Modélisation et Simulation d’un Système Multiphysique Application à un stockeur d’énergie d’un ferry tout électrique

17/10/2015
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Publication 3EI 3EI 2015-82
OAI : oai:www.see.asso.fr:1044:2015-82:14145
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Modélisation et Simulation d’un Système Multiphysique Application à un stockeur d’énergie d’un ferry  tout électrique

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Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 49 Modélisation et Simulation d’un Système Multi- physique Application à un stockeur d’énergie d’un ferry tout électrique Sadok HMAM, Jean-Christophe OLIVIER, Salvy BOURGUET, Luc LORON Laboratoire IREENA, Université de Nantes 37 boulevards de l'université BP 406, 44602 Saint-Nazaire Cedex sadok.hmam@univ-nantes.fr Adresse MOTS-CLES – Système complexe, multi-physique, ODE, DAE, modélisation causale /acausale, Simulink, Simscape. 1. Introduction La simulation numérique est devenue partie intégrante du processus de développement et de mise au point des systèmes complexes. C’est dans ce contexte que diverses méthodologies et outils de modélisation de plus en plus performants ont émergés. Ces derniers permettent de diminuer les efforts de modélisation, afin de converger vers une solution optimale beaucoup plus rapidement que par les méthodes traditionnelles [1][2]. La modélisation d’un système multi-physique nécessite un couplage entre des domaines physiques différents (électrique, thermique, mécanique, hydraulique...). Parmi ces disciplines, il existe un dénominateur commun lié au fait que des échanges de puissance et d’énergie transitent au sein et entre les domaines. L’intégration de plus en plus de phénomènes physiques conduit à un système ayant un nombre de plus en plus grand d’inconnues et dont la solution nécessite de devoir simuler un système d’équations non linéaires dont la raideur évolue avec les dynamiques des différents sous-modèles [3]. L’augmentation de ces deux facteurs, raideurs et nombre d’inconnues, impacte directement sur le niveau de complexité et le temps de simulation du système global (Figure 1). Ces facteurs constituent donc un verrou majeur pour le développement de l’innovation et le gain en compétitivité qui en découle. Figure 1: Domaines de modélisation des systèmes physiques L’objectif de cet article est de présenter un exemple de système multi-physique et multi-échelle en étudiant le vieillissement du stockeur d’énergie d’un ferry tout électrique de type plug-in. Le stockeur permet de fournir toute l’énergie du navire avec un profil de consommation connu. Dans un premier temps nous présenterons les différents modèles du stockeur. Ensuite nous proposerons deux outils de modélisation et de simulation basés sur les approches causales et acausales, mettant en évidence les difficultés d’implantation des systèmes d’équations différentielles algébriques (DAEs) et montrant l’apport de la nouvelle approche de modélisation acausale orientée-objet et orientée-équation. Nous terminerons par une comparaison des résultats des modèles simulés à l’aide des outils Simulink et Simscape de Matlab. 2. Description du système Le système étudié est un petit ferry à passager qui effectue la traversée entre deux arrêts d’une ligne de transport en commun. Ce navire effectue 35 traversées par jour et donc, il recharge 35 fois par jour ses stockeurs au quai R. À la fin de la recharge, le navire repart en consommant une puissance correspondante à Résumé : Cet article porte sur la modélisation et la simulation d’un système complexe reposant sur une application de stockeur d’énergie à base de supercondensateurs et appliqué à un navire tout électrique de type plug-in .Les différents modèles électrique, thermique et de vieillissement du stockeur, constituant un système d’équations différentielles ordinaires (ODEs) et d’équations différentielles algébriques (DAEs) sont présentés .À cet effet, l’implémentation des modèles a été réalisée à l’aide de deux approches de modélisation différentes. La première est une approche causale basée sur des schémas-blocs représentant des fonctions de transferts traduisant le comportement des modèles. Et la deuxième, dite acausale est orientée-équation et fondée sur le principe de programmation orienté-objet. Une comparaison selon plusieurs critères entre les deux approches est finalement présentée. Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 50 une vitesse de 5 nœuds pour sortir du chenal (2). Une fois sortie du chemin de chenalage (2), le navire navigue à 8 nœuds dans la zone (1) puis termine ce trajet à 5 nœuds pour arriver au quai A. Il reste 5 minutes à cet arrêt en consommant de l’énergie pour se maintenir près du ponton et alimenter ses auxiliaires (pompes, ventilation, outils d’aide à la navigation, réseau de bord, …). Quand l’escale au quai A est terminée, le navire repart vers sa station de recharge en utilisant le même ordonnancement de puissance qu’à l’aller, selon le cycle détaillé dans la figure 2. La station de recharge est dimensionnée pour une stratégie de recharge à puissance constante. La durée de cette recharge est de 5 minutes en moyenne. Figure 2 : Circuit et cycle de puissance de décharge du ferry électrique à passagers Ar Vag Tredan[4] Le stockeur du navire est composé de modules de supercondensateurs associés en série pour créer des branches qui sont elles-mêmes mises en parallèle. Les modèles développés dans la section suivante sont ramenés à des modèles équivalents rassemblant tous les modules série/parallèle et considérant qu’ils sont tous identiques pour simplifier le calcul. Suite à un pré- dimensionnement énergétique réalisé dans les travaux [4], nous trouvons les principaux paramètres que nous avons utilisés dans le tableau suivant : Tableau 1: Données du dimensionnement du ferry électrique Descriptif Paramètre Valeur Unité Durée de recharge Δtquai 5 minutes Nombre de traversée par jour Ntrajets 35 Trajets/jour Energie utile Eutile 15 kWh Tension du bus continu Edc 600 V Nombre de modules en série Ns 9 Modules Nombre de branches en parallèle Np 11 branches Tension par module de SCs Vmodule 65 V Résistance série d’un module rs 3 mΩ Résistance d’équilibrage rp 2 kΩ Capacité initiale d’un module csc 375 F Résistance thermique d’un module Rth 0.35 °C.W-1 Capacité thermique d’un module Cth 19000 J.C-1 Température ambiante Ta 25 °C 3 Modélisation du stockeur d’énergie 3-1 Présentation des différents modèles Le modèle électrique équivalent est un modèle énergétique simplifié de type RC [5] composé d’une capacité csc qui représente l’énergie stockée, et d’une résistance série rs symbolisant les pertes de transfert au sein d’un module lors des échanges d’énergie. Ce modèle électrique peut être associé à un système d’équilibrage représenté par une résistance parallèle rp. La recharge des modules de supercondensateurs se fait à puissance constante Psc0 (station de recharge à quai) pendant une durée moyenne de 5 minutes jusqu’à atteindre une tension Umax. Pour la décharge, nous avons ramené le profil de traversé du navire à un profil de puissance imposée décrit par la figure 2. Le cycle de fonctionnement décrit ci-dessus doit donc être exprimé pour une sollicitation en puissance, ce qui conduit à l’équation différentielle algébrique (DAE) (1) déduite à partir de la relation Psc = usc.isc [6] (voir la Figure 3). Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 51 Figure 3 : Modèle électrique simplifié d’un module de supercondensateur Le modèle électrique de l’unité de stockage d’énergie : = ( + ² ). . + 1 + . . . . + (1) Avec : = . = . = . Les paramètres du modèle équivalent de l’unité de stockage d’énergie. Il est également possible de calculer les pertes dans chaque élément (Rs et Rp) du modèle électrique équivalent en connaissant le courant isc et la tension Usc à l’entrée du stockeur à travers l’équation suivante : = . ( ) + ²( ) (2) Les pertes électriques entrainent un phénomène d’auto-échauffement à l’intérieur du module. L’élévation de la température a une influence très importante sur le vieillissement des supercondensateurs [7]. C’est pourquoi un modèle thermique du module est développé afin d’estimer la température moyenne Tsc du cœur du module. Figure 4 : Modèle thermique d’un module de supercondensateur Le modèle thermique peut être décrit par l’équation différentielle suivante : = . ( − ) (3) Le modèle de durée de vie que nous avons adopté s’appuie sur les paramètres issus des essais de vieillissement calendaire et révèle qu’un profil moyen de dégradation de la capacité existe (figure 5). Après avoir constaté une évolution générique de la capacité, il est intéressant de se rapprocher de notre fonctionnement cyclique et le modéliser par une loi d’Arrhenius f(V,T)qui dépend principalement de la tension vue pendant le cycle de charge-décharge et de la température au cœur du module [8][9].Puisque ce profil moyen existe, il est alors possible d’utiliser la tangente à la courbe réelle pour effectuer une estimation de la valeur de capacité. Le vieillissement se traduit par une dégradation des paramètres électriques (résistance série et capacité) et intervient donc sur l’efficacité et l’autonomie du système. = − . 0.9. . 2 ( ) ∆ . 2 ( ) ∆ (4) = . . 2 ( ) ∆ . 2 ( ) ∆ (5) Figure 5 : Représentation normalisée du vieillissement [10] Tableau 2 : Paramètres de vieillissement de la loi d'Arrhenius[4] U0 T0 ΔU ΔT KC0 KR0 2.5V 25°C 0.2V 10°C 1.5% /an 10% /an Le modèle complet du système étudié peut être résumé dans un graphe de liaison des différents modèles (figure 6)en précisant les paramètres échangés qui sont calculés à partir du système d’équations différentielles décrites précédemment. L’augmentation de la résistance série et la diminution de la capacité sont prises en compte lors de chaque cycle (charge/décharge) pour calculer la durée de vie du stockeur. Puis l’information est renvoyée au modèle électrique pour calculer de nouveau les pertes qui sont par la suite renvoyées au modèle thermique. Figure 6 : Graphe de liaison entre les différents modèles Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 52 3.2 Modélisation causale sous Matlab/Simulink 3.2.1 Modélisation d’une DAE sous Simulink La modélisation sous Simulink est une modélisation causale, appelée aussi modélisation orientée blocs (ou orientée signal). Les signaux sont transmis entre les blocs à travers des liens. Ces signaux servent à propager les valeurs des variables individuelles de la sortie d’un bloc vers les entrées des blocs suivants. Les informations d’entrée sont transformées et traitées dans les blocs jusqu’à être acheminées vers la sortie. Simulink contient une suite de solveurs numériques capables de simuler des équations différentielles ordinaires (ODEs) qui peuvent être écrites sous cette forme : ̇ = ( , , ) (6) avec x le vecteur d’états, t la variable de temps indépendante et p les paramètres Certains systèmes d’équations contiennent des contraintes additionnelles impliquant la variable indépendante et le vecteur d’états. Ces systèmes s’appellent équations différentielles algébriques (DAEs) [11]. Elles peuvent être décrites par le système ci-dessous. Cette forme est appelée « forme semi- explicite » d’une DAE. ̇ = ( , , ) (7) est la partie différentielle d’une DAE 0 = ( , , ) (8) est la partie algébrique (ou contrainte algébrique) Une DAE existe aussi sous une forme plus générale avec une contrainte algébrique implicite : ( , , ̇, ) = 0 (9) Si nous prenons le cas de l’équation différentielle (1) de notre modèle électrique et nous la simplifions pour rendre les termes plus visibles en remplaçant 1 = ( + ² ). , 2 = 1 + . . et 3 = 1. + 2. . + 3. − = 0 (10) Nous remarquons que ce n’est pas possible d’exprimer la plus haute dérivée (dUc)/dt) en fonction des autres termes vu qu’il existe une relation algébrique entre (dUc)/dt) et les termes restants. Nous pouvons conclure que cette équation polynomiale est une DAE implicite. La modélisation et la résolution de ce type d’équation présentent un problème mathématique important notamment dans les systèmes physiques complexes. La modélisation d’une DAE sous Simulink dépend essentiellement de la forme de l’équation. Dans le cas d’une DAE sous sa forme « semi-explicite », sa modélisation sous Simulink est possible puisqu’elle est composée d’une ODE (équation différentielle ordinaire) en rajoutant une contrainte algébrique. Mais dans ce cas, nous aurons un problème de simulation indiquant la présence d’une boucle algébrique. En général, les boucles algébriques peuvent se produire lors de la modélisation des systèmes physiques, souvent en raison des lois de conservation comme par exemple la conservation de la masse et de l’énergie. Dans la plupart des cas, nous pouvons éliminer les boucles algébriques par l’utilisation d’un délai à l’aide du bloc « Unit Delay » ou d’un intégrateur. Cependant cette technique peut ralentir la simulation dans le cas d’un système complexe. Dans le cas d’une DAE « implicite », vu que la plus haute dérivée ̇ de l’équation ne peut pas être exprimée en fonction des autres termes x et t (une relation algébrique entre t, x et ̇ ), il devient difficile de modéliser ce type d’équation sur Simulink voire impossible dans certains cas. Pour cela, pour pouvoir implémenter une telle équation sous Simulink il faudra la transformer en DAE semi-explicite en réalisant des manipulations mathématiques et des changements de variables. Puis en partant d’une DAE semi-explicite, il est également possible d’obtenir une ODE en effectuant des différenciations du modèle de départ. Le nombre de différenciations nécessaires appelé« indice » est la distance qui sépare une DAE d’une ODE. La réduction d’indice [12] d’une DAE n’est pas toujours évidente car il faut trouver des conditions initiales qui satisfont à la fois la partie différentielle et la partie algébrique de la DAE. De plus les solutions obtenues d’une DAE d’indice réduit peuvent ne pas être les mêmes que la DAE originale. 3.2.2 Implantation des modèles dans Simulink Le modèle électrique de notre système décrit par les équations (1) et (10) est composé d’une équation différentielle algébrique. L’implantation de la DAE dans Simulink parait difficile dans ce cas puisqu’elle est sous une forme implicite. Pour faire face à cette difficulté, nous avons adapté notre problème en faisant une sélection de la bonne racine de ((dUc)/dt)² en fonction du cas traité (charge ou décharge des supercondensateurs) qui dépendra du signe de la puissance imposée (voir la figure 7). = . . . (11) Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 53 Figure 7 : Modèle électrique sur Simulink Dans le modèle ci-dessus, Simulink indique la présence d’une boucle algébrique (contrainte algébrique de la DAE) qui peut être éliminée en spécifiant les conditions initiales sur Uc et Psc. Les solveurs numériques dans Simulink ne permettent pas de résoudre directement des DAEs. A chaque pas de temps le solveur résout en premier lieu la boucle algébrique avant de calculer la dérivé ̇ . Le logiciel ne peut pas calculer la sortie de ces blocks sans connaitre la valeur des signaux entrant dans les ports d’entrée du système à un instant défini (au pas de temps courant). Les solveurs utilisés dans Simulink sont plus adaptés pour résoudre des équations différentielles ordinaires (ODEs). La figure 8 représente le schéma global des différents modèles (électrique, thermique, vieillissement Csc, vieillissement Rs, Profil de puissance) sur Simulink. Le profil de puissance à l’entrée du système est réalisé à l’aide d’une machine à états afin de répondre à plusieurs contraintes imposées par le cahier des charges (Un profil cyclique, une phase de décharge avec des puissances constantes de différentes valeurs, une phase de recharge à puissance constante jusqu’à atteindre une tension Umax définie). Figure 8 : Schéma global des différents modèles sur Simulink 3.3 Modélisation acausale et implémentation des modèles sur Simscape/Matlab Un modèle acausal est un modèle qui n'a pas de lien de cause à effet entre les entrées et les sorties. Il est composé de variables et de relations entre ces variables. Puisque celles-ci sont fonction du temps et d'une quantité observable, elles décrivent implicitement les changements à l'intérieur du modèle. Du point de vue mathématique, ce type de modèle consiste en un ensemble d'équations implicites non ordonnées où les entrées et les sorties du modèle ne sont pas précisées[13].La principale innovation apportée par les outils de modélisation acausaux est la possibilité de décrire les différentes parties d'un modèle directement sous forme d’un système d'équations plutôt qu'un algorithme de résolution des équations[14]. Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 54 La modélisation acausale est plus appropriée pour la modélisation des systèmes multi-physiques complexes pour plusieurs raisons : • Permettre le développement des modèles multi-physiques dans le même environnement (multi-domaine). • Faciliter l’implémentation des équations différentielles notamment les DAEs implicites. • Rendre la construction des modèles plus intuitive. • Favoriser l'utilisation de bibliothèques de composants réutilisablesce qui permet de capitaliser les efforts de modélisation. Simscapeest un outil de modélisation multi- domaine qui se base sur le même principe que la modélisation en Bond-Graph en utilisant des connexions physiques. Chaque composant est décrit par une équation différentielle avec un flux et un effort qui représente l’échange de puissance entre les composants. La figure 9 représente le modèle électrique de notre système en utilisant l’approche acausale de Simscape. Lors de la simulation, après définition des conditions initiales et validation du modèle Simscape regroupe toutes les équations différentielles en se basant sur les ports de connexion physique des composants (les variables de flux et d’effort) et construit automatiquement les équations différentielles et algébriques caractérisant le fonctionnement du modèle. L’utilisateur ne va plus se soucier de la manière dont il va représenter une DAE. Elle sera automatiquement générée par la connexion d’un ensemble de composants correspondant à la structure du modèle. Contrairement à Simulink, le problème de présence d’une boucle algébrique dans le modèle électrique n’existe plus. Simscape résout directement les DAEs et simultanément avec les composants des différents domaines physiques en évitant les problèmes de boucles algébriques. Des solveurs numériques ont été développés et adaptés à Simscape. Ils sont destinés à résoudre des problèmes multi-physiques qui sont généralement de type raide (stiff) et représentés par des DAEs. Parmi ces solveurs, il existe ode15 et ode23t pour la résolution des équations différentielles raides et des DAEs, et ode23s et ode23tb qui se limitent aux équations différentielles raides. La figure 10 décrit le fonctionnement de la partie thermique d’un module de supercondensateurs. Grâce à la bibliothèque multi-domaine de Simscape le modèle thermique est représenté et interfacé avec les modèles électrique et du vieillissement. L’entrée du modèle thermique sera le flux de pertes dans la résistance série et la résistance parallèle du modèle électrique et la sortie sera la température Tsc du cœur du module fournit au modèle de vieillissement. Comme nous l’avons précisé, toutes les équations qui composent le système sont acausales et définies par des égalités et non pas par des affectations (une entrée et une sortie) ce qui favorise la réutilisation des composants dans d’autres applications et réduit ainsi le temps de développement. Nos modèles de vieillissement modélisent la dégradation de la capacité et de la résistance série dans un module de supercondensateurs. Ces modèles sont deux équations différentielles ordinaires (4) et (5) qui n’appartiennent à aucun domaine physique puisqu’elles caractérisent la dégradation de paramètres et non pas de grandeurs physiques. Nous avons créée alors deux nouveaux composants que nous avons rajoutés à notre propre bibliothèque (Figure 11). Ces composants sont décrits par un code MATLAB (figure 12) dans lequel on définit une ou plusieurs entrées, une ou plusieurs sorties, un ensemble de paramètres, une ou plusieurs variables d’état et des équations différentielles. Figure 9 : Modèle électrique sur Simscape Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 55 Figure 10 : Modèle thermique sur Simscape Figure 11 : Création de deux nouveaux composants Figure 12 : Contenu du code Matlab du composant Simscape dans une nouvelle bibliothèque «AgeingCapacitorModel» Figure 13 : Schéma global des différents modèles sur Simscape Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 56 3.4 Résultat des simulations et discussion Les différents modèles ont été simulés sous Simulink et Simscape (dans deux fichiers séparés) en utilisant le même solveur (ode15s) et les mêmes configurations afin de comparer les résultats. La simulation a été réalisée pour une période de 20 ans de fonctionnement du navire (durée de vie maximale d’un supercondensateur selon les informations fournies par les constructeurs). La durée de simulation pour Simulink est environ 212 minutes et 279 minutes pour Simscape. Cela s’explique par le fait que Simscape, basé sur une approche orienté-objet, contient une structure de variables et de paramètres plus complexe par rapport à Simulink. En effet lors de la simulation, un système d’équations différentielles dans l’environnement Simscape est constitué à travers un réseau de connexions physiques basées sur les variables effortet flux et sur les domaines physiques associés. Puis le solveur analyse et élimine les variables qui ne sont pas nécessaires pour résoudre le système et définie par la suite un sens de résolution (affectation des entrées et des sorties). Les figures 14 et 16 illustrent l’évolution de la tension Usc et de la température Tsc durant une partie de la simulation (6 jours de fonctionnement). Figure 14 : Tension Usc avec Simulink et Simscape Figure 15 : Zoom sur une partie du signal Si on fait un zoom sur une partie du signal on trouve qu’il y a un décalage de temps qui s’accumule et qui est dû au retard causé par les boucles algébriques en Simulink puisque les solveurs ne résolvent pas simultanément les équations différentielles et les boucles algébriques. L’équation DAE du modèle électrique sur Simscape décrit mieux le fonctionnement du système puisqu’il est capable d’introduire directement des équations différentielles implicites. Cette différence (décalage de temps) au niveau du modèle électrique va impacter les résultats des autres modèles (thermique et vieillissement). Figure 16 : Température Tsc avec Simulink et Simscape Figure 17 : Zoom sur une partie du signal Figure 18: Dégradation de la capacité Csc avec Simulink et Simscape Le principal intérêt du choix de Simscape s'explique par le fait que la description du fonctionnement d'un système par des équations différentielles ne présuppose Modélisation et Simulation d’un Système Multi-physique La Revue 3EI n°82 Octobre 2015 Thème 57 pas une linéarisation du comportement du système a priori comme c'est le cas lorsque l'on a recours aux transformés de Laplace et aux équations d'état. Ce choix évite donc de se limiter aux systèmes physiques décrits par des systèmes linéaires et présente aussi l'avantage de créer des modèles plus conforme à la réalité. 4. Conclusions et perspectives Dans cet article, un exemple de systèmes multi- physique complexe a été présenté afin de mettre en évidence les avantages de la modélisation acausale en utilisant l’environnement Simscape. Le système étudié, composé d’un ensemble d’équations différentielles et d’une DAE implicite, a été modélisé en premier lieu sur Simulink pour montrer les difficultés d’implantation d’une DAE dans un environnement de simulation causal. Ensuite, un passage à la modélisation acausale sur Simscape a été nécessaire vu la facilité de construction des modèles dans un tel environnement et la capacité de ses solveurs numériques à résoudre des systèmes raides contenant des DAEs implicites. Une comparaison des résultats des simulations selon deux critères (précision et temps de simulation) a été réalisée. Une prochaine étape de ce travail consiste à traiter l’aspect multi-échelle de temps puisque les différents modèles développés ont des dynamiques avec des constantes de temps très éloignées (la seconde, l’heure et l’année) ce qui pénalise le temps de calcul. Par conséquent il devient impératif de diminuer les temps de calculs des intégrateurs numériques par le développement de nouvelles techniques d’intégration numérique ou par l’élaboration de nouvelles méthodes de résolution des systèmes multi-échelles. Références [1] L. Boulon, “Modélisation multiphysique des éléments de stockage et de conversion d ’énergie pour les véhicules électriques hybrides. Approche systémique pour la gestion d’énergie,” Thèse de doctorat, Université de Franche-Comté, 2009. [2] A. Jardin, “Contribution à une méthodologie de dimensionnement des systèmes mécatroniques: analyse structurelle et couplage à l’optimisation dynamique,” Thèse de doctorat, INSA de Lyon, 2010. [3] L. Liu, F. Felgner, and G. Frey, “Comparison of 4 numerical solvers for stiff and hybrid systems simulation,” Proc. 15th IEEE Int. Conf. Emerg. Technol. Fact. Autom. ETFA 2010, 2010. [4] S. 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