Initiation au réglage d’un système asservi par la méthode ''des plans d’expériences''

15/01/2016
Auteurs : Bernard BAUDIER
Publication 3EI 3EI 2016-83
OAI : oai:www.see.asso.fr:1044:2016-83:14882
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Initiation  au  réglage  d’un  système  asservi  par  la  méthode ''des plans d’expériences''

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Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 53 Initiation au réglage d’un système asservi par la méthode ''des plans d’expériences'' Bernard BAUDIER enseignant en STS Electrotechnique au lycée J.DUHAMEL de DOLE (JURA) bernard.baudier@ac-besancon.fr Introduction Tous les techniciens dépanneurs intervenant sur les systèmes réels, connaissent les très grandes difficultés que l’on peut rencontrer lorsque l’on veut régler au mieux un système asservi. De fait, même si le technicien est aussi automaticien, et possède donc des connaissances concernant les méthodes classiques de réglages (par exemple, et pour mémoire, nous pouvons citer : méthode dite ‘’du régleur’’, étude du comportement fréquentiel en Boucle Ouverte…), les résultats obtenus ne sont pas forcément satisfaisants parce que ces méthodes ne sont pas toujours évidentes à appliquer sur un système réel. Il est d’ailleurs très difficile de savoir si les réglages obtenus par une des méthodes plus classiques que celle que l’on va aborder ici, sont bien les meilleurs (ou les moins mauvais !) que l’on puisse obtenir ! Bien que la raison d’être ou, l’essence même, de cette méthode réside dans le fait que toutes les études doivent se faire sur le système réel, pour un ‘’premier apprentissage’’, nous allons travailler sur un système simulé que nous connaissons déjà plutôt bien, puisque c'est celui que nous avons établi à partir de mesures réellement réalisées et qui nous permis de mieux appréhender les notions de modèles statiques et dynamiques d’une machine à courant continu.: Détermination de la Fonction de Transfert isomorphe de Machines à courant continu en BTS Electrotechnique) Cette méthode ne figure pas actuellement dans les programmes du BTS Electrotechnique, on peut le regretter, car je pense sincèrement que son fondement n'est pas plus compliqué à assimiler que celui des autres méthodes plus traditionnelles évoquées plus haut; elle est performante, et elle pourrait susciter une belle ''transversalité'' entre matières telles que génie électrique, sciences physiques et mathématiques! Ce très modeste article d’initiation n'a pas d'autre prétention que celle de montrer que les fondements de cette méthode sont tout à fait abordables pour un étudiant de BTS, et il n’existerait certainement pas si, je n’avais pu lire au préalable, la série d’articles de Mr Jean Philippini, parus dans la revue, numéros 32, 33 et 34 …puis 37 et 38 qu’il en soit vivement remercié ! Prérequis : notions de base sur les asservissements, et formalisme de Laplace (principalement usage de fonctions de transfert isomorphes) Essais de plans d’expériences avec Schématic's Situation de départ : Identification du processus : ensemble constitué d'un moteur Maxon type 2326 G associé à une génératrice tachymétrique Maxon type 2822 Maxon type 2326 G - Winding number : 945 1 Assigned power rating : 6.0 W 2 Nominal voltage : 18.0 V 3 No load speed : 8010 rpm 4 Stall torque : 38.0 mNm 5 Speed / torque gradient : 215 rpm / mNm 6 No load current : 33 mA 7 Starting current : 1810 mA 8 Terminal resistance : 9.96 Ω 9 Max. permissible speed : 11000 rpm 10 Max. continuous current : 609 mA 11 Max. continuous torque : 12.8 mNm 12 Max. power output at nominal voltage : 7780 mW 13 Max. efficiency : 75 % 14 Torque constant : 21.0 mNm / A 15 Speed constant : 455 rpm / V 16 Mechanical time constant : 18 ms 17 Rotor inertia : 7.87 gcm2 18 Terminal inductance : 1.03 mH 19 Thermal resistance housing-ambient : 17 °K/W 20 Thermal resistance rotor-housing : 2.4 °K / W 21 Thermal time constant winding : 5 s Résumé : cet article présente une application de réglage d’un système asservi par plans d’expériences, réalisé dans une classe de STS. Le système support de ce travail étant un asservissement de vitesse sur une MCC Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 54 Maxon type 2822 : génératrice à faible inertie pour les boucles d'asservissements et adaptée aux applications à basse vitesse 1 Tension de sortie : 0,52 V/1000tr/mn 2 Resistance du rotor : 57 Ω 3 Taux d'ondulation : 6% 4 Linéarité +/- : 0,7% 5 Courant maximum conseillé : 10 mA 6 Impédance nominale de charge : 10 KΩ 7 Tolérance sur tension de sortie : +/- 15 % 8 Coefficient de température : 0,4 %/°C 9 Commutation : Métal 10 Aimant : AlNiCo 11 Nombre de lames au collecteur :7 12 Température minimum d'utilisation : -20°C 13 Température maximum d'utilisation : 65°C 14 Inertie : 3 gcm2 Utilisation ‘’en statique’’ du modèle de l'ensemble Maxon (étude en ‘’DC’’’ pour Schématic's) Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 55 Utilisation ‘’en dynamique’’ du modèle de l'ensemble Maxon : Réponses indicielles (comportement dynamique, étude en ‘’Transient’’ pour Schématic's) Etude d'un asservissement de vitesse intégrant le modèle de l'ensemble Maxon : Nous nous proposons d'utiliser un correcteur PID simplifié, afin d'essayer d’améliorer vitesse et précision tout en limitant le dépassement! Rappel : pour ce logiciel la variable de Laplace se note (s) au lieu de (p) ! Description du système étudié : Il pourrait alors être demandé ici de : - refaire un schéma montrant les différents étages présents ici ; - désigner les différents ‘’blocs’’ ou étages intervenant ici (nom fonctionnel et fonction de transfert isomorphe); - préciser, en justifiant, le type et la nature de l’étage situé juste en amont du processus (réflexion à mener à partir de la fonction de transfert isomorphe) Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 56 Résultats obtenus (exemples) avec un choix aléatoire de valeurs des paramètres: Kp ; a ; Ti (‘’lire’’ taui). Commenter: quel genre de questions est-on en droit de se poser au vu de ces résultats? Commentaires : précision et rapidité plutôt non maîtrisables !! donc, il serait souhaitable de pouvoir faire varier les paramètres de façon moins aléatoire! Remarque: la réponse à cette question justifie la suite! Les valeurs choisies précédemment ne donnent pas de résultats satisfaisants, nous allons maintenant tenter d'utiliser la méthode dite ''des plans d'expériences'' Préparation du ''plan d'expériences'' Facteurs internes : Les 3 facteurs internes intervenant ici sont : Kp ; a ; Ti. Remarque : on aurait pu choisir aussi un montage avec Kp ; taud ; taui Les plages de variation respectives de ces 3 facteurs internes sont : -pour Kp, variations maximales de 1 à 100 ; -pour a, variations maximales de 1 à 50 (souvent voisin de 10 en pratique habituelle, les montages réels (proches de celui étudié ici) étant souvent un peu D car jamais I purs) ; - pour Ti variations de 10ms à 40ms (même ordre de grandeur que la constante de temps principale du moteur, ici 20ms pour l'ensemble MAXON Moteur- Génératrice tachymétrique). Remarques pratiques ; en ce qui concerne l'amplitude des variations: elles doivent être faibles lors d'un 1er plan réalisé sur un système réel car, ne connaissant pas le système, il vaut mieux être prudent. Le régleur est appelé à intervenir sur un équipement dont il ne connaît à priori pas les réactions!......il doit en priorité éviter de le détruire ! A la suite du premier plan, il connaîtra mieux le comportement de l'équipement et il pourra augmenter les amplitudes si cela est nécessaire et ceci en toute sécurité. Facteurs externes : Avant ‘’apparition’’ de l’échelon de couple perturbant, (par exemple passage de 5mNm à 17mNm, choix issus des observations précédentes ''en statique'') la charge est fixe et correspond donc ici à 5mNm qui n'est autre que la valeur correspondant au rendement maximal. De ce fait on peut considérer, pour une toute première approche (initiation oblige !), que les facteurs externes sont fixes ! Cahier des charges : On désire obtenir, si possible avec ce montage, une réponse indicielle présentant une erreur (ou écart) inférieure à 5%, un temps de réponse inférieur à 10ms, et un dépassement inférieur à 2% ; en réponse à un échelon de consigne de 670 rd/s, soit environ 6400trs/min.(valeur à rendement maxi déterminée grâce à l'étude précédente ''en DC'') Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 57 Campagne d’essais : Choix de la table d’essais : Etant donné que, d’une part on peut considérer que le système fonctionne déjà, et que, d’autre part, nous avons ici 3 facteurs internes intervenant : Kp ; a ; Ti ; si (de plus, pour des raisons de simplification) nous décidons de prendre seulement 2 niveaux par facteur ; nous pouvons nous contenter de réaliser, selon TAGUCHI, le plus petit plan qu’il est possible d’effectuer avec trois facteurs, soit : une table statistique d’essais notée L4(23) correspondant à 4 essais, bien ciblés, qui sont à réaliser absolument. Choix des valeurs des niveaux : Afin d’obtenir des modifications dans les observations des réponses, nous allons donc effectuer 4 ‘’faux’’ essais choisis judicieusement, réalisés en partant avec des valeurs assez faibles attribuées à chaque facteur et en les faisant varier plutôt modérément. L’essai est validé si au moins une variation du comportement, par rapport au cahier des charges, est significative, car observable. n Kp a Ti Essai 1-3 Kp1 =5 a =5 Ti1 =5ms Essai 2-3 Kp1 =5 a =10 Ti2=20ms Essai 3-3 Kp2 =15 a =5 Ti2=20ms Essai 4-3 Kp2 =15 a =10 Ti1 =5ms Faire ressortir la ‘’disposition croisée’’ des essais, préconisée par la méthode ;..... compléter : Kp : niveau 1 avec essais 1 et 2 et niveau 2 avec essais 3 et 4 a : niveau 1 avec essais 1 et 3. et niveau 2 avec essais 2 et 4 Ti : niveau 1 avec essais 1 et 4 et niveau 2 avec essais 2 et 3 ! Résultats’’ des essais : Obtenir les courbes ‘’résultats d’essais’’, et les exploiter afin de dresser le tableau des résultats : Exemple de réponse obtenue : Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 58 Le tableau des résultats : n depass trep erreur Essai 1-3 13% 37,6ms 12% Essai 2-3 0% 58,5ms 12,7% Essai 3-3 1% 12ms 4% Essai 4-3 19% 31ms 4% Le traitement des résultats : L’idéal serait, bien entendu, d’utiliser un logiciel spécialisé qui serait apte à donner directement un tableau des moyennes, et des influences, ainsi que le graphe de ces mêmes influences ! Mais comme dans cet article nous n’avons pas de prétention autre que celle d’une simple initiation ‘’de base’’, nous allons plutôt utiliser un tableur : feuille de calcul Excel campagne 615-3 Exemple PID reel Mcc plan L4 n° essai fact1-Kp valeurs fact1 fact2-a valeurs fact2 fact3- Ti valeurs fact3 essai 1 niv1 5 niv1 5 niv1 5 essai 2 niv1 5 niv2 10 niv2 20 essai 3 niv2 15 niv1 5 niv2 20 essai 4 niv2 15 niv2 10 niv1 5 delta fact1 10 delta fact2 5 delta fact3 15 Exploitation resul.plan L4 n° essai perfA dépassem.% perfB tps rep ms perfC erreur% essai 1 valA1: 13 valB1: 37,6 valC1: 12 essai 2 valA2: 0 valB2: 58,5 valC2: 12,7 essai 3 valA3: 1 valB3: 12 valC3: 4 essai 4 valA4: 19 valB4: 31 valC4: 4 Influence sur perfA fact1-Kp fact2-a fact3-Ti dépassem.% niveau1 6,5 7 16 niveau2 10 9,5 0,5 Delta: 3,5 2,5 -15,5 Influence sur perfB fact1-Kp fact2-a fact3-Ti tps rep ms niveau1 48,05 24,8 34,3 niveau2 21,5 44,75 35,25 Delta: -26,55 19,95 0,95 Influence sur perfC fact1-Kp fact2-a fact3-Ti erreur% niveau1 12,35 8 8 niveau2 4 8,35 8,35 Delta: -8,35 0,35 0,35 Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 59 Delta relatif perfA fact1-Kp fact2-a fact3-Ti dépassem.% fact1-Kp 0,35 fact2-a 0,50 fact3-Ti -1,03 Delta relatif perfB fact1-Kp fact2-a fact3-Ti tps rep ms fact1-Kp -2,66 fact2-a 3,99 fact3-Ti 0,06 Delta relatif perfC fact1-Kp fact2-a fact3-Ti erreur% fact1-Kp -0,84 fact2-a 0,07 fact3-Ti 0,02 Exemples : pour Kp on a : (Delta-perfA)/(Delta-fact1) = +3.5/10 = +0.35 et (Delta-perfB)/(Delta-fact1) = -26.55/10 = -2.66 puis ainsi de suite !! rappel important: Delta prend bien en compte le signe (val.niv2-val.niv1) = +/- % Première tentative de modélisation : L’observation de la dernière ligne du tableau nous donne une tendance, mais celle-ci doit être relativisée puisque le choix des variations de départ n’est pas le même pour les trois facteurs internes ! Il sera donc plus juste (ou moins faux !) de travailler plutôt avec ce que l’on peut appeler : ‘’l’influence relative’’ de chaque facteur. ‘’L’influence relative’’ de chaque facteur peut être définie par la pente des segments des graphes d’influence. Mais attention cependant, les résultats obtenus sont à utiliser avec grande prudence. En effet, la théorie de TAGUCHI, prévoit que dans le cas simple qui nous intéresse ici, nos 4 essais devraient suffire pour affirmer des ‘’choses’’ ; en fait il faut plutôt prendre cela comme un pari sur l’avenir ou une sorte de prédiction à moindre ‘’coût’’, car ce sont des considérations de statistique qui nous conduisent à une rigueur, en apparence moindre, que celle réclamée par les mathématiques plus traditionnelles ! Ainsi un organigramme très simple peut nous montrer que normalement, pour tester toutes les possibilités ou combinaisons possibles, il faudrait commencer par effectuer 8 essais ! D’après les résultats du tableau ci-dessus, on peut tenter une sorte de linéarisation(!), Rappel : il faut bien garder à l’esprit que cette toute première modélisation n’est qu’un pari et que, par conséquent, l’essai confirmera ou non les hypothèses ainsi avancées ! Essai de validation : Le meilleur des 4 essais réalisés est, ici, le n° 3 . Nous allons donc partir de ses propres valeurs de réglage Kp3=15 ; a3= 5 ; Ti3= 20 ms et en tenant compte des résultats précédents, nous allons tenter de l’améliorer encore. La performance A est ici convenable donc nous la maintenons en demandant 0 ; La performance B n’est pas convenable donc nous demandons -6 ; La performance C est ici convenable donc nous la maintenons en demandant 0 . Utilisation de ‘’résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues’’( Remarque: on peut aussi utiliser une calculatrice avec calcul matriciel) Ainsi, après résolution du système suivant de trois équations à trois inconnues : +0,35 X + 0,50 Y -1,03 Z = 0 -2,66 X + 3,99 Y +0,06 Z =-6 -0,84 X + 0,07 Y +0,02 Z = 0 Les solutions obtenues sont : x= ∆Kp=- 0.15 ; y== ∆a= - 1,59 ; z= ∆Ti =- 0,83 D’où le choix suivant des valeurs de réglages pour l’essai de validation : Kp=15 + 0 = 15 ; a = 5 – 1,5 = 3,5 ; Ti = 20 – 1 = 19 ms …. Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 60 Tracés obtenus avec ces réglages: Mission accomplie !!! Et si l'on voulait passer à l'étape suivante, pour une initiation encore plus aboutie, cela pourrait être : Effets d’une perturbation, et... d'après les très judicieuses remarques de Mr Philipini : ''Puisque la perturbation possible est ici une variation du couple, le plan qui s'impose est le suivant : -Le réglage obtenu précédemment doit servir de réglage pivot pour la nouvelle campagne d'essais avec facteurs externes. -Les valeurs A1, A2, B1, B2, C1, C2 sont prises de chaque côté des pivots. Il faut donc effectuer 8 essais notés R11…à R42, sachant que, par exemple, R32 est obtenu avec A2, B1, C2, et P2 -On calcule les moyennes de chaque combinaison des facteurs internes Ex : M3= (R31+R32)/2 -Et enfin, pour matérialiser la dispersion des réponses par rapport à la moyenne, on calcule l'écart type pour chaque réglage. '' Exemple: ((R11-M1)^2+(R12-M1)^2)/2*M1 Courbes obtenues (un exemple!) : Initiation au réglage d’un système asservi par plans d’expériences La Revue 3EI n°83 Janvier 2016 Hors Thème 61 Tableaux à remplir :(exemple de choix ici : dépassement en %) Exemple pour la performance A : Perturbation Perturbation P1 :ex :5mN.m P2:ex :17mN.m Essai N° Kp a Ti Réponses Réponses Moyennes Ecarts Types E1 Kp1=13 a=3 Ti=17ms R11= R12= M1=(R11+R12)/2 ((R11-M1)^2+(R12-M1)^2)/2*M1 E2 Kp1=13 a=4 Ti=21ms R21= R22= M2=(R21+R22)/2 ((R21-M2)^2+(R22-M2)^2)/2*M2 E3 Kp2=17 a=3 Ti=21ms R31= R32= M3=(R31+R32)/2 ((R31-M3)^2+(R32-M3)^2)/2*M3 E4 Kp2=17 a=4 Ti=17ms R41= R42= M4=(R41+R42)/2 ((R41-M4)^2+(R42-M4)^2)/2*M4 L'analyse est alors ''normale'' sachant qu'elle doit porter d'une part sur la moyenne (qui doit être proche du but recherché) et d'autre part sur l'écart type (qui doit être faible) ! Conclusion : Cette technique, ainsi abordée , devrait permettre à nos étudiants de bien faire le lien entre les mathématiques (avec des notions relativement simples à utiliser) et la réalité d'un système existant, tout en mettant en évidence le fait qu'un modèle théorique peut apporter une grande aide pour trouver plus rapidement de bons réglages sur un asservissement bien réel !