Analyse structurelle et reconfigurabilité du filtre détecteur de défauts suite à perte d'informations

01/01/2011
Publication e-STA e-STA 2011-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2011-1:13448
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Analyse structurelle et reconfigurabilité du filtre détecteur de défauts suite à perte d'informations

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	    <date dateType="Created">Sat 1 Jan 2011</date>
	    <date dateType="Updated">Mon 25 Jul 2016</date>
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ANALYSE STRUCTURELLE ET RECONFIGURABILIT´E DU FILTRE D´ETECTEUR DE D´EFAUTS SUITE `A PERTES D’INFORMATIONS H. Jamouli ∗ H. Ghaleb ∗∗ H. Chafouk ∗∗ D. Sauter ∗∗∗ ∗ Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ees Universit´e Ibn Zohr, Agadir Maroc jamouli@ensa-agadir.ma ∗∗ Institut de recherche en syst`emes ´electroniques embarqu´es Equipe Automatique et Syst`emes , Technopˆole du Madrillet Avenue Galil´ee - BP 10024 email : ghaleb.hoblos@esigelec.fr ∗∗∗ Universit´e Henri Poincar´e Nancy1 , CRAN - Nancy BP 70 239 - BP 54500 email : dominique.sauter@cran.uhp-nancy.fr R´esum´e Le bon fonctionnement d’un syst`eme automatis´e d´epend fortement de la disponibilit´e des donn´ees fournies par les capteurs. La perte d’un capteur du syst`eme d’instrumentation affecte directement les propri´et´es d’observabilit´e, de d´etectabilit´e et de localisabilit´e. Dans ce papier, nous nous int´eressons `a la synth`ese d’un filtre d´etecteur de d´efauts g´en´eralis´es. Ensuite, on s’interessera `a l’´evolution des propri´et´es de d´etectabilit´e et de localisabilit´e en pr´esence de pertes de d’informations. Cette ´evolution sera illustr´ee `a l’aide d’un graphe orient´e et ´evalu´ee par des crit`eres structurels d´efinis selon les chemins du graphe. Finalement, cette approche sera illustr´ee `a l’aide d’un exemple acad´emique permettant ainsi d’expliquer l’interet de la reconfigurabilit´e du filtre dans le cas d’une information intermittente. Mots cl´es : Filtre de d´etection, l’inverse `a gauche, syst`eme lin´eaire stochastique, d´etectabilit´e, localisabilit´e. keywords : Fault detection filter, left inverse, stochastic linear system, detectability and isolability. 1. INTRODUCTION Le syst`emes industriels sont devenus de plus en plus complexe et l’op´eration de diagnostic est devenue indispensable pour assurer la sˆuret´e de fonctionne- ment et la disponibilit´e des syst`emes. B´en´eficiant des outils d´ej`a existants en automatique, le diag- nostic a connu une ´evolution tr`es importante qui lui a permis de d´evelopper plusieurs approches donnant une solution aux probl`emes de la d´etection et loca- lisation mutli-d´efauts. En diagnostic, on distingue deux types d’approches, la premi`ere s’int´eresse `a l’analyse des propri´et´es structurelles du syst`eme en utilisant les bandes de graphes, et la deuxi`eme est bas´ee sur la synth`ese d’observateurs, espace de pa- rit´e.Ces approches donnent lieu `a des conditions ex- plicites de d´etectabilit´e et d’isolabilit´e des d´efauts. Ces conditions peuvent changer suivant la disponi- e-STA copyright 2011 by see Volume 8, N°1, pp 9-14 bilit´e des capteurs sur le syst`eme. Dans ce papier, on ´etudiera la capacit´e du syst`eme `a d´etecter et isoler les d´efauts actionneurs et capteurs en analysant la perte de ses propri´et´es lors de l’apparition de d´efaillances. Faisant ainsi le lien entre l’analyse et la conception en r´eadaptant notre observateur suivant les sc´enarios de d´efauts qui apparaissent. La d´etection et l’isolation des d´efauts `a la base d’observateurs a ´et´e ´etudi´e dans le cas d´eterministe par (Commault, 1999). Il existe deux approches pour g´en´erer un r´esidu d´ecoupl´e des entr´ees inconnues dans le cas des syst`emes d´eterministes : la premi`ere est bas´ee sur un placement de valeurs propres ([Patton et Chen 1992], [Hsu et Shen 1995]) et la seconde bas´ee sur la conception des observateurs `a entr´ees inconnues (Wunenberg et Frank 1987). Il existe aussi une forme particuli`ere des observateurs appel´ees Filtre de d´etection. Par une approche intuitive, Beard (1971) a ´et´e le premier `a introduire la th´eorie des filtres d´etecteurs. Par la suite, Massoumnia a formalis´e la solution du probl`eme `a l’aide d’une synth`ese g´eom´etrique. La synth`ese du filtre a ensuite ´et´e r´ealis´ee par White et Speyer (1987) via une approche spectrale et par Park et Rizzoni (1994) par un placement de valeurs et de vecteurs propres de la matrice de transition du filtre. Le diagnostic des syst`emes dynamiques stochas- tiques est g´en´eralement effectu´e en deux ´etapes : La g´en´eration de r´esidus suivit par la prise de d´ecision. La reconstruction des d´efauts n’est pas toujours pris en compte dans la g´en´eration du r´esidus et pour- tant il est tr`es int´eressant de simplifier la phase de d´ecision par la g´en´eration de r´esidus refl`etant direc- tement l’amplitude des d´efauts afin de permettre la conception simplifi´ee d’un test de d´etection toujours tr`es difficile `a concevoir dans le cas multi-d´efauts. Le probl`eme de la reconstruction des d´efauts est li´e au probl`eme du calcul de l’inverse `a gauche du syst`eme. Ce lien a ´et´e montr´e par Hou et Pat- ton (1998) dans le cas continu. Nous proposons la conception d’un filtre d´etecteur produisant une esti- mation des d´efauts `a variance minimale satisfaisant E( ˆdk) = dk−α o`u α est le temps de retard structurel du syst`eme d´efini par ses z´eros infinis. Apr`es la param´etrisation de l’inverse `a gauche du syst`eme, les degr´es de libert´e restant disponibles sont calcul´es pour minimiser la norme H2 du transfert entre les bruits et la sortie du filtre. Le papier sera organis´e de la fa¸con suivante : Dans la premi`ere partie, la synth`ese d’un filtre de d´etection robuste est pr´esent´ee. La deuxi`eme partie sera d´edi´ee `a l’analyse de d´etectabilit´e et la loca- lisabilit´e du syst`eme d´efaillant. Dans la troisi`eme partie, un exemple d’application sera pr´esent´e pour mieux illustrer la m´ethode propos´ee. 2. POSITION DU PROBL`EME Le filtre d´etecteur propos´e dans cette section per- mettra l’estimation optimale et temps minimal des d´efauts. Consid´erons le syst`eme discret suivant xk+1 = Axk + Buk + Fdk + wk (1) yk = Cxk + vk (2) o`u xk ∈ n est le vecteur d’´etat, yk ∈ m le vecteur de mesures, uk ∈ p le vecteur de commande. F = f1 . . . fi . . . fq est la matrice de distribution des d´efauts, dk ∈ q repr´esente le vecteur des d´efauts. Les bruits de mesure wk et d’´etat vk sont non correl´es de moyennes nulles tels que E wk vk wT j vT j = W 0 0 I δkj (3) o`u W ≥ 0 et V ≥ 0. L’´etat initial x0 est une variable al´eatoire telle que E{x0} = ¯x0 et E{(x0 − ¯x0)(x0 − ¯x0)T } = ¯P0 est d´ecor´el´e avec wk et vk. Consid´erons le filtre suivant ˆxk+1 = Aˆxk + Buk + K(yk − Cˆxk) (4) ˆdk = L(yk − Cˆxk) (5) o`u ˆxk est l’´etat du filtre, ˆdk la sortie du filtre et o`u L ∈ q,m et K ∈ n,m sont les deux gains du filtre. L’erreur d’estimation ek = xk − ˆxk et la sortie du filtre ˆdk sont donn´ees ek+1 = (A − KC)ek + Fdk + wk − Kvk (6) ˆdk = L(Cek + vk) (7) D´efinitions Les indices de d´etectabilit´e ([Liu et Si, 1997], .[Keller, 1999]) caract´erisant le retard ρi des d´efauts sont d´efinis par ρi = min{ν : CAν−1 fi = 0, ν = 1, 2, . . .} (8) La matrice de d´etectabilit´e associ´ee aux d´efauts est donn´ee par Ψf = CDf (9) avec Df = Aρ1−1 f1 . . . Aρi−1 fi . . . Aρq−1 fq (10) Sous la condition d’existence rang Ψf = q (11) L’objectif est la synth`ese des gains K et L tels que W(z) d→ ˆd = LC(zI − (A − KC))−1 F (12) = diag(z−ρ1 , z−ρ2 , . . . , z−ρq ) (13) e-STA copyright 2011 by see Volume 8, N°1, pp 9-14 Apr`es avoir donn´e la solution de (13), la synth`ese des degr´es de libert´e restant disponibles consistera `a minimiser la trace de la matrice de covariance Pd k de l’erreur d’estimation des d´efauts donn´ee par Pd k = E ( ˆdk − E( ˆdk))( ˆdk − E( ˆdk))T ) (14) o`u E( ˆdk) = d1 k−ρ1 . . . di k−ρi . . . dq k−ρq T est sa- tisfaite `a la convergence du filtre sous la condition (13). 3. CONCEPTION DU FILTRE Theorem 1. Param´etrisation du filtre Sous (9), la solution de (13) est donn´ee par K = ωΠ + ¯KkΣ (15) L = Π + ¯LkΣ (16) avec Σ = β(I − ΨΠ), Π = (Π)+ , ω = AD, Ψ = CD, D = Df , o`u β une matrice arbitraire choisie telle que rang(Σ) = m − q et o`u ¯Kk ∈ n,m−q et ¯Lk ∈ q,m−q sont les param`etres libres ´eventuellement temps variant. Demonstration 1. On a W(z) d→ ˆd = LC(zI − (A − KC))−1 F (17) = k≥0 LC(A − KC)k Fz−k−1 (18) = k≥0 z−k−1 . . . LC(A − KC)k fi . . . (19) On obtient W(z) d→ ˆd = . . . k≥0 LC(A − KC)k+1 Aρi−1 fiz−k−1−ρi . . . (20) Si le gain K satisfait l’assignation spectrale suivante (A − KC) . . . Aρi−1 fi . . . = 0 (21) alors (21) devient W(z) d→ ˆd = . . . LCAρi−1 fiz−ρi . . . (22) = LΨf diag(z−ρ1 , . . . , z−ρi , . . . , z−ρq )(23) et (13) est satisfaite sous la contrainte alg´ebrique LΨf = I (24) Avec (9), l’assignation spectrale (21) et la contrainte alg´ebrique (24) peuvent ˆetre param`etr´ees par K = ωΠ + ¯KkΣ (25) L = Π + ¯LkΣ (26) Il reste donc `a calculer les param`etres libres ¯Kk et ¯Lk tels que la trace de la matrice de covariance Pd k de l’erreur d’estimation des d´efauts soit minimale. Sous les conditions de stabilit´e et de convergence donn´ees par rang zI − A Df C 0 = n+q, ∀z ∈ C, |z| ≥ 1 (27) et rang −ejw I + A Df W1/2 = n, ∀w ∈ [0, 2π] (28) le filtre isolateur de d´efauts est d´ecrit par les ´equations suivantes ˆxk+1 = Aˆxk + Buk + (ωΠ + ¯KkΣ)(yk − Cˆxk) (29) ¯Pk+1 = ( ¯A − ¯Kk ¯C) ¯Pk( ¯A − ¯Kk ¯C)T + ¯W + ¯Kk ¯V ¯KT k(30) ˆdk = (Π + ¯LkΣ)(yk − Cˆxk) (31) Pd k = (Π + ¯LkΣ)Hk(Π + ¯LkΣ)T (32) avec ¯Kk = ¯A ¯Pk ¯CT ( ¯C ¯Pk ¯C + ¯V )−1 (33) ¯Lk = −ΠHkΣT (ΣHkΣT )−1 (34) Hk = C ¯PkCT + I (35) o`u ¯A = A − ωΠC, ¯C = ΣC, ¯V = ΣΣT , W = W + ωΠΠT ωT On peut g´en´eraliser le filtre d´etecteur de d´efauts afin d’avoir plus de degr`es de libert´e dans la conception. Ceci doit permettre d’obtenir des r´esidus g´en´er´es qui respectent un bon compromis entre la rapidit´e de d´etection et la sensibilit´e aux d´efauts par le choix des valeurs propres de l’assignation spectrale suivante : (A − KC)fi = λifi (36) avec i=1,...q. Le probl`eme revient `a param´etrer cette assignation spectrale tel que K = (AF −ΛλF)(CF)+ + ¯Kk(I − (CF)(CF)+ )(37) o`u Λλ est la matrice des valeurs propores fix´es par le concepteur pour un bon compromis entre rapidit´e `a la d´etection et sensbilit´e aux bruits, et ¯K est un degr`es de libert´e qu’ont peut param´etrer pour minimiser un crit`ere quadratique P((ek−E(ek)(ek− E(ek)T . Pour Λλ = 0 on retrouve le filtre isolateur d´efinit au paravant avec un comportement d’un observateur dead beat. Pour le calcul du gain ¯K on se referer les ´equations de Riaccati obtenu dans le cas du filtre, en remplacera ¯A − ¯K ¯C par e-STA copyright 2011 by see Volume 8, N°1, pp 9-14 4. RECONFURABILIT´E DU FILTRE PAR L’ANALYSE DE LA D´ETECTABILIT´E ET DE LA LOCALISABILIT´E De nos jours, les syst`emes complexes sont contrˆol´es en r´eseau, ceci peut pr´esenter une forte contrainte pour le module de diagnostic qui peut ˆetre moins performant suite aux informations retard´es par le r´eseau ou encore une perte ou blocage d’informations suite `a une saturation dans la bande bassande. Ceci nous emmence `a prendre en compte dans la conception du module de diagnostic une ´eventuelle perte d’information. La conception du filtre d´etecteur de d´efauts se base sur un mod`ele math´etique du syst`eme faisant apparaitre une ´eventuelle pr´esence de l’ensemble des d´efauts. Les r´esultats obtenus montrent que le filtre existe si la matrice de d´etectabilit´e est de rang plein colonne tel que rangD = q c’est aussi la condition d’isolation des d´efauts ”output separability” consid´er´ee souvent comme la condition d’existence du filtre d´etecteur de d´efauts (Chung et Speyer, 1998 ; Keller, 1999). Dans ce cas, on peut v´erifier que le sous-espace Ωi = [fi Afi . . . Aρi−1 fi] associ´e `a la ieme composante de dk est solution de (A − KC)Ωi ⊆ Ωi avec fi ⊆ Ωi et que CΩi ( j=i CΩj) = Ø est clairement satisfaite. Nous sommes ici en pr´esence d’une matrice d’interaction diagonale ξ(z) = diag[zρ1 . . . zρq ] pour le transfert de Γ = (A, F, C). Cette condition de s´eparabilit´e des sorties est donc trop restrictive par rapport `a la condition d’existence d’une matrice d’interaction quelconque li´ee `a l’inversibilit´e du syst`eme. Dans le contexte multi-d´efauts, les approches bas´ees sur les observateurs et en particuliers les filtres d´etecteurs prennent en compte a priori dans leur conception l’ensemble des d´efauts hypoth´etiques. Un changement dans la structure du syst`eme emm`enerait `a une modification sur la capacit´e du filtre d´etecteur de d´efauts `a d´etecter et localiser l’ensemble des d´efauts. De l’´equation (11) on remarque que la synth`ese du filtre d´epend fortement de la matrice de d´etectabilit´e CD qui est fonction des indices de d´etectabilit´es associ´es `a chaque d´efauts. Un change- ment dans la disponibilit´e des capteurs repr´esent´ee par la matrice C, entraˆınera des changements dans les propri´et´es de d´etectabilit´e et aussi l’isolabi- lit´e des d´efauts. Ceci nous emm`enera `a ´etudier la tol´erance du syst`eme `a garder les mˆemes propri´et´es malgr´e la perte de certains de ces capteurs. 5. R´ESULTATS On consid`ere un exemple relatif au domaine de l’avionique, il est emprunt´e `a (Syrmos et Lewis, 1993). Il utilise le mod`ele continu d’un avion de type CCV (CCV-type aircraft), caract´eris´e par les matrices A =       −1.341 0.9933 0 −0.1689 −0.2518 43.223 −0.8693 0 −17.251 −1.5766 1.341 0.0067 0 0.1689 0.2518 0 0 0 −20 0 0 0 0 0 −20       , B=       0 0 0 0 0 0 20 0 0 20       (38) C =     a b c d     =     0 0 1 0 0 47.76 −0.268 0 −4.56 4.45 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1     (39) on ´etudiera la d´etectabilit´e et l’isolabilit´e des d´efauts actionneurs ou syst`emes suite une perte d’un ou plusieurs capteurs. F =       0 0 0 0 0 0 20 0 0 20       (40) les indices de d´etectabilit´es des d´efauts f1, f2 sont tous les deux 1. les deux d´efauts sont d´etectables et isolables car rang CAf1 CAf2 = 2. abdcd abc abd acd bcd ab ac ad bc bd cd a b c d Ø d c b a c da b b a b a d d c c b a c a d a c dd bb c a b c d Fig. 1. Graphe des ER Dans le premier niveau, une perte d’un des 4 cap- teurs n’engendre aucun changements en terme de d´etectabilit´e et localisabilit´e des d´efauts. Dans le e-STA copyright 2011 by see Volume 8, N°1, pp 9-14 abdcd abc abd acd bcd ab ac ad bc bd cd a b c d Ø d c b a c da b b a b a d d c c b a c a d a c dd bb c a b c d Fig. 2. Graphe des ER deuxi`eme niveau, on distingue trois cas o`u il y a un changement dans les indices de d´etectabilit´e et aussi l’isolabilit´e. Pour la paire (a, b), les deux d´efauts f1, f2 ont la mˆeme direction dans l’espace de sortie, donc les deux d´efauts ne sont plus isolables. Pour la paire (a,c), les indices de d´etectabilit´es de d´efauts ne sont plus `a 1, d´esormais le filtre d´etecteurs comme a ´et´e d´efini au d´epart n’est plus valable. A ce niveau la, le d´efaut f1 `a un indice de d´etectabilit´e ´egal `a 1, et le d´efaut f2 `a indice de d´etectabilit´e ´egal `a 2. En revanche, dans le cas de la paire (a,d), le d´efaut f1 `a un indice de d´etectabilit´e ´egal `a 2, et le d´efaut f2 `a un indice de d´etectabilit´e ´egal `a 1. 6. CONCLUSION Ce papier a pr´esent´e une approche permettant le traitement multi-d´efauts dans les syst`emes dyna- miques stochastiques discrets. Cette approche a per- mis de r´esoudre le probl`eme de la d´etection et la localisation multi-d´efauts et aussi l’obtention d’une estimation optimale des amplitudes de d´efauts. Une analyse structurelle du filtre d´etecteur de d´efauts nous a permis d’´etudier la capacit´e du syst`eme `a garder ses propri´et´es de la d´etectabilit´e et la locali- sabilit´e des d´efauts. R´ef´erences Aubrun, C., Sauter, D., Noura, H., Robert, M, (1993) Fault diagnosis and reconfiguration of sys- tems using fuzzy logic : application to a thermal plant treatment process. In International Journal of System Sciences, 24 :1945–1954. Ball´e, P., Fisher, M., Fussel, D., Nelles, O., and Isermann, A. (1998). 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