) positionangulaireetréférence référence (degré) position angulaire (degré) Fig. 4. Evolution de la position angulaire, cas de la commande en boucle ouverte par platitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps (s) erreur Fig. 5. Allure du signal d’erreur entre la consigne et la position, cas de la commande en boucle ouverte par platitude e-STA copyright 2010 by see Volume 7, N°2, pp 1-8 Le résultat de la commande en boucle ouverte présente une allure acceptable avec des oscillations de faibles amplitudes. Les figures 6 et 7 montrent les résultats de l’application de la commande par platitude en boucle fermée pour la poursuite d’un signal sinusoïdal. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 8 9 10 11 12 13 14 15 16 temps (s) positionangulaireetréférence référence (degré) position angulaire (degré) Fig. 6. Evolution de la position angulaire, cas de la commande en boucle fermée par platitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps (s) erreur Fig. 7. Allure du signal d’erreur entre la consigne et la position, cas de la commande en boucle fermée par platitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -30 -20 -10 0 10 20 30 temps (s) signaldecommande(V) Fig. 8. Allure du signal de commande, cas de la commande en boucle fermée par platitude Les résultats de simulation montrent que l’application de la loi de commande en boucle fermée donne un résultat satisfaisant. En effet, l’allure de la courbe de la position angulaire est très proche de celle de la consigne appliquée. On constate qu’il y à diminution de l’erreur de poursuite par rapport à la boucle ouverte. Le comportement en boucle fermée du papillon motorisé a été ainsi étudié dans le cas d’une commande par mode de glissement et d’une commande par platitude. Les résultats obtenus pour les deux commandes sont clairement satisfaisants permettant d’assurer un bon suivi de consignes. Néanmoins, le signal de commande par platitude présente moins d’oscillations au moment des commutations par rapports au signal de commande par mode de glissement. Les deux lois de commande considérées ont ainsi confirmé leur efficacité en présence de fortes non linéarités du système. V. CONCLUSION Dans cet article, deux approches de commande ont été développées sur un système plat à forte non linéarité. En premier lieu, la synthèse d’une loi de commande par mode de glissement a été mise en œuvre et en second lieu, une approche par platitude a été proposée et appliquée. Le cas d’étude d’un papillon motorisé a été considéré pour le contrôle de la position angulaire de la plaque, permettant de réguler l’admission de l’air dans un moteur à combustion interne. Les résultats obtenus ont montré l’efficacité de ces deux lois de commande élaborées pour compenser les fortes non linéarités existant dans le système, ainsi que de la robustesse de l’observateur utilisé. Ce travail a conduit ainsi à des résultats intéressants sur le plan de l’élaboration de lois de commande performantes pour le contrôle d’un système non linéaire différenciellement plat. REFERENCES [1] D. Arzelier et D. Peaucelle, Notes de cours, LAAS de Toulouse, Toulouse. [2] H. Bühler, Réglage par mode de glissement, Presses polytechniques romandes, 1986. [3] A. Kechich1, B. Mazari and I. K. Bousserhane, Application of nonlinear sliding-mode control to permanent magnet synchronous machine, Journal Européen des Systèmes Automatisés, vol. 37, pp. 955-973, 2003. [4] J.F. 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