Quantization of hyperspectral image manifold using probabilistic distances

28/10/2015
Publication GSI2015
OAI : oai:www.see.asso.fr:11784:14306

Résumé

A technique of spatial-spectral quantization of hyperspectral images is introduced. Thus a quantized hyperspectral image is just summarized by K spectra which represent the spatial and spectral structures of the image. The proposed technique is based on α-connected components on a region adjacency graph. The main ingredient is a dissimilarity metric. In order to choose the metric that best fit the hyperspectral data manifold, a comparison of different probabilistic dissimilarity measures is achieved.

Quantization of hyperspectral image manifold using probabilistic distances

Collection

application/pdf Quantization of hyperspectral image manifold using probabilistic distances Gianni Franchi, Jesús Angulo

Média

Voir la vidéo

Métriques

123
8
776.56 Ko
 application/pdf
bitcache://8d63cb09a7f441d5aeb8ab4d26e38e3a2301f6fc

Licence

Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International

Sponsors

Organisateurs

logo_see.gif
logocampusparissaclay.png

Sponsors

entropy1-01.png
springer-logo.png
lncs_logo.png
Séminaire Léon Brillouin Logo
logothales.jpg
smai.png
logo_cnrs_2.jpg
gdr-isis.png
logo_gdr-mia.png
logo_x.jpeg
logo-lix.png
logorioniledefrance.jpg
isc-pif_logo.png
logo_telecom_paristech.png
csdcunitwinlogo.jpg
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/11784/14306</identifier><creators><creator><creatorName>Jesús Angulo</creatorName></creator><creator><creatorName>Gianni Franchi</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Quantization of hyperspectral image manifold using probabilistic distances</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2015</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><subjects><subject>Information geometry</subject><subject>Quantization</subject><subject>Hyperspectral images</subject><subject>Probabilistic distances</subject><subject>Mathematical morphology</subject></subjects><dates>
	    <date dateType="Created">Sun 8 Nov 2015</date>
	    <date dateType="Updated">Wed 31 Aug 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Fri 13 Jul 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">8d63cb09a7f441d5aeb8ab4d26e38e3a2301f6fc</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>24697</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract">
A technique of spatial-spectral quantization of hyperspectral images is introduced. Thus a quantized hyperspectral image is just summarized by K spectra which represent the spatial and spectral structures of the image. The proposed technique is based on α-connected components on a region adjacency graph. The main ingredient is a dissimilarity metric. In order to choose the metric that best fit the hyperspectral data manifold, a comparison of different probabilistic dissimilarity measures is achieved.

</description>
        </descriptions>
    </resource>
.

ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÒÒ Ê Æ ÀÁ¸ Â × × Æ ÍÄÇ ÅŹ ÒØÖ ÅÓÖÔ ÓÐÓ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ¸ ÅÁÆ Ë È Ö ×Ì
¸ ÈËÄ¹Ê × Ö
ÍÒ Ú Ö× ØÝ ËÁ ¾¼½ ¾Ò
ÓÒ Ö Ò
ÓÒ ÓÑ ØÖ
Ë
Ò
Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ç
ØÓ Ö ¾¼½ ½ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÈÐ Ò ½ ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ËØ Ø Ó Ø ÖØ ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ø ×Ø Ò
× ÅÓ Ð Ó Ø Ø Ó Ð ¾ Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× ¿ ÉÙ ÒØ
Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× Ê ×ÙÐØ× ¾ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ
ÓÒ× ×Ø× Ó × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×
ÕÙ × Ø ÓÒ Ó ×Ô
ØÖÙÑ Ó Ö
Ø Ð Ø Ø
Ô Ü Ð Ó Ø Ñ º ÙÖ Ì Ò Ó Ò ÙÐØÖ » ÝÔ Ö¹×Ô
ØÖ Ð Ñ Ý × Ø ÐÐ Ø ½ ½Å ÒÓР׸ º¸ Å Ö Ò¸ º¸ ² Ë Û¸ º º ´¾¼¼¿µº ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ ÔÖÓ
×× Ò ÓÖ ÙØÓÑ Ø
Ø Ö Ø Ø
Ø ÓÒ ÔÔÐ
Ø ÓÒ׺ Ä Ò
ÓÐÒ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÂÓÙÖÒ Ð¸ ½ ´½µ¸ ¹½½ º ¿ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × Ì Ö Ö ØÛÓ Û Ý× ØÓ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ÙÖ Ê ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ ¾ × Ú ÒØ Ø × ØÝÔ Ó Ñ
ÓÒØ Ò× Ö ÙÒ ÒØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ
ÓÖÖ Ð Ø Ú Ö Ð × À Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ÙÒ Ö Ó
ÒÒ Ð× » ÙÐØÖ ×Ô
ØÖ Ð Ô
ØÙÖ Ø ÓÙ× Ò Ó
ÒÒ Ð× ¾Å ÒÓР׸ º¸ Å Ö Ò¸ º¸ ² Ë Û¸ º º ´¾¼¼¿µº ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ ÔÖÓ
×× Ò ÓÖ ÙØÓÑ Ø
Ø Ö Ø Ø
Ø ÓÒ ÔÔÐ
Ø ÓÒ׺ Ä Ò
ÓÐÒ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÂÓÙÖÒ Ð¸ ½ ´½µ¸ ¹½½ º »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ËØ Ø Ó Ø ÖØ ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ø ×Ø Ò
× ËØ Ø Ó Ø ÖØ ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ø ×Ø Ò
× Ò ¸ º Áº ´¾¼¼¿µº ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ò Ø
Ò ÕÙ × ÓÖ ×Ô
ØÖ Ð Ø
Ø ÓÒ Ò
Ð ××
Ø ÓÒ ´ÎÓк ½µº ËÔÖ Ò Ö Ë
Ò
² Ù× Ò ×× Å º È
Ð ¸ Ⱥ¸ ² Ù Ò¸ ʺ Ⱥ ´¾¼¼¿µº ×× Ñ Ð Ö Øݹ ×
Ð ××
Ø ÓÒ Ó ×Ô
ØÖ
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ××٠׺ Ê Ð¹Ì Ñ ÁÑ Ò ¸ ´ µ¸ ¾¿ ¹¾ º Å ¸ ĺ¸ Ö Û ÓÖ ¸ ź ź¸ ² Ì Ò¸ º ´¾¼½¼µº ÄÓ
Ð Ñ Ò ÓÐ Ð ÖÒ Ò ¹ × ¹Ò Ö ×Ø¹Ò ÓÖ ÓÖ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ
Ð ××
Ø ÓÒº Ó×
Ò
Ò Ê ÑÓØ Ë Ò× Ò ¸ Á ÌÖ Ò×
Ø ÓÒ× ÓÒ¸ ´½½µ¸ ¼ ¹ ½¼ º Ö Û ÓÖ ¸ ź ź¸ Å ¸ ĺ¸ ² à Ѹ Ϻ ´¾¼½½µº ÜÔÐÓÖ Ò ÒÓÒÐ Ò Ö Ñ Ò ÓÐ Ð ÖÒ Ò ÓÖ
Ð ××
Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ø º ÁÒ ÇÔØ
Ð Ê ÑÓØ Ë Ò× Ò ´ÔÔº ¾¼ ¹¾¿ µº ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò À Ð Ö º Ù Ù Ò¸ ĺ¸ Î Ð ×
Ó¹ ÓÖ ÖÓ¸ ˺¸ ² ËÓ ÐÐ ¸ Ⱥ ´¾¼½ µº ÄÓ
Ð ÑÙØÙ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ ×× Ñ Ð Ö Øݹ × Ñ × Ñ ÒØ Ø ÓÒº ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø
Ð Ñ Ò Ò Ú × ÓÒ¸ ´¿µ¸ ¾ ¹ º »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÅÓ Ð Ó Ø Ø ÅÓ Ð Ó Ø Ø Ä Ø Ù× ÒÓØ Ý Ò ∈ N Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ü Ð ÓÒ Ø Ñ º ËÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ×Ô
ØÖ = (ܽ, . . . , Ü ) ∈ R ¸ Ò = (ݽ, . . . , Ý ) ∈ R ¸ ØÛÓ Ö ÒØ ×Ô
ØÖ Ó Ø Ñ ÁØ × ÔÓ×× Ð ØÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø Ñ¸ ×Ù
Ø Ø Ø Ý Ú Ø × Ñ ÒÓÖÑ ½¸ Ð Ø Ù×
ÓÒ× Ö ÈÜ = ( ܽ Ü , . . . , Ü Ü ) ∈ R Ò ÈÝ = ( ݽ Ý , . . . , Ý Ý ) ∈ R ¸ Û
Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø × Ú
ØÓÖ׺ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÅÓ Ð Ó Ø Ø ÅÓ Ð Ó Ø Ø ÙÖ Ê ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ ¿ ¿ ÄÌÅ ÆƸ º¸ Ç Á ÇƸ ƺ¸ Å Ä Í ÀÄÁƸ ˺¸ ² ÌÇÍÊÆ Ê Ì¸ º º Ñ Ð Ò ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ³ Ñ × ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð × Ð³ ÓÒ
Ø ÓÒ× Ö Ð × × Ø ÑÓ Ò Ö ×
ÖÖ × ÓÖØ Ó ÓÒ Ùܺ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÅÓ Ð Ó Ø Ø ÅÓ Ð Ó Ø Ø Ä Ø Ù× ÒÓØ Ý Ê ∈ N Ø ÒÙÑ Ö Ó
Ð ×× ÓÒ Ø Ñ ¸ Û
× Ð Ò Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ø Ö Ð׺ Ä Ø Ù×
ÓÒ× Ö Ø Ø Û Ú ÖÓÙÒ ØÖÙØ º ´ µ ´ µ ÙÖ Ë
ØØ Ö ÔÐÓØ Ó ×Ø Ò
× Ó Ô Ü Ð× ´Ó È Ú Ñ µ Ó
ÐÙ×Ø Ö ½ ´ Ò ÐÙ µ ØÓ Ø
ÒØÖÓ Ó
ÐÙ×Ø Ö ½ Ò ¸ ØÓ ØÓ Ø
ÒØÖÓ Ó
ÐÙ×Ø Ö ¾ Ò ¸ ØÓ Ø
ÒØÖÓ Ó
ÐÙ×Ø Ö ¿ Ò º Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ò Ö ÓÖ
ÐÙ×Ø Ö ¾¸ Ò Ò Ö Ò ÓÖ
ÐÙ×Ø Ö ¿º ÁÒ ´ µ Û Ù× Ø Ä¾ ÒÓÖÑ × ×× Ñ Ð Ö ØÝ Ñ ×ÙÖ ¸ Ò ´ µ Û Ù× Ø ÃÙÐÐ
¹Ä Ð Ö Ú Ö Ò
º »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ Ó Ð Ó Ð Ö×ظ Û Û ÒØ ØÓ Ò ×Ø Ò
Ø Ø ÛÓÙÐ × Ô Ö Ø Ø ÖÓÑ Ö ÒØ
ÐÙ×Ø Ö׸ Û Ø ÓÙØ ÒÝ ÔÖ ÓÖ ÒÓÛÐ º Ì Ò ÓÙÖ Ó Ð ÛÓÙÐ ØÓ ÕÙ ÒØ Þ Ø ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ

ÓÖ Ò ØÓ Ø × ×Ø Ò
¸ Ò ØÓ ×Ô Ø Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× ½ ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ËØ Ø Ó Ø ÖØ ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ø ×Ø Ò
× ÅÓ Ð Ó Ø Ø Ó Ð ¾ Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× ¿ ÉÙ ÒØ
Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× Ê ×ÙÐØ× ½¼»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× ÄÔ Å Ò ÓÛ× ÒÓÖÑ× ÓÒ Ô Ò Ë Å Ò ×Ô Ö
Ð ×Ø Ò
Ï Ù× Ø Ô−ÒÓÖѺ ÈÜ − ÈÝ Ô = |ÈÜ, − ÈÝ, |Ô ½ Ô º Ï
Ò
ÓÒ× Ö Ø Ø
Ô Ü Ð ÓÐÐÓÛ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Èܺ ÁØ × Ø Ò ÔÓ×× Ð ØÓ Ò × Ö¹Ê Ó ×Ø Ò
ØÛ Ò , ¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ø Ö Ô ÈÜ, Èݸ Û
× Ø ×Ô Ö
Ð ×Ø Ò
ËÔ Ö( , ) = ¾ Ö

Ó×( ÈÜ, ÈÝ, ) Ì Ö Ö ×ÓÑ × Ñ Ð Ö Ø × Û Ø ×Ø Ò
Ø Ø ×
Ð ××
ÐÐÝ Ù× ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × Ø Ë Å¸ Û

Ò Ò ØÛ Ò , × Ë Å( , ) = Ö

Ó×( ) = ½ ¾ ËÔ Ö
Ð ( ¾ , ¾ ) Ì × Ñ ØÖ
× ÒÚ Ö ÒØ ØÓ ×Ô
ØÖ Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÓÒ × Ò
Ë Å(α , ) = Ë Å( , )¸ ∀α ∈ R∗ º ËÓ Ø × ÒÚ Ö ÒØ ØÓ ÐÐÙÑ Ò Ø ÓÒ
Ò ×¸ Û

Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø
ÓÒ Ö ÑÓØ × Ò× Ò º ½½»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× Ê ÒÝ Ú Ö Ò
× Ï
Ò Ù× ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ú Ö Ò
¸ Ø Ø Ö
ÐÐ Ø Ê ÒÝ Ú Ö Ò
Ó ÓÖ Ö α¸ α > ¼ Ó ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÈÜ ÖÓÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÈÝ Ëα(ÈÜ ÈÝ) = ½ α − ½ ÐÓ Èα Ü, Ƚ−α Ý, . Ëα→½(ÈÜ ÈÝ) = Ë(ÈÜ ÈÝ) Û Ö Ë × Ø ÙÐÐ
Ú Ö Ò
Ò Ý Ë(ÈÜ ÈÝ) = ÈÜ, ÐÓ ÈÜ, ÈÝ, α = ½/¾ Û Ú Ëα=½/¾(ÈÜ ÈÝ) = −¾ÐÓ ½ − À ÐÐ Ò Ö ( , )/¾ Û Ö À ÐÐ Ò Ö × Ø À ÐÐ Ò Ö ×Ø Ò
Ò Ý À ÐÐ ( , ) = (½/ √ ¾)   =½ ( ÈÜ, − ÈÝ, )¾   ½/¾ , Ò Ø
× α = ¾ Ð × ØÓ Ø ÕÙ Ö Ø
Ê ÒÝ Ú Ö Ò
¸ Û
× Ëα=¾(ÈÜ ÈÝ) = ÐÓ ½ + χ¾( , ) ¸ Û Ö χ¾ × Ø χ¾ ×Ø Ò
Ò Ý χ¾( , ) = =½ ÈÜ, − Ñ ¾ Ñ Û Ø Ñ = ÈÜ, + ÈÝ, ¾ , ½¾»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× Å Ð ÒÓ × ×Ø Ò
Ï
Ò
ÓÒ× Ö
Ð ××
Ð ÑÓ Ð ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Û
××ÙÑ × Ø Ø
×Ô
ØÖÙÑ ÓÐÐÓÛ× ×
ÓÖÖÙÔØ Ý Ò Ø Ú ÑÙÐØ Ú Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ÒÓ × Ó Ñ Ò ¼ Ò Û Ø Ü
ÓÚ Ö Ò
ÓÖ ÐÐ Ø ×Ô
ØÖ º ËÓ Û ÛÖ Ø Ø Ö Ð ×Ô
ØÖ Ò Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Û Ø Ø = + Æ Ò ×Ó ∼ N(µ , Σ)¸ Û Ø µ = º ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ Ø Ø Ø × Ö¹Ê Ó ×Ø Ò
ØÛ Ò , ÔÔ Ò× ØÓ Ø Å Ð ÒÓ × ×Ø Ò
Ò Ý Å Ð ÒÓ ×( , ) = (µ − µ )Ì Σ−½ (µ − µ ) ´½µ Ì Ò Ø Ö × Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÒ ÓÛ ØÓ ×× ×× Σº ½¿»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× ÖØ ÅÓÚ Ö ×Ø Ò
Ä Ø Ù×
ÓÒ× Ö ØÛÓ ×Ô
ØÖ Ò ¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ø Ö Ö ×Ô
Ø Ú Ô ÈÜ, Èݺ Ì Ö ÖØ ÅÓÚ Ö ×Ø Ò

Ò Ò Ý Å (ÈÜ, ÈÝ) = Ñ Ò α , ∈M   =½ =½ α , ( , )   Û Ö M = {α , ≥ ¼; =½ α , = ÈÝ, ; =½ α , == ÈÜ, } Ò × Ø
Ó×Ø ÙÒ
Ø ÓÒº Ö ÒØ
Ó
× Ó
Ó×Ø ÙÒ
Ø ÓÒ× Ú Ò
ÓÒ× Ö º À Ö Û Û ÐÐ
ÓÓ× ØÛÓ Ö ÒØ
Ó×Ø ÙÒ
Ø ÓÒ׺ Ì Ö×Ø ÓÒ
Ò Ò × ½( , ) = ½ | − | ÁÒ Ø ×
× ¸ Ø ÔÔ Ò× Ø Ø Ø ÖØ ÅÓÚ Ö ×Ø Ò
× Å ½(ÈÜ, ÈÝ) = ½ Ü − Ý ½ Ø ÓØ Ö
Ó×Ø ÙÒ
Ø ÓÒ × Ð
Ø × ¾( , ) = | − | | − | ≤ × × ÓØ ÖÛ × Û Ö × × Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ø Ö × ÓÐ º Ï Û ÐÐ ÛÖ Ø Ø × ×Ø Ò
Å ¾º ½ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× ½ ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ËØ Ø Ó Ø ÖØ ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ø ×Ø Ò
× ÅÓ Ð Ó Ø Ø Ó Ð ¾ Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× ¿ ÉÙ ÒØ
Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× Ê ×ÙÐØ× ½ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ × Ø ÔÖÓ
×× Û
ÐÐÓÛ× ØÓ ÔÔÖÓ
× Ò Ð Û Ø Ð Ö × Ø Ó Ú ÐÙ × Ý × Ò Ð ÓÒ ×Ñ ÐÐ Ö × Øº ÁÑ × Ö × Ò Ð× ÓÒ ×Ô Ø Ð ÓÑ Ò¸ ×Ó Ø Ö ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ × ÓÙÐ Ø × ÒØÓ

ÓÙÒØ Ø ÜÔ
Ø ×Ô Ø Ð
Ó Ö Ò
º ÌÓ
Ú Ø × Ó Ð¸ Û
ÓÓ× ØÓ Ù× α−
ÓÒÒ
Ø
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ¸ Ø Ø ÔÖÓ Ù
× Ò Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ ÓÑÓ ÒÓÙ× ×Ô Ø Ð
Ð ×× ×º ËÓ ÐÐ ¸ Ⱥ ´¾¼¼ µº ÓÒ×ØÖ Ò
ÓÒÒ
Ø Ú ØÝ ÓÖ Ö Ö

Ð Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò × ÑÔÐ
Ø ÓÒº È ØØ ÖÒ Ò ÐÝ× × Ò Å
Ò ÁÒØ ÐÐ Ò
¸ Á ÌÖ Ò×
Ø ÓÒ× ÓÒ¸ ¿¼´ µ¸ ½½¿¾¹½½ º Ù Ù Ò¸ ĺ¸ Î Ð ×
Ó¹ ÓÖ ÖÓ¸ ˺¸ ² ËÓ ÐÐ ¸ Ⱥ ´¾¼½ µº ÄÓ
Ð ÑÙØÙ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ ×× Ñ Ð Ö Øݹ × Ñ × Ñ ÒØ Ø ÓÒº ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø
Ð Ñ Ò Ò Ú × ÓÒ¸ ´¿µ¸ ¾ ¹ º ½ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ú Ò ×Ø Ò
: R × R −→ R¸ ØÛÓ Ô Ü Ð× ( (Ü), (Ý)) ∈ (R )¾ ÐÓÒ ØÓ Ø × Ñ α−
ÓÒÒ
Ø
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ó Ò ÓÒÐÝ Ø Ö × Ô Ø (Ô¼, . . . , ÔÒ) ∈ Ò ×Ù
× Ô¼ = Ü Ò ÔÒ = Ý Ò ∀ ∈ [½, Ò − ½]¸ ( (Ô ), (Ô +½)) ≤ α Ò α ∈ R+ ÙÖ ÉÙ × ¹ Ø ÞÓÒ Ó Ø Ô Ú ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ ¸ Ø Ö Ö ¿½
ÐÙ×Ø Ö׺ ½ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ö×Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ò Ñ ØÓ ÛÓÖ Û Ø ×ÙÔ ÖÔ Ü Ð× Ø Ò Û ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø Ñ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ÒØÓ Ö Ô Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ
ÐÐ Ø Ö ÓÒ
Ò
Ý Ö Ô ´Ê µº ÁØ × Ö Ô Û Ö
ÒÓ × ×ÙÔ ÖÔ Ü Ð¸ Ò × Ö ÔÖ × ÒØ Ø ×× Ñ Ð Ö ØÝ ØÛ Ò ×ÙÔ ÖÔ Ü Ð׺ ´ µ ´ µ ½ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ï Ö ÔÖ × ÒØ
ÒÓ ´Û
× × Ø Ó Ô Ü Ð×µ Ó Ø Ö Ô Ý Ø ÖÝ
ÒØÖ

ÓÖ Ò ØÓ Ø Ñ ØÖ
Ó Ø × Ø Ó Ô Ü Ð× È¸ Û
× Ò Ý Ñ = Ö Ñ Ò Ñ∈È Ü ∈È (Ñ, Ü ). ´¾µ Á ÐÐ Ø Û Ø× Ö Õ٠и Û × Ý × ÑÔÐÝ Ø Ø Ñ × Ø ÓÑ ØÖ
Ñ Òº Ì Ò Û
Ð
ÙÐ Ø Ø α−
ÓÒÒ
Ø
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ó Ø Ö Ô º ½ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ê ×ÙÐØ× ½ ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ ÀÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ × ËØ Ø Ó Ø ÖØ ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ø ×Ø Ò
× ÅÓ Ð Ó Ø Ø Ó Ð ¾ Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ò
× ¿ ÉÙ ÒØ
Ø ÓÒ Ø
Ò ÕÙ Ù× Ê ×ÙÐØ× ¾¼»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ê ×ÙÐØ× Ê ×ÙÐØ× ÌÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ñ ×ÙÖ × Û Ù× Ö ÒØ
Ö Ø Ö º ÈÖ
Ø
Ð ×× C½ C¾ C¿
ØÙ Ð
Ð ×× C½ ½½ ½¾ ½¿ C¾ ¾½ ¾¾ ¾¿ C¿ ¿½ ¿¾ ¿¿ Ì ÇÚ Ö ÐÐ

ÙÖ
Ý Ç = ¿ =½ ¿ =½ ¿ =½ × ½¼¼ ´¿µ Ì Ð ××

ÙÖ
Ý Ó
Ð ×× = ¿ =½ × ½¼¼ ´ µ Ì Ð ××

ÙÖ
Ý Ó
Ð ×× = ¿ =½ ¿ × ½¼¼ ´ µ ¾½»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ê ×ÙÐØ× Ê ×ÙÐØ× Ê ×ÙÐØ× ÓÒ È Ú Ñ Ä½ ľ Ä∞ ËÔ Ö Ë Å À ÐÐ χ¾ Ë Ëα=½/¾ Ëα=¾ Ç ¼.¼¼½ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¿ ¼º¼½¾ ¼º¼ ¼º¼¼½ ¼º¾¿ ¼º ½ ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼½ ¼º¼½¿ ¼º¼ ¼º½¾ ¼º¼¼½ ¼º½½ ¼º¾ ¼º¾¾ ¼º¾¾ Ê Ò ¼º ¿ ¼º ¿ ¼º ½ ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ¼º¿¿ ¼º¾½ ¼º ¼º¾¾ ËÆÊ ¾¾º ¾ ¾¾º ¾¾º ¾¾º ¾ ½ º ¼ ¾½º ¾ ¾¿º ¼ ¾½º ¾½º ¾½º¾¼ Ê ×ÙÐØ× ÓÒ È Ú Ñ ËÁ Šн Šо ÃÓÐÑÓ Å ½ Å ¾ Ç ¼º¼½¾ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼¼¿ ¼º¾¾ ¼º¼ ¼º½ ¼º¼ Ê Ò ¼º¿ ¼º ¼º¿ ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º ½ ËÆÊ ¾½º¾ ¾½º ¾¾º¼ ¾¾º Ì Ð ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ ×º ¾¾»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ê ×ÙÐØ× Ê ×ÙÐØ× Ê ×ÙÐØ× ÓÒ ÁÒ Ò È Ò × Ñ Ä½ ľ Ä∞ ËÔ Ö Ë Å À ÐÐ χ¾ Ë Ëα=½/¾ Ëα=¾ Ç ¼º¼½ ¼º¼½ ¼º¼½½ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼½ ¼º¿¼ ¼º¼½¼ ¼º¼½¼ ¼º¼½¼ ¼º¼½¾ ¼º¼¼¾¾ ¼º¼½ ¼º¼½ ¼º½¿ ¼º¼½ ¼º¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ Ê Ò ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º¾¾ ¼º ¼º½ ¼º ¼º ¼º ËÆÊ ½¾º ½¾º ½¾º ¿ ½¾º ¿ º ½¾º ½ º¼½ ½¾º ½¾º ½ ½¾º Ê ×ÙÐØ× ÓÒ ÁÒ Ò È Ò × Ñ ËÁ Šн Šо ÃÓÐÑÓ Å ½ Å ¾ Ç ¼º¼½¼ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼½ ¾ ¼º¼¾ ¼º¼½ ¾ ¼º¼ ¼º¼½ ¼º½¿ ¼º¼¼½ ¼º¼ ¼º¼½ Ê Ò ¼º ¼º¿ ¼º¿ ¼º ¼º ¼º ¾ ËÆÊ ½¾º ¿ ½¾º ½½º¼½ ½¾º Ì Ð ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× ÓÒ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ ×º ¾¿»¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ê ×ÙÐØ× Ê ×ÙÐØ× ´ µ ´ µ ´
µ ´ µ ´ µ ÙÖ ´ µ Ð× Ê
ÓÐÓÖ Ñ ´Ù× Ò Ø Ö ×Ô
ØÖ Ð Ò ×µ Ó ÁÒ Ò È Ò × ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ º Ð× Ê
ÓÐÓÖ Ñ Ó Ø ÕÙ ÒØ Þ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ø Ò × ØÓ Ò ´ µ Ø ÒÓÖÑ ¾¸ ´
µ Ø Ë Å¸ ´ µ Ø χ¾ ×Ø Ò
¸ ´ µ Ø Å º ¾ »¾ ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÓÐ Ù× Ò ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ò
× Ê ×ÙÐØ× Ê ×ÙÐØ× ´ µ ´ µ ´
µ ´ µ ´ µ ÙÖ ´ µ Ð× Ê
ÓÐÓÖ Ñ ´Ù× Ò Ø Ö ×Ô
ØÖ Ð Ò ×µ Ó È Ú ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ º Ð× Ê
ÓÐÓÖ Ñ Ó Ø ÕÙ ÒØ Þ ÝÔ Ö×Ô
ØÖ Ð Ñ Ã = ¿¼¼¼ Ø Ò × ØÓ Ò ´ µ Ø ÒÓÖÑ ¾¸ ´
µ Ø Ë Å¸ ´ µ Ø χ¾ ×Ø Ò
¸ ´ µ Ø Å º ¾ »¾